SA-LTF: UM ALGORITMO BASEADO EM SIMULATED ANNEALING PARA DISTRIBUIÇÃO DE FORÇAS EM UM LAMINADOR DE TIRAS A FRIO

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1 SA-LTF: UM ALGORITMO BASEADO EM SIMULATED ANNEALING PARA DISTRIBUIÇÃO DE FORÇAS EM UM LAMINADOR DE TIRAS A FRIO Maxwell Rodrigo Silva Oliveira Programa de Pós-graduação em Modelagem Matemática Computacioal Cetro Federal de Educação Tecológica de Mias Gerais (CEFET MG) maxwellrsoliveira@gmail.com Marcoe Jamilso Freitas Souza Departameto de Computação, Uiversidade Federal de Ouro Preto Campus Uiversitário, CEP , Ouro Preto, MG, Brasil marcoe@iceb.ufop.br RESUMO A Lamiação a Frio em tadem de uma tira de aço é um processo complexo ão liear multivariável com elevado ível de desafio em seu cotrole. As iúmeras variáveis evolvidas são ieretes à atureza dos diferetes tipos de aço processado, do equipameto em si e dos isumos utilizados, como os cilidros de lamiação. Um dos pricipais parâmetros do processo que ifluecia diretamete a qualidade do material produzido é a força de lamiação aplicada sobre os cilidros em cotato direto com a tira de aço em processo. O cálculo das forças de lamiação evolve equações e parâmetros ão lieares, torado o cálculo direto uma tarefa complexa. O objetivo deste trabalho é propor um método de cálculo e distribuição equilibrada das forças de lamiação etre as cadeiras do lamiador utilizado a metaheuristica Simulated Aealig e o método do Gradiete para refiar as soluções ecotradas. PALAVRAS CHAVE: Distribuição de Forças a Lamiação a Frio, Simulated Aealig, Metaheurísticas. ABSTRACT The Tadem Cold Rollig of steel strip is a complex oliear multivariable process with a high cotrol challege. Variables associated to the process are due to ature of rolled steel, the mill by itself ad cosumables as mill cyliders. Oe mai process parameter highly associated to the quality of fiished product as the rollig load applied o work rolls i direct cotact with rolled strip. Calculatio of these loads uses oliear equatios ad parameters, which makes a direct calculatio a complex task. This work aims to propose a method of rollig load calculatio ad equilibrate distributio amog rollig stads based o Simulated Aealig metaheuristic ad the Gradiet method to refie the solutios. KEYWORDS: Tadem cold rollig force distributio, Simulated Aealig, Metaheuristics.

2 1 Itrodução O processo de lamiação do aço cosiste basicamete a redução da espessura de uma tira de aço a uma espessura previamete defiida. É essecial que a espessura de saída apresete a meor variação possível, bem como as perdas o iício e fim do processameto do material sejam míimas. Na lamiação a frio, a tira de aço é submetida à elevada pressão resultate da força aplicada sobre os cilidros de trabalho do lamiador, etre os quais a tira é tracioada. Os cilidros de trabalho são motados em estruturas deomiadas cadeiras. Um lamiador a frio típico possui quatro ou cico cadeiras dispostas em tadem, que possibilitam a redução parcial da espessura do material em cada cadeira, até que seja atigida a espessura fial desejada. Neste trabalho propõe-se um algoritmo heurístico cujo objetivo é obter a melhor distribuição das forças de lamiação etre as cadeiras, dadas as características do material processado e os parâmetros desejados do produto acabado. O algoritmo proposto combia os procedimetos Simulated Aealig e Método do Gradiete. O primeiro foi usado devido ao seu sucesso a resolução de vários problemas ão lieares, como o da Competição Iteracioal de Timetablig (da Foseca et al., 2014). O segudo é usado para refiar periodicamete as melhores soluções geradas durate o processo de busca do primeiro. O restate deste trabalho está assim orgaizado. Na seção 2 o problema é descrito. Na seção 3 é apresetada a modelagem matemática do Lamiador, e a seção 4 a modelagem heurística e o detalhameto do algoritmo proposto. Na seção 5 são apresetados os resultados computacioais. A seção 6 coclui o trabalho e apreseta sugestões para trabalhos futuros. 