UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA IM 317 METODOLOGIA PARA PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DE RESULTADOS

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA IM 37 METODOLOGIA PARA PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DE RESULTADOS PROF. DR. SÉRGIO TONINI BUTTON CAMPINAS - FEVEREIRO

2 IM 37 METODOLOGIA PARA PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DE RESULTADOS PROFESSOR SÉRGIO TONINI BUTTON - SALA EE 8 AULAS as feiras 9- - o semestre de. PROGRAMA Pricípios para o plaejameto experimetal; Coceitos de estatística: probabilidade, distribuições; Procedimetos para comparação das médias de dois tratametos: testes de hipóteses, itervalos de cofiaça; Determiação do tamaho da amostra; Codicioameto estatístico de dados experimetais; Plaejametos experimetais: completo aleatorizado por blocos, quadrados latios e grecolatios e plaejametos fatoriais; Metodologia de Taguchi AVALIAÇÃO Coceito a partir de avaliações por duas provas: Primeira prova: 3/4/ Seguda prova: 5/6/ Exame: 6/7/ BIBLIOGRAFIA BÁSICA. MONTGOMERY, D.C., "Desig ad Aalsis of Experimets", 3ª edição, Joh Wile ad Sos,.99.. DALLY, J.W., RILEY, W.F. e McCONNELL, K.G., "Istrumetatio for Egieerig Measuremets", Joh Wile ad Sos, ª edição, MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C., Applied Statistics ad Probabilit for Egieers, Joh Wile ad Sos, Apostila da disciplia.

3 - INTRODUÇÃO A idéia de escrever este texto surgiu da costatação de que muitos dos pesquisadores em Egeharia de Materiais ão cotam com uma metodologia para o plaejameto experimetal que seja ao mesmo tempo útil e simples. A dificuldade de lidar com termos e coceitos de outras áreas de estudo que ão a Egeharia de Materiais (como a Estatística e a Istrumetação) é somada ao problema iicial de defiir-se um modelo físico-matemático que represete de maeira adequada os feômeos que desejamos estudar. A respeito desse tema, GOULD (.993) escreve sobre a cofusão comum etre termos que apresetam setidos vulgares e cietíficos, bem como sobre a idéia de aleatoriedade: "... As difereças existetes etre várias defiições cietíficas e vulgares da mesma palavra forecem muitos exemplos deste frustrate feômeo. "Sigificâcia" em estatística, por exemplo, tem pouca relação com a acepção comum da palavra...mas, o mais sério de todos os mal-etedidos etre o setido técico e o vulgar é o que afeta os coceitos ligados à probabilidade, sobretudo as expressões ao acaso, acidetal e aleatório (ou radômico). Para a liguagem comum, um acotecimeto aleatório é um eveto que ão tem ordem, previsibilidade ou padrão. A palavra deota desagregação, desmembrameto, aarquia amorfa e medo. No etato, iroicamete, o setido cietífico de aleatório deota um cojuto de associações exatamete opostas. Qualquer feômeo goverado pelo acaso apreseta uma simplicidade, uma ordem e uma previsibilidade máximas - pelo meos o logo prazo. Se, por exemplo, estivermos iteressados em perceber as forças que estão por trás de um padrão de mudaça histórica em larga escala, a aleatoriedade será ossa maior esperaça de chegar a um modelo maximamete simples e maleável. Se jogarmos uma moeda ou um par de dados a cada segudo, dias a fio, chegaremos a uma distribuição de resultados rigidamete previsível. Com base o úmero total de laces, podemos prever as marges de afastameto de um resultado de meio a meio o caso da moeda, ou a porcetagem de setes que tiraremos com ossos dados. Quado o úmero de laces é bem grade, a mais simples das fórmulas matemáticas da teoria das probabilidades os permite chegar até estimativas precisas e a marges de erro defiidas para as freqüêcias e as extesões das séries... É claro que ão temos como prever o resultado de ehuma tetativa em particular e em saber em que mometo ocorrerá uma série de resultados iguais..." GOULD (993) - GOULD, S.J., "Dedo Midiho e Seus Vizihos - Esaios de História Natural", Compahia das Letras, São Paulo,.993, pp

