ANÁLISE DO RETORNO ELÁSTICO EM DOBRAMENTO DE CHAPAS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 ANÁLISE DO ETONO ELÁSTICO EM DOBAMENTO DE CHAPAS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Alexadre Tácito Malavolta Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. alexadr@sc.usp.br Mariao Eduardo Moreo Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. mmoreo@sc.usp.br Sérgio Herique Evagelista Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. toddy@sc.usp.br João Lirai Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. lirai@sc.usp.br Hazim A. Al-Qureshi Uiversidade Federal de Sata Cataria, LabMAT, C.P. 476, CEP , Floriaópolis SC. hazim@materiais.ufsc.br esumo. Detre os processos de coformação mecâica dos metais, o processo de dobrameto de chapas é um dos mais aplicado a idústria metal-mecâica. Dado o seu iteresse, a predição do comportameto do material o processo é de crucial importâcia, uma vez que problemas de fabricação podem comprometer o desempeho fial de compoetes dobrados. No dobrameto de perfis de chapas é comum que a peça sofra uma distorção geométrica após sua retirada da matriz. Este efeito, cohecido como retoro elástico, pode ser prejudicial a motagem fial juto a outros compoetes. Busca-se aqui aalisar o problema do retoro elástico em chapas dobradas via Método dos Elemetos Fiitos. Comparam-se os resultados obtidos umericamete com soluções aalíticas existetes a literatura. Podera-se o problema de cotato e codições de cotoro do modelo umérico com as hipóteses simplificadoras dos modelos aalíticos. Assim, avaliam-se os aspectos ecessários à modelagem do retoro elástico em peças mais complexas, com discussão dos problemas relacioados e resultados obtidos. Palavras-chave: dobrameto, método dos elemetos fiitos, retoro elástico 1. INTODUÇÃO O dobrameto de chapas é um dos processos de coformação mais aplicados a idústria metalmecâica. Uma grade parte dos produtos obtidos a partir de chapas metálicas sofre algum tipo de dobrameto em sua fabricação. A Figura 1 ilustra os pricipais parâmetros associados a um processo simples: o raio de dobra expresso geralmete em múltiplos da espessura, o âgulo de dobra α, a largura de dobra b e a espessura da chapa t.

2 Figura 1. Pricipais parâmetros associados ao processo de dobrameto. Um feômeo muito comum o dobrameto é o retoro elástico que cosiste o relaxameto da peça após sua retirada da matriz. Este fato ocorre devido à preseça da eergia elástica acumulada a peça durate o processo de coformação. Quado o carregameto é cessado e as viculações são retiradas, esta eergia é redistribuída a peça através do equilíbrio itero, o que geralmete causa uma distorção em relação à geometria determiada em projeto. Portato o formato fial da peça depede ão apeas da geometria do cojuto matriz/pução mas também da quatidade de eergia elástica acumulada. Quatificar esta parcela de eergia é uma tarefa difícil pois é iflueciada por iúmeros fatores, etre eles pelo modelo de material adotado. Por outro lado, uma previsão acurada do retoro elástico e com isso uma compesação adequada as dimesões do ferrametal aida a fase de projeto tora-se importate para evitar-se as etapas de tetativa e erro a fabricação e motagem fial de compoetes dobrados. O presete trabalho avalia o retoro elástico de um dobrameto em V de uma chapa via Método dos Elemetos Fiitos. Para tal é utilizado o software ANSYS 7.0 que aplica um algoritmo de itegração implícito a solução do problema estático com ão liearidades devido ao material, à geometria e cotatos. São estudados dois casos, o primeiro cosiderado-se o comportameto do material da chapa como elástico perfeitamete plástico e o segudo cosiderado-se o ecruameto dado por uma lei de potêcia. Para cada caso, tem-se uma estimativa do raio de curvatura fial f da chapa após o retoro elástico. Estes dados são comparados com o raio de curvatura iicial em cada caso, como cotribuição para compesação da geometria do pução a etapa de projeto. Os resultados obtidos são discutidos e comparados com modelos aalíticos dispoíveis a literatura. 2. DESCIÇÃO DO POBLEMA 2.1 Teoria de vigas simples O estado de tesões e deformações em uma chapa devido ao dobrameto pode ser determiado aaliticamete a partir da teoria de vigas simples. Neste caso as tesões devido às forças cortates são desprezadas e a chapa é assumida estar submetida a um carregameto de flexão devido a um mometo fletor M coforme esquematizado a Figura 2a. Outras hipóteses cosideradas são de que a liha eutra ão de desloca durate o processo e que as secções iicialmete plaas e perpediculares ao plao da chapa permaecem plaas e perpediculares após a flexão. Também é assumido um estado de tesão-deformação uidimesioal e que o material tem o mesmo comportameto à tração e à compressão. Uma aálise mais acurada deve cosiderar outros fatores tais como a variação da espessura da chapa durate o processo, Dadras (1), Dadras et al (2), assim como o deslocameto da liha eutra e os efeitos das tesões radiais, ver Hill (3). Baseado-se a teoria de vigas simples, a deformação ao logo da espessura da chapa pode ser expressa em termos do raio de curvatura e de sua posição y em relação à liha eutra como: y ε x = (1)