2 Descrição do Problema O processo de lamiação a frio ocorre após o processo de lamiação a quete, ode blocos de aço, aquecidos em foros ou produzidos por ligotameto cotíuo, sofrem a coformação mecâica a quete, origiado tiras de aço, as quais, por sua vez, são eroladas em bobias. As bobias são etão deseroladas e a tira resultate é decapada para a remoção do óxido de ferro resultate do processo de lamiação a quete e oxidação atural do material durate o armazeameto. A tira decapada pode ser ovamete bobiada ou submetida à lamiação a frio, ode o material sofre ovamete coformação mecâica, sedo preservada a largura, reduzida a espessura e proporcioalmete aumetado o comprimeto do material. Em um lamiador de tiras a frio típico, a tira passa etre quatro ou cico pares de cilidros de trabalho com motorização idepedete, cada qual suportado em cilidros de apoio de diâmetro elevado. À medida que a tira de aço avaça etre os pares de cilidro de trabalho, sua espessura é sucessivamete reduzida. A redução a espessura é causada pela elevada força de compressão aplicada em uma pequea região etre os rolos de trabalho. Nesta região, o metal sofre deformação plástica e há um escorregameto etre a tira de aço e a superfície dos rolos de trabalho. A força de compressão ecessária é forecida por cilidros hidráulicos que atuam sobre os cilidros de apoio, que por sua vez, pressioam os cilidros de trabalho sobre a tira. A força aplicada é medida em células de carga istaladas em cada cadeira. A tesão aplicada etre cada cadeira, bem como a tesão de etrada são medidas por tesiômetros istalados etre cadeiras. A espessura da tira é medida cotiuamete a etrada do lamiador, após a primeira cadeira e ormalmete após a última cadeira. A espessura etre as demais cadeiras é estimada pelo sistema de cotrole cosiderado a velocidade agular dos motores de cada cadeira, diâmetro dos cilidros de trabalho e o escorregameto estimado (parâmetro de cotrole). A Tabela 1 apreseta as características de um Lamiador de Tiras a Frio de quatro cadeiras em tadem. A Tabela 2 apreseta os padrões de redução de espessura de três produtos distitos, como exemplo. Estes parâmetros variam para cada tipo de lamiador, do material processado e do padrão de redução desejado.

3 Figura 1: Lamiador de Tiras a Frio Cofiguração Cotiua. Fote: Udomphol (2007) Tabela 1: Parâmetros de um Lamiador de Tiras a Frio Parâmetro Dimesão Número de cadeiras 4 Largura da tira (mm) 750 a 1875 Espessura de etrada (mm) 1,2 a 5,3 Espessura de saída 0,24 a 2,25 Redução Global (%) 49 a 99 Distâcia etre cadeiras (mm) 4500 Diâmetro do cilidro de trabalho (mm) a 521 Diâmetro do cilidro de apoio (mm) 1250 a 1400 Força de lamiação (t) 100 a 3000 Tesão absoluta (t) 5 a 75 Tabela 2: Esquemas de lamiação de um Lamiador de Tiras a Frio Parâmetro Esquema de Lamiação Espessura de etrada (mm) 2,833 3,650 3,470 Espessura de saída cadeira 1 (mm) 1,736 2,006 1,932 Espessura de saída cadeira 2 (mm) 1,064 1,153 1,170 Espessura de saída cadeira 3 (mm) 0,735 0,749 0,738 Espessura de saída cadeira 4 (mm) 0,720 0,730 0,720 Força de lamiação cadeira 1 (t) Força de lamiação cadeira 2 (t) Força de lamiação cadeira 3 (t) Força de lamiação cadeira 4 (t) Modelagem Matemática Uma tira de metal com uma espessura h 0 é itroduzida etre os cilidros a uma velocidade v 0. A tira passa etão a abertura etre os cilidros e sai com a espessura reduzida h f a uma velocidade v f. A Figura 2 ilustra esta operação. Em apeas um poto da superfície de cotato etre o rolo e a tira, duas forças atuam sobre o metal: uma força radial P r e uma força de fricção tagecial F. Se a velocidade superficial do cilidro v r é igual a velocidade da tira, este poto é chamado de poto eutro ou poto sem escorregameto (ex: poto N a ). Etre o plao de etrada XX e o poto eutro, a tira move-se com velocidade iferior a superfície do cilidro e a força de fricção tagecial atual o setido de puxar o metal a direção do cilidro. No plao de saída YY, a tira move-se com velocidade superior a superfície do cilidro e este caso, o setido da força de fricção tagecial é iverso ao plao de etrada, opodo-se ao movimeto de saída da tira detre os cilidros.

