STARTUP TIMES IN VISCOELASTIC CHANNEL FLOW

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1 Cogreso de Méodos Numéricos e Igeiería 9 Barceloa, 9 juio al de julio 9 EMNI, España 9 TARTUP TIME IN VICOELATIC CHANNEL FLOW Amílcar I.P. Mirada 1 e Paulo J. Oliveira * 1: Deparameo de Maemáica Uiversidade da Beira Ierior 61-1 Covilhã, Porugal amirada@ma.ubi.p web: hp:// : Deparameo de Egeharia Elecromecâica Uidade de Maeriais Têxeis e Papeleiros Uiversidade da Beira Ierior 61-1 Covilhã, Porugal pjpo@ubi.p web: hp://webx.ubi.p/~pjpo/ Palavras-chave: Tempo de arraque, ar-up ime, Fluido Viscoelásico, Caal Plao Resumo. O empo de arraque de escoameo viscoelásico um caal plao, após imposição súbia de um gradiee de pressões, foi calculado por um méodo aalíico/ umérico. Os modelos reológicos uilizados foram o covecivo-superior de Maxwell (UCM) e o Oldroyd-B. Com eses modelos, o escoameo ede assimpóicamee para a solução de esado esacioário após um regime rasiório com oscilações aceuadas do campo de velocidades, o que implica um procedimeo especial para o cálculo do empo de arraque. Ese ede a aumear sigificaivamee com a elasicidade, de forma liear para o UCM, e com axa de crescimeo iferior a liear para o Oldroyd-B. Não foram obidas oscilações espúrias a variação do empo de arraque com o úmero de elasicidade. 1. INTRODUÇÃO Um escoameo de arraque occorre quado um gradiee de pressão cosae é aplicado subiamee a uma porção de liquido que esá iicialmee em repouso. A solução aalíica dese problema para um líquido ewoiao foi obida em 193 por Bromwich [1] mosrado que a velocidade aumea com o empo de forma moóoa aé que um perfil parabólico de velocidades é aigido assimpoicamee, para empos elevados. e o empo de arraque (sarup ime) for defiido como o isae em que a velocidade aige 1% da velocidade em

2 esado esacioário eão em-se = 1.88 ρ h / µ, ode h é a meia-largura do caal, e ρ e µ são a massa volúmica e a viscosidade do fluido. ob forma adimesioal, quado o empo é defiido relaivamee a uma escala de empo difusiva, fica = Para um líquido viscoelásico que obedeça às equações cosiuivas da derivada coveciva superior de Maxwell (modelo UCM) ou de Oldroyd (modelo Oldroyd-B []) os resulados são mais complicados embora a solução para empos elevados, em regime permeee, seja igual à solução ewoiaa, com um perfil de velocidades de forma parabólica. A solução rasiória é cohecida edo sido obida por Waers e Kig [3]. Nese rabalho preede-se, uilizado um méodo miso aalíico/ umérico, ober a evolução do empo de arraque do escoameo em fução do úmero de elasicidade do fluido e da razão ere empos de reardameo e de relaxação. Devido à aureza essecialmee oscilae deses escoameos, a defiição e cálculo dese empo de arraque revese-se de maior complexidade do que o caso ewoiao, de forma a filrar as oscilações próprias do escoameo. Para o modelo UCM os empos de arraque obidos desa forma especial mosram uma edêcia iicial para dimiuir com o aumeo do úmero de elasicidade, seguido dum aumeo quase liear quado E é superior a cerca de.5 ( 11.8E ). Por ouro lado, para o modelo de Oldroyd-B a axa de aumeo do empo de arraque é iferior à uidade; por exemplo, para uma razão de.8 reardameo igual a β =.1 ecorou-se E. O escoameo de arraque de fluidos viscoelásicos [4] um caal plao assume paricular imporâcia a validação de méodos uméricos de cálculo de escoameos rasiees com ese ipo de fluidos, uma vez que exise solução aalíica para ese problema, quado se cosideram os modelos UCM e Oldroyd-B para o fluido. A solução rasiória evolui o empo para o regime esacioário caracerísico do escoameo de um fluido ewoiao. O empo que o regime variável demora a aigir codições próximas do regime esacioário, depede foremee da elasicidade do fluido. Nese rabalho fez-se um esudo da depedêcia dese empo com a elasicidade do fluido, evolvedo os modelos referidos. A geomeria do caal plao é apreseada a Figura 1. y x H=h Figura 1. Esquema da geomeria para caal plao.

