Apoio às aulas MAT II INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II

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1 Apoio às alas MAT II INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II APOIO ÀS AULAS DE 05/06 Mael Martis Carla Martiho Aa Jorge Defiições Chama-se série mérica a ma expressão do tipo represetada abreviadamete o o aida i Os úmeros reais,,.,,. dizem-se termos da série e costitem a scessão de termo geral. As somas S S... S i i Desigam-se somas parciais da série e a scessão,,.,,. é deomiada scessão das somas parciais da série. A chama-se soma parcial de ordem /06

2 Apoio às alas MAT II Natreza de ma Série Uma série diz-se covergete se a scessão das somas parciais,, coverge para m úmero real S. Neste caso, o úmero S diz-se a soma da série., lim Uma série qe ão é covergete diz-se divergete. Das séries dizem-se da mesma atreza se forem ambas covergetes o ambas divergetes. Codição ecessária de covergêcia de séries : Se é covergete etão é m ifiitésimo, o seja, 0. Demostração: Lim ( S ) LimS ( ) LimS ( ) S S 0 LimS Álgebra de Séries Sejam e v séries com somas cohecidas, fiitas o ifiitas. ) A série da soma é igal à soma das séries, o seja, v + + v Exceto o caso em qe ambas as somas são ifiitas de sial cotrário ( ) o qe codz a ma idetermiação. ) O prodto de ma série por m escalar é igal à série qe reslta do prodto do escalar por todos os ses termos, o seja, k k ) A série do prodto é meor o igal ao prodto das séries, o seja, ( v) ( ) ( v) Exceto o caso em qe ma das somas é la e a otra ifiita (0 ) o qe codz a ma idetermiação /06

3 Apoio às alas MAT II FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Série Harmóica Chama-se série harmóica à série Esta série permite verificar qe m termo geral qe seja m ifiitésimo ão gera ecessariamete ma série covergete. Facilmete se verifica qe: > 4 > 4 8 > 8 6 E podedo este processo repetir-se vezes, verifica-se qe a Soma da série S LimS Lim + O seja, a série é divergete Série Geométrica Chama-se série geométrica a ma série do tipo 0 a r, com a,r IR\ { 0} Tedo em ateção qe o termo geral da série costiti ma progressão geométrica de razãor, tem-se qe a soma parcial de ordemédada por: r S a r Logo coverge para m limite fiito se e só se < Nestas codições, a soma da série é dada por NOTA: a S lims r O valor de a coicide com o primeiro termo da série, o seja, a /06

4 Apoio às alas MAT II Série Geométrica Exemplo : Determie a atreza da série. Caso seja covergete, calcle a sa soma. + + º Obter a razão r + A série, logo covergete pois soma é igal a é ma série geométrica de razão <. Sedo covergete a sa assim a série é covergete; a º Cálclo da soma a S r OU r < Série Geométrica Exemplo : Determie a atreza da série covergete, calcle a sa soma. ( ).Caso seja OU º Obter a razão assim a série é covergete; º Cálclo da soma A série de razão é ma série geométrica, logo covergete pois <. Sedo covergete a sa soma é igal a 9 r ( ) + ( ) + ( ) ( ) a a S r r 4 ( ) 4 < /06 4

5 Apoio às alas MAT II Série Geométrica Exemplo : Mostre qe 0,999(9) 0, 999 ( 9) ( 0) Série geométrica de razão r logo covergete, pois < A sa soma é dada por S a r Série Geométrica Exemplo 4: Determie a atreza da série covergete, calcle a sa soma.. Caso seja A série pode ser decomposta em das séries: +. A primeira é ma série geométrica de razão, logo divergete pois > e a segda é ma série geométrica de razão, logo covergete pois <. A série é assim divergete pois reslta da soma de ma série divergete e de ma série covergete /06 5