4 Figura 2 Plao de Lamiação. Fote Udomphol (2007) Figura 3: Poto eutro ou de fricção ula. Fote Udomphol (2007) A compoete vertical P da força radial P r é deomiada força de lamiação, ou seja, a força com a qual os cilidros pressioam a tira. A pressão específica de lamiação p é obtida a partir da força de lamiação e a área de cotato etre a tira e os cilidros, defiida pela Eq. (1): p = P bl p Eq. (1) sedo b a largura da tira e L p o comprimeto projetado do arco de cotato do cilidro com a tira. O arco de cotato pode ser obtido pela aplicação da Eq. (2): L p = [R(h 0 h f ) (h 0 h f ) 2 4 ] 1/2 1 [R(h 0 h f )] 2 R h Eq. (2) Na Eq. (2), R é o raio do cilidro, h 0 a espessura de etrada da tira, h f a espessura de saída. Como o raio do cilidro de trabalho (ex: 450 mm) é muito maior que a difereça de espessura (ex: 2 mm), o termo (h 0 h f ) 2 /4 pode ser desprezado. Quado as forças de lamiação são trasmitidas para a área da tira em cotato com os cilidros, dois tipos de deformação elástica ocorrem: 1) os cilidros tedem a fletir ao logo de seu comprimeto uma vez que a área da tira pressioada exerce igual força o setido cotrário à força de lamiação ao mesmo tempo em que são comprimidos em suas extremidades e 2) os cilidros sofrem um achatameto a região em cotato com a tira em processo, resultado o aumeto do raio de curvatura dos cilidros. De acordo com Udomphol (2007) e Gudur et al. (2007), esse processo foi estudado por Hitchcock e modelado pela Eq. (3) R CP = R [1 + b(h 0 h f ) ] Eq. (3) em que C é uma costate obtida de acordo com a Eq. (4) e P é a força de lamiação baseada o raio do cilidro achatado. C = 16 (1 υ2 ) = 2.16 x Pa -1 Eq. (4) πe A seguir, é realizada uma aálise simplificada do processo de lamiação com o objetivo de apresetar o equacioameto ecessário à resolução do problema proposto este trabalho: o cálculo e distribuição da força de lamiação etre as cadeiras do Lamiador de Tiras a Frio. As pricipais variáveis evolvidas o processo de lamiação são: (i) o diâmetro dos cilidros; (ii) a resistêcia de deformação do material, variável em fução do processo metalúrgico, temperatura e a taxa de deformação; (iii) a fricção etre os cilidros e a tira e (iv) a preseça de tesões a etrada e saída o setido do plao de lamiação da tira. Cosiderado a codição de fricção ormal, a pressão de lamiação média poder ser calculada pela Eq. (5): p = σ 0 Q (eq 1) Eq. (5)

5 sedo Q = μl p /h e h a espessura média de etrada e saída da tira etre os cilidros, que pode ser obtida pela Eq. (6) O coeficiete de fricção μ varia em fução da força de lamiação, a quatidade e composição da emulsão aplicada durate a lamiação e desgaste dos cilidros sedo de difícil obteção. Assim, é cosiderado um parâmetro do modelo variável etre 0,03 a 0,07 a lamiação a frio. h = h o h f 2 Eq. (6) O fator σ 0 é calculado por meio da curva de deformação do aço, obtida a partir de uma amostra do aço submetida a testes de tração em laboratório. Essa curva pode ser aproximada pela Eq. (7), sedo α, β, γ e τ parâmetros de ajuste da curva. σ = α (γ + log ( h β 0 )) + τ h f Eq. (7) Cosiderado o efeito do achatameto do raio do cilidro em cotato com a tira durate a lamiação, Q pode ser obtido pela E. (8)): Q = μl p h = μ R h h Eq. (8) A força lamiação é obtida pelo produto da pressão de lamiação p e a área de cotato do cilidro e a tira, ou seja: P = σ [ 1 Q (eq 1)b R h] Eq. (9) Quado a tira em processo de lamiação é submetida a tesões o plao de lamiação, a força de lamiação é reduzida. A tesão a etrada da cadeira de lamiação é obtida através do cotrole da velocidade de etrada do lamiador ou da cadeira precedete. A tesão a saída da cadeira pode ser obtida pelo aumeto da velocidade de lamiação da cadeira seguite ou o caso da última cadeira, pelo aumeto da velocidade da bobiadeira. De acordo com Udomphol (2007), a aplicação de tesão sobre a tira a etrada da cadeira de lamiação é duas vezes mais efetiva que a aplicação a saída e o efeito da tesão aplicada sobre a tira a redução da pressão de lamiação pode ser obtida pela Eq. (10), em que σ h é a tesão horizotal sobre a tira: p = σ 0 σ h = 2 3 σ 0 σ h Eq. (10) Objetivado a simplificação do modelo utilizado, a Eq. (10) foi utilizada o desevolvimeto deste trabalho. 4 Modelagem Heurística do Problema 4.1 Represetação de uma Solução A força de lamiação em uma cadeira pode ser obtida a partir da Eq. (9), de maeira simplificada, se forem cohecidos: a curva de deformação do aço de origem da tira a ser lamiada; a espessura de etrada e saída desejada do material a cadeira de lamiação; a largura do material, cosiderada costate durate o processo; o diâmetro dos cilidros do trabalho, além das características mecâicas e elétricas do lamiador, como a força de lamiação que pode ser aplicada o material sem causar a deformação a estrutura da cadeira ou ruptura mecâica dos cilidros etre outros daos ao equipameto. A espessura de etrada h 0 e saída h f da tira em cada cadeira determiam a força de lamiação, cohecidos os demais parâmetros. A espessura de saída da cadeira é a espessura de etrada da cadeira +1 e assim por diate, até a saída do lamiador. A relação

