MAP0214 Cálculo Numérico com

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1 MAP0214 Cálculo Numérico com Aplicações em Física 2 o Semestre de June 19, Método dos Mínimos Quadrados em duas variáveis 1.1 Introdução. O objetivo deste texto é apresentar aplicações do o Método dos Mínimos Quadrados para aproximar uma função F : [a, b] [c, d] R no caso discreto. 1.2 Aproximação de F se conhecemos uma tabela de F Suponha que queremos aproximar uma função F que está tabelada nos pontos (N 1 + 1)(N 2 + 1) pontos (x i, t j ) [a, b] [c, d] definidos por x i = a + ih = a + i b a i(b a) = a +, i = 0, 1,..., N 1, N 1 N 1 t j = c + jh = c + j d c N = c + j(d c) N 2, j = 0, 1,..., N 2, pelo Método dos Mínimos Quadrados por uma função da forma G(x, t) = K c l G l (x, t) l=1 onde G l (x, t), l = 1,..., k são funções dadas. O produto escalar natural numa situação destas é H 1 H 2 = i = 0,..., N 1, j = 0,..., N 2 N 1 N 2 H 1 (x i, t j )H 2 (x i, t j ) = H 1 (x i, t j )H 2 (x i, t j ). i=0 j=0 1

2 2 Nosso problema Estamos interessados em aplicar essa teoria ao estudo do movimento de uma corda vibrante de comprimento num plano xz com extremidades fixadas no eixo x em x = 0 e x =, que vibra transversalmente ao eixo x. Isto significa que z = u(x, t) dá a posição do ponto x da corda no instante t. Note que u(0, t) = 0, t e u(, t) = 0, t. Sob certas condições, o movimento da corda pode ser modelado pela equação 2 u t 2 = c2 2 u x 2 (1) onde c > 0, segue da teoria de EDP que é razoável buscar uma aproximação da solução da forma k ũ(x, t) = a l g l (x, t) + b l h l (x, t) (2) onde l=1 g l (x, t) = cos(l π ct) sin(l π x) (3) h l (x, t) = sin(l π ct) sin l( π x), l = 1,..., k. Se temos uma tabela da solução u(x, t) em pontos (x i, t j ) [0, ] [0, T ] da forma x i = i, i = 0, 1,..., N, (4) N t j = jt, j = 0, 1,..., M, M é razoável (devido a considerações físicas endoçadas pela teoria matemática) considerar uma tabela maior, obtida fazendo-se a reflexão ímpar na variável x. Assim, passamos a ter pontos (x i, t j ) da forma x i = i, i = N + 1, N + 2,..., 0, 1,..., N, (5) N t j = jt, j = 0, 1,..., M. M (Não usamos o valor i = N porque a extensão de u teria o mesmo valor em (, t) e em (, t), e usar ambos seria privilegiar o valor de u na extremidade x =.) Note que para definir a extensão ímpar de u na variável x nos pontos da tabela basta tomar 2

3 u(x i, t j ) := u(x i, t j ), i = N + 1, N + 2,..., 1, e para os outros valores de i usar a tabela original. Adaptando os índices ao nosso caso, o produto escalar fica H 1 H 2 = i= N+1 j=0 H 1 (x i, t j )H 2 (x i, t j ). Assim, usando os produtos escalares auxiliares 1 na variável x e 2 na variável t definidos por v 1 v 2 1 = w 1 w 2 2 = v 1 (x i )v 2 (x i ) (6) i= N+1 w 1 (t j )w 2 (t j ), (7) j=0 temos g r g s = cos(r π ct) sin(r π x) cos(s π ct) sin(s π x) = cos(r π ct j) sin(r π x i) cos(s π ct j) sin(s π x i) = = i= N+1 j=0 i= N+1 j=0 i= N+1 [cos(r π ct j) cos(s π c t j)][sin(r π x i) sin(s π x i)] [sin(r π x i) sin(s π x i)] [cos(r π ct j) cos(s π ct j)] j=0 = sin(r π x) sin(s π x) 1 cos(r π ct) cos(s π ct) 2. ogo, g r g s = cos(r π ct) sin(r π x) cos(s π ct) sin(s π x) (8) Analogamente, = sin(r π x) sin(s π x) 1 cos(r π ct) cos(s π ct) 2. h r h s = sin(r π ct) sin(r π x) sin(s π ct) sin(s π x) (9) = sin(r π x) sin(s π x) 1 sin(r π ct) sin(s π ct) 2, 3

