PRÁTICAS DE LABORATÓRIO

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1 PRÁTICAS DE LABORATÓRIO TRATAMENTO E APRESENTAÇÃO DE DADOS EXPERIMENTAIS M. Ribeiro da Silva Istituto Superior Técico Departameto de Física

2 Ídice Itrodução Tratameto de dados experimetais e erros associados Erros das medições 1. - Distribuição ormal dos erros Erros e média aritmética Média, média quadrática, erro provável de uma medição Erro máximo (majorate) de uma medição Erros e precisão dos istrumetos de medida 1. - Registo das observações e apresetação dos dados Registos das observações, cálculos e algarismos sigificativos Represetação gráfica dos resultados Normas Tipos de papel para gráficos Barras de erro e rectâgulo de precisão Limite do erro de uma recta ajustada por potos (gráfico) Ajuste de uma recta a potos experimetais (aalítico) Istrumetos de medida Nóios lieares e circulares Multímetro aalógico Descrição do fucioameto Cotroles e precisão de operação Multímetro digital Descrição do fucioameto Medição de valores eficazes (RMS) Cotroles e precisão de operação Osciloscópio Fucioameto do tubo de raios catódicos (CRT) Sumário das fuções, modos de operação e cotroles do osciloscópio 8 Apêdice - Aspectos matemáticos do cálculo do valor eficaz, RMS 33

3 INTRODUÇÃO A física, um dos mais importates ramos do cohecimeto humao desevolveu-se como uma ciêcia fudametalmete ligada à experimetação. O primeiro passo para o estabelecimeto das leis da física é a observação. A observação cietífica ão é o etato uma tarefa fácil. Para o esclarecimeto das leis de um determiado feómeo físico é ecessário saber distiguir os seus elemetos pricipais e, se possível, modificar as codições em que se desevolve o feómeo isto é, passar da simples observação para a experiêcia cotrolada. Tora-se assim fudametal ecotrar características quatitativas do feómeo (que possam ser medidas) e estabelecer de que maeira, e com que aparelhos, mediremos estas determiadas características. Só depois podemos estabelecer leis quatitativas que demostrem como se modificará um dos parâmetros medidos em fução da variação dos outros parâmetros. Na sua defiição mais abragete, a experiêcia é uma parte ecessária em qualquer processo do cohecimeto cietífico que, a geeralidade, se pode cosiderar como dividido em três partes fudametais: 1. Cohecimeto - estudo primário do feómeo através da observação;. Geeralização - costrução da hipótese que ligará os resultados idividuais obtidos a observação, tato etre eles com outros resultados e leis já ateriormete cohecidas (a física fudametalmete quatitativas). Durate esta parte do processo do cohecimeto serão elimiados os factores de iterferêcia de maeira a salietar o verdadeiramete essecial o feómeo em estudo. Nesta altura são frequetemete ecessários dados complemetares para a obteção dos quais terão de ser feitas ovas observações ou laçadas ovas experiêcias; 3. erificação da veracidade da hipótese - experimetação em codições reais, cosiderado todos os factores secudários ateriormete elimiados. No caso de a resposta ser positiva esta verificação eleva a hipótese à categoria de teoria e as relações por ela estabelecidas à categoria de leis. Será cotudo errado cosiderar que com a verificação da hipótese pela experiêcia termia o processo do cohecimeto cietífico de um determiado feómeo. Passado algum tempo é possível que ovas observações, ovas experiêcias apareçam em cotradição com a teoria ateriormete desevolvida e obriguem a uma revisão do cojuto dos factos cohecidos, seguido ovos potos de vista. Este mecaismo possibilita o aparecimeto, uma dada fase do desevolvimeto cietífico, de uma teoria mais completa que por seu turo será substituída por outra mais avaçada e assim sucessivamete. O processo do cohecimeto desevolve-se cotiuamete. Daqui se pode cocluir que embora a experiêcia ão seja o úico meio ao alcace da ivestigação cietífica o seu papel é decisivo, sobretudo como fote e critério de veracidade. O experimetador tem por isso uma grade resposabilidade ão só a correcta obteção dos resultados mas também a própria iterpretação da experiêcia. O trabalho experimetal deverá ser orgaizado de tal maeira que ão só ão permita erros como ão permita diferetes iterpretações dos resultados obtidos. Mas a experimetação em física ão esgota todas as suas possibilidades o cohecimeto cietífico, pode também esteder a sua ifluêcia a outros campos da actividade humaa. O desevolvimeto da física é completamete determiado pelo desevolvimeto das técicas e tecologias do seu tempo mas o cotrário também é verdadeiro: o desevolvimeto de técicas e tecologias avaçadas, por sua vez, é só possível uma base de desevolvimeto das ciêcias exactas e, por coseguite, da física. Efectivamete, toda uma série de tecologias avaçadas foram criadas em resultado do desevolvimeto de diferetes domíios da física como, por exemplo, a eergia atómica, o laser e a microelectróica. Neste processo da peetração da física a tecologia à experimetação está atribuído o papel de árbitro ao possibilitar a verificação, em codições reais, da aplicabilidade das teorias a casos cocretos. Covêm aida salietar que a experimetação física também têm actualmete uma importâcia fudametal em muitas áreas mistas das ciêcias da atureza como a química, a biologia, medicia, electróica e ciêcia dos materiais. 3