6 h = (h 0 h f) / h 0 determia o fator de redução da tira quado a força de lamiação p é aplicada etre os cilidros. A solução do problema pode ser represetada como um vetor de posições, sedo o úmero de cadeiras do lamiador. A espessura de etrada o lamiador ocupa a primeira posição do vetor e as espessuras de saída de cada cadeira as posições seguites. A Figura 4 ilustra a represetação de uma solução para o problema evolvedo quatro cadeiras. Espessura da tira (mm) Etrada Saída Cadeira 1 Saída Cadeira 2 Saída Cadeira 3 Saída Cadeira 4 s 2,680 1,322 1,158 0,852 0,700 Figura 4: Exemplo de Solução do Problema 4.2 Estrutura de Vizihaça Dada uma solução s, para se ecotrar s, ode s é um viziho de s, é aplicado o seguite movimeto: alteração da espessura de saída de uma cadeira. A alteração cosiste em: 1º - Escolha de uma cadeira, etre 1 e -1 ode é o úmero de cadeiras do lamiador. A última cadeira uca pode ter sua espessura de saída alterada, pois é um requisito do produto fial. 2º - Defiição de uma espessura a ser somada ou subtraída da cadeira. O passo a ser utilizado é defiido como r = rad[0,1] ε, sedo ε um parâmetro do problema. 3º - Defiição da operação soma ou subtração a ser aplicada: um úmero aleatório z [0,1] é gerado. Se z 0,5, a soma é selecioada; do cotrário, a operação subtração é escolhida. 4º - Aplicação do movimeto. Como exemplo, aplicado-se o movimeto de adição com um passo de 0,2 mm a saída da cadeira 2, o ovo vetor de espessuras é dado pela Figura 5. Espessura da tira (mm) Etrada Saída Cadeira 1 Saída Cadeira 2 Saída Cadeira 3 Saída Cadeira 4 s 2,680 1,322 1,178 0, Figura 5: Exemplo de aplicação de movimeto 4.3 Fução de Avaliação A melhor distribuição da força de lamiação é obtida quado a variâcia v das forças de lamiação, dada pela Eq. (11), é míima. v(p) = (p i p ) 2 Eq. (11) Por sua vez, a força de lamiação em uma cadeira é limitada em uma faixa de operação. As restrições de força de lamiação podem ser modeladas pela Eq. (12). r força = mi ( p i p mihi, 0) α p maxhi p 1 + max ( p i p maxhi, 0) α mihi p maxhi p 2 mihi Eq. (12) Assim, para uma faixa de operação de 0 a KN, uma força de lamiação de KN ecotrada em uma cadeira resulta a aplicação da pealidade [( )/30000] 2 à fução defiida pela Eq. (12). A última cadeira do lamiador ormalmete utiliza cilidros de maior rugosidade que as demais com o objetivo de imprimir uma superfície a tira, permitido o acabameto superficial do material em processos subsequetes, como a pitura. Assim, sua cotribuição a redução da espessura da tira é limitada em uma faixa restrita (ex: etre 2 e 4%), determiada para cada tipo de material lamiado. Faixas de operação para a redução também podem ser aplicadas às demais cadeiras. Estas restrições podem ser modeladas como:

7 r redução = mi ( h i l mihi, 0) α 3 + max ( h i l maxhi, 0) α 4 Eq. (13) sedo h i, l mihi e l maxhi, respectivamete: a redução desejada e os limites míimo e máximo de redução da cadeira i. Os fatores α 3 e α 4 são fatores de pealização. A pealização de uma redução fora de faixa é proporcioal ao erro. Exemplo: para uma redução desejada de 10% e faixas de operação etre 2% e 4%, a pealização será: (0, ) α 4. Esta restrição é aplicada como pealidade à fução objetivo dada pela Eq. (11). A cotribuição da redução da espessura da tira em uma cadeira também é limitada pelo torque dispoível a motorização dos cilidros de trabalho e faixas de operação determiadas pela operação. O torque ecessário para realizar a redução desejada é calculado pela Eq. (14) M T = μpr Eq. (14) Faixas de operação de torque podem ser usadas como restrições e cálculo de pealidades, como realizada para as forças e reduções. Neste trabalho, por simplificação, as faixas de torque ão foram utilizadas como restrições. Para alcaçar a melhor distribuição de forças de lamiação, cosiderado as restrições impostas pelas faixas de operação de redução e força de lamiação, o algoritmo de otimização deve ser capaz de miimizar a fução f(p) = mi v(p) sujeito a r força, r redução. A fução de avaliação utiliza as reduções obtidas para cada cadeira e as forças de lamiação calculadas. O objetivo é obter a melhor distribuição da força de lamiação, atededo as restrições impostas pelas faixas de redução e forças permitidas para cada cadeira. A fução f a ser miimizada este trabalho, pode ser, etão, represetada pela Eq. (15): f(p, r) = β 1 ( (p i p ) 2 ) + β 2 ( mi ( p i p mihi, 0) α p maxhi p 1 + max ( p i p maxhi, 0) α mihi p maxhi p 2 ) + mihi β 3 ( mi ( h i l mihi, 0) α 3 + max ( h i l maxhi, 0) α 4 ) Eq. (15) Esta fução é obtida a partir das equações (11), (12) e (13). Os parâmetros β 1, β 2 e β 3 defiem os pesos da variâcia da força de lamiação, as restrições de força e redução, respectivamete. 