3 . FORMULAÇÃO DO PROBLEMA As equações que coduzem à solução aalíica evolvem a coservação da massa, a coservação da quaidade de movimeo e uma relação cosiuiva para o fluido [], [4]. A resolução das equações assume as codições de escoameo compleamee desevolvido e as codições de froeira de ão escorregameo. A coservação da massa raduz-se a seguie equação: u v i u= + = (1) x y ode u represea o vecor velocidade de compoees caresiaas u e v relaivamee às variáveis espaciais x e y. Nas codições de escoameo compleamee desevolvido vem u / x= que, juamee com a codição de froeira de ão escorregameo que impõe velocidade ula as paredes, permie cocluir, aravés da Eq.(1), que v=. A coservação da quaidade de movimeo em por equação D ρ u = p+ iτ D o () ode ρ represea a massa volúmica do fluido, p a pressão e τo o esor das esões oais, ewoiaas e viscoelasicas. Para as codições de escoameo compleamee desevolvido e separado o esor das esões oais a soma da parcela ewoiaa com a parcela viscoelásica, a Eq. () vem, ( τ xy) u dp dp u τ ρ = + = + η + o xy s dx y dx y y (3) sedo η s a viscosidade do solvee, correspodee à coribuição ewoiaa e τ xy a compoee do esor das esões viscoelásicas. O esor das esões viscoelásicas obedece à seguie equação cosiuiva [4]: λ τ+ fτ= D (4) f η p 3

4 ode λ é o empo de relaxação do fluido, f e f são fuções dos ivariaes de τ adequadas a cada modelo, η p é a coribuição do polímero para a viscosidade a axa de deformação ula, Dé o esor de deformação e τ esões defiida como a derivada emporal coveciva superior [] do esor das τ τ= + ( ui ) τ τi u ( u) T i τ (5) O empo de relaxação dá uma idicação da magiude da aureza elásica do fluido. À medida que o empo de relaxação aumea ambém aumea a elasicidade do fluido e o valor ulo correspode ao fluido ewoiao. As viscosidades do solvee e do polímero η e η esão relacioadas do seguie modo s p η = ηs + η p, η λ = = (6) s r β η λ ode η é a viscosidade oal à axa de deformação ula e λr o empo de reardameo do fluido. Para os modelos UCM e Oldroyd-B em-se f = f = 1. No modelo UCM vem ηs = β =, o que se raduz pela iexisêcia de ermo difusivo explício a equação de coservação da quaidade de movimeo e o modelo Oldroyd-B em-se β, sedo ese modelo uma combiação liear dos modelos UCM e ewoiao. ob codições de escoameo compleamee desevolvido, τ yy =, e a Eq. (4), para os modelos UCM e Oldroyd-B, deermia para a esão de core, τ τ λ xy xy+ = u η p y (7) O escoameo de arraque caraceriza-se pela aplicação súbia, o isae iicial, de um gradiee de pressão cosae, dp / dx= ce, Nesas hipóeses, cojugado as Eqs. (3) e (7) de modo a elimiar a esão de core, obém-se a seguie equação do movimeo η 1+ λ = 1+ λ + 1+ λr ρ dx ρ y u 1 dp u (8) 4

5 cuja solução a forma adimesioal é com 48 ( ) π 3 ( ) ( ) ( α ) u (, y ) = 1 y si 1+ y exp G( ) (9) * * * 3 * 3 1 * 1 * * π = 1,3,5 α 1 E 1 = + 4βπ, β α π E 1 = ± ( / ) e γ = 1 4( β) Eπ sedo E o úmero de elasicidade, defiido pela razão ere os úmeros de Weisseberg (We ) e Reyolds ( Re ): We A velocidade u h λ = ρu h Re= η E Re ρ h u We λη = = (1) h dp = é a velocidade média esacioária do escoameo Poiseuille 3η dx ewoiao para fluido com viscosidade oal η. A solução dada pela Eq.(9) apresea-se as variáveis adimesioais y = h * y * = ( ρh / η) u = (11) * u u e deve-se a Waers e Kig [3]. Nesa solução a fução G( T ) depede do valor de α π / E. e α π / E> vem β = α π / E e * * γ 1 1 * G( ) = cosh( β ) + sih( β ) (1a) β e α π / E< vem β = π / E α e * * γ 1 1 * G( ) = cos( β ) + si( β ) (1b) β Para simplificar a oação, o aserisco que idica variável adimesioal será omiido daqui em diae. Chama-se a aeção para o faco do empo adimesioal ser aqui defiido com base 5

