SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA NA ANÁLISE DINÂMICA DE UM PÓRTICO PLANO UTILIZANDO O MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

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1 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA NA ANÁLISE DINÂMICA DE UM PÓRTICO PLANO UTILIZANDO O MÉTODO DE NEWTON RAPHSON SOLUTION OF THE CHARACTERISTIC EQUATION IN THE DYNAMIC ANALYSIS OF A PLANE FRAME USING THE NEWTON RAPHSON METHOD Gustavo Alberto Aleadri, Adriaa Elisabete Limberger, Thiago Augusto Bertuzzo 3, Gustavo Herique Dalposso 4, Rody Jesus Medoza Fakhye 5 Recebido em 3 de ovembro de ; recebido para revisão em 7 de ovembro de ; aceito em de ovembro de ; dispoível o lie em 4 de dezembro de. PALAVRAS CHAVES: Estruturas de cocreto armado; Aálise diâmica de pórticos; Método de Newto Raphso KEYWORDS: Reiforced Cocrete Structures; Dyamic aalysis; Newto Raphso Method. RESUMO: A aálise estrutural em egeharia é de fudametal importâcia para o projeto correto e desempeho adequado ao logo da vida útil de uma estrutura. Avaliar o comportameto e defiir os parâmetros adequados evita, quase sempre, daos futuros e até mesmo dimiuem o impacto de desastres como sismos e terremotos, vedavais, etre outros. Acerca disso, o trabalho proposto apreseta o desevolvimeto de um algoritmo auxiliar a determiação de parâmetros cotribuites a aálise estrutural, sedo eles as frequêcias de vibração e os modos de vibração. Para isso, apreseta se um modelo umérico para a aálise diâmica de um pórtico plao. A solução da equação característica é obtida utilizado o método de Newto Raphso, programado em liguagem R. O sistema a ser aalisado é caracterizado por um pórtico plao de dois adares, supodo serem as vigas de rigidez ifiita. Determiam se a matriz de rigidez e a matriz de massa e calculam se as frequêcias de vibração, que tem por correspodetes os auto vetores, que são os modos de vibração da estrutura proposta. ABSTRACT: Structural aalysis i egieerig is crucial for proper desig ad correct behavior of structures. Correct evaluatio of the behavior ad set the appropriate parameters avoid, almost always, future damage ad eve reduce the impact of disasters like seism vibratios ad earthquakes, widstorms, ad others. From this, the proposed paper presets the developmet of a algorithm to calculate auxiliary parameters cotributig to structural aalysis, kow as vibratio frequecies ad mode of shapes. We preset a umerical model for dyamic aalysis of a plae frame. The solutio of the characteristic equatio is obtaied usig the Newto Raphso method, programmed i R laguage. The system uder cosideratio is characterized by a plae frame with two floors, supposig beams of ifiite stiffess. After the calculatio of stiffess ad mass matrix we obtai the frequecies of vibratio, which are associated to the eigevectors that represet the vibratio modes of the proposed structure. * Cotato com os autores: e mail : gustavoaleadri@hotmail.com (G. A. Aleadri) e mail : adriaa.limberger@hotmail.com (A. E. Limberger) 3 e mail : thiago_bertuzzo@hotmail.com (T. A. Bertuzzo) Graduados em Egeharia Civil da Uiversidade Tecológica Federal do Paraá (UTFPR) 4 e mail : gustavodalposso@utfpr.edu.br (G. H. Dalposso) Matemático, Mestre em Egeharia Agrícola e Professor MSc. Uiversidade Tecológica Federal do Paraá (UTFPR) 5 e mail : rody@utfpr.edu.br (R. J. M. Fakhye) Egeheiro Civil, Mestre em Egeharia Civil e Professor MSc. Uiversidade Tecológica Federal do Paraá (UTFPR) ISSN: 79 6 REEC Todos os direitos reservados.