4.4 Geração da Solução Iicial A solução iicial é obtida calculado-se as forças de lamiação ecessárias à redução da espessura do material. Dada a espessura de etrada h 0 e saída h f do lamiador, é calculada a redução total pela equação h = (h 0 h f) / h 0. Um úmero aleatório etre 0 e 1 é obtido e multiplicado pelo fator de redução h, sedo o resultado utilizado com fator de redução para a primeira cadeira. A espessura de saída obtida é utilizada como espessura de etrada da próxima cadeira. Igualmete, um ovo úmero aleatório é gerado e determiada a redução da cadeira. Este processo é repetido até a peúltima cadeira, sedo a redução restate imposta para a última cadeira. A Tabela 3 apreseta um exemplo de distribuição de reduções para a geração da solução iicial cosiderado um lamiador composto por quatro cadeiras. Cadeira Tabela 3: Exemplo de distribuição de reduções para geração de uma solução iicial Espessura de Etrada (mm) Espessura global de saída (mm) Redução ecessária (%) Número aleatório etre 0 e 1 Redução (%) Espessura de Saída (mm) 1 2,680 0,750 72% 0,704 51% 1,322

8 2 1,322 0,750 43% 0,286 12% 1, ,158 0,750 35% 0,751 26% 0, ,852 0,750 12% 12% 0, Simulated Aealig Simulated Aealig SA (Pereira e Vascocelos, 2012) é uma metaheurística ispirada o processo físico de recozimeto de um sólido para obteção de estados de baixa eergia a área da física da matéria codesada. O método permite trasições de piora a solução para escapar de ótimos locais. Seu pseudocódigo é mostrado a Fig. 6. procedimeto SA 1. Seja s0 uma solução iicial, T0 a temperatura iicial, a taxa de resfriameto e SAmax o úmero máximo de iterações para se atigir o equilíbrio térmico; 2. s s0; {Solução correte} 3. s' s; {Melhor solução obtida até etão} 4. T T0; {Temperatura correte} 5. IterT 0; {Número de iterações a temperatura T} 6. equato (T > 0) faça 7. equato (IterT < SAmax) faça 8. IterT IterT + 1; Gere um viziho qualquer s N (s); 9. = f(s ) f(s); 10. se ( < 0) 11. etão 12. s s ; se f(s ) < f(s * ) etão s * s ; 13. seão 14. Tome x [0,1]; se x < e - /T etão s s ; 15. fim-se; 16. fim-equato; 17. T T; IterT 0; 18. fim-equato; 19. Retore s * ; fim SA; Figura 6: Pseudocódigo do Algoritmo Simulated Aealig No SA parte-se de uma solução qualquer e de uma temperatura T. O procedimeto pricipal cosiste em um laço em que são geradas soluções vizihas à solução atual por SAmax iterações e em seguida a temperatura é reduzida. O laço pricipal termia quado há o cogelameto do sistema, ou seja, quado T = 0. A cada iteração a mesma temperatura, a solução viziha gerada é comparada com a solução correte e se ela for melhor que esta, ela a substitui. Se a solução for de piora, aida assim ela poderá ser aceita, desde que um úmero aleatório etre 0 e 1 seja meor que e - /T. O termo em e - /T represeta uma quatidade equivalete à piora da melhor solução comparada à solução viziha gerada. À medida que a temperatura é reduzida, a chace de soluções piores serem aceitas é reduzida quase a zero. 4.6 Temperatura Iicial A temperatura T determia a probabilidade de aceite de soluções de piora do algoritmo. Neste trabalho, a temperatura iicial é defiida por simulação, tal como em Souza (2012). Assim, dada uma temperatura e uma solução iicial quaisquer, um laço de SAmax iterações é executado, sedo calculada a cada iteração um valor etre a melhor solução e uma solução viziha gerada aleatoriamete. Caso a solução seja de melhora, ela é aceita; caso cotrário, ela pode ser aceita com a probabilidade rad(0,1) x e - /T. Se em SAmax iterações forem aceitas SAmax soluções de melhora, a temperatura obtida é retorada como temperatura iicial; caso cotrário, a temperatura é elevada por um fator, tal que a ova temperatura seja T T e o laço é reiiciado. Os parâmetros e foram fixados os valores 0,90 e 1,1, respectivamete. Desta forma, a temperatura iicial é aquela a qual 90% dos movimetos realizados são aceitos, o que está em harmoia com o processo de recozimeto, que exige uma temperatura iicial alta.