4 GOULD é um paleotólogo que trabalha com evetos cuja base de tempo é geológica e cuja datação faz-se através do método radioativo e assim, pode cotar com aleatoriedade do decaimeto radioativo e datar um dado eveto com grade precisão, sem a ecessidade de correlacioar diversos fatores, fatos e variáveis para defiir quado ou como um dado eveto ocorreu. Já para os pesquisadores da Egeharia de Materiais, tal solução ão é possível, pois ão cotam em com um tempo dispoível elevado, em com a possibilidade material da realização de um úmero ifiito de esaios que permitisse tratar os evetos estudados como sedo de caráter simplesmete aleatório: testar todas as variáveis, em todas as faixas de valores possíveis, com um grade úmero de repetições. Assim, deve-se buscar um método que estabeleça as codições adequadas para a realização dos experimetos e para a avaliação dos resultados obtidos. - OBJETIVOS DESTA DISCIPLINA No iício de todo trabalho de pesquisa que evolva a realização de experimetos, sempre os pergutamos como esses experimetos devem ser coduzidos de forma que possam ser reproduzidos sob codições cotroladas, obtedo-se resultados cofiáveis e que se repitam essas codições. Preocupa-os todo o plaejameto experimetal (equipametos, istrumetos, materiais, úmero de esaios e codições de esaio), em suma: o que medir e como medir. Nesta disciplia aalisaremos dois aspectos do plaejameto experimetal: o delieameto de experimetos e a istrumetação ecessária para sua execução. O delieameto de experimetos tem como objetivo a determiação do úmero ideal de experimetos que leve à obteção de resultados com um dado grau de cofiabilidade. Talvez essa seja a resposta mais importate a situação comum de recursos fiaceiros e laboratoriais escassos: além da restrição de verbas, também os deparamos com restrições o uso de equipametos e facilidades, bem como com limitações de suas características operacioais. Como pesquisador evolvido há muitos aos com projetos de pesquisa experimetais teho observado que iexiste etre muitos pesquisadores uma metodologia adequada para a solução dessas questões. Como modelo comum, existe a solução de costruir-se uma matriz m x, ode m represeta o úmero de variáveis que defiem o problema e, o úmero de codições (valores) que se deseja atribuir a cada uma dessas variáveis. Para cada arrajo de variáveis e valores deomiado A m,, defie-se a realização de três experimetos (ode três é um valor 4

5 mágico que ormalmete ão ecotra justificativa estatística em termos de desvio-padrão admissível ou de cofiabilidade desejada). Em vários tópicos deste estudo serão utilizados coceitos de estatística porém, ão é objetivo fudametal desta disciplia abordar com profudidade tais coceitos, apresetadoos a medida em que se fizerem ecessários. Outro aspecto importate do plaejameto experimetal é a escolha adequada dos istrumetos que permitirão moitorar os experimetos e a sua fução mais iteressate, permitir a obteção dos resultados proveietes desses experimetos. O termo escolha reflete ão só a capacidade de especificar-se um dado istrumeto a fim de adquiri-lo, mas em muitos casos, defiir suas características operacioais ecessárias, projetá-los, costruí-los e aferi-los. A bibliografia básica para cosulta esta disciplia são os livros de DALLY (993) e de MONTGOMERY (99) e MONTGOMERY (994). Outras referêcias cosultadas para elaboração deste texto serão relacioadas quado citadas. 5

6 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE RESULTADOS - INTRODUÇÃO O plaejameto experimetal, também deomiado delieameto experimetal, represeta um cojuto de esaios estabelecido com critérios cietíficos e estatísticos, com o objetivo de determiar a ifluêcia de diversas variáveis os resultados de um dado sistema ou processo. Esse objetivo maior pode ser dividido em outros objetivos de acordo com o propósito dos esaios: a. determiar quais variáveis são mais ifluetes os resultados; b. atribuir valores às variáveis ifluetes de modo a otimizar os resultados; c. atribuir valores às variáveis ifluetes de modo a miimizar a variabilidade dos resultados e, d. atribuir valores às variáveis ifluetes de modo a miimizar a ifluêcia de variáveis icotroláveis; A seguir, destacam-se algus beefícios da utilização das técicas estatísticas de plaejameto experimetal: redução do úmero de esaios sem prejuízo da qualidade da iformação; estudo simultâeo de diversas variáveis, separado seus efeitos; determiação da cofiabilidade dos resultados; realização da pesquisa em etapas, um processo iterativo de acréscimo de ovos esaios; seleção das variáveis que ifluem um processo com úmero reduzido de esaios; represetação do processo estudado através de expressões matemáticas; elaboração de coclusões a partir de resultados qualitativos. O objetivo desta disciplia é apresetar uma metodologia estatística para o plaejameto experimetal e para a aálise dos resultados. É desecessário ressaltar que além desta metodologia, qualquer plaejameto somete será bem sucedido se o pesquisador cohecer com profudidade o problema (sistema ou processo) que deseja estudar. 6