4 1. TRATAMENTO DE DADOS EXPERIMENTAIS E ERROS ASSOCIADOS No iício de um curso de egeharia os trabalhos práticos de física tem uma fialidade dupla: primeiro, dar ao estudate a possibilidade de maipular aparelhos e istalações básicas de um laboratório equato adquire cohecimetos básicos de medições em física; segudo, dar a possibilidade de um cohecimeto mais profudo e ao mesmo tempo prático de certos feómeos e leis da atureza expostos os cursos teóricos. Os trabalhos do segudo tipo, embora teham uma compoete de medição, serão mais dedicados à discussão e estudo dos feómeos físicos evolvidos. Medir uma gradeza qualquer sigifica determiar quatas vezes uma gradeza semelhate, a uidade de medida, "cabe" ela. A medição directa de uma determiada gradeza em física é relativamete rara (um comprimeto com uma régua ou uma tesão com um voltímetro, p.e.). Na grade maioria dos casos ão é a gradeza a determiar que será directamete medida mas sim um cojuto de outras gradezas com ela relacioadas por relações e fórmulas cohecidas, derivadas das leis físicas do feómeo estudado. A aplicação a essas fórmulas dos valores medidos permitirá etão calcular o valor da gradeza a determiar. Por exemplo, a aceleração da força da gravidade poderá ser determiada através de uma formula ode figurem o comprimeto de um pêdulo e período de oscilação a partir das cohecidas fórmulas do pêdulo; a velocidade da luz poderá ser determiada pela difereça de fase etre dois raios laser, o emitido e o reflectido. 1.1 ERROS DAS MEDIÇÕES Os aparelhos de medida, por mais sofisticados que sejam, uca terão uma precisão absoluta. Por outro lado os ossos órgãos dos setidos são imperfeitos e as suas capacidades variam de pessoa para pessoa. Estes dois factores combiados levam a que todas as medições só poderão ser feitas com um certo grau fiito de precisão. Por isso os resultados das medições forecem-os ão o verdadeiro valor da gradeza a medir, mas somete um valor mais ou meos aproximado. Uma boa medida é aquela em que se atige a maior precisão permitida pelo aparelho ou istalação de medida utilizados. A precisão duma medida depede dos istrumetos utilizados e dos próprios métodos de medição e, estas codições tetar ultrapassar este limite de precisão seria um gasto de tempo verdadeiramete iútil. Num bom laboratório de física ão é difícil atigir precisões da ordem dos,1%, mas já as técicas de egeharia são aceites precisões da ordem de 1-4 % para muitos trabalhos. Em algus casos pode ser obtida uma precisão muito mais elevada: ao pesar um corpo com uma massa de cerca de gr uma boa balaça de laboratório é correte atigir-se um erro de,1 mg, isto é, uma precisão de,5%. Noutros casos 5% é já um bom resultado, por exemplo medir uma temperatura de um líquido que se ecotra a 1 C com um vulgar termómetro de álcool (valor da meor divisão da escala,5 C). Daqui podemos cocluir que mesmo ates de iiciar uma medição é coveiete idetificar os limites de precisão que poderão ser obtidos com os istrumetos utilizados. Se ao logo de uma experiêcia for ecessário medir gradezas diferetes com aparelhos de medida de íveis de precisão diferetes etão a precisão fial pode ser limitada pelos valores obtidos com o aparelho de meor precisão. Por exemplo, em medições calorimétricas a determiação da massa de água e do calorímetro pode ser feita por pesagem com uma precisão de ª,1%. Cotudo, este caso, podemo-os limitar a uma pesagem muito meos precisa (por exemplo,1%) uma vez que a medição da temperatura do calorímetro só poderá ser feita com uma precisão da ordem de 1 a %. Uma maeira de aumetar a precisão do resultado fial será efectuar as medições físicas ão uma vez, mas várias vezes para as mesmas codições experimetais. Com efeito, as medições e leituras cometemos sempre erros, mais ou meos importates. Estes erros, segudo a sua origem, são classificados em dois grupos: os erros sistemáticos e os erros aleatórios. Erros sistemáticos - são o resultado de causas permaetes como o estado deficiete ou má calibragem dos aparelhos de medida, icorrecção do próprio método de medida ou falhas regulares o processo de observação por parte do próprio experimetador. Regra geral dão sempre o mesmo resultado e é evidete que, sem mudar de método ou de aparelho, o aumeto do úmero de observações por um mesmo observador ão coduz à dimiuição destes erros. É 4

5 possível evitá-los (ou pelo meos dimiuir a sua ifluêcia) através de uma aproximação crítica do método de medida, da verificação do bom fucioameto dos aparelhos de medida e do cumprimeto rigoroso das regras de execução dos trabalhos. Erros aleatórios - acidetais, impossíveis de prever, podem ser devidos quer à imperfeição dos ossos órgãos dos setidos (imprecisão das leituras que ivolutariamete o experimetador possa itroduzir o trabalho) quer a flutuações de estabilidade o fucioameto dos próprios aparelhos de medida. Os erros aleatórios obedecem às leis da probabilidade. Isto sigifica que se uma qualquer medição o resultado obtido foi superior ao verdadeiro valor etão uma qualquer medição seguite teremos a mesma probabilidade de obter um resultado iferior ao verdadeiro. É evidete que este caso a repetição da mesma medição dimiui a ifluêcia dos erros aleatórios pois ão existe argumeto para que se possa cosiderar o desvio do valor verdadeiro mais provável para um lado do que para outro. Assim a média aritmética de um grade úmero de resultados é sem dúvida muito mais próxima do verdadeiro valor da gradeza medida do que a medição úica. A teoria das probabilidades permite calcular o erro provável do resultado médio (média) através dos desvios de medições idividuais em relação ao valor médio. Apresetamos em seguida um resumo de regras úteis para a determiação da precisão do resultado obtidos (erro provável). Sejam por exemplo N 1, N,, N k os resultados de k - medições idividuais de uma determiada gradeza. Etão o valor da média aritmética, N, N N + N + + N k (1.1) k represeta o valor mais próximo do verdadeiro valor da gradeza medida. Os desvios DN i de cada medição idividual em relação a este valor médio, isto é, as gradezas 1 L N-N 1 DN 1, N-N DN,, defiem os erros absolutos de cada medições idividual, em relação ao valor médio. Estes erros podem ter siais diferetes mas, de mometo, só os iteressam os seus valores uméricos absolutos. A média aritmética dos valores uméricos de erros idividuais - DN - tem o ome de erro médio absoluto de uma medição isolada, N 1 + N + L + N D N k k As relações DN 1 /N 1, DN /N, são defiidas como o erro relativo de uma medição isolada (os erros relativos são frequetemete expressos em percetagem), e fialmete a razão etre o erro médio absoluto DN e o valor médio da gradeza medida chama-se erro médio relativo da medição - E, (1.) DN / N ± E ou ± E. 1 (%) (1.3) Como já foi referido, os resultados fiais de um trabalho experimetal só raramete se obtém através da medição directa da gradeza física a determiar. Na grade maioria dos casos este valor fial é determiado através de uma fução em que etram as várias gradezas físicas medidas. Nesta situação os diferetes erros idividuais actuam etre si. Estamos a situação de propagação de erros e o erro fial pode ser de determiação complexa. Por exemplo, a determiação da gravidade terrestre pelo método das oscilações do pêdulo mede-se o período das oscilações simples, T, e o comprimeto do fio de suspesão, l, sedo o valor da aceleração g determiado como uma fução destes dois argumetos, combiados a fórmula l g p. T O erro de g será uma combiação ão evidete e em simples dos erros de p, l e T. Geeralizado, vemos assim a ecessidade de estabelecer regras que os auxiliem a determiação dos erros a atribuir a fuções elemetares de uma variável. 5