9 4.7 Método do Gradiete Este método cosiste em calcular o gradiete da fução objetivo associada à solução correte e, em seguida, reavaliar a fução objetivo cosiderado o deslocameto da solução correte em direção oposta ao do gradiete ecotrado, multiplicado por um fator β. Um ovo gradiete é calculado, etão, a partir da ova solução obtida até que ão seja possível uma melhora a fução ou que o úmero máximo de iterações teha sido alcaçado. O pseudocódigo deste procedimeto é mostrado a Figura 7. procedimeto Gradiete 1. k 0 2. equato (critério de parada ão atigido) 3. g k gradiete(f( ), x k ) ; d k g k ; 4. k β f(x k + d k ) ; 5. x k+1 x k + k d k; k k + 1; 6. fim-equato fim Gradiete Figura 7: Pseudocódigo do Método do Gradiete O fator β determia o tamaho do deslocameto dado o setido oposto ao do gradiete da fução. Em Takahaski (2007) um método de otimização uidimesioal é utilizado para determiá-lo. Neste trabalho, o etato, um método simples é aplicado: Iicialmete, parte-se de um valor pequeo para β. A fução objetivo é, etão, calculada e seu valor comparado com o da fução objetivo correte. Caso seja melhor, β é multiplicado por 10 e a fução objetivo é calculada ovamete até que haja uma piora a solução ecotrada. O valor β imediatamete aterior à piora é utilizado o cálculo do gradiete. 4.8 Algoritmo proposto SA-LTF O algoritmo Simulated Aealig aplicado à Lamiação de Tiras a Frio, omeado SA- LTF, utiliza a metaheurística Simulated Aealig para busca do míimo global e o método do gradiete para refiar periodicamete a melhor solução ecotrada ao fial de cada laço de iterações uma mesma temperatura. A solução iicial é gerada de acordo com a Seção 4.4 e a temperatura iicial é defiida por simulação de acordo com a Seção 4.6. Em seguida, o método Simulated Aealig (Seção 4.5) é utilizado para a busca da melhor solução. Ao térmio do ciclo de avaliação da temperatura atual, o método do gradiete (Seção 4.7) é usado para refiar a melhor solução ecotrada. A melhor solução (espessuras de saída de cada cadeira) é retorada, bem como as reduções e forças de lamiação obtidas para cada cadeira. 5 Resultados Computacioais O algoritmo SA-LTF foi codificado a liguagem C# usado o compilador Visual Studio 2010 e testado em um computador Itel Core i7 de 2,7 GHz, com 16 GB de RAM e sistema operacioal Widows 7. Apeas um úcleo de processameto foi utilizado para executá-lo. Para testar o algoritmo SA-LTF foram usados valores de parâmetros reais de um lamiador de tiras a frio de quatro cadeiras. Os dados origiais ão são apresetados por serem cofideciais. Os parâmetros do algoritmo foram calibrados em uma bateria prelimiar de testes, sedo adotados para a defiição da temperatura iicial os seguites valores: = 1,10, γ = 0.9 e SAmax = Para o SA-LTF foram usados: = 0,98, SAmax = Para o método do gradiete foram usados: Δ = 10-8, β = 10-8 a 1 3, critério de parada = 100 iterações sem melhora e erro máximo de A solução iicial foi determiada usado o método descrito a Seção 4.4. Para geração da vizihaça, foi usado como passo de alteração da espessura o valor 0,05. Para a fução objetivo, foram adotados os seguites pesos: distribuição de força β 1 = 10000, pealidade de força fora de faixa β 2=100, α 1 e α 2 = 1, pealidade de redução fora de faixa β 3, α 3 e α 4 = 100. Foram utilizados 100 cojutos de dados de bobias (tiras) dispoíveis, bem como os diâmetros dos cilidros de trabalho usados a lamiação e a curva de deformação do aço.