3 (a) (b) Figura 2. Geometria e distribuição de tesão a teoria de vigas simples. A Equação 1 implica uma distribuição liear da deformação ao logo da espessura. Esta aproximação é satisfatória quado os íveis de deformações são pequeos e quado o raio de curvatura é bem maior que a espessura da chapa. A distribuição da tesão ao logo da espessura é fução do modelo de material adotado. Para o caso elástico perfeitamete plástico (Figura 2b), o perfil de tesão é composto por uma região cetral y < c/2, cujo comportameto é elástico liear, e uma região as bordas, c/2 < y < t/2, cuja tesão correspode à tesão de escoameto σ y. Já para o caso da lei de potêcia tem-se a mesma região elástica y < c/2 e a região plástica c/2 < y < t/2 com a tesão dada por: σ = Kε. 2.2 Previsão aalítica do retoro elástico Na previsão aalítica do retoro elástico assume-se que quado o carregameto a peça é cessado, o raio de curvatura sofre um aumeto de para f. Para uma fibra distate de y da liha eutra este retoro gera uma difereça de deformação ε x e como o descarregameto é assumido puramete elástico a difereça de tesão correspodete tora-se: 1 1 σ = = x E ε x Ey (2) f Quado o descarregameto é completo a mudaça o mometo fletor tora-se igual ao mometo extero aplicado iicialmete de forma que: 1 1 σ A x yda (3) f Ey yda = A De ode: 1 1 A x (4) f σ yda = EI z ode: I z correspode ao mometo de iércia da secção trasversal. No caso do material elástico perfeitamete plástico a Equação 4 é resolvida, coforme Al- Qureshi (4), para os itervalos correspodetes à parcela elástica, quado σ x =Eε x ode ε x é dado pela Equação 1, e plástica, quado σ x =σ y. Com isso a seguite relação etre os raios de curvatura é obtida:

4 f σ y = 1 3 te σ y + 4 te 3 (5) Já para o caso com ecruameto dado pela lei de potêcia o mesmo procedimeto forece: f σ y = 1 8 E 3 3K t 1 24K E ( + 2) E 2 ( + 2) + t 1 σ y te + 2 (6) As Equações 5 e 6 foram baseadas em simplificações impostas em um estado de deformação geral, implicado que o estado de deformação modelado seja o uiaxial. Quado a largura b da chapa é muito maior que sua espessura t, a hipótese de deformação plaa pode ser cosiderada. Neste caso o módulo de elasticidade E e a tesão de escoameto σ y as Equações 5 e 6 devem ser substituídos, para o caso do critério de escoameto de vo Mises, por: E E 2 1 υ 3 ' ' = 2 σ y = σ y (7) 3. MODELAGEM NUMÉICA As pricipais dimesões do processo de dobrameto modelado via Método dos Elemetos Fiitos são ilustradas a Figura 3. O comprimeto b, a largura L e a espessura t adotada para a chapa foram respectivamete 600 mm, 300 mm e 1 mm. O âgulo de abertura da matriz? cosiderado foi de 60. Para cada material estudado (elástico perfeitamete plástico e lei de potêcia), o raio do pução assumiu os valores de 15, 20 e 25 mm. Em ambos os modelos de material o módulo de elasticidade E adotado foi de 73 GPa, a tesão de escoameto σ y de 100 MPa e o coeficiete de Poisso υ de 0,33. O coeficiete de resistêcia K e o expoete de ecruameto da lei de potêcia cosiderados foram respectivamete 600 MPa e 0,23. Figura 3. Esquema do processo de dobrameto em V. Todos os compoetes foram modelados com elemetos do tipo SHELL com ove potos de itegração ao logo da espessura. Apeas um quarto do modelo foi cosiderado aplicado-se codições de cotoro apropriadas para satisfazer a simetria. Para o cotato etre os compoetes aplicou-se o algoritmo de cotato Pealty, Asys (5), com escolha de parâmetros adequados e com um maior refiameto de malha esta região. Na Figura 4 é mostrada a malha SHELL do cojuto matriz-chapa-pução expadida em seus plaos de simetria. Em todos os casos o atrito foi desprezado; e os materiais da matriz e do pução são cosiderados rígidos.