6 uma escala de empo difusiva (ver Eq. 11) e ão com o empo de relaxação do fluido, como é mais comum em siuações evolvedo fluidos viscoelásicos. No caso ewoiao ecora-se o limie adequado fazedo E e β 1; de forma direca, a solução é idêica à Eq. (9), com G( ) = 1 e α = π /. 3. CÁLCULO DO TEMPO DE ARRANQUE Procededo ao limie quado a Eq. (9), coclui-se que a solução rasiória viscoelásica ede para a solução esacioária ewoiaa. Com o objecivo de aalisar a rapidez com que a solução dada pela Eq. (9) se aproxima da solução do escoameo Poiseuille, depededo da elasicidade do fluido, foi defiido e calculado um valor do empo, que se desigou por empo de arraque,. Para esa defiição começou por se cosiderar a difereça ere a velocidade um deermiado isae emporal e o seu valor para empo ifiio, d = u( ) u sedo a medida baseada a orma L. Ou seja, a parir da Eq. (9) calcula-se o quadrado do desvio da solução relaivamee aos valores esacioários ewoiaos, que é dado por N y si 3 ( ( 1 y j) ) exp ( ) G( ) (13) 1 48 = + N y j= 1 π = 1,3, σ π α Nesa equação N y é o úmero de poos ieriores usados para resolver a variação espacial do perfil de velocidades; usou-se N y = 5, mas o seu valor é irrelevae. Assumido agora um parâmero de olerâcia ε (usou-se ε =.1), o empo de arraque ( sar-up ime ) correspoderá ao primeiro empo a parir do qual se em σ < ε, ou seja, > σ < ε (14) Ese procedimeo é adequado para o arraque de escoameo ewoiao; o eao, para fluidos ão ewoiaos é usual haver oscilações durae o desevolvimeo iicial do escoameo, como mosrado a Figura. Esa figura mosra a evolução do parâmero defiido pela Eq. (13) para o modelo UCM e para vários valores do úmero de elasicidade. Como se vê, para E = (fluido ewoiao) e E=.1 o decaimeo de σ é moóoo, sedo fácil defiir o empo de arraque de acordo com a iequação (14); para E. o adameo da difereça ere a solução o empo e a solução em regime esacioário ora-se oscilae sedo possível defiir de maeiras diversas esse empo. 6

7 1 1 E= E=.1 E=. E=.5 E=1. E=. E=5. σ() Figura. Variação da difereça ere a solução o empo e em ifiio, para vários valores da elasicidade (modelo UCM). Ouras formas de medir o decaimeo da solução aé aigir o esado fial esacioário coduzem ambém a comporameos oscilaórios, com variações mais bruscas do que aquelas mosradas a Figura. De faco, a uilização da média quadráica permie de alguma forma suavizar a evolução emporal das velocidades. Por exemplo, a velocidade a liha ceral do caal varia como mosrado a Figura 3a, e a difereça com o valor fial, que é u = 1.5, como mosrado a Figura 3b. Exise uma descoiuidade evidee da derivada de u ( ) u(, y ) =, que faz com que seja mais problemáico uilizar a velocidade a liha ceral para o cálculo do empo de arraque. Fisicamee essa descoiuidade resula da formação de uma free de odas de esão o momeo iicial, que se propaga os empos seguies ao logo do caal, reflecido-se as paredes, e cuja magiude se vai aeuado mas sem dissipação (muio claro sobreudo para valores de elasicidade elevados; ver [5]). 7

8 8 6 u 6 4 E= E=.1 E=. E=.5 E=1. E=. E=5. σ u () 4 E= E=.1 E=. E=.5 E=1. E=. E= Figura 3. Variação com o empo de: (a) velocidade a liha ceral; (b) difereça ere u e o respecivo valor para empo ifiio (UCM, vários valores da elasicidade). Esas figuras são úeis por sugerirem um procedimeo para o cálculo do empo de arraque. Basa fazer passar uma curva evelope pelos poos correspodees à difereça máxima ere a velocidade e o seu valor a ifiio, e o empo de arraque virá defiido pela codição: = para que Ev[ σ max ( ) ] ε (15) Embora ão seja claro da Figura 3b, verificou-se que o decaimeo dos poos de σ máximo em escala semi-logarímica aparece como uma reca, o que faciliará o processo de ierpolação ou exrapolação ecessário à deermiação do empo de arraque. A Figura 4, repeido alguma iformação da Figura dada acima, ilusra ese faco: os símbolos em cruz deoam os poos de máximo local a variação de σ ( ), cada curva colorida correspodedo a um deermiado valor de elasicidade E para fluido UCM, e as lihas preas são ajuses auomáicos, feios pelo programa de gráficos, com variação expoecial. 8