6 Apoio às alas MAT II Série de Megoli Chama-se série redtível o de Megoli a todas as séries cja soma se pode redzir a m úmero fiito de parcelas, permitido deste modo o cálclo da sa soma. De m modo geral ma série de Megoli é ma série da forma, k é úmero atral fixo Parak obtemos a série. A scessão das somas parciais é dada por + E lim Série de Megoli Cocli-se assim qe: a série de Megoli é covergete se e só se é covergete. A sa soma é dada por. Geeralizado para a série de Megoli esta é covergete se e só se é covergete. A sa soma é igal a /06 6

7 Apoio às alas MAT II Série de Megoli Exemplo : Determie a atreza da série A série pode ser escrita a forma ( ) A scessão das somas parciais será obtida fazedo S ( ) 5 A soma da série é dada por S LimS Lim A série dada é covergete e a sa soma é. ( ) Série de Megoli Exemplo : Determie a atreza da série + l A série pode ser escrita a forma A scessão das somas parciais será obtida fazedo S l + + l l + l ( ( ) ( )) l( ) l( ) l( 4) l( ) l( 5) l( ) 4 l( 6) l( 4) ( + ) l( ) l( + ) l( ) l( + ) + l( + ) l( ) l( ) A soma da série é dada por A série dada é divergete. [ ( + ) + l( + ) l( ) l( )] + S LimS Liml /06 7

8 Apoio às alas MAT II Série de Dirichelet As séries do tipo, R chamam-se séries de Dirichelet Prova-se qe: Se > a série é covergete Se a série é divergete Exemplo: A série, é covergete pois > Séries de termos ão egativos Critérios de Comparação Uma série diz-se de termos ão egativos se 0 º Critério de Comparação Sejam e das séries de termos ão egativos tais qe, para N,, etão: Se é covergete, etão a série é também covergete Se é divergete, etão a série é também divergete. Exemplo: Determiar a atreza < >, logo como a série é covergete (série de Dirichelet com >) etão pelo Critério de Comparação a série é também covergete /06 8

9 Apoio às alas MAT II Séries de termos ão egativos Critérios de Comparação º Critério de Comparação Sejam ma série de termos ão egativos e ma série de termos positivos tais qe lim. Etão tem-se qe: a) Se 0, etão as séries são da mesma atreza. b) Se 0 e a série é covergete etão a série é também covergete. c) Se e a série é divergete etão a série é também divergete Séries de termos ão egativos Critérios de Comparação Exemplo - Estde a atreza da série Usado o º critério de comparação (CC), por comparação com a série de Dirichelet com (correspodete à difereça dos termo de maior gra de deomiador e merador respetivamete) Lim Lim Lim Lim Lim 0; + 0 As séries são da mesma atreza. Como a série harmóica é divergete, também o é a série dada /06 9

10 Apoio às alas MAT II Critério do itegral: Séries de termos ão egativos Critério do Itegral Seja f ma fção moótoa em [p,+ [ e seja f(), IN. Etão, o itegral impróprio e a série são da mesma atreza, o seja, o são ambos covergetes o são ambos divergetes. Exemplo : Estde a atreza do itegral + e x dx Cosidere a série e e e Série geométrica de razão (/e) logo covergete. Como a série é covergete, também o itegral impróprio o é Séries de termos ão egativos Critério de D Alembert o Critério da Razão Cosidere-se a série de termos positivos tal qe: Etão: + Lim k i) Sek<, a série é covergete; ii) Sek>, a série é divergete; iii)sek, ada se pode coclir. Neste último caso, deverá ser adotado otro processo de avaliação /06 0

11 Apoio às alas MAT II Séries de termos ão egativos Critério de D Alembert o Critério da Razão Exemplo - Estde a atreza da série Pelo critério da razão:! Lim + Lim Lim ( + )! + ( + ) ( + )! Lim +! ( + ) ( + )! ( + ) ( + )! Lim! + Lim + < e Assim, pelo critério de D Alembert a série é covergete Séries de termos ão egativos Critério de Cachy o Critério da Raiz Cosidere-se a série de termos ão egativos tal qe ( ) k Lim Etão: i) Se k <, a série é covergete; ii) Se k >, a série é divergete; iii) Se k, ada se pode coclir. Neste último caso, deverá ser adotado otro processo de avaliação /06

