Incertezas de Medição e Ajuste de dados

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1 Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul Escola de Egeharia Egeharia Mecâica Icertezas de Medição e Ajuste de dados Medições Térmicas - ENG0308 Prof. Paulo Scheider pss@mecaica.ufrgs.br GESTE - Grupo de Estudos Térmicos e Eergéticos Agosto de 000; Revisão 00; 005-; 007-; 007- Porto Alegre - RS - Brasil

2 INCERTEZA DE MEDIÇÃO. Itrodução O processo de medição de feômeos físicos é uma trasferêcia da iformação etre um sistema fote e um operador que a utilizará essas iformações, através de sistema de medições (ORLANDO, 004). A iteração etre o sistema fote e o sistema de medição provoca a modificação das propriedades de ambos, o que será usado como vetor de trasferêcia da iformação desejada. A preocupação de realizar uma medição livre das ifluêcias dos sistemas de medição pode ser observada em exemplos simples, tais como a medição de temperatura de uma pequea massa de água em um reservatório por meio de um elemeto sesor ecapsulado ou de líquido em vidro, a vazão de um fluido que escoa em uma caalização com uma placa de orifício, etc... Para os casos citados, quais são as razões dessa alteração? Mesmo que o sistema fote ão seja alterado sigificativamete pelo sistema de medição, resta aida lembra que um sistema de medição tederá sempre a etrar em equilíbrio com o sistema fote, e a medição que se deseja realizar iicialmete pode ão ter levado em cota todos os feômeos relevates possíveis. Como resultado, o sesor poderá idicar uma leitura que ão é a do feômeo desejado, embora seja correta. Como exemplo, cita-se a leitura da temperatura do ar exterior sem proteção da radiação solar e a umidade relativa do ar com psicrômetros de bulbo seco e ú- mido expostos a fotes de calor. Os sistemas de medição podem ser empregados separadamete ou itegrados a um processo de cotrole de algum sistema. A figura a seguir mostra essas duas aplicações básicas, e é importate salietar que um sistema de medição sem fuções de cotrole apeas realiza a moitoração do processo. Variável física a ser medida sial de etrada sial do trasdutor sial modificado Cotrolador Trasdutor propriamete dito Estágio itermediário Idicador sial de calibração Calibração Alimetação Registrador Estágio fial Fig. - Esquema de um sistema de medição e cotrole (Fote: HOLMAN, 994) Segudo Holma (994), o sistema geral de medições pode ser dividido em três partes, que devem ser especificadas para satisfazer as seguites fuções: Trasdutor propriamete dito iterface etre o sistema fote e o de medições. Estágio itermediário modifica o sial direto, amplificado, filtrado ou tratado o sial para que uma saída coveiete seja obtida. É comum se trabalhar com siais em padrões idustriais (0 a 0 mv e 4 a 0 ma) ou com outras faixas de amplificação.

3 Estágio fial com fução de idicar, registrar ou cotrolar a variável. Tora dispoível ao operador o valor da gradeza física que está sedo medida O sistema de medição pode ser visto a forma de um sistema de aquisição de dados, cuja arquitetura é apresetada a próxima figura, complemetado os coceitos ateriores. Fig. - Arquitetura de um sistema de medição e cotrole (FONTE: LRiformática) Histórico dos sistemas moderos de medição e cotrole 60 - Sistemas Caros, Específicos para área militar e médica 70 - Sistemas Caros, Específicos e começo da popularização os laboratórios 80 - Itrodução do IBM PC e coseqüetemete cartões e popularização do mesmo 90 - Novas tecologias, ovos barrametos, popularização e baixos custos. Sistemas embutidos. YK - Desevolvimeto de ovos ambietes, ferrametas e computadores mais poderosos. Exemplos de feômeos aturais são apresetados a seguir: Físicos: Força, Pressão, Vazão, Temperatura, Deslocameto, Velocidade, Aceleração, Reflexão/Refração Elétricos: Potecial, Correte, Freqüêcia Químicos: ph, Cocetração de uma espécie, etc Nota-se que há dois camihos ligado os Feômeos Naturais e a Iterface com o Sistema Operacioal: um ascedete, que leva os dados ao sistema de aquisição e outro, descedete, que toma decisões e atua sobre o meio. Chama-se de trasdutor a iterface etre o sistema fote e o de medição, resposável pela trasformação da gradeza física a ser medida, existete uma forma de eergia, em outra gradeza mais facilmete mesurável. Existem dois tipos básicos de trasdutores:

4 - Ativo Dispesam eergia auxiliar para gerar seu sial de saída, sedo que para uma úica etrada, produz uma úica saída. Ex- termopares, sesores de cristais piezoelétricos, etc. - Passivo Necessitam de uma etrada adicioal para que o sial de saída produza a iformação ecessária. Ex- sesores de resistêcias de platia, extesômetros, etc. Os trasdutores e sesores podem ser: Termopares - saída em baixa tesão (mv), baixa sesibilidade, saída ão-liear, relação ruído/sial alta, altas temperaturas PT00 / PT000 - saída em resistêcia, baixa (00 Ohms), baixa sesibilidade, saída liear, médio ruído, médias temperaturas Termistor - saída em resistêcia, alta (kohms), alta sesibilidade, saída ão-liear, médias temperaturas Semicodutores - saída em correte ou tesão, altamete lieares Strai Gauges - saída em correte, baixa resistêcia (0,350/k Ohms), mediamete lieares Trasformadores de Tesão e Correte - saída em alta tesão ou alta correte, ão-lieares Sesores Piezoelétricos (Cristal) - saída em tesão, altíssima sesibilidade Relés - Saída ligado/desligado Células Fotoelétricas - Saída em alta/baixa resistêcia O codicioameto do sial é feito por meio de: Amplificação - um sial deve ser amplificado o máximo possível para atigir a escala do coversor A/D. Os gahos vão desde até (uv) Isolação - em algus casos, é ecessário por questões de ruído e seguraça Filtragem - o filtro remove os siais idesejados em qualquer medição Excitação - a excitação é a geração de tesão ou correte para medição de elemetos resistivos Liearização - a liearização pode ser realizada por hardware ou programa Resistor Shut A coversão de siais Aalógicos em Digitais (AD) e seu iverso (DA) tem as seguites características: Resolução em Bits Precisão (%) Erros: Liearidade, Deslocameto de Zero, Deslocameto com Temperatura Amostragem e Tempo de Coversão Multiplexação e Aquisição Simultâea (SSH) Faixa Diferecialidade Impedâcia de Etrada ou de Saída A iterface com o sistema operacioal é chamada geralmete de driver. Ela faz o acesso ao hardware, trasferido as iformações para o sistema operacioal através de E/S, Iterrupção, DMA, istruções especificas. É geralmete escrito em liguagem de máquia (assembly) e tora trasparete o trabalho do usuário, idepedete do hardware. O úcleo de decisão é o programa de aquisição de dados propriamete dito. Ele adquire a iformação, processa, toma a decisão, e a trasfere para outros blocos. Os programas são escritos pelo usuário ou fabricate, em liguages como: C/C++, Delphi, Basic, HP-VEE, LabView, DasyLab. Pode ser iterpretado ou compilado: o primeiro desevolvimeto mais rápido, mas desempeho meor. O segudo apreseta características opostas.