6 Determiação dos erros absoluto e relativo de fuções de uma variável (casos particulares): 1.- Fução expoecial Supohamos a fução N A, ode A represeta o valor medido e - um úmero exacto (iteiro ou real) e desigemos por DA o erro absoluto da gradeza A. Etão o erro absoluto da gradeza medida N será DN (A + D A) - A Desevolvedo a expressão e desprezado os termos DA com expoete igual ou superior a dois (uma vez que a geeralidade DA << A) obtemos a seguite expressão para o erro absoluto de N DN. A -1 D A (1.4) O erro relativo E da gradeza N será expresso por DN D E A (1.5) N A isto é, o erro relativo de uma fução expoecial será igual ao erro relativo do argumeto (valor medido) multiplicado pelo expoete da fução..- Fuções trigoométricas Cosideremos a expressão N si a, em que a represeta um valor medido de uma gradeza física. Sedo medido o valor do âgulo a está sujeito a erro e etão teremos N + DN si (a + Da) (1.6) ode Da represeta o erro absoluto da medida do âgulo a. Desevolvedo em série a expressão e cosiderado como ateriormete que o erro, Da, é pequeo temos cos Da ª 1 e si Da ª Da e, substituido a expressão (1.6) obtemos N + DN si a + cos a. Da e logo DN cos a. Da (erro absoluto) (1.7) e aida E DN/N ctg a. a (erro relativo) (1.8) De maeira aáloga é possível calcular os erros absoluto e relativo para as outras fuções trigoométricas Fuções compostas ejamos agora o caso de uma fução qualquer. Na geeralidade, os erros das medições são suficietemete pequeos quado comparados com as gradezas medidas e por este facto podem ser desprezados as suas potêcias de ordem superior à uidade (quadrados, cubos, etc.). Esta simplificação permite utilizar o cálculo diferecial a determiação dos erros de medição. Por exemplo, seja o valor N resultado da medição de uma úica gradeza x relacioada com N por uma relação fucioal: N f(x) (1.9) Supohamos também que o erro médio absoluto da medição de x é ±dx ; este erro produz um erro correspodete de ± N a gradeza a determiar. Assim N ± dn f(x ± dx) (.1) Decompodo em série de Taylor a expressão (1) obtemos 6 N dn f x dx df ( x ) ( dx) ± ( ) ± ± dx! ( ) ± d f x dx L

7 e desprezado os termos em dx com expoete superior à uidade simplificamos ( ) N ± dn f ( x) ± dx df x dx Tedo em cota a expressão (8) obteremos para o valor do erro absoluto: ( ) dn ± dx df x (1.11) dx Geeralizado: o erro absoluto duma fução (composta) é igual ao erro do argumeto multiplicado pela derivada dessa mesma fução. O erro relativo dessa mesma medição será determiado pela expressão dx df ( x) E ± dn/n ou aida E ± (1.1) f( x) dx Adiate estudaremos o caso mais geral de fuções compostas por várias variáveis idepedetes f(x i ), com i 1,,...,. 1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS 1..1 ERROS E MÉDIA ARITMÉTICA Ao cosiderar os erros acidetais, ievitáveis a prática laboratorial, como um caso particular dos acotecimetos aleatórios, Gauss formulou a lei da distribuição ormal dos erros partido dos postulados: 1º - em observações de igual cofiaça o valor mais provável é a média aritmética; º - a probabilidade de se cometer um erro x é fução f (x) desse mesmo erro; 3º - a probabilidade de se cometer um erro muito grade é muito pequea e o siais positivo ou egativo do erro são igualmete prováveis. 4º - a probabilidade de se cometer um erro etre x e (x+dx) é dada pela expressão f (x).dx; Assim a quatidade de erros de uma dada gradeza deverá ser uma fução decrescete e simétrica do valor do erro aleatório: -h x D f( x) Dx h exp Dx (1.13) ode x - é valor do erro, D (. f (x). Dx) - quatidade de medições para as quais o valor do erro está cotido o itervalo {[x, x+dx} e - quatidade global de experiêcias realizadas. A curva y f (x) é desigada por curva de Gauss ou curva da distribuição ormal dos erros. O parâmetro "h" é defiido como a "medida da precisão". A curva de Gauss é geralmete ormalizada de modo a que se cumpra a codição + Ú f ( x ) d ( x ) 1 (1.14) - Na Fig.1.1 estão represetadas curvas de Gauss para diferetes valores do parâmetro h. Quato maior for a precisão da medida mais rapidamete decresce o valor da fução com o crescimeto de x (ou, em termos práticos, tato meor é o úmero de medidas com grades erros) Supohamos que foram feitas medições de uma certa gradeza A e que foram obtidos os valores N 1, N, N 3,. Etão o erro das medições idividuais será x 1 A - N 1 x A - N (1.15) A probabilidade de aparecimeto de erros com um valor compreedido etre x 1 e (x 1 +dx 1 ) é igual à relação etre o úmero de medidas efectuadas com esse mesmo erro e a quatidade total de medidas, isto é, h -h. x P y dx e 1 dx p (1.14 ) 7

8 A teoria das probabilidades permite afirmar que a probabilidade de aparecimeto simultâeo de acotecimetos idepedetes é igual ao produto das probabilidades destes acotecimetos. Assim a probabilidade de aparecimeto de um cojuto de medidas com as probabilidades x 1, x, x 3, pode ser escrita sob a forma ( ) h h x x x x P Ê e dx dx dx dx Ë Á ˆ L+ 1 3 L (1.15) p O valor mais provável da gradeza medida (idetificado pela letra A) pode ser determiado a partir das relações ateriores. Não é demais salietar que este valor ão é igual ao valor exacto A, mas sim represeta o valor mais provável (ou seja o mais próximo do verdadeiro) calculado através dos resultados das medições. A este valor A correspode o valor máximo da probabilidade P e por coseguite o meor valor da soma 1 3  i i 1 x + x + x + L + x x Para a determiar o valor de A exprimimos o somatório de x i através de A e 1,,, tedo em cota a equação (1.15) e substituido ao mesmo tempo o valor descohecido de A por A. Obtemos assim  i  i 1 ( ) ( ) - za x A N i (1.16 ) e o valor de A será escolhido de maeira a obtermos um míimo para a fução z(a), o que acotece quado se verifica a codição z ( -  A N ) A i i 1 Ni e daqui A  (1.16a) A teoria de Gauss permite assim cofirmar o postulado da média aritmética: o valor mais provável da gradeza A, calculado a partir de séries de valores medidos N 1, N, N 3, é a média aritmética destes valores. E aida: o valor médio aritmético de uma gradeza distigue-se dos outros tipos de valores médios pelo facto de ser míima a soma dos quadrados dos seus erros. 1.. MÉDIA, MÉDIA QUADRÁTICA, ERRO PROÁEL DE UMA MEDIÇÃO Na teoria gaussiaa do erro a precisão de uma medida é completamete determiada pela "medida da precisão, h". Este valor pode ser calculado se for costruida a curva y f (x). Cotudo a teoria dos erros é ormal caracterizar a precisão de uma medida através de uma das três seguites gradezas: erro médio r, erro médio quadrático (desvio padrão) s e erro provável da medição h. Evidetemete cada uma destas gradezas pode ser expressa através de h. Por defiição o erro médio r é igual a (ver Fig.1.)  xi i r ± 1 e, utilizado a expressão (1.14) obtemos imediatamete 8-1 r Ú x h h x e dx p h p O erro médio quadrático ou desvio padrão - s é defiido pela expressão Â Ú (1.17) x h -h x 1 s x e dx 15, r (1.18) p h Fialmete o erro provável (h) de uma medida idividual é defiido como o valor que divide erros aleatórios de medições em duas partes iguais: uma metade das medições tem erros meores que h e a outra metade - maiores que h. Isto sigifica que h é igual à abcissa da curva de Gauss para a qual a área delimitada pela curva e compreedida etre os limites ± h é igual a metade da área total