7 Por exemplo, após uma dada operação de usiagem, como determiar o úmero de peças que devem ser cotroladas um lote? Qual a freqüêcia de cotrole através dos lotes? Que istrumetos empregar para esse cotrole? Qual o critério para aceitação ou rejeição das peças produzidas? Essas questões somete podem ser respodidas por quem teha um grau razoável de cohecimeto sobre a importâcia do cotrole para a cotiuidade do processo e para a qualidade das peças, e sobre a ifluêcia do processo, dos equipametos, do operador e do próprio cotrolador sobre os resultados desse tipo de aálise. Outro exemplo o qual o mesmo tipo de abordagem pode ser adotada: a preseça de "chevros" em eixos-pilotos forjados a frio. Nesse caso, fica claro a ecessidade de se cotrolar todas as peças de todos os lotes a fim de impedir que peças com esse defeito sejam ecamihadas à usiagem e tratameto térmico posteriores e fialmete, à motagem em caixas de trasmissão. O plaejameto experimetal é uma ferrameta essecial o desevolvimeto de ovos processos e o aprimorameto de processos em utilização. Um plaejameto adequado permite, além do aprimorameto de processos, a redução da variabilidade de resultados, a redução de tempos de aálise e dos custos evolvidos. No que se refere ao projeto de produtos, o plaejameto experimetal permite a avaliação e comparação de cofigurações (projetos) distitas, avaliação do uso de materiais diversos, a escolha de parâmetros de projeto adequados a uma ampla faixa de utilização do produto e à otimização de seu desempeho. Os coceitos descritos os dois parágrafos ateriores podem ser resumidos em três termos muito empregados atualmete: qualidade, produtividade e competitividade. 7

8 - PRINCÍPIOS PARA O PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL. - TÉCNICAS PARA DEFINIÇÃO DA SEQÜÊNCIA DE ENSAIOS Para que os resultados obtidos de esaios experimetais possam ser aalisados através de métodos estatísticos, possibilitado elaborar-se coclusões objetivas, o plaejameto experimetal deve ser baseado uma metodologia também estatística, que é a úica forma objetiva de avaliar os erros experimetais que afetam esses resultados. Há três técicas básicas para a defiição dos esaios um plaejameto experimetal: o uso de réplicas, da aleatorização (ou radomização ) e de blocos. A réplica cosiste a repetição de um esaio sob codições preestabelecidas. Esta técica permite obter-se uma estimativa de como o erro experimetal afeta os resultados dos esaios e se esses resultados são estatisticamete diferetes. Ela também permite verificar-se qual a ifluêcia de uma determiada variável sobre o comportameto de um processo, quado a comparação é feita pela média das amostras. Por exemplo, pretede-se verificar como a pressão afeta a velocidade de uma reação química. Realiza-se esaios em duas codições diferetes: p e p (com p> p ). Num primeiro plaejameto, realiza-se um esaio para cada codição, ou seja, sem réplica, obtedo-se velocidades v e v respectivamete, iguais a 9, e 9,5. Como afirmar que o aumeto da pressão acarreta um acréscimo de velocidade de reação? Tal resposta fica mais objetiva quado realiza-se um grade úmero de esaios (réplicas) de modo a miimizar o erro experimetal e poder comparar as médias dos resultados obtidos as amostras. A aleatorização ou radomização é uma técica de plaejameto experimetal puramete estatística em que a seqüêcia dos esaios é aleatória e a escolha dos materiais que serão utilizados esses esaios também é aleatória. Uma das exigêcias do uso da metodologia estatística para o plaejameto experimetal e para a aálise dos resultados é que as variáveis estudadas e os erros experimetais observados apresetem um caráter aleatório, o que é coseguido pelo emprego desta técica. Por exemplo, ao se defiir para o caso do exemplo aterior (ifluêcia da pressão sobre a velocidade de reação) três valores para a pressão e quatro réplicas para cada valor de pressão, teremos doze esaios, como mostrado a tabela. 8