2 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3). INTRODUÇÃO A Egeharia Estrutural é uma área da Egeharia Civil que trata da cocepção de projetos, plaejameto, costrução e mauteção de sistemas estruturais para moradia, trabalho, lazer ou trasportes (MAIA e BORGES, 5) e os materiais geralmete utilizados para cada tipo de empreedimeto compreedem o aço, o cocreto, a madeira, pedra, fibras e plásticos, aplicados de forma adequada coforme as especificações do projeto. As estruturas são cocebidas de maeira a resistir a forças iteras e exteras, como o seu peso próprio, o peso dos objetos a serem suportados pela estrutura, as codições climáticas, solicitações coferidas durate a sua vida útil e as vibrações. Face aos problemas de degradação que podem ser observados, durate as últimas décadas verifica se uma tedêcia mudial o que diz respeito à elaboração de projetos de egeharia que têm em foco à durabilidade e a extesão da vida útil das estruturas de cocreto armado. Desse modo, as vibrações podem ser caracterizadas como um problema que as estruturas possivelmete efretarão durate o seu período de vida útil, e cohecê las e cosiderá las os cálculos estruturais tora se uma tarefa elemetar (POSSAN, ). Além dos fatores citados ateriormete, esses cálculos iterferem diretamete a capacidade sustetável das edificações, uma vez que sedo maior seu tempo de vida útil, as reservas de matérias primas serão poupadas. Com essa preocupação, MEHTA () defede o desevolvimeto da capacidade de se projetar estruturas para 5 aos de vida útil, em vez de 5. Desta forma multiplica se por um fator a produtividade das reservas de muitas matérias primas comumete utilizadas o setor da costrução civil em todo o mudo. As vibrações são caracterizadas pelo movimeto oscilatório de um corpo em toro de um poto fixo e podem ser de caráter logitudial, flexioal ou torcioal. São classificadas também de acordo com a amplitude, frequêcia, comprimeto de oda, velocidade e meio de propagação. As vibrações podem ser ocasioadas, em Egeharia Civil, pelo risco geotécico, ou seja, o risco ode se verifique probabilidade de daos a edifícios e pessoas devido a problemas a iterface estruturaterreo (ou estrutura maciço rochoso). O maciço pode criar problemas a costrução de obras por vários motivos, como o iadequado plaejameto ou realização dos esaios de campo, jutamete com a difereça da geometria ou das propriedades do maciço, relativamete ao previsto o projeto, água subterrâea, propriedades adversas, etc. (LONGO e GAMA, 7). Outro fator que acarreta movimetos oscilatórios as estruturas são os sismos. Um sismo costitui a liberação de forma repetia de eergia em falhas de blocos rochosos ou as froteiras das placas tectôicas. Essa liberação é resposável pela geração e propagação de diversos tipos de oscilações o solo, que se atigem uma estrutura de cocreto, por exemplo, origiam comprometimetos, como fissuras, e em casos extremos, o rompimeto. Fatores climáticos também podem causar diversos tipos de vibrações sedo o fator mais comum o veto. Os efeitos do veto são de caráter diâmico, etretato a maioria das costruções esses efeitos podem ser substituídos por ações estáticas equivaletes. Em edificações esbeltas e flexíveis, pricipalmete aquelas com baixas frequêcias aturais de vibração (f <. Hz), os efeitos diâmicos devem ser cosiderados (CHAMBERLAIN apud HAUCH, ). Causadores específicos também podem ser citados quado se tratam de vibrações, como o uso de explosivo em escavações, utilização de equipametos pesados (cravadores de estacas e perfuradores), veículos de trâsito urbao quotidiao, etc. A aálise desses esforços como os sismos e a ação dos vetos pode ser realizada através da obteção e resolução da equação característica do sistema estrutural. Esse sistema pode ser caracterizado, quado para edifícios, em pórticos. Toda estrutura formada por barras viculadas etre si é deomiada pórtico espacial. Na prática, é possível isolar subcojutos do pórtico espacial e aalisá los como estruturas idepedetes, ligadas umas às outras por vículos, trasformado as em pórticos plaos. O pórtico plao é uma estrutura formada por barras coplaares e submetida a cargas também pertecetes a este plao. Após a obteção da equação característica através das matrizes características (rigidez e massa) e da frequêcia, é possível determiar com escolhida precisão os modos de vibração da estrutura. Neste trabalho, é utilizado o método de aproximação de zeros reais para fuções reais, defiido por Newto Raphso. Cohecedo os modos de vibração, é possível prever o comportameto da estrutura ao receber diferetes tipos de esforços, podedo assim preveir iadequações estruturais.. OBJETIVOS O presete trabalho tem por objetivo propor um algoritmo em liguagem R para estimar os zeros