5 De forma auxiliar ao úcleo, tem-se o armazaameto em arquivos / baco de dados, com o uso de memória de massa e visualização local em moitores/displays A trasmissão de dados pode ser feita das seguites maeiras: RS-3 - idicado para trasmissão em distâcias de até 5 metros RS-4/485 - idicado para trasmissão em distâcias de até. km, mas existem recurso dos repetidores GPIB - trasmissão típica etre istrumetos e computador. Muito utilizado em laboratórios e máquias ATE (Automated Test Equipamet) Etheret - trasmissão de redes locais em alta velocidade Iteret - dados podem ser compartilhados etre localidades remotas Fieldbus / Profibus / CAN - protocolos de software que rodam sobre um meio físico Protocolos Proprietários - grades empresas Trasmissão de Dados sem fio - rádio-modems com distâcias de até 30km Fibra Ótica - distâcias de até 30 km A descrição de sistemas de medição passa pelo cohecimeto de algumas de suas características. As defiições expostas a seguir foram ecotradas em Orlado (004), INMETRO (995), Holma (994), etre outros. Faixa de medida (rage) Cojuto de valores da variável medida que estão compreedidos detro do limite superior e iferior da capacidade de medida ou de trasmissão do istrumeto Rageabilidade ou largura da faixa (rageability) É a relação etre o valor máximo e míimo, lidos com a mesma exatidão, a escala de um istrumeto. Alcace (spa) Difereça algébrica etre o valor superior e iferior da faixa de medida do istrumeto Exatidão (accuracy) É o grau de cocordâcia etre o valor verdadeiro e o resultado da medição. Algus defiem como o maior desvio da leitura de um sistema de medidas para uma etrada cohecida. Os erros evolvidos esta discrepâcia são ormalmete sistemáticos e radômicos. A exatidão de um istrumeto pode ser expressa de diferetes maeiras:. Percetual de fudo de escala (% FE). Percetual de spa (% do spa) 3. Percetual do valor lido (% VL) 4. Valor fixo Repetitividade - Defie o grau de cocordâcia etre resultados sucessivos obtidos. Nesta defiição ão importa quão perto ou loge do valor verdadeiro o resultado se ecotra, mas simplesmete como os resultados são repetidos para uma etrada costate. As codições de repetitividade icluem o mesmo procedimeto de medição, o mesmo observador, o mesmo istrumeto de medição, utilizado as mesmas codições, o mesmo local e a repetição um curto período. Ela pode ser expressa em fução das características de dispersão dos resultados. Um voltímetro digital que teha um deslocameto grosseiro de seu zero, pode ter uma repetitividade excelete e uma péssima exatidão. Esta última pode ser melhorada pela comparação do sistema de medições com um padrão. Mas

6 ão abaixo de sua repetitividade que é ierete ao sistema de medidas. Este somete pode ser melhorado a partir de um ovo projeto. Note-se que um aparelho ou sistema que apresete uma boa repetitividade pode ser visto como sedo preciso, mas todos os textos atuais a área de medições evitam o uso dessa palavra Reprodutibilidade - Defie o grau de cocordâcia etre os resultados das medições de um mesmo mesurado, efetuadas sob codições variadas de medição. As codições alteradas podem icluir o pricipio de medição, o método de medição, o observador, o istrumeto de medição, o padrão de referêcia, o local, as codições de utilização e o tempo. Ela pode ser expressa em fução das características da dispersão dos resultados. Assim, um teste realizado por dois diferetes laboratórios sobre o desempeho de um produto, pode apresetar diferetes resultados. Resolução - É o meor icremeto da variável a ser medida que pode ser detectada pelo sistema de medição. Não deve ser cofudido com exatidão, repetitividade ou sesibilidade. Sesibilidade - É a variação do sial de saída de um sistema de medição em resposta à variação da gradeza a ser medida. Um bom sistema de medição tem uma sesibilidade adequada a icerteza desejada. O valor de uma divisão de um istrumeto pode dar uma idéia bastate boa sobre sua repetitividade, que é itríseca ao seu projeto. Em pricípio, a ausêcia de iformações oriudas da calibração, isto é, comparação de seu desempeho com o do padrão e idiretamete reportado-se a escala da gradeza em questão, pode-se cosiderar a meor divisão como sedo igual a duas vezes o desvio padrão (ível de cofiabilidade de 95,45 %). Algus cosideram até a metade do valor de uma divisão para este idicador. Em pricipio, pode-se subdividir o valor de uma divisão em quatas partes forem desejadas e possíveis, até o limite da resoução do istrumeto, que está associada ao meor icremeto da gradeza medida a que o mesmo respode. Isto ão quer dizer que se teha aumetado a cofiabilidade da medida com o istrumeto citado. As flutuações aleatórias de leitura, associadas a sua repetitividade, podem ser maiores do que esta resolução, idicado que este procedimeto talvez seja desecessário. Etretato, quado se fazem várias leituras para uma mesma medição, com o valor verdadeiro estimado a partir da média etão calculada, este procedimeto pode ser justificado. A teoria estatística mostra que estes casos a icerteza da determiação da média é reduzida por um fator igual a raiz quadrada do úmero de medições usadas para a sua determiação. Teoricamete, quado o úmero de medições se toma muito grade, a estimativa da média se aproxima do valor verdadeiro µ chamado de média. Em outras palavras a icerteza da média se aproxima de zero. Na prática, o limite iferior desta icerteza é a resolução do istrumeto, dai justificado a subdivisão de do valor de uma divisão. Pode-se claramete ver que o úmero de medições realizadas determia a icerteza do processo metrológico. Assim, baixas icertezas de medição podem ser coseguidas com sistemas de medição de baixa repetitividade, desde que se aumete o úmero de leituras aleatórias. Ifelizmete, a prática, apeas uma medição é realizada de cada vez, o que faz com que istrumetos com alta exatidão (em relação a icerteza desejada) sejam selecioados para a tarefa metrológica. Zoa morta É a máxima variação de uma gradeza sem que provoque alteração a idicação ou sial de saída do istrumeto. Pode ser expressa em valores absolutos ou percetuais Histerese É idetificada quado a resposta de um sistema de medição é diferete segudo o setido da medição (aumeto ou dimiuição do valor lido), como pode ser visto a próxima figura. Duas curvas de calibração podem ser determiadas, uma para valores ascedetes e outra para descedetes. Assim, uma curva difereça etre os dois comportametos pode ser calculada, com icertezas que