9 Tabela Pressão Número dos Esaios p 3 4 p p3 9 Caso a seqüêcia estabelecida para os esaios fosse,, 3..., 9,, e, qualquer problema experimetal ão detectado (como por exemplo, um efeito de "warm-up" do istrumeto de medida de velocidade) poderia acarretar a ivalidação de todo o procedimeto experimetal. Ao se utilizar uma seqüêcia aleatória (por exemplo: 8, 5, 9,,, 3, 7, 4,,, 6 e ) os erros experimetais devidos a qualquer variável ão-cotrolável (como o "warm-up" do istrumeto) seriam distribuídos ao logo de todo o procedimeto, aleatorizado-o e permitido sua aálise estatística. A técica dos blocos permite realizar-se a experimetação com uma maior precisão, reduzido a ifluêcia de variáveis icotroláveis. Um bloco é uma porção do material experimetal que tem como característica o fato de ser mais homogêeo que o cojuto completo do material aalisado. O uso de blocos evolve comparações etre as codições de iteresse a experimetação detro de cada bloco. Na aálise com blocos, a aleatorização é restrigida à seqüêcia de esaios itera dos blocos e ão ao cojuto total de esaios. O uso de blocos pode ser aalisado o seguite exemplo: Supõe-se que ao realizar-se esaios de dureza, cada um dos dois peetradores dispoíveis para o durômetro estejam forecedo resultados distitos. Caso fosse feita uma aleatorização completa do cojuto de esaios, como o exemplo aterior, difereças sigificativas de propriedades etre materiais de diversas corridas de produção poderiam mascarar a ifluêcia dos peetradores. Assim, utiliza-se a técica de blocos. Escolhe-se materiais proveietes de uma mesma corrida e separa-se corpos-de-prova para serem esaiados com os dois peetradores. Desta forma, criou-se um bloco: um cojuto de corposde-prova escolhidos de forma a garatir a homogeeidade do material. A aleatorização detro desse bloco dá-se quado escolhe-se ao acaso a seqüêcia como cada corpo-de-prova será esaiado (primeiramete pelo peetrador o. ou vice-versa). 9

10 . - ETAPAS DO PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DE RESULTADOS Como já afirmado, além de domiar a metodologia estatística ecessária para o plaejameto e para a aálise dos dados, o pesquisador deve cohecer exatamete o que deseja estudar, como obter os dados, bem como ter uma estimativa qualitativa de como esses dados serão aalisados. Também é desejável, sempre que possível, o estabelecimeto de um modelo físico-matemático que estabeleça fuções que relacioem as diversas variáveis ifluetes o processo com os resultados que se deseja aalisar. A elaboração de um modelo físico-matemático, mesmo que aproximado, possibilita um plaejameto experimetal mais dirigido, defiido-se valores de estudo adequados para as variáveis, reduzido desta forma o úmero de esaios. MONTGOMERY (.99) idica um procedimeto para o plaejameto e para a aálise dos resultados:. recohecimeto e defiição do problema, como discutido o parágrafo aterior, que em grade parte depede da experiêcia já adquirida o estudo de processos semelhates;. escolha das variáveis (fatores de ifluêcia) e das faixas de valores em que essas variáveis serão avaliadas, defiido-se o ível específico (valor) que será empregado em cada esaio. Deve-se verificar como essas variáveis serão cotroladas os íveis escolhidos e como eles serão medidos. A avaliação itesiva de diversas variáveis pode ser ecessária quado o estudo ecotra-se em seus estágios iiciais e ão se detém uma experiêcia aterior, exigido a avaliação das variáveis em diversos íveis. Quado deseja-se verificar a ifluêcia de uma variável em particular, o úmero de íveis deve ser reduzido, além de mater-se as demais variáveis ifluetes em íveis tão costates quato possível. 3. escolha adequada da variável de resposta, de modo que se garata a objetividade a aálise dos resultados obtidos. O critério pricipal para essa escolha é de que o erro experimetal de medida da variável de resposta seja míimo, permitido a aálise estatística dos dados, com um úmero míimo de réplicas; 4. delieameto dos experimetos: tamaho da amostra (úmero de réplicas), seqüêcia de execução dos esaios, ecessidade de aleatorização ou do uso de blocos. Como afirmado ateriormete, a experimetação é um processo iterativo.