12 Apoio às alas MAT II Séries de termos ão egativos Critério de Cachy o Critério da Raiz Exemplo - Estde a atreza da série Usado o critério da raiz: Lim Aplicado m teoremas de apoio para o cálclo cálclo de limites tem-se: Lim Assim, * Lim Lim a série é covergete. ( ) * + ( ) a Lim Lim( ) + a Lim < Séries de termos ão egativos Critério de Cachy o Critério da Raiz Exemplo - Estde a atreza da série + Usado o critério da raiz de Cachy: + lim lim lim + + lim + < e Logo pelo critério da Cachy a série é covergete /06

13 Apoio às alas MAT II Séries alteradas Chama-se série alterada a ma série do tipo com 0 Critério de Leibitz: Cosidere-se a série alterada. Se o se termo geral for decrescete e 0, etão a série alterada diz-se covergete. Exemplo: Estde a atreza da série ( ) A série dada é ma série alterada de termo geral (/) ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) lim 0 0; Como o termo geral tede para zero e é decrescete, a série alterada é covergete < 0 + < ; Covergêcia absolta Dada ma série de termo geral, chama-se série dos módlos à série Uma série diz-se: absoltamete covergete se a correspodete série dos módlos for covergete. simplesmete covergete se for covergete e a correspodete série dos módlos for divergete. NOTA: Uma série de termos ão egativos covergete diz-se absoltamete covergete visto qe coicide com a correspodete série dos módlos /06

14 Apoio às alas MAT II Covergêcia absolta Exemplo Verifiqe se a série é absoltamete covergete, simplesmete covergete o divergete. ( ) Como a sa série dos módlos é a série harmóica, logo é ma divergete. Deste modo a série ão é absoltamete covergete. No etato como a série alterada é covergete (ver exemplo séries alteradas) etão esta diz-se simplesmete covergete Séries de Potêcias As séries de potêcias, também desigadas por série iteiras, são séries do tipo a x,x IR De forma geérica, é possível ecotrar m valor R > 0, desigado por raio de covergêcia, tal qe, para x,, a série de potêcias diz-se absoltamete covergete. A este itervalo chama-se itervalo de covergêcia, Nos potos exteriores desse itervalo,,+ a série será divergete /06 4

15 Apoio às alas MAT II Séries de Potêcias Para qe o estdo seja possível, recorrer-se-á à série dos módlos, permitido a tilização dos critérios da raiz o da razão. Calclo do raio de covergêcia pelo Critério da raiz de Cachy: Spodo qe ( a ) k Lim Etão, Lim a x Limx ( a ) xlim( a ) xk Qado xk < x ; k k a série diz-se absoltamete covergete Séries de Potêcias Calclo do raio de covergêcia pelo Critério da Razão de D Alembert Spodo qe + a Lim a k Etão, Qado a x Lim ax a Limx a a xlim + a xk xk < x ; a série diz-se absoltamete covergete k k NOTA: Em ambos os casos, os limites do itervalo é ecessário fazer o estdo da série mérica obtida. Para os potos exteriores ao itervalo, a série de potêcias diz-se divergete /06 5

16 Apoio às alas MAT II Séries de Potêcias Exemplo - Determie para qe valores dex a série x, > 0 a a é absoltamete covergete, simplesmete covergete, o divergete. Pelo critério da razão a série dos módlos, Lim + x a ( + ) x a + x < x < a a Lim Raio de covergêcia da série é igal a a. x + a + ( + ) a a + a ( x< a) ( x> a) x x Lim x Séries de Potêcias Exemplo Cotiação Se x ] a;a[ a série diz-se absoltamete covergete; Se ] [ U] [ x ; a a; + Paraxa, a série fica a série diz-se absoltamete covergete; a a É a série harmóica logo divergete. Parax a, fica ( a) ( ) a É a série harmóica alterada, qe já vimos ateriormete qe é simplesmete covergete /06 6