4 e g r h s = cos(r π ct) sin(r π x) sin(s π ct) sin(s π x) (10) = sin(r π x) sin(s π x) 1 cos(r π ct) sin(s π ct) 2. Da Análise Harmônica Discreta sabemos que se k < N 1 então sin(r π x) sin(s π N, se s = r = 1,..., k x) 1 = Em consequência, g r g s = h r h s = g r h s = N cos(r π ct) cos(s π ct) 2, se s = r = 1,..., k N sin(r π ct) sin(s π ct) 2, se s = r = 1,..., k N cos(r π ct) sin(s π ct) 2, se s = r = 1,..., k Assim, g 1,..., g k, h 1,..., h k são ortogonais e consequentemente os coeficientes da função aproximadora ũ são dados por a l = u g l g l g l, b l = u h l h l h l. (11) 4

5 3 EXERCÍCIO PROGRAMA 3.1 O que programar Seu programa pode ser feito numa linguagem de programação como C, Fortran, Pascal, ou ser desenvolvido usando um programa específico para computação científica como MAPE, MATHEMATICA ou MATAB, e deve conter (a) eitura dos valores de c, do comprimento da corda e do instante de tempo final T. (b) eitura dos números M e N que definem os pontos da malha em que a função u é conhecida. (c) Cálculo ou eitura dos valores u ij = u(x i, t j ), i = 0, 1,..., N, j = 0, 1,..., M nos pontos (x i, y j ) da malha. (d) eitura do valor k que deve ser usado ao procurar a função aproximadora ũ. (e) Funções g l, h l. (g) Obtenção dos coeficientes a l, b l, l = 0, 1,..., k da função aproximadora ũ. (h) Gráfico da função aproximadora obtida e da função tabelada que foi aproximada. 3.2 Dados para os testes Você deve testar seu programa em dois casos, para valores dos parâmetros c,, T, M e N dados, e para diversos valores do parâmetro k. I. Primeiro teste: a tabela u ij = u(x i, t j ) deve ser gerada a partir de uma solução exata do problema da corda finita com extremidades fixas, u(x, t) = 1 2 (f(x + ct) + f(x ct)) + 1 2c x+ct x ct g(s)ds, com f(x) = x( x) (posição inicial) e g(x) = x( x) (velocidade inicial). Tome c = 1, = 2, T = 3, M = 30, N = 20 e faça aproximações usando k = 1, k = 2, k = 3, k = 6, k = 9. II. Segundo teste: A tabela u ij = u(x i, t j ), em arquivo, e os valores dos parâmetros, serão disponibilizados em breve. Fique atento! 5

6 4 Observação O Exercício Programa pode ser feito individualmente ou em grupos de 2 alunos. Sobre o Exercício Programa, devem ser entregues: disquete, impressão da listagem e da saída. 5 Testes Complementares Interessantes (a) f(x) = x( x), g(x) = 0. (b) f(x) = 0, g(x) = x( x). (c) g(x) = 0 e f(x) = ɛ x ɛ se x [0, 2ɛ], 0, se x [2ɛ, ] x, se x [0, 2ɛ], ou seja, f(x) = 2ɛ x, se x [ɛ, 2ɛ], 0, se x [2ɛ, ] onde 0 < ɛ <<. 6 Data de Entrega e Comentários Serão disponibilizados em breve. Fique atento! 6