11 Pricipalmete em processos complexos, com diversas variáveis ifluetes, ão se deve partir de um cojuto exteso de experimetos, que evolva um grade úmero de variáveis, estudadas em diversos íveis. É mais produtivo estabelecerse um cojuto iicial com úmero reduzido de esaios (poucas variáveis, poucos íveis de avaliação), ir aprededo sobre o processo e aos poucos, acrescetar ovas variáveis e íveis e elimiar variáveis que ão se apresetem ifluetes. Com essa iiciativa, reduz-se o úmero total de esaios e o que é mais importate reserva-se os recursos para aqueles esaios realmete importates, que ormalmete ão forecem resultados objetivos as tetativas iiciais; 5. execução dos experimetos, moitorado-os e cotrolado-os. Essa etapa é extremamete importate pois garate a validade experimetal e exige do pesquisador um cohecimeto profudo dos istrumetos, equipametos e métodos de cotrole e moitorameto; 6. aálise dos resultados, com o uso de métodos estatísticos, a fim de que as coclusões estabelecidas sejam objetivas. Destaque-se que esses métodos ão permitem afirmar se uma dada variável apreseta ou ão um determiado efeito: eles apeas garatem a cofiabilidade e a validade dos resultados, de modo que se possa determiar o erro associado as coclusões, de acordo com um dado grau de cofiaça previamete estabelecido; 7. elaboração das coclusões e recomedações a partir da aálise dos resultados. As coclusões e recomedações permitirão que decisões sejam tomadas a respeito do processo em estudo. Uma documetação extesa, com o uso de gráficos e tabelas permite que se apresete os resultados obtidos, a aálise efetuada, bem como futuras repetições do procedimeto empregado. MONTGOMERY (.99) faz algumas recomedações sobre o uso de métodos estatísticos para o plaejameto experimetal: o cohecimeto técico específico, ão estatístico sobre o problema deve ser usado; o delieameto experimetal deve ser o mais simples possível; recohecer a difereça etre o que é sigificativo estatisticamete e o que é sigificativo a prática, seja idustrial ou de pesquisa e, recohecer que a experimetação é um processo iterativo.

12 j 3 - CONCEITOS DE ESTATÍSTICA Ao realizar-se uma série de esaios sob codições preestabelecidas, ormalmete observa-se uma variação de resultados de esaio para esaio. Essa variação deomia-se erro experimetal e é também um erro estatístico proveiete de codições de esaio icotroláveis. A existêcia deste erro caracteriza a variável de resposta como sedo uma variável aleatória, que pode ser discreta se apresetar um úmero fiito de valores possíveis, ou cotíua, se apresetar-se detro de um itervalo de valores. A probabilidade de uma variável aleatória é dada pela sua distribuição de probabilidade. Caso a variável seja discreta, essa distribuição é uma fução probabilidade p(), caso seja cotíua, passa a ser deomiada fução desidade de probabilidade f(). Na figura, represeta-se p(), para uma distribuição discreta, ode a fução represeta a probabilidade P da distribuição. Na figura, é mostrada f(), sedo P represetada pela área sob a curva um dado itervalo. Jutamete com cada figura, apreseta-se as propriedades de cada uma das probabilidades em cada caso. p( ) p( ) P( ) p( ) p( j ) todos j j j j para todos para todos j j 4 j Figura - Distribuição discreta.