5 Pução Chapa Matriz Figura 4. Malha SHELL do modelo de elemetos fiitos. Na modelagem do dobrameto é imposto um deslocameto o pução de forma que ao fial do carregameto a chapa assuma a geometria do pução e da matriz sem que ocorra afiameto da espessura. Depois de efetuado o carregameto, um arquivo cotedo as compoetes de tesão os potos de itegração ao logo da espessura de cada elemeto é obtido. Estas tesões passam a compor o carregameto iicial para uma ova modelagem com a geometria da chapa atualizada a cofiguração deformada. Nesta etapa ovas codições de cotoro são aplicadas para permitir o retoro e o material da chapa é cosiderado puramete elástico. A previsão umérica do raio de curvatura fial f é realizada assumido a hipótese, coforme Marciiak et al (6), de que o comprimeto do arco AB a Figura 5, quado submetido ao mometo fletor M, permaece ialterado após o retoro elástico. (a) (b) Figura 5. Esquema da alteração do raio de curvatura (a) situação iicial e (b) situação após o retoro elástico Como o raio de curvatura iicial é assumido ser o raio do pução e os âgulos: α ates do retoro e β após o retoro são determiados a partir dos resultados uméricos, tem-se uma estimativa para o raio de curvatura fial f a partir da seguite relação: α = β (8) f Os resultado uméricos obtidos a partir da Equação 8 foram comparados e discutidos com os resultados obtidos a partir do modelo aalítico (Equações 5 e 6) coforme mostrado a seguir.

6 4. ESULTADOS E DISCUSSÕES A Figura 6 ilustra a distribuição da tesão equivalete de vo Mises a chapa com material dado pela lei de potêcia, para o pução com raio 20 mm. Este caso correspode ao fial do carregameto e pode-se otar que apeas a região cetral em cotato com o pução é que apreseta altos íveis de tesões atigido 270 MPa. A maior dificuldade esta etapa foi garatir a covergêcia da simulação devido ao cotato etre as partes. Figura 6. Tesão equivalete (Pa) ates do retoro. Depois de efetuado o carregameto, a geometria da chapa foi atualizada a cofiguração deformada e um arquivo cotedo as compoetes de tesão os potos de itegração ao logo da espessura de cada elemeto é aplicado como carregameto iicial em uma ova modelagem com codições de cotoro apropriadas para permitir o relaxameto da peça. A Figura 7 correspode a esta ova modelagem e apreseta a distribuição da tesão equivalete após o retoro elástico. Neste caso houve uma redistribuição das tesões e seus valores máximos dimiuíram para 95 MPa. Figura 7. Tesão equivalete (Pa) após o retoro. Os valores do raio de curvatura fial f obtidos a partir do modelo aalítico (Equações 5 e 6) e pelos resultados uméricos, via Método dos Elemetos Fiitos, são apresetados as tabelas a seguir. No caso da solução dada pelo modelo aalítico a hipótese de deformação plaa é cosiderada. A Tabela 1 correspode ao modelo de material elástico perfeitamete plástico. Neste