7 icluem os desvios médios quadráticos de cada ajuste, idividualmete, além das icertezas do padrão e da variável em questão. Em operação, etretato, como ão se tem certeza se os valores são ascedetes ou descedetes, utiliza-se uma úica curva de caibração como represetativa da mesma, resultado um aumeto da icerteza da medição. Este efeito só pode se elimiado através da utilização de outros materiais, ou de uma modificação do projeto do sistema de medição. Trasdutores de pressão do tipo Bourdo apresetam muitas vezes este efeito. Fig. 3- Comportameto de histerese de um sesor (Fote: SILVA, 003) Comportameto estático e trasiete Supodo-se que um determiado sistema físico apresete uma variável que teha comportameto temporal, x(t), e que esse sistema possa ser represetado a forma diferecial como sedo d x d x dx a + a + K + a + a0x = F( t) () dt dt dt ode F(t) é uma fução imposta ao sistema. A ordem do sistema, segudo Holma (994), obedece a ordem da equação diferecial que o represeta. Dessa forma, o sistema de ordem zero é goverado pela equação a x = F( ) () 0 t o que idica que a fução x(t) será istataeamete levada à codição imposta por F(t), segudo a costate a 0, tal que F( t) x = (3) a0 ode /a 0 é chamada de sesibilidade estática do sistema. a a 0 O sistema de primeira ordem é descrito pela equação dx F( t) + x = (4) dt a 0

8 ode o termo a / a 0 tem dimesão de tempo e é chamado de costate de tempo do sistema. Se a euação aterior for resolvida para uma caso que represete uma mudaça súbita das codições da fução F, tal que F ( t) = 0 para t = 0 e F( t) = A para t > 0 O salto imposto ao sistema é dado pela difereça etre F ( t = ) F( t = 0). Impodo-se a codição x = x0 para t = 0, tem-se que x( t) A x A e t /τ = + 0 a 0 a (5) 0 O primeiro termo da equação represeta o valor de x para tempos ifiitos, i.e., para o regime permaete, equato que o termo de decaimeto expoecial represeta a resposta trasiete. Sabedo-se que / a = x, a equação aterior pode ser escrita a forma adimesioal, como segue A 0 x x ( t) x t /τ = e 0 x (6) Quado t = τ, o valor de x(t) correspoderá a 63, % do salto imposto ao sistema, e o tempo ecessário para atigir essa codição chama-se costate de tempo (time costat). Já o tempo para atigir 90% do salto imposto é dado por t / τ e = 0. (7) ou t =.303 τ, o que correspode ao tempo de subida (rise time). O tempo total ecessário para que o sistema estabilize a codição fial é usualmete dado por 5τ, já que e 5 = O comportameto diâmico do sistema é represetado a figura que segue costate de tempo t Fig. 4 Comportameto diâmico de um sistema físico ou de medição

9 . Icerteza de medição A gradeza física que é obtida através de um procedimeto experimetal é sempre uma a- proximação do valor verdadeiro da mesma gradeza. A teoria de erros tem como objetivo determiar o melhor valor possível para a gradeza, e quato esse pode ser diferete do valor verdadeiro. O melhor valor possível também é chamado de melhor estimativa ou valor experimetal do mesurado. A icerteza pode ser etão defiida como uma idicação de quato o melhor valor pode diferir do valor verdadeiro, em termos de probabilidades. Aida em outras palavras, a icerteza é um valor estimado para o erro, i.e., o valor do erro se ele pudesse ser medido ou se ele fosse medido. Itervalo de cofiaça P Nível de cofiaça, coeficiete de cofiaça ou simplesmete cofiaça P é a probabilidade P de que uma afirmativa esteja correta. Para o valor descohecido x, a afirmação 4 < x < 5, com cofiaça 90% diz que há 90% de chace de x assumir valores etre 4 e 5. Tomado-se o resultado de uma medição de pressão composta por 3 evetos ou dados, tem-se as seguites gradezas calculadas: média aritmética freqüêcia pressão (kpa) 0, 4 0,5 5 0,7 0,8 7 0,0 3 0, xi x = (8) desvio padrão para grades amostras / ( x i x) (9) σ = e o desvio padrão experimetal ou covecioal / ( xi x) (0) s = Assim, a média é de 0,7739 kpa e o desvio padrão 0,750 kpa. Pode-se associar à média uma icerteza dada pelo desvio padrão, e dizer-se que o valor lido de pressão p poderá estar a faixa 0,7739 kpa - 0,750 kpa < p < 0,7739 kpa + 0,750 kpa com 68,67 % de probabilidade Retomado a distribuição gaussiaa, observa-se que o desvio padrão σ represeta a probabilidade de que o resultado caia a faixa de ± σ o etoro a média com 68,67 % de chaces. Se for