9 + h h h x e dx p - Ú 1 -h 1 e daqui h, 6745, 6745 s h (1.19) Chamamos a ateção para o facto de as formulas (1.15) x i aparecer como a difereça etre a i-ésima medida e o valor verdadeiro da gradeza a medir. No etato o valor calculado da difereça é-lhe sempre próximo mas uca igual pois represeta a difereça etre um valor médio A e o valor medido da gradeza. Este facto leva a que o deomiador da fórmula (1.18) seja substituído por (-1) e assim s ± Â x - i 1 (1.) 1..3 ERRO MÁXIMO (MAJORANTE) DE UMA MEDIÇÃO Como alterativa à determiação do erro pelos processos ateriores podemos aida utilizar o coceito de erro máximo ou majorate o caso de fuções de mais de uma variável. Para isso é calculado o erro máximo a medição da gradeza N(x,y,z) para o caso de todos os erros a determiação dos valores de x, y e z modificarem o valor de N um mesmo setido. Exemplos : 1.- Erro máximo absoluto e relativo para os valores de uma soma (ou difereça) de duas gradezas medidas N A ± B. Supohamos que o erro absoluto da gradeza A é DA e que o erro absoluto da gradeza B é DB. Etão N ± DN (A ± DA) ± (B ± DB). (1.1) O sial dos erros DA e DB pode ser qualquer. Aalisemos o caso mais desfavorável, quado os erros de medição sejam os maiores. No cálculo da soma de duas gradezas medidas, A e B, o erro será máximo (majorado) se o erro da gradeza A e o erro da gradeza B forem do mesmo sial; o caso da difereça das gradezas A e B o erro será máximo se o sial dos seus erros for de setido cotrário. Em ambos os casos o erro máximo absoluto DN da gradeza N será igual à soma dos erros absolutos das medidas das gradezas A e B : ± DN ± (DA + DB) (1.) Os erros relativos (E) das medições serão expressos através das fórmulas: para a soma para a difereça DN DA + DB E N A + B DA + DB E A - B (1.3) (1.4) Assim um cálculo em que o resultado seja depedete da difereça de duas gradezas medidas o erro relativo da medição será tato maior quato mais próximo estiverem os valores das gradezas medidas..- Erro máximo absoluto e erro relativo para os valores do produto (ou quociete) de duas gradezas N A.B (ou N A/B). Se A for medido com o erro ± DA e B com o erro ± DB etão N ± DN (A ± DA).(B ± DB) A.B ± A.DB ± B.DA ± DA.DB Uma vez que DA e DB são pequeos em relação aos valores de A e B o produto DA.DB pode ser desprezado como gradeza de ª ordem, [(DA.DB) «A,B] e assim DN A.DB + B.DA (1.5). Como ateriormete, devemos ter em cota o caso mais desfavorável, isto é, quado ambos os erros tiverem o mesmo sial. Deste modo o erro máximo absoluto de um produto é igual à soma do produto do erro absoluto do 9

10 primeiro multiplicador pelo segudo multiplicador e do erro do segudo multiplicador pelo primeiro. Daqui obtemos para o erro relativo DN A DB + B DA DA DB E + N A B A B (1.6) O erro relativo do produto é igual à soma dos erros relativos dos multiplicadores. Aalogamete, se N A/B etão N N A ± D A ( A ± DA) ( B ± DB) AB ± BDA ± ADB ± D B ± DB B DB B (1.7) - ( ) Novamete são desprezados os termos de ordem superior dos erros (quadrados e produtos) e cosideramos o caso mais desfavorável isto é, quado o erro do umerador e o erro do deomiador tem siais cotrários. Assim D D DN B A + A B (1.8) B O erro máximo absoluto de um quociete é igual à soma dos produtos do erro absoluto do umerador pelo deomiador e do erro absoluto do deomiador pelo umerador, dividida pelo quadrado do deomiador. O erro relativo de um quociete é igual à soma dos erros relativos do umerador e do deomiador. Efectivamete DN B A DB + B DA DA DB E + (1.9) N A B A B NOTAR BEM - É ecessário ter sempre em cota que a utilização automática destas regras pode coduzir a erros de cálculo os casos em que a gradeza medida etra mais do que uma vez a fórmula de cálculo do resultado. Por exemplo, cosideremos a expressão N(A+B)/B à qual podem ser automaticamete aplicadas as fórmulas ateriores, cosiderado o quociete da divisão de duas gradezas: C (A+B) e B. Etão mas como D D DN B C + C B (1.3) B DC DA+DB teremos assim ( ) + + D D D D D DN B A + B ( A B ) B B A + ( A + B) B B B (1.31) Por outro lado, é evidete que DN (B.DA+A.DB) /B pois N pode ser represetado por N(A/B) +1. O erro itroduzido pelo primeiro processo de cálculo é devido ao facto de termos cosiderado diferetes o sial do erro absoluto da medição que é repetido o umerador e o deomiador da fórmula de B, aalogamete ao que é feito para o cálculo do erro do quociete de duas gradezas idepedetes. Neste caso é evidete que o erro absoluto DB o deomiador e o umerador teria de ser cosiderado com o mesmo sial. Assim, o caso de repetição de algumas gradezas as fórmulas é ecessário calcular o erro máximo médio da medição em cada caso idividual. Como método geral de cálculo podemos utilizar a fórmula geral de propagação de erros (3), derivado do cálculo diferecial, e que coduz à seguite fórmula para o erro máximo: 1 Ê N dn ± Á dx 1 Ë x 1 N + dx x N + + dx ˆ L x (1.3)

11 Ê N DN Dxi ˆ  Á i Ë x 1 i (1.33) Ao calcular o erro máximo é ecessário ter em cota que, se a gradeza a defiir for determiada por medidas de uma série de outras gradezas etão, o erro calculado fica a prática fortemete majorado pois a probabilidade que erros de todas as gradezas medidas teham um sial tal que tore máximo o erro do resultado é tato meor, quato maior for a quatidade de gradezas medidas. Por outro lado, se tato a quatidade de gradezas medidas como o úmero de medições forem muito pequeas etão a utilização das fórmulas baseadas a distribuição de Gauss dará uma precisão do resultado demasiado optimista. Nesta situação é usual a utilização de fórmulas derivadas de outras distribuições estatísticas (Fisher-Studet p.e.) de derivação mais complexa. Tabela 1 - Compilação de fórmulas de erros e valores médios de medições alor médio de uma gradeza N N + N + N +LN 1 3 N - Ni i 1 Erro médio absoluto de uma medição r DN  Erro relativo de uma medida isolada E N D N N - Ni i 1 Erro médio quadrático de uma medição s DN  ( ) Erro provável de uma medição relação etre s e r : s 1,5 r h para > 3 h, 6745  i 1 ( N - N ) i Erro quadrático médio da média aritmética s N s  i 1 ( N - N ) ( ) - 1 i Erro absoluto de uma fução de uma só variável dn ± dx df x dx Erro relativo de uma fução de uma só variável E dn N dx f x ( ) ( ) ( ) df x dx Erro médio quadrático de uma fução de várias variáveis idepedetes Ê f s Á s s Ë ˆ Ê + f Á Ë ˆ x y + L x y Erro máximo de uma fução de várias variáveis idepedetes DN max f x dx f + y dy + L Coeficiete de fiabilidade para r, s e h o caso de um grade úmero de medições : Ïa Ô Ìa Ô Ó a r s h,57,5,68 11