7 caso os resultados forecidos pelo modelo umérico sobreestimam os do modelo aalítico mas as difereças observadas etre eles são pequeas (da ordem de 1%). Pode-se também observar que o retoro é mais acetuado com o aumeto do raio de curvatura iicial. Tabela 1. esultados obtidos para o modelo de material elástico perfeitamete plástico. Modelo de aio iicial aio fial aio fial Material (mm) (aalítico) (umérico) (mm) (mm) Perfeitamete Plástico 15 16,01 16, ,84 22, ,95 28,12 Os resultados correspodetes ao modelo de material dado pela lei de potêcia são apresetados a Tabela 2. Neste caso os resultados uméricos subestimam os do modelo aalítico e as difereças observadas são da ordem de 13%. Pode-se também otar, comparado-se os resultados das Tabelas 1 e 2, a ifluêcia do modelo de material a previsão do retoro elástico. 5. CONCLUSÕES Tabela 2. esultados obtidos para modelo de material dado pela lei de potêcia. Modelo de aio iicial aio fial aio fial Material (mm) (aalítico) (umérico) (mm) (mm) Lei 15 17,34 16,03 de 20 24,05 22,20 Potêcia 25 31,24 28,43 A previsão acurada do retoro elástico em chapas dobradas via Método dos Elemetos Fiitos pode cotribuir para uma compesação do ferrametal aida a fase de projeto. Desta forma torase possível garatir uma tolerâcia de projeto sem as etapas de tetativa e erro evitado problemas a motagem fial de compoetes dobrados. O procedimeto umérico adotado o presete trabalho foi satisfatório a previsão do raio de curvatura fial de um dobrameto em V quado comparado com soluções aalíticas dispoíveis a literatura. Os resultados obtidos mostram a ifluêcia do modelo de material a previsão do retoro elástico idicado a ecessidade de se cosiderar um modelo elasto-plástico de ecruameto mais refiado com parâmetros adequados que represetem bem o comportameto do material. O mesmo procedimeto poderá ser aplicado o caso de geometrias mais complexas ode ão é possível uma solução aalítica. Para tal tora-se ecessário à realização de esaios experimetais, a serem realizados futuramete, para validar os resultados obtidos. 6. AGADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer ao Departameto de Egeharia Mecâica da Escola de Egeharia de São Carlos - EESC-USP, pela utilização dos recursos do LaMAC Laboratório de Mecâica Aplicada e Computacioal, e ao CNPq, Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico. 7. EFEÊNCIAS 1.DADAS, P. Stress-Strai elatioships i Bedig. I: AMEICAN SOCIETY FO METALS. Metal Hadbook : Mechaical Testig, Metals Park, Ohio, 1985, p

8 2.DADAS, P.; MAJLESSI, S.A. Plastic bedig ok work hardeig materials. Trasactios of the ASME, v. 104, p , aug HILL,. The Mathematical Theory of Plasticity. Lodo: Oxford Uiversity Press, AL-QUESHI, A.H. Processos e mecaismos da coformação dos metais. Istituto Tecológico da aeroáutica ANSYS. Theory referece. Asys Icorporated MACINIAK, Z.; DUNCAN, J. Mechaics of Sheet Metal Formig. Lodo: Edward Arold, SPINGBACK ANALYSIS OF SHEET IN BENDING POCESS BY FINITE ELEMENT METHOD Alexadre Tácito Malavolta Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. alexadr@sc.usp.br Mariao Eduardo Moreo Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. mmoreo@sc.usp.br Sérgio Herique Evagelista Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. toddy@sc.usp.br João Lirai Escola de Egeharia de São Carlos, Av. Trabalhador São-Carlese 400, CEP , São Carlos SP. lirai@sc.usp.br Hazim A. Al-Qureshi Uiversidade Federal de Sata Cataria, LabMAT, C.P. 476, CEP , Floriaópolis SC. hazim@materiais.ufsc.br Abstract. The bedig process of sheet metals, amog the metal formig processes, is oe of the most used i the metal-mechaic idustry. Therefore, through the predictio of the material behaviour durig the process, it is possible to detect the maufacturig problems that arise, leadig to low fial mechaical performace of the parts. I bedig of sheet profiles, usually the part udergoes a geometric distortio after its removal from the die. This effect, kow as sprigback, ca be harmful to the fial assembly with other parts. I this work the sprigback problem i bet sheet metals by usig Fiite Elemet Method is aalyzed. The umerical results are compared to aalytical solutios from the literature. The cotact problem ad boudary coditio are cosidered o the umerical model with the use of simplified hypotheses of aalytical models. Thus, the mai aspects ivolved i sprigback modelig of more complex parts are aalyzed, alog with discussio o the related problems ad obtaied results. Keywords: bedig, fiite elemet method, sprigback.