3 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) reais de fuções reais a solução da equação característica a aálise do comportameto diâmico de um pórtico plao quado submetido à ação de vibrações mecâicas. 3. MATERIAIS E MÉTODOS Do poto de vista aalítico, é coveiete dividir cargas determiísticas em duas categorias básicas: periódicas e ão periódicas. Algumas formas típicas de cargas prescritas e exemplos de situações a qual tais cargas podem ser desevolvidas são mostradas a Figura DINÂMICA DE ESTRUTURAS A diâmica diz respeito ao movimeto e suas causas. Sedo assim, diâmica de estruturas é a parte que estuda o que as ações da atureza causam a estrutura e como ela reage. A aálise cosiste em quatificar os movimetos, velocidades, acelerações, esforços e tesões que ocorrem a estrutura, variado com o tempo. (BEER et al., ). Três tipos de força são os mais decorretes as estruturas: a força restauradora, a força dissipativa e a força de iércia. A força restauradora, que é a força que age sobre a estrutura de forma a recuperar o seu formato origial, apreseta se diretamete proporcioal ao seu deslocameto. Essa força é descrita pela Lei de Hooke, defiida pela Equação : F k x Eq.[] Em que o esforço produzido é diretamete proporcioal à distâcia percorrida e pela rigidez da mola. A força de dissipação é observada quado ocorre a perda de eergia pelo atrito itero da estrutura (atrito etre barras, barras e parafusos). Já a força de iércia é a força que o corpo tem de resistir ao movimeto e é baseada a seguda Lei de Newto, coforme a Equação : F ma Eq.[] Na qual a força produzida sobre um corpo de massa m é diretamete proporcioal à sua aceleração a (BEER et al., 6). Algus fatores que levam a estrutura a ter movimetações são: sismos, vetos, movimetação de pessoas (automóveis) e equipametos de costruções e idustriais (britadeiras, moihos). De acordo com CLOUGH e PENZIEN (995), praticamete qualquer tipo de sistema estrutural pode ser submetido a cargas diâmicas determiísticas e ão determiísticas durate o seu tempo de vida. As cargas diâmicas determiísticas podem ser caracterizadas pela codução direta de deslocametos ao logo do tempo a partir de um carregameto cohecido e variável o tempo, por outro lado, se a variação de tempo ão é completamete cohecida, mas pode ser defiida o setido estatístico, o carregameto é determiado diâmico ão determiístico, ou aleatório. Figura : Características e origes de cargas diâmicas típicas: (a) harmôico simples; (b) complexo; (c) impulsivo; (d) loga duração. Fote: CLOUGH e PENZIEN (995). 3. VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS Um carregameto diâmico cosiste em qualquer tipo de carregameto cuja magitude, direção e/ou posição varia o tempo. Em geral, a resposta estrutural a qualquer carregameto diâmico é expressa basicamete em termos dos deslocametos da estrutura (CLOUGH e PENZIEN, 995). No caso estudado esse trabalho, o carregameto aplicado é de caráter diâmico, pois os deslocametos da estrutura depedem ão só do esforço estático, mas também das forças ierciais. Para um sistema sem amortecimeto, a equação goverativa do movimeto em vibração livre de sistemas lieares com múltiplos graus de liberdade é defiida através da Equação 3: M ü Ku Eq.[3] Em que M é a matriz de massa, K é a matriz de rigidez, ü é a aceleração do movimeto e u é o deslocameto. O deslocameto, e cosequetemete a aceleração, são depedetes do tempo. A equação de vibração livre, portato, para um sistema ão amortecido um dos modos de vibração aturais é dada pela Equação 4: u t q t Eq.[4]

