3 Mecânica da Fratura Computacional

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1 34 3 Mecâica da Fraura Compuacioal No capíulo aerior, foram apreseados coceios da Mecâica da Fraura Liear Elásica juamee com os correspodees campos de esão e de deslocameo para as vizihaças da poa da rica. Para muios casos de aplicação, soluções aalíicas ão esão dispoíveis ou são muio rabalhosas, sedo idicado o uso de écicas uméricas para a sua modelagem. No âmbio da Mecâica da Fraura, méodos como o Méodo dos Elemeos de Cooro (MEC) e os méodos sem malha (mesh free) são empregados para a obeção de soluções aproximadas. Aliabadi (1997a) apreseou uma revisão dos pricipais avaços a aplicação do MEC em problemas de MF. Pode-se aida ciar o uso de exesões do méodo para raar frauras, como o Méodo Dual dos Elemeos de Cooro (Aliabadi, 1997b) e o Méodo Híbrido dos Elemeos de Cooro (Lopes, 1998; Lopes, 2002). Quao aos méodos sem malha, pode-se mecioar o Eleme-Free Galerki Mehod usado por Belyschko e al. (1994). O referido méodo ecessia apeas da descrição da geomeria e de um cojuo de ós para cosruir as equações discreas aravés do uso do méodo dos míimos quadrados móveis a aproximação dos deslocameos. Um dos méodos mais uilizados para raar de problemas em meios coíuos, o Méodo dos Elemeos Fiios (MEF), ambém é largamee aplicado a modelagem de descoiuidades em meios sólidos. Diversas aplicações do MEF a problemas da MF são ecoradas a lieraura. Ere elas esão: aplicação do méodo em propagação diâmica de frauras, em um rabalho apreseado por Sweso & Igraffea (1988), ode são usadas malhas adapaivas a propagação de frauras; aplicação do méodo em modelagem de propagação de frauras em meios poroelásicos com uso da écica de Galerki (Selvadurai & Mahyari, 1998); aálises elasoplásicas de fraura (Araújo, 1999; Araújo e al., 2000); aplicação do méodo em fraurameo diâmico de rochas por explosão (Lima, 2001); esudo de ricas submeidas à fadiga (Mirada e al., 2002; Mirada e al., 2003). A modelagem de frauras com uso do MEF faz uso do coceio de modelagem discrea da fraura, pois esa em sua geomeria represeada expliciamee o modelo. No caso de modelagem com uso do MEF covecioal,

2 35 a fraura é disposa de modo a separar os bordos dos elemeos adjacees a ela. Uma abordagem comum dero dese coceio, raado-se de elemeos fiios, é o uso de elemeos de ierface ere os elemeos sólidos, a fim de represear a fraura o modelo. Esses elemeos aplicam o coceio da Mecâica da Fraura Coesiva e são, assim, comumee chamados de elemeos coesivos ou elemeos de fraura coesiva. Dere os rabalhos recees que empregaram o coceio da MFC, ciam-se: propagação de ricas por fadiga (Machado, 2007); delamiação sob modo miso de carregameo (Turo e al., 2010); fraurameo hidráulico (Che, 2012; Bedezu e al., 2013a); fraurameo em maeriais quasefrágeis, a exemplo do cocreo (Moeegro, 2014); modelos de fraura coesiva aplicados a esaios de corpos de prova de cocreo reforçado com fibras de aço (Barboza & Roehl, 2014). O MEF é um dos méodos uméricos mais populares ere os pesquisadores da MF, sedo alvo de grade aeção e exeso emprego. Ese fao levou Moes e al. (1999) a desevolverem uma ova formulação, derivada do MEF, para lidar com casos de aberura e propagação de frauras. Ese méodo é cohecido por Méodo Esedido dos Elemeos Fiios (XFEM exeded Fiie Eleme Mehod) e ambém faz uso da modelagem discrea da fraura. Com uso do XFEM, o corpo fraurado é modelado como um meio coíuo e a fraura é modelada aravés do eriquecimeo da aproximação para o campo de deslocameos. Foco de ieresse dese rabalho, o XFEM busca superar algumas deficiêcias do MEF a simulação de frauras e possui iúmeras uilizações: fraurameo hidráulico em cocreo (QigWe e al., 2009); fraurameo hidráulico a área de gás e peróleo (Che, 2013); fraurameo diâmico de rochas por explosão (Bedezu e al., 2013b). Ouros cohecidos méodos uméricos para rao de esruuras diae de descoiuidades com base o MEF podem ser ciados. São eles: Méodo Embuido dos Elemeos Fiios (EFEM), que em seus fudameos explicados por Oliver (1996), e méodo Smeared Crack, uilizado por Ros (1988). O EFEM é um méodo como o XFEM, que ão em a represeação geomérica da fraura o modelo. Nesse modelo, as descoiuidades são embuidas a aproximação do campo dos deslocameos aravés de um eriquecimeo a ível do elemeo. Jirásek (2000) fez um esudo comparaivo ere as formulações que apreseam descoiuidades embuidas. Já Oliver e al. (2006) apreseam uma comparação direa ere o EFEM e o XFEM. O méodo Smeared Crack faz uso de uma modelagem disribuída da fraura. Não há represeação da fraura de maeira