10 desejável uma probabilidade de acerto maior, a faixa de icerteza deve ser aumetada, como mostra a tabela que segue Tab. Valores de cofiaça coforme o desvio padrão icerteza cofiaça σ 68,67 % σ 95,45 % 3σ 99,73 %,645σ 90,00 %,576σ 99,00 % =0,6745σ 50,00% Estes mesmos resultados podem ser vistos uma distribuição de freqüêcia acumulada, ode ν é o úmero de graus de liberdade, ou simplesmete o úmero de medidas. Idicação da icerteza Segudo o Guia para Expressão da Icerteza de Medição (ISO GUM, 993), as maeiras mais usuais para a idicação da icerteza de medição são: - icerteza padrão u É o resultado de uma medição expressa como um desvio padrão (68,7 % de cofiabilidade). Assim, u = σ () - icerteza expadida com cofiaça U A Icerteza expadida U é defiida como a gradeza que defie um itervalo em toro do resultado de medição com o qual se espera abrager uma grade fração da distribuição dos valores que possam ser razoavelmete atribuídos ao mesurado. Normalmete, o ível de cofiabilidade adotado é de 95,45 %, ou seja, dois desvios padrões quado a distribuição é ormal. Assim, a icerteza padrão u é multiplicada por um fator de abragêcia k coveiete. U = k u () Algus valores usuais são mostrados a tabela, multiplicado o desvio padrão σ. 3- erro provável O erro possível é um caso particular para cofiaça de 50%, o que correspode a 0,6745 σ 4- limite de erro L O limite de erro L é defiido de diversas maeiras. Cosiderado-se uma distribuição ormal de erro, pode-se assumir que seja o máximo erro admissível, que teoricamete ão é determiado, mas que a prática aceita-se a relação L = 3σ ou L=3u (3) mas que em outras situações pode ser fixado para outros múltiplos de u. O coceito de limite de erro também pode ser estedido para a avaliar icertezas de istrumetos, ode se escolhe a meor divisão da escala e esta é associada ao dobro do desvio padrão. Depededo da qualidade do istrumeto, o erro limite de calibração pode ser dado por por outros fatores de abragêcia aplicados ao desvio padrão.

11 Os itervalos de cofiaça da Tabela são válidos para grades amostras ou populações, ode o desvio padrão é aquele calculado pela Equação 9. Quado se tratam de dados experimetais, ormalmete recolhidos em úmero de evetos limitado, a amostra terá um desvio padrão calculado em relação a uma média que ão é idepedete dos dados, e por isso deve ser descotada do cojuto da amostra (Equação 0). A figura apreseta esse comportameto em fução de ν, e o desvio padrão da amostra passa a ser dado por Fig. 5- Níveis de cofiaça P em fução dos graus de liberdade ν (Fote: Vuolo, 998) Segudo o INMETRO, 995, o Erro é defiido como a difereça etre o valor calculado ou observado e o valor verdadeiro do mesurado. Como a maioria das vezes o segudo ão é cohecido, o erro ão pode ser determiado, mas sim estimado. Em casos especiais, quado se usa um padrão primário para a medida, o valor verdadeiro é cohecido por defiição. Existe uma classe de erros que pode ser recohecida imediatamete e elimiada. São os erros grosseiros oriudos de cálculo e medições. A fote destes erros é usualmete aparete, tato como potos experimetais obviamete icorretos, como resultados que ão estão suficietemete próximos dos valores esperados. Eles são corrigidos realizado a operação ovamete, desta vez corretamete. Uma outra classe de erro é chamada de erro sistemático e ão pode ser tão facilmete detectada. A aálise estatística ão é ormalmete útil, pois eles têm origem uma calibração mal feita do sistema de medições, ou em erros de iterpretação feômeo físico por parte do observador. A terceira classe de erros é cohecida por erro radômico ou aleatório, e pode ter diferetes e variadas origes: difereça etre a variação do feômeo e a capacidade de detecção do istrumeto, codições de cotrole do experimeto, variabilidade das codições do feômeo medido ou do istrumeto ou aida das codições ambietais, etc. Esta categoria de erros é de difícil idetificação, porém uma aálise estatística de vários experimetos mostra que muitas vezes eles seguem uma distribuição gaussiaa de probabilidade. E- xistem aturalmete exceções flagrates a regra. A probabilidade de se coseguir um certo úmero de cara ou coroa com uma moeda ão viciada segue uma distribuição biomial. A cotagem de partículas radioativas emitidas de um úcleo por uidade de tempo segue uma distribuição de Poisso, que é o limite de uma distribuição biomial quado o úmero de evetos idepedetes é muito grade, e a probabilidade de ocorrêcia de cada um é muito pequea. A distribuição retagular é caracterizada pelo fato de que a fução desidade de probabilidade é costate para um itervalo fiito bastate defiido em toro da média, sedo zero fora deste itervalo. Ela é usada quado ão existe muita iformação estatística sobre um determiado feômeo, ão se podedo privilegiar qualquer valor em relação a outro, em toro da média. Na distribuição triagular, seu valor segue

12 uma fução triagular este itervalo, sedo máximo a média, e zero fora do mesmo, sedo utilizada quado o ível de iformação estatística dispoível sobre o feômeo é um pouco melhor do que para a distribuição retagular. O ISO GUM, 998, sugere que quado ão existem muitas iformações estatísticas, a distribuição retagular e triagular devem ser usados. Mais aida, mesmo que as distribuições das variáveis idepedetes de uma fução ão teham distribuição ormal, a distribuição resultate pode ser aproximada pela ormal pelo Teorema Cetral do Limite. Sugere e justifica, também, que para o cálculo de icerteza, as compoetes aleatórias e sistemáticas possam ser tratadas da mesma forma. Deve-se aida distiguir os erros estáticos, que são observados em regime permaete e idicados por seu sial, e os erros diâmicos, característicos de medições trasietes, que represeta sempre um atraso do valor lido em relação ao comportameto real. Aida segudo a mesma fote, a icerteza de uma medição é uma faixa cetrada em toro do valor medido x e distate de dois desvios padrões (σ) ode se supõe que o valor verdadeiro da medida esteja a um ível de cofiabilidade de 95,45 % (distribuição ormal). Como o valor verdadeiro da medição ão é cohecido a maioria das vezes, ão tem setido referir-se ao erro, mas sim a uma faixa em toro do valor medido ode se supõe que o valor verdadeiro esteja. Rigorosamete, à luz da distribuição estatística, existe uma probabilidade, por meor que ela seja, de que o valor medido esteja ifiitamete afastado da média. Na prática isto ão acotece, mostrado que o modelo estatístico de distribuição dos erros ão é exatamete gaussiao, mas apeas uma boa aproximação. Assim, pode-se associar a uma medição os parâmetros determiísticos como o erro máximo da medição. O Guia para Expressão da Icerteza de Medição (INMETRO, 998), apreseta dois tipos de icerteza: Icerteza Tipo A - obtida pela aálise estatística de uma série de observações. Icerteza Tipo B - obtida por outros meios que ão a aálise estatística de uma série de observações. Uma distribuição Gaussiaa ecessita de dois parâmetros para a sua defiição: média e desvio padrão. Assim, estimado-se o desvio padrão de uma distribuição complexa e sua média, cohece-se o ível de cofiabilidade. Etão todos os esforços objetivam a estimativa da Icerteza Padrão. A Icerteza Tipo A é caracterizada pela aálise estatística de uma série de observações e ormalmete supõe uma distribuição Gaussiaa. Etretato, em muitos casos, as iformações estão dispoíveis de forma icompleta, sem a caracterização estatística ecessária, podedo iclusive estar dispoível de forma ão cietifica e subjetiva. A Icerteza este caso é chamada Tipo B. Maiores detalhes para o cálculo das icertezas do tipo B estão em aexo. Outras defiições importates são apresetadas o aexo desse material, seguido a portaria INMETRO o 064, de de abril de 003, o VIM Vocabulário Iteracioal de Termos Fudametais e Gerais de Metrologia, INMETRO, 995 e a ISO GUM Guia para Expressão da Icerteza de Medição, INMETRO Propagação da icerteza de medição ou icerteza combiada Coceitos básicos É muito comum a determiação de uma gradeza e de sua icerteza de medição a partir do cohecimeto de outras gradezas determiadas experimetalmete, jutamete com suas icertezas. O valor dessa ova gradeza Y seque uma relação fucioal do tipo ( x ) Y = f... (4) x