13 f() P(a<<b) f ( ) P( a b) f ( ) d f ( ) d a b a b Figura - Distribuição cotíua A média (µ) de uma distribuição idica a locação ou tedêcia cetral dessa distribuição, sedo µ defiida como: µ p( ) todos se é discreta, ou µ f ( ) d se é cotíua Pode-se defiir µ como o valor médio esperado para um úmero elevado de esaios, ou seja E(), também deomiado operador do valor esperado. A variâcia σ represeta a dispersão de uma distribuição e é defiida como: σ ( µ ) f ( ) d se é cotíua, ou σ ( µ ) p( ) todos se é discreta A variâcia pode ser expressa usado o operador de expectativa E(), pois: 3

14 σ E[( µ ) ] Também pode-se defiir um operador de variâcia V() igual a V ( ) E[( µ ) ] σ A partir dos parâmetros µ, σ e c (costate), tem-se as seguites propriedades:. E(c) c. E() µ 3. E(c.) c.e() c.µ 4. V(c) 5. V() σ 6. V(c.) c.v() c. σ 7. E( + ) E( ) + E( ) µ + µ 8. V( + ) V( ) + V( ) +.Cov(, ) 9. V( - ) V( ) + V( ) -.Cov(, ). V( ± ) V( ) + V( ) σ + σ. E(. ) E( ).E( ) µ. µ. E E( ) E( ) Ode, e são variáveis aleatórias, com médias iguais a µ e µ e variâcias iguais a σ e σ. No caso das propriedades e, assume-se que essas variáveis sejam idepedetes. O parâmetro covariâcia ( Cov(, ) ) represeta a associação liear que existe etre as variáveis e. A covariâcia é dada por: Cov(, ) E[( - µ ). ( - µ )] Sedo que o caso de duas variáveis idepedetes, tem-se que Cov(, ). No caso do plaejameto experimetal, os resultados obtidos referem-se a uma amostragem, que se espera possam reproduzir o comportameto da população que represetam. 4

15 Como já discutido, os métodos estatísticos só podem ser utilizados se as amostras forem escolhidas aleatoriamete, ou seja, com a mesma probabilidade de serem retiradas da população que outras amostras. Qualquer fução relativa aos resultados de uma amostra e que ão coteha parâmetros descohecidos é deomiada fução estatística, como por exemplo as fuções média ( ) e variâcia (S ) da amostra. Elas são estimadores potuais, ou estimativas, respectivamete da média (µ) e da variâcia (σ ) da população. i i S ( i ) i ode,,..., represetam a amostra e é o úmero de elemetos da amostra. O desvio-padrão da amostra (S) é comumete empregado como medida de dispersão por apresetar uidade igual à das medidas ( i ). Exemplo: Um estimador potual ão deve, ecessariamete, ser distorcido ou parcial. Deve apresetar uma variâcia míima, ou seja, meor que a variâcia de qualquer outro estimador do parâmetro aalisado. Prove utilizado as propriedades da expectativa E (pg. ) que e S são estimadores ão-distorcidos de µ e σ, ou seja, que E( ) µ e que E(S ) σ. A expressão que determia a variâcia de uma amostra, tem como umerador: SS ( i ) i que é a soma corrigida dos quadrados das observações ( i ), ou seja, a soma dos quadrados das difereças -, -, 3 -,..., -. Como a somatória dessas difereças é igual a zero, somete - elemetos são idepedetes. Assim, SS tem - graus de liberdade, ou ν -, de modo que E SS σ ν 5

16 4 - DISTRIBUIÇÕES CA RACTERÍSTICAS DE AMOSTRAGENS Uma das distribuições de amostragem mais empregadas em técicas estatísticas para modelar experimetos aleatórios com úmero de réplicas elevado é a distribuição ormal f() ou distribuição de Gauss, defiida para uma variável aleatória, como sedo: ( / )[( µ )/ σ] f ( ) e - < < σ π com média - < variável aleatória, com média µ e variâcia σ. µ < e variâcia σ >. A expressão N(µ,σ ) represeta uma Uma distribuição ormal padrão é a que apreseta µ e σ. Seja uma variável com distribuição ormal, assim: z µ σ ode z N(, ) e a operação dada pela equação aterior é defiida como padroização de uma variável aleatória. No caso de uma amostra de tamaho retirada de uma população, seja fiita ou ifiita, que apreseta média µ e variâcia σ, se o valor médio da amostra é dado por, tem-se pelo teorema do limite cetral que: µ z σ / de modo que se, tem-se a distribuição ormal padrão. Os valores de z podem ser obtidos a tabela do aexo. Uma distribuição de amostragem bastate empregada é a chi-quadrado, ou distribuição χ : Se z, z, z 3,..., z k são variáveis aleatórias, ormalmete e idepedetemete distribuídas, com µ e σ [NID(,)], etão: χ k z + z z k ode χ k é uma variável aleatória que segue a distribuição chi-quadrado com k graus de liberdade. A fução desidade de chi-quadrado é: 6