4 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) 4 Ode ivariate o tempo e é o modo de vibração atural q t é a variação dos deslocametos com o tempo. Defiido a variação com a Equação 5: q t A cos t B si t Eq.[5] Substituido a equação goverativa obtémse a Equação 6: u t A cos t B si t Eq.[6] Visivelmete, apreseta se como solução trivial. Daí exprime se que o problema de valores e vetores próprios é defiido utilizado a Equação 7: K M Eq.[7] Por outro lado, as soluções ão triviais só poderão ser obtidas obedecedo a Equação 8: detk M Eq.[8] Fialmete, expadido se o determiate, obtém se um poliômio de ordem e, sedo defiido por frequêcia atural de vibração. A equação, determiada equação característica, possui raízes reais positivas, pois as matrizes de massa e rigidez são simétricas e positivas defiidas. Quado a equação é cohecida, como o caso estudado esse trabalho, é possível determiar o vetor correspodete modo de vibração atural. 3.3 O MÉTODO DE NEWTON RAPHSON De acordo com RUGGERIO e LOPES (8), seja f (x) uma fução cotíua em [ a, b], o itervalo que cotém uma raiz da equação f ( x). O método de Newto Raphso cosiste em trasformar essa equação em uma equação equivalete x (x) a partir de uma aproximação iicial x e gerar uma sequêcia { x k } de aproximações para pela fução de iteração (Equação 9): Eq.[9] ( x k ) x k O que o método de Newto faz, a tetativa de garatir e acelerar a covergêcia, é escolher para fução de iteração a fução (x) tal que ( ) utilizado o coeficiete agular da reta que passa pela aproximação iicial. Coforme apresetado pelo cojuto de Equações a 4. ) f '( x ) x f ' x y f ( x x Eq.[] Se y, etão: 'x x f Eq.[] ( x ) f '( x) x f x x f ( ) f '( x) x f ' x Eq.[] f ' x x f ( x ) x Eq.[3] f '( x ) f '( x ) f ( x ) x x. Eq.[4] f '( x ) Nessas codições, a covergêcia do método é válida se, e somete se f (x), f '( x) e f ''( x) forem cotíuas em. Etão, cotedo tal que se x, { k } x (CHAPRA e CANALE, 6). Utilizado se recursos computacioais, pôdese programar essa metodologia em liguagem R para estimar os zeros reais de fuções reais (TORGO, 6). 3.4 ALGORITMO PARA DETERMINAR ZEROS REAIS DE UMA FUNÇÃO REAL PELO MÉTODO DE NEWTON RAPHSON O algoritmo apresetado o Quadro cosiste em defiir uma fução f (x) qualquer e plotar seu gráfico a fim de determiar a aproximação iicial x da raiz da equação. Na etapa seguite, defie se a derivada f '( x) e realizam se as iterações. Equato a imagem da aproximação x for maior que o erro z, a fução toma uma ova aproximação, que foi calculada ateriormete, e os critérios de parada cotiuam sedo testados. Atigido esse critério, são mostrados em tela a aproximação, o úmero de iterações realizadas e o valor da fução a aproximação. Quadro : Algoritmo utilizado para estimar os zeros reais de fuções reais #. Defiido a fução f< fuctio(x){f(x)} #. Exibido o gráfico da fução para determiar a aproximação iicial plot.ew() plot(f,5,5,col="blue") ablie(v=,col="black") ablie(h=,col="black") #. Defiido a derivada da fução g< fuctio(x){f'(x)} #3. Algoritmo ewto< fuctio(x,z){

5 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) Quadro : Algoritmo utilizado para estimar os zeros reais de fuções reais (cotiuação). iteração< aproximação< x while(abs(f(aproximação))>z){ ova_aproximação< aproximação ((f(aproximação))/(g(aproximação))) iteração< iteração+ aproximação< ova_aproximação } prit("aproximação") prit(aproximação,digits=) prit("número de iterações") prit(iteração) prit("valor da fução a aproximação") prit(f(aproximação),digits=) } #Teste com aproximação iicial x e erro z ewto(x,z) 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 4. ANÁLISE DINÂMICA DE UM PÓRTICO PLANO Para a aálise diâmica proposta pelo presete trabalho, cosidera se um pórtico plao de dois adares, como apresetado a Figura, de vigas supostas de rigidez ifiita, com módulo de elasticidade E igual à. 7 kn/m. Esta aplicação é adaptada de DELGADO e ARÊDE (). quatidade de pavimetos da estrutura, defiida por meio das Equações de 5 a 9. Para sua determiação, devem se cosiderar deslocametos uitários em um pavimeto e fixar o outro (Figuras 3 e 4). Figura 3: Primeira etapa para a obteção dos elemetos da matriz de rigidez do pórtico plao. 5 Figura 4: Seguda etapa para a obteção dos elemetos da matriz de rigidez do pórtico plao. EI K KN / m Eq.[5] 3 l K KN / m Eq. [6] K KN / m Eq.[7] K 4KN / m Eq.[8] Figura : Pórtico plao utilizado para o estudo. 4.. Determiação da matriz de rigidez Para a obteção da equação característica, deve se primeiramete determiar as matrizes de rigidez e massa da estrutura a ser aalisada. A matriz de rigidez é uma matriz quadrada, de ordem igual à K Eq.[9] Determiação da matriz de massa A matriz de massa cosiste em uma matriz diagoal, de ordem igual à quatidade de pavimetos da estrutura, em que as massas de cada pavimeto são