12 Tabela - Fórmulas para o erro absoluto e relativo para diferetes fuções Operação matemática Erro Fuções de uma só variável 1 D N A - ± A N A ± N N ( A) 1 A 1-1 A D A absoluto relativo (%) A D A 1 A D A si ± cos ( A) DA ctg ( A) DA cos ± si ( A) DA tg ( A) DA ( A) N tg ( A) ± N ctg ( A) ± DA cos ( A) DA si ( A) DA si A ( ) DA si A ( ) Fuções de mais de uma variável - erro máximo ( ) N A + B + C +... ± DA + DB + DC + L ( ) N A - B ± DA + DB ( ) N A. B ± BDA + ADB ( ) N A. B. C ± BCDA + ACDB + ABDC DA + DB + DC + L A + B + C + L DA + DB A - B Ê DA DB + ˆ Ë A B Ê DA DB DC + + ˆ Ë A B C N A ± B ADB + BDA B Ê DA DB + ˆ Ë A B Fuções de mais de uma variável - erro médio quadrático A B C N A + B + C +... ± s + s + s + L A B C s + s + s + L A + B + C + L B s N A - B A + s ± sa + sb A - B s s s + + A B C N A. B. C ± ( BCs ) + ( ACs ) + ( ABs ) N A s A ± + Ê A ˆ B B Ë B A B C s s A s B + A B A B C B 1

13 1.3 ERRO DAS MEDIÇÕES E PRECISÃO DOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA A repetição de medições para a elimiação dos erros aleatórios só tem setido se os erros aleatórios de medições idividuais forem superiores ao erro itroduzido pelo próprio aparelho de medida. A precisão do aparelho de medida (se a sua utilização ão itroduzir ovos erros) é basicamete determiada pelas características da sua costrução e pela graduação da escala. Como regra geral, a precisão do mecaismo do aparelho de medida é iferior à precisão da leitura feitas as suas escalas. A precisão do aparelho de medida pode tato ser idicada o próprio aparelho como as istrucções técicas que o acompaham. Algus exemplos: a) Ao medir um comprimeto com uma régua ão é difícil avaliar à vista algus décimos de milímetro mas uma régua vulgar uca é costruida com uma precisão tão elevada. Mesmo que repetíssemos as medições muitas vezes a precisão do resultado obtido ão pode ser melhor que a precisão com que foi fabricada a régua. Por outro lado, mesmo que as divisões correspodetes aos milímetros fossem gravadas com extrema precisão (digamos,1 mm) este facto ão se reflectiria a medição efectuada pelo observador. Neste caso o factor limitativo seria a acuidade visual do experimetador e a precisão da medição com a régua será determiada pela precisão de leitura visual que, como regra, ão ultrapassa o melhor dos casos,1 do valor da meor divisão da escala. b) Ao medir uma resistêcia de algumas ceteas de Ohms com um ohmímetro digital de precisão (resolução de,1 W, p.e.) as difereças etre os valores de cada medição podem atigir algus Ohms devido aos erros aleatórios das medições (maus cotactos das potas de prova, flutuações da correte de prova, etc.). Neste caso a medição deverá ser repetida o úmero de vezes suficiete de maeira a permitir que o erro médio absoluto se aproxime do limite de precisão do aparelho de medida (,1 W). Como regra, ao efectuar as medições deverá fazer-se o possível para que a precisão das medições se aproxime da precisão omial do aparelho de medida. Se medições sucessivas idicarem, ou o mesmo valor ou valores tão pouco diferetes que a sua dispersão seja iferior à precisão omial do aparelho de medida, etão o cálculo da precisão do resultado em lugar do erro absoluto dos diferetes valores medidos devemos escrever o valor da precisão do aparelho de medida. - REGISTO DAS OBSERAÇÕES E APRESENTAÇÃO DE DADOS.1 - REGISTO DAS OBSERAÇÕES, CÁLCULOS E ALGARISMOS SIGNIFICATIOS De uma maeira geral, o registo de observações (relatório) devem ser iscritos: - a idicação da medida ou experiêcia a efectuar e o método e/ou fórmulas ecessárias; - o(s) ome(s) do(s) operador(es) ( ou aluos) que realizam a experiêcia e a data; - se coveiete, a lista de aparelhos de medida que terão de ser empregues com a idicação da sua precisão de medida omial; - se a experiêcia o permitir devem ser itoduzidos o relatório esquemas da motagem e/ou esquemas simplificados das ligações eléctricas ecessárias às medições; - as observações (medidas), que devem ser expostas de forma clara e ão ambígua, com as respectivas uidades bem idetificadas. Sempre que possível as medições devem ser expostas sob a forma de tabelas que icluirão as uidades de medida, factores de escala e precisão do aparelho ou método com que foram obtidas. Ates de começar os cálculos covém reflectir sobre a sua estrutura e que tipo de resultados parciais, se ecessário, será fudametal coservar. Em geral, covém dispor os resultados parciais e fiais sob a forma de tabelas de modo a facilitar a sua ispecção e verificação posterior mesmo por pessoas que ão teham directamete realizado o trabalho. Devido à capacidade de cálculo das máquias de calcular actuais a quatidade de dígitos dispoíveis depois de qualquer cálculo pode facilmete atigir 9 uidades ou mais. É óbvio que a grade maioria dos cálculos em egeharia, e mesmo a física, em todos este dígitos tem sigificado real. Assim, é ecessário estabelecer critérios e regras que 13