17 ( k / ) χ / f ( χ ) ( χ ) e χ k / k Γ > A distribuição chi-quadrado é assimétrica e distorcida, com µ k e σ k. Seja uma distribuição ormal, ode,,.., represetam uma amostra retirada de uma distribuição N(µ,σ ). Tem-se que: SS σ ( i ) i σ χ Assim, SS/σ está distribuída como chi-quadrado e tem - graus de liberdade, ou seja, uma somatória de quadrados de variáveis aleatórias dividida pela variâcia, segue a distribuição χ. Outra distribuição bastate empregada é a distribuição t. Se z e χ k são variáveis aleatórias idepedetes respectivamete, ormal e chi-quadrado, etão a variável aleatória t k é dada por t k z χ / k k por e segue a distribuição t, com k graus de liberdade. A fução de desidade de t é dada [( k + ) ] < < [ ] Γ ( t ) t ( k + ) kπ Γ( k / ) ( t / k ) + f / com µ e σ k/(k-). Para k, a distribuição t tora-se a distribuição ormal padrão. Se,,.., represetam uma amostra aleatória retirada de uma distribuição N(µ,σ ), tem-se que µ t S é represetada por uma distribuição t com - graus de liberdade. Os valores de t podem ser obtidos a tabela do aexo. 7

18 Sejam duas variáveis aleatórias idepedetes χ u liberdade, respectivamete. A razão Fu, v χ χ u v u v e χ v, com u e v graus de segue a distribuição F, com u graus de liberdade para o umerador e v para o deomiador. A distribuição de probabilidade de F é dada por: h( F) u + v u Γ v u/ F ( u ) u v u v F + Γ Γ ( u+ v) / < F < Por exemplo, supoha-se duas populações com distribuição ormal e variâcias idêticas. Se retirarmos uma amostra de cada população, respectivamete,,.. e,,.., com - e - graus de liberdade, etão: ode S e S amostras segue uma distribuição F. Caso σ σ, tem-se que S S F, são as variâcias das amostras. Ou seja, a razão das variâcias das S F S σ σ S pois ( ) χ e ( ) σ Os valores de F podem ser obtidos a tabela 3 do aexo. S σ χ 8

19 5 - DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA Ao se obter os valores de e S para uma dada amostra, ão se cohece qual a cofiaça com que esses valores podem estimar respectivamete, a média e a variâcia da população de ode a amostra foi retirada. Tal descohecimeto deve-se ao erro causado pela amostragem. Esse erro pode ser determiado quado se esaia diversas amostras de uma dada população obtedo-se,, A variação dos valores de pode ser caracterizada como uma distribuição ormal. As médias de e de são iguais, porém, a variâcia de ( S ) é meor que S, desde que S S No caso de amostras pequeas (meores que ) DALLY (.993) idica o uso da distribuição t de Studet. Como a distribuição t depede do tamaho da amostra (), o valor de t pode ser usado para estimar de tal forma que se obteha uma estimativa da média da amostra para uma dada cofiaça. Se o comprimeto do itervalo de cofiaça for defiido como δ e usar-se a expressão para S,, tem-se: t S δ Pode-se cosiderar que δ represete a faixa tolerada para ecotrar-se os resultados de uma dada população. Exemplo: Seja uma amostra de eixos usiados que após terem seus diâmetros medidos apresetaram uma média 7,84 mm e um desvio-padrão S,64 mm. Se a precisão desta estimativa de µ deve ser de ± %, com uma cofiaça de 95%, o valor de δ pode ser obtido: δ (,).(7,84),57 mm Sedo, tem-se pela tabela da distribuição t, para ν 9 e α/,5%, t,9. Substituido a expressão para obter-se : [(,9).(,64)/(,57)] 64,6 Com o ovo valor de igual a 65, ou seja ν 64. 9