3 36 isolada o elemeo, mas, sim, a represeação de uma faixa disribuída de aberura represeado um cojuo de micro frauras. Nese capíulo, é apreseado um resumo do MEF aplicado a problemas com frauras com base os rabalhos de Araújo (1999) e Mirada (2003). Em seguida, é feio um apahado geral do uso de elemeos coesivos em aálises de fraura. Por fim, é apreseada uma irodução ao XFEM juamee com suas pricipais vaages em comparação ao uso de elemeos fiios covecioais, é mosrada sua formulação dealhada e ambém é mosrado o cálculo umérico dos Faores de Iesidade de Tesão com base o méodo dos elemeos fiios Méodo dos Elemeos Fiios Uma imporae caracerísica da MFLE é a sigularidade 1 r ecorada as esões a poa da rica. A sua represeação por meio dos elemeos fiios covecioais é uma arefa difícil. Para superar esa dificuldade, foram sugeridos por Heshell & Shaw (1975) e Barsoum (1976), idepedeemee, os elemeos sigulares quarer-pois. Os elemeos sigulares quarer-pois são elemeos isoparaméricos covecioais, riagulares ou quadrilaerais, de ordem quadráica, o qual a sigularidade 1 r é iroduzida desviado o ó do meio do lado para a posição de 14 do lado. A Figura 3.1 mosra ais elemeos. Figura 3.1 Elemeos sigulares quarer-pois. Barsoum (1976) evideciou que melhores resulados são ecorados com os elemeos riagulares, fao que se dá em fução deses elemeos erem a sigularidade ecorada ao o cooro quao o ierior do elemeo,

4 37 equao que os elemeos quadrilaerais ela é ecorada somee o ierior do elemeo. Os elemeos riagulares são disposos em forma de uma rosea. A rosea padrão é formada por oio elemeos que formam ere si um âgulo de 45º e ormalmee é alihada com a rica. A Figura 3.2 ilusra o formao da rosea padrão. A forma como a rosea é posicioada em uma malha de elemeos fiios é visa a Figura 3.3, que raz roseas para duas poas de rica. Figura 3.2 Rosea padrão de elemeos quarer-pois. [Ediada de Mirada (2003)]. Figura 3.3 Roseas em malha de elemeos fiios (Mirada, 2003).

5 Elemeos de Fraura Coesiva A modelagem discrea da fraura aravés de elemeos de fraura coesiva, ou elemeos coesivos, é efeuada com uso de elemeos de ierface posicioados ere os elemeos fiios sólidos. Aos elemeos coesivos esá associada uma lei cosiuiva diferee daquela empregada a pare coíua do modelo. Esa lei baseia-se em uma formulação de dao, obedecedo propriedades coesivas primeiramee esudadas por Dugdale (1960) e Barebla (1962). A Figura 3.4 ilusra a disposição dos elemeos coesivos em uma malha de elemeos fiios. Figura 3.4 Elemeos coesivos em uma malha de elemeos fiios. As eorias de Dugdale e Barebla são baseadas a exisêcia de forças coesivas em uma região muio próxima à poa da rica (vide Figura 3.5). O modelo de Dugdale é direcioado para maeriais dúceis, equao que o modelo de Barebla é direcioado para maeriais frágeis. No eao, os modelos ciados são aalíicos. Uma primeira abordagem umérica de ais modelos surgiu com Needlema (1987), que relacioou esões coesivas as faces da rica com os deslocameos relaivos (, ) das mesmas. Needlema esabeleceu que as esões coesivas são obidas a parir de um poecial (, ). Cosiderado o poecial abaixo: (, ) ( T d T d ), (3.1) 0 os veores de esões coesivas em suas compoees ormal, T, e agecial, T, obidas aravés das seguies relações ere o poecial deslocameos relaivos ere as ierfaces, correspodees: e os