14 permitam a elimiação dos algarismos ão sigificativos, que só vão dificultar a leitura dos resultados da experiêcia e compreesão dos cálculos. De uma maeira geral podemos cosiderar 3 casos a aproximação dos resultados obtidos os cálculos: 1º - basta cohecer a ordem de gradeza dos resultados (isto sigifica uma aproximação de 5-1%). Esta situação é típica daqueles casos de egeharia em que se tomam, por exemplo, factores de seguraça duas, três, ou mais vezes maiores que o valor calculado. º - basta cohecer o resultado com uma aproximação de 1-1%. Neste grupo está icluída a grade maioria dos cálculos técicos e mesmo físicos. 3º - cálculos de precisão,5% ou mesmo superior. Neste caso estão ormalmete icluídas as medidas efectuadas um bom laboratório de física e medidas de calibragem de istrumetação, típicas em laboratórios de cotrolo de qualidade e certificação. Mas ateção, os resultados de uma medida tem fraco valor prático equato ão soubermos qual o erro que lhe está associado. Será também o valor do erro, calculado ou esperado, que os permitirá determiar, a geeralidade, a quatidade de algarismos sigificativos a apresetar um resultado. É claro que será iútil apresetar um resultado com 9 algarismos se a precisão for de 1%, valor que só garate 3 algarismos sigificativos. São geralmete aceites dois critérios para a determiação dos algarismos sigificativos: 1º - o resultado umérico é dado com 1 algarismo sigificativo a mais além dos exactos, ou seja o peúltimo algarismo é correcto mas o último pode estar errado em várias uidades. Por exemplo, o resultado 137,43 sigifica que o valor umérico exacto está etre 137,4 e 137,5. Este método é usado em física e, de uma maeira geral, as ciêcias exactas. º - o resultado é dado com tatos algarismos sigificativos quatos o rigor do cálculo permite, isto é, o último algarismo sigificativo é provavelmete correcto com a aproximação de 1/ uidade (arredodameto). Neste caso, os cálculos tem de ser levados a mais uma casa decimal além daquela esperada para o resultado. Por exemplo, o resultado 86 sigifica um valor etre 85,5 e 86,5 e o resultado 86, sigifica um valor etre 85,95 e 86,5. Notar bem a importâcia dos zeros à direita que podem represetar valores exactos ou, pelo meos, sigificativos. Este método é geralmete usado em egeharia. Ao escrever úmeros de valor muito elevado ou muito baixo mas de precisão média ou reduzida covém utilizar uma represetação com potêcias de 1, por exemplo 5 6 deverá escrever-se ou melhor aida, Por último, os arredodametos dos resultados uméricos deverá usar-se a regra do arredodameto para o dígito imediatamete iferior ou superior coforme o valor a arredodar seja iferior a 5 ou igual ou superior a 5, respectivamete p.e. 86,93 arredoda para 86,9 e 86,96 arredoda para 87,. Regras práticas para a fixação dos algarismos sigificativos: a) quado se apreseta um erro provável duma medição ou cálculo basta coservar um algarismo sigificativo ou o máximo dois, depois do arredodameto (p.e., o mesmo erro pode ser represetado por ±,3 ou,8). b) os valores médios calculados ou os valores fiais ecotrados coservam-se tatos algarismos sigificativos quatos os correspodetes ao último algarismo sigificativo do erro. Assim se a máquia de calcular apresetar o valor 5,63847 e o erro for ±,8 deve-se apresetar apeas o valor (5,64 ±,8) como resultado. c) os cálculos efectuados à mão deve-se coservar apeas o úmero de algarismos sigificativos suficiete para apresetar o resultado com a aproximação de uma uidade o último algarismo sigificativo. Por exemplo, para somar (3,3±,5) com (74,873±,17) tomaremos os valores 3,3 e 74,3; o erro fial será calculado separadamete, com o auxílio de regras próprias (ver.?). Nas multiplicações e divisões mauais, como regra prática podemos aceitar que, se a precisão esperada for: 1% ou mais se tome 3 algarismos sigificativos etre 1% e 1% se tome 4 algarismos sigificativos etre 1% e,1% se tome 5 algarismos sigificativos etc. 14

15 d) os cálculos ecadeados feitos com máquia de calcular ão é ecessário proceder a arredodametos etre cada cálculo, e mesmo etre cálculos diferetes, desde que os valores itermédios sejam coservados em memória. No etato, se tivermos de passar para o papel algum resultado itermédio, as coveções ateriores são para seguir. NOTA - No caso de termos de idicar uidades de medida para um valor sujeito a erro devemos adoptar a seguite coveção de escrita: ( 5,34 ±, ) cm/s ou, o caso de potêcias, ( 5,34 ±, ).1 - m/s isto é, o caso de existirem as uidades abragem ambos os valores, o calculado e o respectivo erro.. - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS RESULTADOS A experiêcia foi feita, registaram-se valores de gradezas físicas, mas ada disto terá valor se ão coseguirmos "mostrar" o que acoteceu, se ão coseguirmos tirar coclusões daquilo que medimos. Normalmete as coclusões, sejam elas de atureza quatitativa ou somete qualitativa, implicam o estabelecimeto de relações etre as variações de uma ou mais gradezas - a "causa" - e a correspodete modificação de um valor, medido ou calculado, - o "efeito". Esta relação pode e é muitas vezes apresetada sob a forma de tabela umérica de duas (ou mais) variáveis: y - o "efeito" fução de x - a "causa". Uma boa represetação gráfica dos valores experimetais (resultado de uma medição directa ou do cálculo) ão só evidecia os aspectos particulares da depedêcia das gradezas permitido uma aálise rápida (e relativamete precisa) como, em muitos casos, é a melhor hipótese que se apreseta ao ivestigador para solucioar o problema. Algumas das vatages de um gráfico : - apreseta cojutos extesos de dados de uma maeira compacta, um só "golpe de vista"; - mostra rápida e claramete a maior ou meor cocordâcia dos resultados com o esperado e sugere ao mesmo tempo o tipo de fução que melhor represeta o feómeo físico; Figura.1 - Exemplos de escalas e costrução de gráficos - é um método rápido e fácil para obteção de resultados itermédios por iterpolação etre dois potos medidos ou de resultados fora do domíio medido, por extrapolação...1- NORMAS PARA GRÁFICOS Para ser efectivo um gráfico tem de ser fucioal, objectivo e estritamete adaptado às dimesões e características do feómeo a descrever. Além disso, para poder ser comparado com outros gráficos e lido por diferetes pessoas (mesmo pouco ao correte do problema específico represetado) o gráfico tem de apresetar uma iformação simples de apreeder, iequívoca, completa e de preferêcia ormalizada. Supohamos um cojuto de valores uméricos que represetam a variação de y - variável idepedete, com x - variável depedete. Etão como regra : 1º - os valores da variável idepedete y serão represetados em abcissa. Juto a cada eixo deverá ser iequivocamete caracterizada a gradeza correspodete, assim como as respectivas uidades de medida de preferêcia o sistema SI. A gradeza pode ser simples: temperatura T, comprimeto L, etc. ou complexa: período de oscilação Tp. (l/g). 15