13 que é uma fução de variáveis estatisticamete idepedetes x até x. A icerteza associada a Y será calculada a partir das medições das gradezas associadas. x = x ± U (5) e a icerteza padrão u pode ser represetada como u = U / 3 (6) Icerteza padrão combiada Também chamado de Propagação da Icerteza de Medição, é um procedimeto ode se estima a propagação do desvio padrão de uma gradeza Y a partir do desvio padrão de suas variáveis depedetes x até x. Tomado-se a gradeza Y apresetada a Eq (7), defie-se a icerteza propagada U r, segudo Klie e McClitock (HOLMAN, 996), como sedo: V V U r = u u (7) x x As duas próximas figuras mostram esquematicamete o procedimeto. Fig. 6 - Propagação do desvio padrão de uma gradeza Y a partir do desvio padrão de suas variáveis depedetes (Fote: ISO GUM, 004) Fig. 7 - Propagação do desvio padrão de uma gradeza Y a partir de valores de amostras do desvio padrão de suas variáveis depedetes (Fote: ISO GUM, 004)

14 Um procedimeto alterativo está sedo proposto o suplemeto do Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet (ISO GUM Suppl. (DGUIDE 99998), 004), que trata de métodos uméricos para a propagação de distribuições. A última figura apreseta ovamete o comportameto das distribuições estatísticas das variáveis idepedetes X que comporão a fução Y. O método de Mote Carlo é usado para produzir um úmero muito elevado de cojutos de a- mostras semelhates àquelas mostradas a figura, e assim calcular a icerteza resultate da fução Y. Elimiação de potos (Critério de Chauveet) Uma amostra de dados pode coter valores espúrios ou duvidosos, que podem costituir erros graves. Para excluí-los judiciosamete emprega-se o critério de Chauveet, a uma amostra de evetos. O critério baseia-se em idetificar o maior desvio da amostra, o que implica em calcular o desvio d i de cada eveto em relação à media d = x x. O critério de elimiação depede do parâmetro d max / σ, e é dado por: i i d i d > max (8) σ σ ode d max é o maior desvio e σ o desvio padrão da amostra, experimetal ou aida covecioal. Os valores de d / σ são ecotrados a tabela que segue: max Tab. - Critério de rejeição de Chauveet (HOLMAN, 990 e ORLANDO, 004) úmero de leituras σ ras σ d úmero de leitu- max d max,5 5,3 3,38 0,4 4,54 5,33 5,65 30,39 6,73 40,49 7,80 50,57 8,86 00,8 9, ,4 0, , ,48 Icerteza de medição com várias replicações Quado um dado processo metrológico pode ser repetido com garatia de qualidade de sua execução, i.e., quado o processo obedece a um procedimeto rigoroso, o operador é bem treiado, os istrumetos são os mesmos e as codições ambietais são cotroladas e repetidas, etre outras codições, pode-se afirmar mais sobre a média x do processo. Nesse caso, é possível que várias amostras de dados do mesmo processo apresetem um valor médio bastate próximo, e etão se fala da icerteza de medição do valor médio, dado por kσ u _ = (9) x ode k é o fator de abragêcia.

15 4. Tamaho de amostras Fudametos A capacidade de uma amostra de seguir uma distribuição estatística acaba determiado sua classificação como grade ou pequea. As grades amostras são aquelas ode se pode verificar a desidade de probabilidade de forma defiida, seguido melhor as fuções de distribuição adotadas, o que ão se verifica as pequeas amostras. Grades amostras Não há uaimidade a idicação do úmero de evetos que defie uma grade amostra. A orma ASHRAE (975) idica 0 evetos (>0), equato que Triola (998) já idica 30 evetos (>30). Nas grades amostras, o valor médio _ x é a melhor estimativa da média populacioal µ, ou valor verdadeiro. Associa-se ao valor da média um itervalo de cofiaça, ou icerteza, que obedece a uma dada probabilidade. As equações para cálculo da média (Eq. 8), desvio padrão de uma grade amostra (Eq. 9) e de uma pequea amostra (0), e a icerteza expadida () são aplicáveis esse caso. A determiação do tamaho de amostra é dada pelo cálculo da icerteza da média (Eq. 9), ode é kσ = u _ x (0) Pequeas amostras- distribuição t de Studet Para amostras com úmero de evetos iferior a 30 ou mesmo 0, o valor do desvio padrão ão é mais cohecido estatisticamete, e passa-se a empregar a Equação 0, ode o úmero de e- vetos do deomiador - é cohecido por graus de liberdade ν. A subtração de um eveto uma pequea amostra pode ser compreedida pelo fato que a média é empregada para o cálculo de gradezas estatísticas, e portato está comprometida. Como o desvio padrão ão é cohecido, ão estamos mais tratado com uma distribuição gaussiaa. A distribuição que melhor se adapta para esse caso é a distribuição t de Studet, desevolvida por William Gosset ( ) que trabalhava para a cervejaria Guiess. Essa distribuição tem as seguites propriedades varia coforme o º de evetos tem forma simétrica (sio) aproxima-se da distribuição de Gauss para ν > 30 A icerteza do valor médio de uma pequea amostra é dada por t s w_ = () x ode t é o valor da distribuição para uma dada cofiabilidade e um úmero de graus de liberdade ν, s o desvio para um úmero de graus de liberdade ν, e é o úmero total de evetos da amostra.