20 O procedimeto deve ser iterativo: primeiramete obtém-se, realizam-se ovos esaios, recalcula-se e S e obtém-se um ovo valor, repetido-se esse procedimeto até que a covergêcia de. 6 - CONDICIONAMENTO ESTATÍSTICO DE DADOS EXPERIMENTAIS Como mostrado, o erro de medida pode ser caracterizado por uma distribuição ormal com variâcia S e esse erro pode ser miimizado pelo aumeto do tamaho da amostra. Já o erro experimetal sistemático proveiete de falhas a leitura ou do desempeho do istrumeto, ão é uma variável aleatória e desta forma, ão pode ser avaliado por técicas estatísticas. Quado uma amostra, avalia-se que os resultados de uma ou mais réplicas são questioáveis, pode-se utilizar o procedimeto de Chauveet para rejeitar ou mater esses resultados a aálise da amostra. Tal procedimeto especifica que um dado deve ser rejeitado caso a possibilidade de obter-se o desvio-padrão relativo a esse dado seja meor que /. Por exemplo, se, tem-se que: / /,5, ou seja, a,5 e a/,5, ou a/,975, obtedo-se a tabela do aexo um valor de z,96, como tabelado a seguir. O critério cosiste o cálculo da razão de desvio-padrão DR para cada compoete i da amostra, ode DR i S posteriormete, compara-se com uma razão padrão DR, obtida da tabela abaixo em fução de : Número de Razão padrão Número de Razão padrão medidas () (DR ) medidas () (DR ),5 5,3 3,38 5,33 4,54 5,57 5,65,8 7,8 3 3,4,96 5 3,9

21 O compoete i será rejeitado se DR > DR e matido caso DR DR. Caso um compoete i seja rejeitado, ele será removido da seqüêcia e os valores de e S recalculados. Esse procedimeto somete ser aplicado uma vez para remover resultados questioáveis. Se muitos compoetes são rejeitados, é provável que a istrumetação seja iadequada ou que o processo estudado seja extremamete variável.

22 7 PLANEJAMENTOS EXPERIMENTAIS 7. INTRODUÇÃO Um dos objetivos do plaejameto experimetal é a otimização do úmero de esaios a ser realizado. Como visto ateriormete, esse úmero deve ser adequado de modo a miimizar os erros experimetais (aleatórios) mas também deve cotribuir para a viabilidade ecoômica e prática da experimetação. A seguir, apreseta-se algus plaejametos experimetais (também deomiados plaos) e procedimetos para sua otimização, de modo que sejam adequados para a obteção de dados experimetais. Para cada um desses plaejametos também apreseta-se a metodologia para a aálise dos resultados obtidos. 7. PLANEJAMENTO TOTALMENTE ALEATORIZADO Nesse plaejameto, os resultados são obtidos a partir de esaios realizados de forma aleatório, sem a defiição exata de uma variável de ifluêcia, ou de seus limites de aálise. Como exemplo, pode-se citar a aálise do peso médio (ou da idade média) de uma população a partir de iformações obtidas uma amostragem aleatória. Nesse tipo de plaejameto, pode-se verificar se a média ou a variâcia de uma população é igual a um dado valor, ou comparar as médias e variâcias de duas populações distitas. O teste de hipóteses e o itervalo de cofiaça são técicas úteis para a aálise de dados proveietes de esaios experimetais. Assume-se que o procedimeto experimetal foi totalmete aleatorizado e desta forma, os resultados formam uma amostra aleatória extraída de uma distribuição ormal Aálise das médias pelo teste de hipóteses Um teste de hipóteses cosiste a defiição de declarações (hipóteses) sobre os parâmetros de uma distribuição de probabilidade. Por exemplo, sejam µ e µ médias de duas amostras distitas. As seguites declarações são hipóteses possíveis: H : µ µ H : µ µ (também defiida como hipótese ula) (também defiida como hipótese alterativa)