9 1 1 E= E=.1 E=. E=.5 E=1. E=. E=5..1 σ() E-5 1E Figura 4. Ajuse em lei expoecial aos máximos da variação de σ ( ) para vários úmeros de elasicidade o modelo de Maxwell. O procedimeo para o cálculo do empo de arraque segue os passos: 1. Calcular os máximos locais da variação de σ ( ) um deermiado iervalo { σ } max : σ max, k = max ( k ), ode k ( k = 1,,..., Nk ) são os isaes emporais em que os k k < ol N máximos ocorrem.. Ajusar uma curva suave (evelope) a esses poos máximos, Y ( ) al que Y ( ) = σ 3. Numa escala semi-logarímica a variação da fução Y ( ) é uma reca: log Y ( ) = A+ B (16) 4. As cosaes do ajuse podem ser dadas auomaicamee pelo programa de gráficos (usado méodo de míimos quadrados) ou calculadas com base em dois poos de máximo local ( 1, Y 1) e ( 1, Y 1) : A logy log Y / B= logy log Y /. (17) = ( ) ( ) e ( ) ( ) O empo de arraque é calculado com base a Eq. (15), edo em coa a variação expoecial de Y ( ) da Eq. (16), ou seja: ( ε ) = log( ) B / A (18) k max, k 9

10 4. REULTADO É úil começar por observar a difereça ere o cálculo do empo de arraque com base o procedimeo óbvio, da Eq. (14), e o procedimeo modificado acabado de descrever (Eqs ). A Figura 5 mosra a variação de para o fluido UCM, sedo os resulados do méodo modificado desigados como UCM, ovo. Tora-se claro cosaar que ese ovo procedimeo permie ober uma variação suave do empo de arraque como fução do úmero de elasicidade, equao a avaliação direca de dá azo ao aparecimeo de oscilações. Num esudo aerior (Ref. [6]) ese ipo de oscilações era paee. 16 UCM UCM, ovo 1 s E Figura 5. Efeio do méodo usado para cálculo do empo de arraque (modelo UCM). Os resulados para o modelo covecivo superior de Maxwell e para o modelo Oldroyd-B com a razão de reardameo, β, a variar de.1 a.5 são mosrados a Figura 6. Em geral observa-se um decaimeo iicial do empo de arraque, a parir do valor ewoiao (para E=, ( ) = 1.9 ) aé elasicidade de E.15, seguido por um aumeo cosiderável N à medida que a elasicidade é progressivamee icremeada. O decaimeo iicial de é praicamee idepedee de β, equao que o poserior aumeo sigificaivo, à medida que E cresce, depede de forma clara do valor de β. Para o fluido UCM a variação é essecialmee liear; para E.3, em-se uma variação bem correlacioada pela reca: 1

11 = E (19) Para o fluido Oldroyd-B, a axa de aumeo de dimiui à medida que β aumea e os efeios elásicos se aeuam (relembramos que para β = 1 se vola a er o fluido ewoiao). Essa variação é iferior a liear e um ajuse em poliómio do º grau, a be ce = + + () forece os resulados que cosam da Tabela 1 (válidos para E.3). As curvas a vermelho a Figura 6 represeam os ajuses lieares e quadráicos defiidos pelas Eqs. (19) e (), que são só aplicados para úmeros de elasicidade superiores a.3. s 4 3 UCM Oldroyd-B, b=.1 Oldroyd-B, b=. Oldroyd-B, b=.3 Oldroyd-B, b=.4 Oldroyd-B, b= E Figura 6. Variação do empo de arraque com elasicidade (modelos UCM e Oldroyd-B). β a b c

12 Tabela 1. Coeficiees para ajuse quadráico (Eq. ) do empo de arraque. A Figura 7 mosra em maior dealhe a variação do empo de arraque para valores de elasicidade relaivamee baixos ( E 1) de forma a quaificar o dio acima: a zoa que aecede aquela em que começa fracamee a aumear, exise pouca sesibilidade a variações da razão de reardameo β. No caso ewoiao, o valor ecorado é = 1.9, ligeiramee diferee do valor resulae da expressão eórica (Eq. 9) quado se guarda 3 somee o primeiro ermo da soma ifiia: (48/1.5 π )exp( ( π ) / 4) = ε, = 1.88 para ε =.1. Esa pequea difereça em que ver com o faco de aqui se fazer a iegração do perfil de velocidades ao logo da direcção rasversal y. Nesa figura as lihas são simples ligações ere os dados, represeados por símbolos. O valor míimo do empo de arraque ocorreu sempre para E=.15, idepedeemee da razão de reardameo β. s 1 s β= β=.1 β=. β=.3 β=.4 β= E Figura 7. Dealhe da variação do empo de arraque a zoa E 1. A evolução ao logo do empo da difereça ere o perfil de velocidades um cero isae e em regime permaee para o caso UCM com úmero de elasicidade de.5 é mosrada a Figura 8. Para comparação mosra-se a correspodee variação para o caso ewoiao. Equao ese o decaimeo da disâcia se faz de forma rápida e moóoa, para o fluido viscoelásico exisem oscilações cuja magiude relaiva se maém sempre, uma vez que ese modelo reológico ão iclui viscosidade ewoiaa ou de solvee. Assim, ão exise mecaismo para dissipar as odas de choque da esão, velocidade e pressão que se 1