16 Tabela 3 - Valores de t-studet para diferetes íveis de cofiabilidade ν Nível de cofiabilidade 68,7% 95,45% 99,73%,84 3,97 35,80,3 4,53 9, 3,0 3,3 9, 4,4,87 6,6 5,,65 5,5 6,09,5 4,90 7,08,43 4,53 8,07,37 4,8 9,06,3 4,09 0,05,8 3,96 5,03,8 3,59 0,03,3 3,4 5,0, 3,33 30,0,09 3,7 40,0,06 3,0 50,0,05 3,6,00,00 3,00 Deve-se observar que com este procedimeto, ao se estimar a icerteza de medição, a realidade o que se faz é estimar o desvio padrão da população a partir do desvio padrão da amostra, que subestima o primeiro. O valor estimado, portato, é o que se deve usar em futuras medições, com um úmero ifiito de graus de liberdade. A média da distribuição, também chamada de mometo de l a ordem, pode ser teoricamete calculada quado o úmero de termos da população é muito grade. O mesmo acotece para o desvio padrão, também chamado de mometo de a ordem. Etretato, para os casos reais, a amostra é fiita e o úmero de termos é pequeo. Deve-se portato determiar os parâmetros estatísticos de medição a partir de um úmero pequeo de valores. Assim, a média será estimada e ão determiada. Novamete, a estatística mostra que a melhor estimativa da média ( x ) e do desvio padrão da amostra (s) são dadas respectivamete pelas expressões 8 e 0 já apresetadas. A média a Equação x, isto é, diferecia- 8 pode ser determiada miimizado o valor de s a Eq. (0), em relação a ( ) do s em relação a ( x ), e igualado a zero. 5. Calibração de um istrumeto e ajuste de dados É o resultado da comparação do comportameto de um istrumeto em relação a um padrão. O padrão pode ser um poto físico cohecido, como o caso da calibração de termômetros de platia frete a uma cápsula de poto tríplice da água, por exemplo, ou por comparação com outro istrumeto já ateriormete calibrado. Segudo ORLANDO, 004, deve-se observar que as codições de calibração devem ser rigorosamete iguais às de utilização do istrumeto. Isto ão é feito a maioria das vezes, resultado em discrepâcias em relação aos valores de calibração, aumetado portato a icerteza da medição. Às vezes este feômeo é iterpretado como degradação do desempeho do sistema de medição, idicado valores bastate afastados dos supostamete verdadeiros. A calibração de um istrumeto pode ser seguida de um ajuste do mesmo para coformar sua resposta a valores ateriormete estabelecidos pelo fabricate. Muitos laboratórios ão se utilizam deste recurso, por acharem que este pode resultar uma maior resposabilidade e tempo gasto a calibração do istrumeto. Curvas podem etão ser forecidas, relacioado o valor idicado com o valor do padrão.

17 Curvas de ajuste O ajuste de dados experimetais é uma técica que permite a iterpolação de resultados ou dados, através de uma fução ajustada. Esse método também é chamado de regressão, que pode ser liear, poliomial, etc., depededo da escolha da fução de ajuste escolhida. A obteção da curva de regressão pode ser feita com a aplicação do método dos míimos quadrados, apresetado a seguir: Método dos Míimos Quadrados Supor uma amostra experimetal, composta de evetos x, x,... x. A soma dos quadrados de seus desvios, em relação à um valor médio x m, é dada por S = i= _ x i x () O método é baseado a miimização de S em relação a x m, de tal forma que S = 0 = ( xi xm ) = xi xm (3) _ i= i= x Quado a fução de ajuste escolhida for uma reta da equação () é dada por y = ax + b, a soma quadrática dos desvios S = ( yi ( axi + b) ) i= (4) e busca-se a miimização de S em relação a a e b, o que resulta em i yi ( xi ) ( yi ) x ( ) i xi a = x (5) ( yi ) ( xi ) ( xi yi ) ( xi ) x ( ) i xi b = (6) O desvio padrão do ajuste é dado por s = ^ yi y i / (7) ode ŷ é o valor calculado de y pala fução de ajuste. Se a fução de ajuste for um poliômio do tipo a + a x + a x a x 0, por exemplo, o a 0, a, a... a procedimeto se repete, e a miimização de S se faz em relação aos coeficietes

18 Avaliação da qualidade do ajuste Para que uma curva ou fução de ajuste seja cosiderada boa, os potos experimetais y i ão devem estar muito afastados dos potos calculados ŷ i, como também pode-se descofiar daqueles que estão absolutamete em cocordâcia com os potos calculados. Os critérios de avaliação da qualidade do ajuste buscam determiar o grau de verossimilhaça da curva ajustada em relação aos potos experimetais. (Vuolo, 998 ). As figuras que seguem são exemplos de ajuste e de sua qualidade (a) (b) Fig. 8- (a) ajuste com baixa qualidade, (b) ) ajuste com boa qualidade e (c) ) ajuste com baixa verossimilhaça (c) Tab.4 - dados das curvas de ajuste Curva º de potos Ajuste graus de liberdade (a) a+b x υ = 0 (b) a+b x +c x υ = 9 (c) a+b x υ = 0 A curva da fig 7.b represeta melhor os dados experimetais que a curva da fig 7.a. Na parábola, a flutuação dos potos experimetais em relação à curva ajustada é coerete com as icertezas experimetais. Na curva da fig 7.c, o acordo etre os dados e a curva ajustada é bom, mas a qualidade é ruim, pois a situação é iverossímil. É muito difícil ecotrar, a prática, um ajuste tão bom para uma icerteza de medição tão grade, o que deota que estas últimas foram superestimadas. Barras de icerteza Para se avaliar a qualidade de uma curva de ajuste calculada, é importate que se grafique a referida curva juto com os dados experimetais que a geraram. A fig. 4 apreseta essa situação, e o uso das barras verticais em cada dado experimetal idica a icerteza da medição. Se a curva ajustada passa pelo itervalo compreedido pela barra de icerteza, e se essa icerteza é de ±σ por e-

