4 Método dos elementos distintos para simular rochas

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1 4 Méodo dos elemeos disios para simular rochas Em 2004, Poyody e Cudall (56) propuseram um modelo para simular o comporameo de rochas, o BPM ( Boded Paricle Model for rock ). Nesse modelo, a rocha é modelada como um maerial graular com coaos cimeados, usado como base o DEM. Tao os grãos como o cimeo ere eles são capazes de deformar e os coaos podem se quebrar. Poyody e Cudall argumeam que a rocha pode ser represeada como um maerial heerogêeo, composo de grãos cimeados. Em uma rocha sedimear, como o areio, exise de fao um maerial cimeae. Já em rochas crisalias, como o graio, o maerial ira-graular pode ser aproximado com uma oção de cimeo. Exise um alo ível de desordem esses sisemas, icluido esresses ão homogêeos produzidos durae a geese do maerial, deformabilidade, a resisêcia dos grãos e do cimeo, o amaho dos grãos. Todos esses ies iflueciam o comporameo mecâico global, e algus dessas propriedades possuem comporameo variável durae a evolução de um feômeo físico. O comporameo mecâico de uma rocha e do BPM são defiidos pela evolução da cadeia de forças. Quado uma carga é aplicada sobre o maerial, essa carga se propaga aravés dos grãos, e ambém por um esqueleo de coaos cimeados que formam uma cadeia. A aplicação de carga iduz rasmissão de forças e gera muios poos de esão e compressão. Veja uma ilusração desse processo a figura 1.2. Os modelos compuacioais de rocha podem ser classificados em duas caegorias, com base a maeira que as frauras são represeadas: idireamee e direamee. No caso idireo o efeio das frauras é represeado as relações cosiuivas do modelo. E o caso direo, as frauras são modeladas pela formação e moiorameo de micro frauras. O BPM é um exemplo de méodo direo e o méodo que é proposo esa ese, o GBPM, ambém perece a essa classe.

2 GBPM: Um ovo Méodo de Elemeos Discreos Formulação do BPM O BPM simula o comporameo mecâico de uma coleção de parículas esféricas, rígidas e com raio variável. Esses elemeos podem esar cimeados, isso é, coecados. Um esquema para BPM é apreseado a figura 4.1. O comporameo mecâico do sisema é descrio pelo movimeo de cada parícula, e pela força e momeo auado em cada coao. As equações de movimeo de Newo (2-1) servem como relação fudameal ere movimeo e a força resulae. Esses efeios auam sobre as parículas causado o movimeo. O BPM assume varias hipóeses sobre o maerial a ser simulado, e essas hipóeses serão descrias a próxima seção. Figura 4.1: Elemeos do BPM, parículas, coaos e coaos cimeados. 4.2 Hipóeses do modelo A modelagem BPM ão serve para odos os casos. No rabalho de Poyody e Cudall (56) são apreseadas uma série de hipóeses que são assumidas para que a modelagem seja realisa. As hipóeses assumidas durae a modelagem com o BPM, são: 1. As parículas devem ser esféricas ou circulares, e possuir massa fiia. 2. As parículas se movem idepedeemee umas das ouras, e podem rasladar e roacioar. 3. As parículas ieragem apeas os coaos. Devido ao fao dos grãos serem circulares ou esféricos, um coao evolve apeas duas parículas.

3 GBPM: Um ovo Méodo de Elemeos Discreos As parículas podem se sobrepor, e oda sobreposição é relaivamee pequea em comparação ao amaho da parícula. 5. Um coao pode ser cimeado, e esse coao carrega forças e pode quebrar. Parículas cujo coao é cimeado podem ieragir mesmo ão esado em coao mecâico. 6. Leis geeralizadas de força-deslocameo em cada coao coecam o movimeo a força e momeo o coao. O BPM uiliza o DEM como pare do modelo, ele é uilizado para represear o maerial graular. No DEM, a ieração ere as parículas é raada como um processo diâmico com esados de equilíbrio. O esado de equilíbrio é desevolvido quado as forças ieras eram em balaço. As forças de coao e os deslocameos dos aglomerados graulares são calculados moiorado-se os movimeos de cada parícula. Os movimeos resulam da propagação aravés do sisema de efeios exeros, como por exemplo, forças geradas pelas bordas do sisema. Os cálculos feios pelo DEM aleram ere a aplicação da lei de Newo e o cálculo da reação ere os coaos. E o comporameo diâmico é represeado umericamee por um algorimo baseado em passo de empo. As acelerações e velocidades são cosideradas cosaes em cada passo de empo. O esquema adoado para iegrar as equações de Newo é explicio, o problema é que o passo de empo deve ser pequeo, para que os disúrbios físicos propaguem-se somee aé os vizihos direos de cada parícula. A velocidade de propagação depede das propriedades do maerial, como por exemplo disribuição e dureza dos grãos, e o passo de empo a ser adoado depede disso. Exisem vaages de empregar um esquema explício. A possibilidade de simular uma grade quaidade de parículas, usado pequea quaidade de memória. E as isabilidades físicas são modeladas de maeira direa, pois o processo de micro-fraura ocorre de maeira realisa. Não sedo ecessário recorrer a um modelo ão-físico, como acoece com algus méodos implícios. 4.3 Modelagem do coao cimeado e parâmeros para o BPM O BPM ea imiar o comporameo de uma coleção de grãos, presos ere si, com um maerial cimeae. A força oal de um coao cimeado provém de uma força, F ij, que é derivada do coao parícula-parícula, essa força é modelada com o auxilio do DEM.