16 Detro de um mesmo trabalho mater costate, sempre que possível, a área ocupada pelos diferetes gráficos : 1/4, 1/3 ou 1/ do formato A4; utilizar formatos maiores só em caso de absoluta ecessidade. Não esquecer que a apresetação de um gráfico é equivalete a um "texto" e por isso devem ser previstas o papel marges em braco de tamaho suficiete, como se tratasse de um texto correte. º - as escalas devem ser escolhidas em fução da gama de valores uméricos das variáveis a represetar de maeira a que possa ser feita uma leitura directa e fácil dos gráficos. No geral, as escalas devem permitir a obteção da mesma precisão que a das observações experimetais registadas, quer durate a costrução, quer a leitura posterior do gráfico. As escalas ão tem, ecessariamete, de icluir a origem do referecial (,), Fig..1.a. O úmero de algarismos utilizados as divisões das escalas deve estar adaptado às dimesões dos gráficos e permitir uma leitura rápida, ão se sobrepodo (Fig..1.c); empregar sempre que ecessário a factorização por potêcias de 1 (Fig..1.b). Este facto implica cuidado a adopção da relação de escala de modo a permitir uma leitura fácil dos valores itermédios, p.e. - escalas de 1:3, 1:, :1, 1:1, p.e. (será completamete a evitar as escalas "complicadas" como, p.e., 1:4,6 ou 1:7, etc.). 3º - Os pares de valores (y,x) deverão ser assialados o gráfico por um símbolo pequeo (+, *, o, D, x, etc.). No caso de ser ecessário represetar o mesmo gráfico mais do que uma série de potos, os potos correspodetes a cada série serão sializados com símbolos diferetes. A dimesão dos símbolos deve permitir a visibilidade da sua forma mesmo que seja ecessário traçar qualquer curva sobre eles. Nos eixos serão idicados somete os valores que defiem a escala. Nuca serão idicados os eixos os valores dos potos do gráfico, assim como ão serão desehadas as lihas cujo cruzameto defia qualquer poto experimetal a assialar. Através de uma escolha criteriosa das escalas deve-se evitar que as curvas ou grupos de potos se desevolvam quase paralelos aos eixos coordeados (Fig. 3.1.c), a ão ser que a fução represetada seja mesmo quase costate. 4º - Todos os gráficos devem ter uma legeda (evetualmete acrescida de um úmero de ordem) que idetifique completamete o seu coteúdo e que pode ser colocada por baixo do eixo das abcissas ou alterativamete um espaço livre detro do próprio gráfico (Fig..1.b). 5º - Se for ecessário traçar uma liha que melhor ajuste os potos experimetais (muitas vezes só para "guiar a vista") devemos procurar traçá-la de maeira a represetar o adameto geral do cojuto de potos e ão é absolutamete Figura. - Exemplos de utilização de diferetes papéis para gráficos ecessário que passe por todos os potos. Não esquecer que, de um modo geral, as leis da física tem variações regulares (suaves) sem "bicos" e mudaças bruscas de direcção... - TIPOS DE PAPEL PARA GRÁFICOS Existem vários tipos de papel para a represetação de gráficos. Os mais utilizados tem duas escalas lieares perpediculares (papel milimétrico ou li-li) ou uma escala liear e outra logarítmica (semilog ou log-li). Existem aida muitos outros tipos de papel especificamete adaptados à resolução gráfica de certos problemas : ambas as escalas logarítmicas (papel log-log), escalas liear-polar, escalas estereográficas, escala triplas, etc.. Para a represetação dos feómeos físicos pode ser utilizada uma grade variedade de fuções matemáticas. 16

17 ejamos algus casos típicos que ilustram o tipo de papel a utilizar: 1º - um grade úmero de feómeos físicos podem ser represetados por relações do tipo liear (y kx + a). Por exemplo: Lei do movimeto rectilíio e uiforme s s + v. t elocidade de um corpo deslizado por um plao icliado v v + (g. sia). t Lei de Ohm R. I, etc.; para relações lieares o papel milimétrico é o mais idicado para a represetação gráfica deste tipo de fuções; º - outras leis físicas existem em que as relações etre as variáveis são do tipo expoecial Lei do movimeto acelerado e 1/. j. t ou Amortecimeto de oscilações y y. e -ax (.1) Represetar fuções deste tipo em papel milimétrico levaria rapidamete a dimesões excessivas do gráfico e/ou à impossibilidade de uma leitura correcta (Fig...a). Nestes casos justifica-se a utilização de papéis logarítmicos log-li (ou mesmo log-log ), Fig...b. A represetação em papel log-li é equivalete à logaritmização das expressões represetadas: e 1/. j. t Æ log e,31+ log j + log t ou y y. e -ax Æ l y l y - a x Æ equação de uma recta Y Y + BX (.) Deste modo as curvas origiais ficam liearizadas e os respectivos gráficos em papel log-li são aproximados a rectas com declive igual ao coeficiete de x (B) e de ordeada a origem igual ao termo costate (Y ) (Fig...c). Aaliticamete o declive B l y B x - l y - x 1 1 y y l, 36 log y1 y x - x x - x (.3) Figura.3 - Limites superiores do erro de uma recta ajustada..3 - BARRAS DE ERRO E RECTÂNGULO DE PRECISÃO O resultado de toda e qualquer medição uca é um valor exacto, tem sempre associado um certo erro (erro de leitura, erro padrão, erro sistemático, etc.) ou seja, sedo G uma gradeza experimetal a sua medida será G g ± Dg, em que g é a medição e Dg o erro associado. Isto sigifica que o valor mais provável de G estará situado o itervalo [g - Dg, g+dg]. Desde que a escala o permita, um gráfico deve sempre revelar este facto, completado-se com as "barras de erro" correspodetes a cada poto represetado, seja ele calculado ou experimetalmete medido. Tipicamete as barras de erro são graficamete represetadas por pequeos segmetos de recta de comprimeto.dg cetrados os potos de ordeada g (Fig..). No caso geral a cada poto estão associadas duas barras de erro, uma paralela ao eixo das abcissas e a outra paralela ao eixo das ordeadas. Quado existam simultaeamete, estas duas barras de erro defiem o chamado "rectâgulo de precisão" do poto experimetal. Em muitos casos um dos erros, geralmete o correspodete às abcissas, pode ser desprezado em face do valor do outro. Nesta situação o rectâgulo de precisão reduz-se a uma úica barra de erro ou, o caso limite de a escala ão o permitir, ão haverá lugar a represetação da dimesão do erro. 17