6 39 T T (3.2) (3.3) Figura 3.5 Forças coesivas auado a poa da fraura. Ouros modelos de fraura coesiva surgiram a parir do rabalho de Needlema. Em geral, os modelos com base em zoa coesiva apreseam suas leis cosiuivas divididas em rês fases (vide Figura 3.6): 1 Fase de carregameo: iício do gráfico ração x separação com comporameo liear-elásico. Nessa fase ão há ocorrêcia de dao; 2 Fase de amolecimeo: fase desevolvida a parir de uma aberura críica ( c, ) para a qual as esões geradas são máximas ( T max ). Nesa fase, o c maerial passa a desevolver dao, o qual evolui aé o poo em que ocorre a separação oal das ierfaces coesivas (, ), ão havedo mais coesão ere as mesmas; 3 Fase de descarregameo: caso haja a reirada da carga exera, a curva ração x separação erá uma rajeória diferee da apreseada a fase de carregameo, aida que seja uma queda liear. Isso se dá em fução do dao apreseado a fase de amolecimeo. Caso haja um recarregameo, a curva subirá pelo mesmo camiho obido a fase de descarregameo.

7 40 Figura 3.6 Lei cosiuiva do elemeo coesivo Gráfico ração x separação. Os elemeos coesivos podem apresear diferees resposas, coforme apreseadas a Figura 3.7. Figura 3.7 Diferees modelos do gráfico ração x separação. Em uma aálise em elemeos fiios, o rabalho realizado para a aberura da rica aravés das ierfaces coesivas é adicioado à equação global de equilíbrio como um ermo de rabalho iero com uso do Pricípio dos Trabalhos Viruais. A equação global de equilíbrio que govera o problema oma a forma: ode, com base a Figura 3.5: são as deformações viruais; u são os deslocameos viruais; : dv : TcdS u : TexdS (3.4) c

8 41 T c é a aberura virual da rica; é o veor de esões coesivas as ierfaces da rica c ; T ex é o veor de forças exeras aplicadas o cooro Méodo Esedido dos Elemeos Fiios XFEM O Méodo dos Elemeos Fiios, um dos méodos uméricos mais uilizados a mecâica dos sólidos, possui grades desvaages a modelagem de descoiuidades em meios sólidos. Na modelagem de descoiuidades, fazedo uso do MEF, há a ecessidade de coformidade ere a superfície da fraura e o cooro do elemeo, coforme a Figura 3.3 mosra, além de um deso refiameo da malha próximo à poa da fraura, como pode ser viso a Figura 3.8. Uma oura desvaagem do méodo é a ecessidade da aualização da malha (remeshig) com o crescimeo da fraura. Figura 3.8 Malha de elemeos fiios com fraura. Em 1999, um ovo méodo foi apreseado por Belyschko & Black (1999) e aprimorado por Moes e al. (1999), para lidar com modelages de descoiuidades. Ese ovo méodo é uma exesão do MEF e por isso é deomiado Méodo Esedido dos Elemeos Fiios, sedo usualmee chamado por XFEM, sigla de exeded Fiie Eleme Mehod. O méodo em como base o Méodo da Parição da Uidade (Melek & Babuska, 1996) e cosise em uma écica de modelagem coíua de descoiuidades fores, ode a rica ão é geomericamee modelada. A essêcia do méodo é a adição de fuções de eriquecimeo para a aproximação que coém um campo de deslocameos descoíuos. Essas fuções são os campos assióicos pero da poa da fraura