6 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) 6 iseridas a diagoal pricipal, defiida por meio das Equações e. 6 m i 6, 33to 9.8 Eq.[] 6.33 M 6.33 Eq.[] A equação característica pode ser obtida, etão, pela relação K M, coforme pode se observar as Equações, 3 e K M Eq.[] detk M Eq.[3] Eq.[4] 4..3 Determiação das frequêcias de vibração As velocidades agulares e as frequêcias de vibração podem ser determiadas por meio das Equações 5 e 6. Como a equação tem domíio pertecete aos Reais para qualquer itervalo, assim como sua primeira e seguda derivadas, o algoritmo de Newto Raphso pode ser utilizado. Dessa forma, a partir do algoritmo apresetado o Quadro chegou se aos seguites valores para e : 6.76rad / s ; f. 7Hz 43.86rad / s ; f 7. Hz Eq.[5] Eq.[6] A Figura 5 apreseta o gráfico da fução característica e os resultados obtidos pelo método de Newto Raphso implemetado o algoritmo. Para cada (auto valor) existe um (auto vetor) que caracteriza a forma deformada da estrutura, defiido o modo de vibração do sistema. Como as frequêcias de vibração e são cohecidas, a equação característica pode ser resolvida para os correspodetes vetores de modo de vibração e. A metodologia empregada para a determiação de e pode ser observada as Equações de 7 a 3. Figura 5: Gráfico da fução da equação característica e resultados obtidos a partir do método de Newto Raphso para estimar os zeros reais da fução Determiação dos modos de vibração A determiação do primeiro modo de vibração, coforme apresetado a Figura 6, pode ser feita por meio das Equações 7, 8 e M K Eq.[7] Fazedo.. 68 tem se: Eq.[8]. Eq.[9].68

7 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) como uma boa alterativa a resolução de problemas relativos à Egeharia Estrutural. O problema proposto parece ser relativamete simples quado aalisado com somete dois graus de liberdade, etretato quado a avaliação estrutural passa a ser de mais de três pavimetos, as iterações matemáticas toram se mais oerosas. O algoritmo apreseta se, portato, viável para a resolução de problemas com as características ateriormete citadas. O método desevolvido assegura precisão umérica bastate apurada, o que cofere maior precisão os resultados obtidos, garatido maior cofiabilidade à aálise dos dados. 7 Figura 6: Primeiro modo de vibração do pórtico plao. A determiação do segudo modo de vibração, coforme apresetado a Figura 7, pode ser feita por meio das Equações 3, 3 e M K Eq.[3] Fazedo.. 68tem se: Eq.[3].68 Eq.[3]. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLF, J. T. Resistêcia dos Materiais Mecâica dos Materiais. 4. ed. Rio de Jaeiro: McGraw Hill Iteramericaa do Brasil p. BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; EISENBERG, E. R. Mecâica Vetorial para Egeheiros Diâmica. 7.ed. São Paulo: McGraw Hill Iteramericaa do Brasil p. CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical Methods for Egieers. 5. ed. New York: McGraw Hill p. CLOUGH, R.W.; PENZIEN, J. Dyamics of Structures. 3. ed. New York: McGraw Hill p. DELGADO, R.; ARÊDE, A. Aálise diâmica de sistemas com graus de liberdade.. Dispoível em: < ulo_9_.pdf>. Acessado em ov.. HAUCH, A. S. Aálise da Estabilidade Global de Estruturas de Cocreto Armado., 75 p. Trabalho de coclusão de Curso (Graduação em Egeharia Civil) Uiversidade Regioal do Noroeste do Estado do Rio Grade do Sul, Ijuí,. LONGO, S.; GAMA, C. D. Aálise dos Riscos Ieretes às Vibrações Trasmitidas às Estruturas. 7. Dispoível em: < Acessado em: ov.. Figura 7: Segudo modo de vibração do pórtico plao. 5. CONCLUSÃO A partir das aálises realizadas, pode se iferir que os ferrametais computacioais apresetam se MAIA, E. V.; BORGES, O. Uma Aálise de Desempeho dos Aluos de Egeharia Civil e Mecâica da UFMG a Aplicação dos Coceitos Básicos a Área de Estruturas. 5. Dispoível em: < /abrapec/vepec/coteudo/artigos//doc/p75.doc>. Acessado em: ov.. MEHTA, P. K. Reducig the Evirometal Impact of Cocrete. Cocrete Iteratioal, v.3,.,, 6 66 p. POSSAN, E. Modelagem da Carboatação e Previsão de Vida Útil de Estruturas de Cocreto em Ambiete Urbao., 65p. Tese (Doutorado) Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Porto Alegre,.

8 G. A. Aleadri, A. E. Limberger, T. A. Bertuzzo, G. H. Dalposso, R. J. M. Fakhye REEC Revista Eletrôica de Egeharia Civil Vol 6 º (3) 8 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacioais. ª. ed. São Paulo: Editora Pearso p. TORGO, L. Itrodução à Programação em R. 6. Dispoível em: < Itroducao a Programacao em R>. Acessado em: de ovembro de.

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