13 propagam pelo caal. A figura mosra aida os valores dos máximos, al como calculados pelo programa de compuador, e a curva em ajuse expoecial (uma reca a escala semilogarímíca uilizada) feia auomaicamee pelo programa de gráficos. A fução correspodee forecida por ese programa é l(y) = * X , que permie ober o empo de arraque (Y=.1) como X=(l(.1) )/( )=4.811 (o valor obido o programa de simulação, que esá a Figura 6, é = 4.845) ε=.1 UCM, E=.5 New. Máximos σ().1 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E Figura 8. Evolução da disâcia σ ( ) com o empo para os casos ewoiao e UCM com elasicidade E =.5. Uma siuação semelhae à aerior, mas para o modelo Oldroyd-B ( β =.4 ) uma siuação em que o comporameo oscilaório esá a iiciar-se, é mosrada a Figura 9. O caso com E=.15 correspode ao poo de valor míimo de e repare-se que é preciso exrapolar a liha evelope para se ober esse valor. A liha a preo é para o fluido ewoiao, permiido verificar que a siuação mosrada os fluidos viscoelásicos aproximam-se mais depressa do regime permaee (em escala ormal, por exemplo igual à da Figura 4, o decaimeo seria muio rápido e as oscilações ão seriam percepíveis um gráfico). Tem aida ieresse verificar que para E=.15 o valor ecorado com o procedimeo descrio acima foi = 1.6, equao o méodo direco (iso é, para σ ( ) ε ) daria = 1.. Num gráfico de versus E, essa difereça seria suficiee para provocar uma pequea 13

14 perurbação, semelhae às observadas a Figura 5. σ() E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-1 1E-11 1E-1 1E-13 1E-14 Oldroyd-B, β=.4 E=.15 E=. ewoiao Figura 9. Evolução da disâcia σ ( ) para modelo Oldroyd-B, com valores de elasicidade. 5. CONCLUÕE Foi implemeado um programa de compuador um méodo para calcular o empo de arraque o escoameo de fluidos viscoelásicos em caais plaos. Os resulados mosram um aumeo sigificaivo desse empo, de 18 vezes quado a elasicidade passa de (caso ewoiao) para E= 3, com o modelo UCM. Ese icremeo do empo ecessário para o escoameo se esabelecer ede a dimiuir quado a elasicidade do fluido dimiui (ou por uma redução de E, ou por aumeo de β ). Quado a elasicidade do fluido é só margialmee superior a zero (ou seja, líquidos com elasicidade muio baixa, E.3) o desevolvimeo do escoameo é mais rápido do que o caso ewoiao, e o empo de arraque é quase idepedee do valor relaivo da viscosidade do solvee (iso é, do parâmero β ). REFERÊNCIA [1] T.J. Bromwich, A applicaio of Heaviside's mehods of viscous fluid moio, J. Lodo Mah. oc., Vol. 5, pp (193). 14

15 [] J.G. Oldroyd, O he formulaio of rheological equaios of sae, Proc. R. oc. A, Vol., pp (195). [3] N.D. Waers ad M.J. Kig, Useady flow of a elasico-viscous liquid, Rheologica Aca Vol. 9, pp , (197). [4] R.B. Bird, R.C. Armsrog, O. Hassager, Dyamics of Polymeric Liquids, Vol. 1: Fluid Mechaics, d ed., Joh Wiley, New York (1987). [5] A..R. Duare, A.I.P. Mirada, P.J. Oliveira, Numerical ad aalyical modelig of useady viscoelasic flows: he sar-up ad pulsaig es case problems, J. No- Newoia Fluid Mech., Vol. 154, pp (8). [6] N.P. Cheremisioff, Ecyclopedia of Fluid Mechaics: Rheology ad Noewoia Flows, Golf Publishig Compay, Houso, Vol. 7, pp (1988). 15