9 42 e uma fução descoíua, defiida ao logo da fraura, que represea os salos o campo de deslocameos em posições disaes da poa. No XFEM, a geomeria de uma fraura e sua iserção o modelo são feias de forma idepedee da malha. A fraura pode aravessar pelo ierior dos elemeos e ão há a ecessidade de aualização da malha à medida que a fraura se propaga. Pode-se desacar aida que o méodo em a grade caracerísica de maer a base dos elemeos fiios e suas propriedades, ais como esparcidade e simeria, além de ser uma ferramea compuacioal robusa e precisa para modelar descoiuidades (Sukumar & Prévos, 2003). Segudo os auores, al modelo é araivo, pois oferece vaages úicas: 1 é um méodo de elemeos fiios e pode explorar odo o corpo ecológico e compuacioal exisee; 2 em corase com elemeos de cooro, é facilmee aplicável a problemas ão lieares; 3 em corase com elemeos fiios com aualização coíua da malha, ão requer aas projeções ere diferees malhas. A Figura 3.9 ilusra uma malha de XFEM, ode oa-se a modelagem da fraura sem a represeação geomérica da mesma, sedo sua localização o domíio represeada pela liha vermelha. Os ós desacados a Figura 3.9 são os ós eriquecidos, a fim de represear a descoiuidade imposa pela fraura. Figura 3.9 Malha de XFEM

10 Formulação do XFEM para modelagem de frauras A formulação da aproximação dos deslocameos aravés do XFEM cosise o modelo padrão de elemeos fiios mais a represeação da fraura, a qual em sua geomeria modelada idepedeemee da malha. A aproximação padrão do campo de deslocameos em elemeos fiios é: u( x) uini( x ), (3.5) ii ode u i são graus de liberdade de deslocameo o ó i, N i é a fução de forma associada ao ó i e I é o cojuo de odos os ós do modelo. A cosideração da descoiuidade dos deslocameos é feia com a iserção da fução de salo (Heaviside), H ( x ). O campo de deslocameos passar a ser descrio por: u( x ) u N ( x ) b N ( x ) H( x ), (3.6) ii i i i i ij ode b i são graus de liberdade de deslocameos adicioais ao ó i e J é o cojuo dos ós dos elemeos cujo supore é oalmee corado pela superfície da fraura. A fução de salo, H ( x ), é defiida como: 1, d(x ) 0 H(x ) = H(d(x )) = sial(d(x )) = { 1, d(x ) < 0, (3.7) ode d( x ) é a disâcia com sial do poo x à superfície da fraura. Quado a poa da fraura ão coicide com ehuma borda de elemeo, a fução de salo ão cosegue represear de forma adequada a descoiuidade. Porao, fuções assióicas de poa de fraura são usadas para eriquecer os ós em oro da poa da fraura como a écica expliciada em Belyschko & Black (1999). ode Assim, a aproximação oma a forma: u( x ) u N ( x ) b N ( x ) H( x ) N ( x ) c F ( x ), (3.8) 4 l i i i i i i l ii * ij ik l1 l c i são graus de liberdade de deslocameos adicioais ao ó i, K é o cojuo dos ós do elemeo que coém a poa da fraura e Fl ( x ) são as fuções assióicas de poa de fraura, expressas por:

11 44 Fl ( r, ) rse, rcos, rse se( ), rcos se( ) , (3.9) ode ( r, ) são coordeadas polares locais a poa da fraura. Esas fuções represeam os campos assióicos aalíicos de deslocameos o eoro da poa da rica, como rege a MFLE. É imporae ressalar que a primeira fução, rse, é descoíua ere as faces da fraura, o que permie represear a 2 descoiuidade iroduzida pela fraura, quado a poa esá localizada o ierior do elemeo. A Figura 3.10 ilusra a escolha das fuções para o eriquecimeo dos ós. Noa-se que os ós ão são eriquecidos pelos dois ipos de fução cocomiaemee. Assim, * J é o cojuo dos ós do elemeo cujo supore é oalmee corado pela superfície da fraura e que ão são ós do elemeo que coém a poa da mesma. Na Figura 3.10, os ós evolos com um círculo são os ós eriquecidos com a fução de salo, equao que os ós evolos por um quadrado são os ós eriquecidos com as fuções assióicas de poa de fraura. Figura 3.10 Trica em uma malha do XFEM (Moes e al., 1999).