10 Desvio de Força de Lamiação (T) Força de Lamiação (To) Fução Objetivo Para cada bobia foram executados 50 cálculos da distribuição da força de lamiação, limitado a redução da última cadeira (a quarta) etre 2% e 4%. A utilização do método do gradiete como úico método de miimização mostrou-se ieficiete em fução de sua característica de busca local, resultado em distribuições de força irregulares. Já o algoritmo Simulated Aealig permitiu a obteção de forças de lamiação equilibradas etre as cadeiras que puderam ser refiadas pela aplicação do método do gradiete, ao térmio de cada laço de mesma temperatura, em caso de melhora a solução obtida. A evolução da fução objetivo é mostrada para uma bobia com a aplicação do algoritmo Simulated Aealig isolado e com o refiameto pelo método do gradiete a Figura Evolução da fução objetivo pelo algoritmo Simulated Aealig puro e refiado pelo método do gradiete Ciclos de temperatura SA com melhora SA Puro SA Refiado Figura 8: Evolução da fo. pelo algoritmo Simulated Aealig puro e refiado pelo método do gradiete As forças de lamiação obtidas para uma tira são mostradas a Figura 9. O desvio padrão sobre a distribuição das forças de lamiação calculadas para uma tira em 50 execuções do algoritmo SA-LTF são mostrados a Figura 10. Força de Lamiação as cadeiras 1 a 4 calculadas para uma bobia em 50 execuções de SA-LTF CADEIRA 1 CADEIRA 2 CADEIRA 3 CADEIRA 4 Figura 9: Força de Lamiação as cadeiras 1 a 4 calculadas pelo SA-LTF em 50 execuções Desvio padrão da distribuição das forças de lamiação para uma bobia em 50 execuções de SA-LTF as cadeiras 1 a Execução Figura 10: Desvio padrão da distr. das forças de lamiação de uma bobia em 50 execuções de SA-LTF Como pode ser observado a Figura 9, a distribuição das forças de lamiação etre as três cadeiras do lamiador com faixas de redução livres apresetou excelete uiformidade a maioria dos testes realizados. O desvio padrão apresetado a Figura 10 refere-se ao mesmo cojuto de dados e em 82% dos testes foi da ordem de Quado

11 Desvio da Força de Lamiação (T) aalisado em relação à força de lamiação, para forças da ordem de 900 toeladas, o desvio máximo ecotrado este caso foi de 35 toeladas ou 3,8% em relação à média, sedo este desvio facilmete absorvido pelo sistema de cotrole quado utilizado em um lamiador real. O desvio padrão médio e máximo da distribuição das forças de lamiação as cadeiras 1 a 3 para 100 tiras é mostrado a Figura Desvio padrão médio e máximo da distribuição das forças de lamiação etre as cadeiras 1 a 3 em 50 execuções de SA-LTF para 100 bobias distitas Desvio Máximo Desvio Médio Bobia Figura 11: Desvio padrão médio e máximo da distribuição das forças de lamiação de uma tira em 50 execuções de SA-LTF para 100 bobias distitas. O tempo de execução de 50 testes em 100 bobias é apresetado a Tabela 4. Os resultados foram comparados com dados reais para a verificação qualitativa das soluções. Não foi possível uma comparação quatitativa, pois o lamiador usado como referêcia opera objetivado a melhor distribuição de redução em detrimeto à distribuição das forças de lamiação. Tabela 4: Tempo de execução do algoritmo SA-LFT em milissegudos Míimo (ms) Máximo (ms) Médio (ms) Desvio Padrão (ms) A força de lamiação da última cadeira apresetou valores muito baixos e icoeretes com as forças utilizadas em um lamiador real. Coforme Gudur et al. (2007), o modelo utilizado para a determiação da superfície de cotato do cilidro de lamiação com a tira em processo, desevolvido por Hitchcock é icapaz de estimar a deformação do cilidro e falha para pequeas reduções. Como esquemas de lamiação exigem uma redução média de 30% as demais cadeiras e o máximo 4% de redução a última cadeira, utilizada para acabameto do material, o modelo para o cálculo da força de lamiação desta cadeira deve ser aprimorado. O código-fote do modelo matemático do lamiador tomado como referêcia foi aalisado e verificou-se que a força essa última cadeira utiliza uma tabela de coeficietes de força específica para cada tipo de material processado, orgaizada em badas de largura, espessura