19 xemplo, isso sigifica que o dado experimetal tem cerca de 68,3% de estar cotido a curva ajustada. Essa avaliação é elemetar, mas pode ser um primeiro recurso para a aálise da qualidade do ajuste. Coeficiete de correlação r Quado se estabelece uma curva de ajuste, como y=a+bx por exemplo, emprega-se o coeficiete de correlação r para avaliar o grau de depedêcia das variáveis aleatórias x e y, de forma que r σ y, x = σ y ode / ( yi y m ) / i= σ y = e ( yi yi, c ) / (8) i= σ y, x = (9) Uma expressão empregado somatórios é dada pela equação que segue: xi yi xi yi [ xi ( xi ) ] yi ( yi ) [ ] r = (30) O teste de sigificâcia do coeficiete r é dado pelo valor H, que para uma reta com úmero de graus de liberdade (-) é dado por H = r (3) r que segue uma distribuição de Studet. Pode-se afirmar que r é sigificativo (r 0) a um ível de sigificâcia α, se H tα (3) / ν = χ reduzido Para uma fução f(x) que represeta o ajuste de um cojuto de dados experimetais, defiise o parâmetro χ (qui-quadrado) como [ yi f ( x ] i ) χ = (33) σ i= i e o parâmetro χ - reduzido (qui-quadrado reduzido) como

20 χ χ red = (34) ν O deomiador da equação idica a variâcia (quadrado do desvio padrão) etre o poto experimetal e a fução ajustada. Por tratar-se de uma quatidade estatística, é possível aida atribuir a probabilidade de χ - reduzido tem de ser ecotrado etre valores Q e Q, que correspodem aos limites do itervalo de um itervalo de cofiaça. A aplicação do teste do χ - reduzido se faz da seguite maeira: -Calcula-se o χ e com o valor de ν chega-se ao χ - reduzido - Procuram-se os valores de Q e Q os gráficos das figuras 5 (a) e (b), segudo o úmero de graus de liberdade ν. A fig. 5 (a) tem limites de probabilidade de % a 99% (98% de itervalo de cofiaça) e a fig. 5 (b) tem limites de probabilidade de 5% a 95% (90% de itervalo de cofiaça). 3- Cofrota-se o χ - reduzido do item com os limites Q e Q do item. Se o valor calculado estiver cotido em Q < χ red < Q, o ajuste é de boa qualidade. Fig. 9- Valores de Q e Q com íveis de cofiaça (a) 98% e (b) e 90%, em fução de χ - reduzido e do úmero de graus de liberdade

21 7. Referêcias Bibliográficas Holma, J.P., 994, Experimetal Methods for Egieers, McGraw-Hill, New York, 6 th ed. INMETRO, 995. Vocabulário Iteracioal de Termos Fudametais e Gerais de Metrologia, Istituto Nacioal de Metrologia, Rio de Jaeiro INMETRO, 998. Guia para a Expressão da Icerteza de Medição, Istituto Nacioal de Metrologia, Rio de Jaeiro ISO GUM Suppl. (DGUIDE 99998), 004. Guide to the expressio of ucertaity i measuremet (GUM) Supplemet : Numerical methods for the propagatio of distributios, Iteratioal Orgaizatio for Stadardizatio, Geebra ( ISO GUM, 993. Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremets, Iteratioal Orgaizatio for Stadardizatio, Geebra. ( Orlado A.F., 004. Aálise da Icerteza de Medição em um Processo Metrológico. Mestrado em Metrologia, Qualidade e Iovação, Departameto de Egeharia Mecâica, PUC-Rio, Rio de Jaeiro Triola, M.F., 998, Itrodução à Estatística, LTC-Livros Técicos e Cietíficos, Rio de Jaeiro Vuolo, J.H, 998. Fudametos da Teoria de Erros, Editora Edgard Blücher, São Paulo Silva, A.V., 003, Istrumetação Básica Aplicada a Sistemas de Gás, Curso de Pósgraduação em Utilizações do Gás Natural, Programa de Pós-Graduação em Egeharia Mecâica, Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Porto Alegre

22 ANEXOS : - Defiições de termos metrológicos As defiições abaixo estão de acordo com os seguites documetos: Portaria INMETRO o 064, de de abril de 003 VIM Vocabulário Iteracioal de Termos Fudametais e Gerais de Metrologia, INMETRO, 995. ISO GUM Guia para Expressão da Icerteza de Medição, INMETRO 997 Avaliação Tipo A da icerteza - Método de avaliação da icerteza pela aálise estatística de uma série de observações. Avaliação Tipo B da icerteza - Método de avaliação da icerteza por outros meios que ão a aálise estatística de uma série de observações. Calibração - Cojuto de operações que estabelece, sob codições especificadas, a relação etre os valores idicados por um istrumeto de medição ou sistema de medição ou valores represetados por uma medida materializada ou material de referêcia, e os valores correspodetes das gradezas estabelecidos por padrões. Classe de exatidão - Classe de istrumetos de medição que satisfazem a certas exigêcias metrológicas destiadas a coservar os erros detro de limites especificados. Correção - Valor adicioado algebricamete ao resultado de uma medição para compesar um erro sistemático. Codições limites - Codições extremas as quais um istrumeto de medição resiste sem daos e degradação das características metrológicas especificadas, as quais são matidas as codições de fucioameto em utilizações subseqüetes. Codições de referêcia - Codições de uso prescritas para esaio de desempeho de um istrumeto de medição ou para itercomparação de resultados de medição. Codições de base - codições especificadas para as quais o volume medido do líquido é covertido. Codições de utilização - Codições de uso para as quais as características metrológicas especificadas de um istrumeto de medição matém-se detro dos limites especificados. Deriva - Variação leta de uma característica metrológica de um istrumeto de medição. Esaio de desempeho - Esaio destiado a verificar se o sistema de medição sob esaio é capaz de cumprir as fuções para as quais ele foi previsto. Esaio de exatidão - Esaio destiado a determiar o erro do medidor ao logo da faixa de medição Erro aleatório - resultado de uma medição meos a média que resultaria de um úmero ifiito de medições do mesmo mesurado efetuadas sob codições de repetitividade. Erro de medição - Resultado de uma medição meos o valor verdadeiro do mesurado. Na falta deste último, utiliza-se o valor verdadeiro covecioal. Erro relativo - Erro da medição dividido pelo valor verdadeiro do mesurado. Na falta deste último, utiliza-se o valor verdadeiro covecioal. Erros máximos admissíveis - valores extremos de um erro admissível por regulameto, especificação, etc., para um dado istrumeto de medição. Erro de repetitividade - é a difereça etre o maior e o meor dos resultados de uma série de medições sucessivas de uma mesma quatidade, realizadas as mesmas codições. Erro sistemático - Média que resultaria de um úmero ifiito de medições do mesmo mesurado, efetuadas sob codições de repetitividade, meos o valor verdadeiro do mesurado. Na falta deste último utiliza-se o valor verdadeiro covecioal. Escala de um istrumeto de medição - Cojuto ordeado de marcas, associado a qualquer umeração, que faz parte de um dispositivo mostrador de um istrumeto de medição.

