Resolução das equações

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1 Resolução das equações Equação de Difusão (calor) (1D) Equação de odas (corda vibrae) (1D) Equação de aplace (2D) Odas acúsicas: corda (1D) e ambor (2D); odas de água, odas eleromagéicas e odas sísmicas (3D).

2 Equação de odas (corda vibrae) (1D)

3 Problema específico Odas mecâicas em uma corda elásica de comprimeo, ligeiramee esicada ere dois supores sedo o eixo x ao logo da corda (violio,...). Desprezados os efeios de amorecimeo resisêcia do ar. Deslocameo da corda u(x,) 0 x a 2 2 u x 2 = 2 u 2 a 2 = F ρ - F é a força - é a massa/uid. comp. - Codição iicial em = 0 - u(x,0) = f(x) : posição iicial - u (x,0) = g(x) (u = du/d): velocidade iicial - Codição de cooro: u(0,) = u(,) = 0 para 0. (parado as exremidades em qq momeo)

4 Resolução: dois casos 1) Corda elásica com deslocameo iicial ão ulo: u(x,0) = f(x) e u (x,0) = 0 2) Corda elásica colocada em movimeo a parir da posição de equilíbrio u(x,0) = 0, mas com velocidade iicial u (x,0) = g(x). a 2 2 u x 2 = 2 u 2 Separação de variáveis: u(x,) = X(x) T() d 2 X dx X = 0 d 2 T d a 2 T = 0

5 Caso 1 Corda elásica com deslocameo iicial ão ulo: u(x,0) = f(x) e u (x,0) = 0

6 - Codição de cooro: u(0,) = u(,) = 0 para 0. (parado as exremidades em qq momeo) d 2 X dx X = 0 X x = A 1 si x +A 2 cos x d 2 T d a 2 T = 0 T = B 1 si a +B 2 cos cos a

7 d 2 X dx X = 0 - Codição de cooro: u(0,) = u(,) = 0 (somee x!) - A 2 = 0 - A = = π X x = X (x) = A 1 () si π x Da equação em : T = B 1 () si πa u = X(x) T() X x = A 1 si x +A 2 cos x +B 2() cos πa u x, = A 1 () si π x B 1() si πa u x, = si π x A si πa +B cos πa +B 2() cos πa

8 u x, = si π x A si πa +B cos πa Aplicado-se a codição iicial: u(x,0) = f(x) e u (x,0) = 0 u x, = si π u x, 0 = si π πa x u (x,0) = 0 x πa A cos πa A 1 B 0 = 0 B si πa A = 0 u x, = B cos πa si π x Solução geral é a superposição liear de odos u (x,) u x, = B cos πa si π x

9 Resulado para as codições: u(x,0) = f(x) e u (x,0) = 0 u x, = B cos πa si π x Só fala aplicar a codição: u(x,0) = f(x) f x = B si π x Coeficiees B são os coeficiees de Fourier e depedem da forma de f(x). B = 2 f x si πx 0 dx

10 Aálise u x, = B cos πa si π x Para um valor fixo de a fução é periódica o empo cujo período é T = 2/a, pois: cos πa = cos ω ω = πa T = 2π ω São as frequêcias aurais da corda, ou seja, as frequêcias o qual a corda vibra livremee.

11 Aálise (co.) u x, = B cos πa si π x O faor depedee da posição si π x represea o padrão de deslocameo que ocorre a corda ao vibrar em uma dada frequêcia. Cada padrão de deslocameo é chamado de modo aural de vibração e é periódico em x com período o comprimeo de oda do modo de frequêcia Veor de oda = k = 2 / λ = 2 ω que é = πa

12 Resumido... Em : ω = πa ; T = 2π ω T = 2 a Em x: k = π ; = 2π k = 2 u x, = B cos ω si k x com f x = B si π x

13 Caso 2 Corda elásica colocada em movimeo a parir da posição de equilíbrio. Codição iicial: u(x,0) = 0, u (x,0) = g(x).

14 - Codição de cooro: u(0,) = u(,) = 0 para 0. (parado as exremidades em qq momeo) d 2 X dx X = 0 X x = A 1 si x +A 2 cos x d 2 T d a 2 T = 0 T = B 1 si a +B 2 cos cos a

15 - Como as equações difereciais são as mesmas e as codições de cooro são as mesmas o resulado aes de aplicar as codições iiciais são as mesmas do caso 1: u x, = si π x A si πa +B cos πa - Aplicado-se a primeira codição iicial, u(x,0) = 0 : B = 0 u x, = A si π x si πa Solução geral é a superposição liear de odos u (x,) u x, = A si π x si πa

16 - Aplicado-se a seguda codição iicial: u (x,0) = g(x). u x, = A si πx πa si u x, = u x, = A si πx πa πa cos - u (x,0) = g(x) ou seja para = 0. u x, 0 = A si πx πa = g(x)

17 u x, 0 = A si πx - Reescrevedo como: g(x) πa = A si πx πa = g(x) - Chamado de: g(x) πa = f(x) f x = B si π x A = 2 πa 0 A = B - Ou seja: g(x) si π x B = 2 0 f x si π x A = 2 g(x) si π πa 0 x

18 Fialmee u x, = com A si π x si πa A = 2 g(x) si π πa 0 x

19 Equação de odas (corda vibrae) (1D) a 2 2 u x 2 = 2 u 2 d 2 X dx X = 0 d 2 T d a 2 T = 0 Separação de variáveis 0 u(x,) = X(x) T() X x = A 1 si x +A 2 cos x T = B 1 si a +B 2 cos cos a Mesmas codições de cooro para os dois casos: u(0,) = u(,) = 0 para 0. (parado as exremidades em qq momeo) Muda a codição iicial x Corda elásica com deslocameo iicial ão ulo: u(x,0) = f(x) e u (x,0) = 0 B cos πa B = 2 0 f x si π x si π x Corda elásica colocada em movimeo a parir da posição de equilíbrio. Codição iicial: u(x,0) = 0, u (x,0) = g(x). A = 2 A si π πa 0 x si πa g(x) si π x