e redução desejada. Como o fator de redução é praticamete fixo esta cadeira, poucos valores são tabelados. O desvio padrão médio da força de lamiação apresetado a Figura 11 mostra que o SA-LTF apreseta boa estabilidade quado os parâmetros de etrada são alterados. Foram utilizados dados de 100 bobias distitas, com diferetes cofigurações de espessura de etrada e saída, além de dados de cilidros e curvas de deformação do aço distitos. Para os desvios máximos observados muito acima do desvio médio, foi verificado que a solução iicial gerada era muito distate da melhor solução e o passo aplicado para gerar o viziho ão permitia movimetos que varressem mais amplamete o espaço de busca. Foram testadas diversas cofigurações de parâmetros, como o aumeto do úmero de iterações do Simulated Aealig e a mudaça do valor desse passo a tetativa de reduzir essas discrepâcias. No etato, essas alterações resultaram em piora o desvio médio das reduções e foram descosideradas. Como alterativa, uma ova solução iicial pode ser gerada e o algoritmo reexecutado. Caso seja ecotrada uma solução pior que a atual, o

12 algoritmo deve ser executado ovamete por um úmero máximo de vezes ou até que uma solução de melhora seja aceita. Esta proposta foi testada e cosiderada a mais viável. Como o processo de lamiação cotíua requer pelo meos 120 segudos para processar uma bobia, o algoritmo SA-LTF pode ser executado várias vezes para buscar uma solução melhor quado ocorrer um desvio acetuado. 6 Coclusões e Trabalhos Futuros Neste trabalho foi apresetado um algoritmo baseado em Simulated Aealig, omeado SA-LTF, para calcular a distribuição das forças de lamiação em um Lamiador de Tiras a Frio. O objetivo é alcaçar a uiformidade do processo e a melhor utilização da potêcia istalada. Os resultados obtidos mostraram que o SA-LTF apreseta boa estabilidade e eficiêcia quado utilizados diferetes esquemas de lamiação e materiais. Ressalta-se, etretato, que a força de lamiação obtida para a última cadeira foi muito iferior à força real utilizada o processo. De acordo com Gudur et al. (2007), a equação desevolvida por Hitchcock para cálculo do raio do cilidro achatado é icapaz de estimar a deformação dos cilidros para a lamiação de tiras fias e de dureza elevada particularmete para baixas reduções. Cosiderado que a última cadeira do lamiador é utilizada essas codições, um modelo mais preciso para a determiação da deformação dos cilidros é ecessário, como proposto por Fleck et al. (1992). Assim, para a utilização do algoritmo proposto em um processo real, tora-se ecessária a correção da força de lamiação obtida para a última cadeira. Um modelo adaptativo baseado o histórico de bobias lamiadas pode ser desevolvido, segregado os resultados reais por tipo de aço e faixas de redução utilizadas. Aida, um modelo para pequeas reduções pode ser implemetado e utilizado em cojuto com o modelo proposto. Agradecimetos Os autores agradecem à FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio ao desevolvimeto deste trabalho. Referêcias Fleck, N., Johso, K. L., Mear, M. E., & Zhag, L. C. (1992). Cold Rollig of foil. Proceedigs of the Istitutio of Mechaical Egieers, p. 119 a 131. Gudur, P., Salukhe, M., & Dixit, U. (27 de Juho de 2007). A theoretical study o the applicatio of asymmetric rollig for the estimatio of frictio. Acesso em 2014, dispoível em Sciece Direct: Kirkpatrick, S., Gelatt, C., & Vecchi, M. (1983). Optimizatio by Simulated Aealig. Sciece, pp , vol 220, No Skiea, S. S. (2008). The Algorithm Desig Maual. I: S. S. Skiea, The Algorithm Desig Maual (pp ). Spriger. Souza, M. J., & Araújo, F. C. (s.d.). Um método híbrido, baseado em Simulated Aealig e o Método dda Descida, para resolver o problema de seleção de projetos mieiros cocorretes. Acesso em 06 de Fevereiro de 2015, dispoível em Iteligêcia Computacioal para Otimização (CIC272): omputacioal.htm Takahashi, R. H. (Jaeiro de 2007). Notas de Aula - Otimização Escalar e Vetorial. Belo Horizote. Udomphol, T. (Ja-Mar de 2007). Rollig of Metals - Chapter 3. Acesso em Dezembro de 2014, dispoível em of metals.pdf.