23 Exatidão de um istrumeto de medição - Aptidão de um istrumeto de medição para dar respostas próximas a um valor verdadeiro. Exatidão é um coceito qualitativo. A icerteza de medição é um dos parâmetros usados para sua quatificação. Fator de abragêcia - Fator umérico usado como multiplicador da icerteza padroizada combiada de modo a obter uma icerteza expadida. Neste estudo, será utilizado um valor igual ao parâmetro t-studet para um ível de cofiaça de 95,45 %, calculado para o úmero de graus de liberdade dos experimetos. Fator do medidor (meter factor) - Relação etre o volume verdadeiro de líquido que atravessa o medidor e o volume de líquido idicado pelo medidor. Faixa de idicação - Cojuto de valores limitados pelas idicações extremas. Faixa omial - Faixa de idicação que se pode obter em uma posição específica dos cotroles de um istrumeto de medição. Faixa de medição - Cojuto de valores de um mesurado, limitado pelos seus valores iferior e superior, para o qual admite-se que o erro de um istrumeto de medição matém-se detro de limites especificados. Graus de liberdade - úmero de medições meos. Icerteza de medição - Parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que poderiam ser razoavelmete atribuídos ao mesurado. Icerteza padroizada - Icerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio padrão. Icerteza padroizada combiada - Icerteza padroizada de um resultado de medição, quado este resultado é obtido por meio dos valores de outras gradezas, sedo igual à raiz quadrada positiva de uma soma de termos, sedo estes as variâcias ou covariâcias destas outras gradezas, poderadas de acordo com quato o resultado da medição varia com mudaças estas gradezas. Icerteza expadida - Gradeza defiido um itervalo em toro do resultado de uma medição com o qual se espera abrager uma grade fração da distribuição do valores que possam ser a- tribuídos razoavelmete ao mesurado. Istrumeto de medição - Dispositivo utilizado para uma medição, soziho ou em cojuto com dispositivos complemetares. Mesurado - Objeto da medição. Gradeza específica submetida à medição. Medição - Cojuto de operações que tem por objetivo determiar um valor de uma gradeza. Medidor padrão - medidor utilizado como padrão de comparação a calibração de outros medidores. Medidor padrão de trabalho - medidor padrão utilizado rotieiramete para calibrar medidores em operação os sistemas de medição. Medidor padrão de referêcia - medidor padrão, geralmete tedo a mais alta qualidade metrológica dispoível em um dado local ou em uma dada orgaização, a partir do qual as medições lá executadas são derivadas. Medição fiscal - Medição do volume de produção fiscalizada, efetuada um poto de medição de produção a que se refere o iciso IV do art. 3 do Decreto o 705 de 03/08/998. Quatidade míima mesurável de um sistema de medição - Limite iferior da faixa de medição. Quatidade máxima mesurável de um sistema de medição - Limite superior da faixa de medição. Razão etre os valores limites da faixa de medição (turdow ratio) - Relação etre o maior valor e o meor valor da faixa de medição. Repetitividade de resultados de medições - Grau de cocordâcia etre os resultados de medições sucessivas de um mesmo mesurado efetuadas sob as mesmas codições de medição. Resultado de uma medição- Valor atribuído a um mesurado obtido por medição

24 Reprodutibilidade dos resultados de medição - Grau de cocordâcia etre os resultados de medições sucessivas de um mesmo mesurado efetuadas sob codições variadas de medição. Sistema de calibração - Sistema composto de um medidor padrão de trabalho (ou provador em liha) e de dispositivos auxiliares e adicioais, ecessários para efetuar as operações de calibração de um medidor de fluidos. Sistema de medição - Cojuto completo de istrumetos de medição e outros equipametos acoplados para executar uma medição específica. Sistema de medição de petróleo em liha - sistema utilizado para determiar os volumes de produção de petróleo estabilizado, com meos de % de água e sedimetos. Trasferêcia de custódia - Trasferêcia legal e/ou comercial de um bem físico etre operadoras. Valor verdadeiro de uma gradeza - Valor cosistete com a defiição de uma dada gradeza específica. Valor verdadeiro covecioal de uma gradeza - Valor atribuído a uma gradeza específica e aceito, às vezes por coveção, como tedo uma icerteza apropriada para uma dada fialidade. - Cálculo das Icertezas de Medição do Tipo B Quado as iformações sobre o comportameto do sistema estão dispoíveis de forma icompleta, sem a caracterização estatística ecessária, podedo iclusive estar dispoível de forma ão cietifica e subjetiva, a icerteza de medição é classificada como Tipo B. Este cojuto de iformações pode icluir o seguite: Dados de medições prévias, sem caracterização estatística Experiêcia ou o cohecimeto geral do comportameto e propriedades de materiais e istrumetos relevates, especificado o limite superior e iferior do parâmetro Iformações do fabricate, com faixa de erro máximo, sem caracterização estatística Dados forecidos em certificados de calibração e outros certificados, represetado o comportameto médio, ou com iformações icompletas Icertezas relacioadas a dados de referêcia extraídos de mauais, como limites superiores de erros Normalmete os dados dispoíveis de erro ou de icerteza, sem o rigorismo estatístico, são apresetados sem caracterizar o ível de cofiabilidade. O Guia sugere etão que se utilize uma distribuição retagular (em lugar de Gaussiaa), o que tede a superestimar o desvio padrão de uma suposta distribuição Gaussiaa. Em algus casos, uma distribuição triagular pode ser utilizada. Se os dados forecidos idicarem o limite superior e iferior do parâmetro, pode-se cosiderar que o valor médio destes limites represeta o seu valor médio. A difereça etre estes dois limites pode ser cosiderada como igual a duas vezes a icerteza expadida (U) Tipo B do parâmetro, ormalmete com um ível de cofiabilidade de 95,45 %. Assim, se a iformação dispoível para uma medição puder ser descrita pela equação que segue A icerteza padrão (u) é defiida como o resultado de uma medição expressa como um desvio padrão. Pode ser calculada dividido-se a icerteza expadida (U) por quado a distribuição é ormal, e o ível de cofiabilidade é 95,45% (Icerteza do tipo A). Quado a distribuição é retagular, ela pode ser calculada dividido-se a icerteza expadida (U) por 3. Ou por 3, quado a distribuição é triagular. Estas duas distribuições são utilizadas quado o método de avaliação de icerteza é do tipo B.