18 ..4 - LIMITE SUPERIOR DO ERRO DE UMA RECTA AJUSTADA A PONTOS - MÉTODO GRÁFICO Cosideremos duas gradezas cuja iterdepedêcia possa ser defiida por uma expressão do tipo liear y a + k.x em que a - ordeada a origem e k- coeficiete agular da recta são costates, e a quatidade de pares de potos experimetais (x i, y i ) que a represetam igual a. Os erros experimetais fazem com que estes potos ão se distribuam obrigatoriamete sobre uma recta. Neste caso podemos ajustar graficamete uma recta que melhor represete a variação de y com x, procurado que os potos que se situem "acima" da recta de ajuste sejam compesados pelos que se situem por "baixo" (Fig..3). Mesmo este caso aproximado podemos (e devemos) determiar os limites superiores do erro para a ordeada a origem - a e para o coeficiete agular da recta - k, que defiem o erro total da recta ajustada. NOTA: -o uso de uma régua trasparete para o fazer é coveiete. Assim teremos uma visão global do cojuto dos potos experimetais; -a descrição simplificada dos métodos de ajuste aalítico rigoroso (míimos quadrados, c, etc.) e a avaliação dos respectivos erros será feita separadamete. Procedimeto: 1º - supohamos que a recta de melhor ajuste R, traçada de maeira a obtermos uma quatidade equilibrada de potos por "cima" e por "baixo" da recta, é defiida pelos parâmetros a, coeficiete agular e k, ordeada a origem; º - deseham-se duas rectas paralelas a R que passem pelos potos experimetais mais afastados, por cima e por baixo de R (1- e 3-4). Nota - em primeira aproximação, um ou outro poto excepcioalmete afastado da recta média poderá ão ser cosiderado pois a probabilidade de correspoder a uma medida icorrecta é muito grade; Estas rectas serão itersectadas por duas paralelas ao eixo dos yy (1-4 e -3) que cotém o primeiro e o último poto experimetal represetado. Os quatro potos assim determiados (1,,3,4) defiem o "paralelogramo de icerteza". 3º - deseham-se as diagoais do paralelogramo de icerteza, R 1 e R ; determiam-se os parâmetros a e k para as três rectas R, R 1 e R. Com estes valores é calculado o limite superior do erro do coeficiete agular (Da) e da ordeada a origem (Dk) para a recta de ajuste R : Da D Da ( ) * D ( ) * k k (.4 ) - - em que : (Da)* é o valor da maior das difereças (a 1 - a ) e (a - a ) (Dk)* é o valor da maior das difereças (k 1 - k ) e (k - k ). Caso particular: Em muitos trabalhos experimetais é frequete a depedêcia etre duas gradezas ser represetada por uma relação liear em que a ordeada a origem, a, é igual a zero e etão a equação liear fica reduzida a y k. x com k - costate. Como o caso geral, para pares de potos (x i,y i ) serão determiadas as rectas R, R 1 e R só que, devido ao tipo da equação, terão de obrigatoriamete de passar pela origem das coordeadas (,). Notas: a) a origem das coordeadas ão é obrigatoriamete a origem dos eixos coordeados; b) em primeira aproximação, um ou outro poto excepcioalmete afastado da recta média ão será cosiderado pois a probabilidade de correspoder a uma medida icorrecta é muito grade; c) este método faz depeder o valor do limite superior do erro do coeficiete agular k, do valor adoptado para as escalas : ampliado as escalas melhora a avaliação do erro. Os coeficietes agulares de R 1 e R serão respectivamete y1 y k1 k x x (.5 ) 1 18

19 O limite superior do erro do coeficiete agular, (Dk), será etão o maior dos valores obtidos as difereças (k 1 - k ) e (k - k ). d) se detro da precisão da represetação gráfica os potos experimetais estiverem alihados sobre a mesma recta, o limite do erro do coeficiete agular será tomado como o limite superior dos erros de leitura de x e de y o gráfico AJUSTE DE UMA RECTA A PONTOS EXPERIMENTAIS - MÉTODO ANALÍTICO Cosideremos um cojuto de pares de potos experimetais (x i,y i ) represetado duas gradezas cuja iterdepedêcia possa ser defiida por uma expressão do tipo liear y a + k. x em que: a - ordeada a origem e k- coeficiete agular da recta são costates. Os erros experimetais ieretes às medições fazem com que estes potos ão se distribuam obrigatoriamete sobre uma recta perfeita. Teremos etão que ecotrar uma recta que melhor descreva a distribuição espacial dos potos. De etre os vários métodos aalíticos que permitem fazer este ajuste descrevemos o método da "regressão liear". Método da Regressão Liear A justificação matemática deste método baseia-se o método dos míimos quadráticos: o ajuste da recta é efectuado de modo a miimizar o somatório dos quadrados dos desvios dos potos experimetais em relação à recta de ajuste. Admitamos que medimos potos experimetais. Etão os parâmetros da recta de ajuste y a. x + b (.5) são dados pelas expressões: C C - C C a D ode D C C5 - C3 C C - C C b D (.6)  i i  i 3  i 4  i i 1 i 1 i 1 i 1 Além disso: C x y C x C x C y C 1 5 Os erros associados aos valores do declive a e ordeada a origem b são dados por: s a  ( ) y - yi y - yi i sb - D - i 1 1  ( ) C D (.7) O valor de y i é obtido pela recta de ajuste para a abcissa x i. A qualidade do ajuste obtido pode ser defiida por uma expressão matemática chamada coeficiete de correlação - r. De acordo com o seu valor (r 1), podemos avaliar a qualidade do ajuste (muito boa com r ª 1) e evetualmete decidir por um ajuste a um outro tipo de equação ou cocluir que é ecessário recolher outro cojuto de dados experimetais. O coeficiete de correlação é calculado pela seguite fórmula: r C C - C C ( ) D C C - C ode C6  y i (.8). i 1 Nota - A grade maioria das calculadoras cietíficas de bolso actuais tem capacidade para fazer estes cálculos (recta de ajuste, erros e coeficiete de correlação), sedo para isso só ecessário itroduzir os valores dos pares de potos (x i, y i ). 19

20 3 - INSTRUMENTOS DE MEDIDA Em paralelo com os métodos clássicos mecâicos são cada vez mais utilizados métodos e sistemas eléctricos e electróicos de medição as medições efectuadas os trabalhos de egeharia, e por maioria de razão os laboratórios 5 5 Nóio 1 m m-1 Escala Fig Pricípio do óio de física,. Esta extesão dos métodos electróicos de medição atige domíios dates tradicioalmete mecâicos como a pressão, tempo, temperatura, etc.. Outras medições há que ecessariamete são feitas directamete sobre parâmetros eléctricos: tesão e correte eléctrica, resistêcia, etc.. Actualmete a tedêcia para a digitalização das medições coduz ao facto de uma maioria de situações o processo de medição ser reduzido à medição digital de uma tesão cotíua ou variável, através de um detector adequado e isto para as diferetes variáveis físicas a avaliar. Nos potos seguites apresetamos os istrumetos de medição mais básicos, presetes em qualquer laboratório: réguas com óios para medições de comprimetos; multímetros para a medição básica de tesões, corretes e resistêcias; osciloscópios para a medição e visualização de siais eléctricos. 3.1 Nóios lieares e circulares L L ;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;; k k+1 Escala... Nóio k+ Fig Demostração do fucioameto do óio As medições de dimesões lieares são geralmete feitas com réguas ou fitas métricas. A precisão destas medidas é geralmete baixa, muitas vezes ão ultrapassado o milímetro. O óio (pequeas escalas auxiliares que permitem medir fracções da meor divisão da escala pricipal, tipicamete 1/1 ou 1/) represeta uma modificação muito coveiete da régua (metálica), que aumeta de muito a sua precisão. Quado bem utilizado os istrumetos apropriados (micrómetro, p.e.) a precisão das medidas pode atigir,5 mm. Na prática, o coceito de óio é utilizado em istrumetos de medida de dimesões lieares ou agulares como paquímetros, micrómetros, esferómetros, teodolitos, goiómetros, com os quais se podem atigir precisões absolutas de décimos e mesmo de cetésimos de milímetro e para os âgulos a precisão de miutos ou fracções de miuto. Fudametalmete, o óio liear (Fig.3.1) é costituído por uma régua de pequeas dimesões, com divisões, que desliza sobre uma outra régua de maiores dimesões - a escala, também com divisões gravadas.

somente um valor da variável y para cada valor de variável x.

somente um valor da variável y para cada valor de variável x. Notas de Aula: Revisão de fuções e geometria aalítica REVISÃO DE FUNÇÕES Fução como regra ou correspodêcia Defiição : Uma fução f é uma regra ou uma correspodêcia que faz associar um e somete um valor

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