4 GBPM: Um ovo Méodo de Elemeos Discreos 38 Mij A seguda porção da força oal, é devida uma força Fij e um orque do modelo de cimeo. Essas quaidades coribuem para as forças e momeos resulaes auado sobre as parículas. Em seguida, vamos aalisar cada uma dessas parcelas Força devido ao coao parícula-parícula Figura 4.2: Geomeria da força que provém do coao ere duas parículas. A parcela que provém apeas do coao parícula-parícula, depede dos parâmeros: Yi, Yj, ki, kj, µ i e µ j, respecivamee represeam as cosaes elásicas ormais e agees, (Yi, Yj, ki e kj), e os coeficiees de ario de Coulomb, (µ i e µ j ). A força ormal é modelada segudo F ij = Y eff ξ ij, ode Y eff é a cosae elásica efeiva de coao ormal, e é defiida por Y eff = Y i Yj Y i + Y j, ode Y i é a cosae elásica de coao ormal da parícula i. A geomeria do veor força, para o caso 2D, é ilusrado a figura 4.2. A força agee é calculada de maeira icremeal, com o auxilio do modelo de Cudall e Srack, como foi defiido a seção Força devido ao coao cimeado A força e momeo são modelados a parir de cico parâmeros:

5 GBPM: Um ovo Méodo de Elemeos Discreos 39 Figura 4.3: Modelagem em duas dimesões do coao cimeado. k cosae elásica ormal. k cosae elásica agee. σ resisêcia elásica ormal. τ resisêcia elásica agee. λ muliplicador de raio de coao cimeado. Defiimos o raio de coao cimeado pela equação: R = λ mi{r i, R j }. A força é defiida com base as direções agee e ormal do coao, como ilusrados a figura 4.3. são os compoees ormais e agees da força, respeciva- ode Fij e F ij mee. Fij = F ij + F ij F ij = Fij e ij, F ij = Fij e ij, Quado o coao é formado, os valores Fij e F ij são iicializados com zero. A cada passo de empo subseqüee, esses valores são aualizados de acordo com a equação: Fij = k Svij( P co ), Fij = k vij( P co ),

6 GBPM: Um ovo Méodo de Elemeos Discreos 40 ode S é área da seção rasversal de coao,v ij( P co ) e v ij( P co ) são as velocidades relaivas agees e ormais, respecivamee. S formalmee é S = { 2R πr 2 ode R é o raio efeivo de coao. em duas dimesões em rês dimesões Torque devido ao coao cimeado Aalogamee à força, um orque é modelado. M ij = Mij + Mij M ij = Mij e ij, M ij = Mij ode Mij e M ij são os compoees ormais e agees do orque. Em duas dimesões, Mij = 0, e M ij aua a direção ormal do plao, esse caso é ilusrado a figura 4.3. Quado o coao é formado, os escalares Mij e M ij são iicializados com zero, a cada subseqüee passo de empo, esses valores são aualizados seguido as equações: e ij, Mij = k Jω ij, Mij = k Iω ij, ode ω ij = (ω j ω i ) é a velocidade agular relaiva, J é o momeo polar de iércia e I é o momeo de iércia. I e J são defiidos pelas seguies equações: I = J = ode R é o raio efeivo de coao. { 2 3 R3 em duas dimesões, 1 4 πr4 em rês dimesões { Idefiido, em duas dimesões 1 2 πr4 em rês dimesões

7 GBPM: Um ovo Méodo de Elemeos Discreos Quebra do coao cimeado São calculados os valores máximos de esresse auado a vizihaça do coao, eles são defiidos com base a seguie expressão: σ max = F ij M A + ij R, I F τ max ij M = A + ij R. J Caso os valores excedam os parâmeros de resisêcia do coao, σ max > σ ou τ max > τ, o coao cimeado é removido do modelo, juamee com sua força e orque.