17 Apoio às alas MAT II Séries de Potêcias Exemplo Caracterize para os diferetes valores dex, a série x Pelo critério da raiz a série dos módlos, temos: Lim x xlim x 0 0<, x IR Assim, x IR, a série diz-se absoltamete covergete Séries de Potêcias Exemplo Caracterize para os diferetes valores dex, a série e x ( ) Pelo critério da raiz a série dos módlos, temos: Lim e e e Lim x x x Logo será absoltamete covergete se e < e< x x > e x < e x ( ) ( ) ( x> e+ ) ( x< e+ ) O Raio de covergêcia da série ére; Se Se ] [ ] [ ] [ x ; e+ U e + ; + a série diz-se absoltamete covergete; x e + ;e+ a série diz-se absoltamete covergete; /06 7

18 Apoio às alas MAT II Exemplo Cotiação Séries de Potêcias Paraxe+, a série fica e ( e+ ) série divergete porqe o termo geral ão tede para 0; Parax-e +, a série fica e ( e+ ) ( ) série divergete pelo mesmo motivo Aplicações às Ciêcias Empresariais Exemplo - No dia de Jaeiro de 859 foram libertados a Astrália 4 coelhos. O ameto da poplação de coelhos o mês faz-se de acordo com a regra,5,5. Caso o processo se mateha costate, determie as existêcias o fial do primeiro ao e avalie a ecessidade de, em algm mometo, ter de se alterar esta regra de crescimeto? Nota: represeta a parte iteira de. A poplação de coelhos cresce de acordo com a segite regra: U U 0 4; U 5, 5, ; U 5, 5, 4 + 5, 5, ;...;U 5, 5, + S 4+ 5, 5, o fim dos meses o úmero de coelhos é de caso ada se altere, a soma de coelhos crescerá obtedo-se: S LimS Lim + ( 4+ 5, 5, ) ; 5, 5 7 S 4+, /06 8

19 Apoio às alas MAT II Aplicações às Ciêcias Empresariais Exemplo - Uma bateria recarregável, após o primeiro carregameto, dra 8 horas. De cada vez qe é recarregada, dra meos 0,8% do qe o carregameto imediatamete aterior. Idiqe o tempo de vida útil da bateria até ão ser possível recarregá-la. O tempo de vida da bateria pode ser represetado por: + + 0, É ma série geométrica de razão, covergete. O tempo de vida útil é dado pela soma da série: a S r O seja, a bateria drará mil horas Aplicações às Ciêcias Empresariais Exemplo - Uma empresa imobiliária iicio a atividade com 00 casas e, aalmete, vede 4/5 das sas dispoibilidades costrido mais 00 casas. Spodo qe os ritmos de costrção e de veda se matêm costates, idetifiqe as sas dispoibilidades a logo prazo. S 00; 0 S ; 5 5 S ; 5...;S 00 i 0 5 É ma série geométrica de razão, covergete. i A soma da série forece as dispoibilidades de logo prazo: S Dispoibilidade a logo prazo será de 50 casas /06 9

20 Apoio às alas MAT II Aplicações às Ciêcias Empresariais Exemplo 4 - Uma istitição de crédito cocebe a segite modalidade de empréstimo: O valor p emprestado é pago a partir do º mês, garatido qe até ao istate foi pago m total de: p+ p + Tedo pedido eros emprestados, determie o valor pago o 7º mês e compare valor total qe virá a ser pago o fial do processo com o valor iicialmete pedido. A soma dos valor pagos até ao istate é dada por S p+ p Aplicações às Ciêcias Empresariais Exemplo 4 Cotiação Logo, o valor pago o istateserá dado por U S S p+ p p + + p( ) ( ) + p+ p p p + + ( p+ p)( + ) ( p p)( + ) 5p ( + )( + ) ( + )( + ) No 7º mês deverá pagar 588, 4 eros; 7 5 ( ) ( ) No fial do processo pago: p + p p+ p S LimS Lim Lim p o seja,,5 vezes o valor pedido /06 0