3 Fundamentação Teórica de Modelos Bayesianos de Previsão

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1 37 3 Fudameação Teórica de Modelos Bayesiaos de Previsão 3.. Abordagem Bayesiaa para Esimação A iformação que se em acerca de um parâmero de ieresse θ é crucial a ciêcia esaísica. Se o valor verdadeiro de θ ão é cohecido eão a idéia é buscar méodos para reduzir o descohecimeo sobre esse parâmero. Do poo de visa bayesiao o grau de icereza a respeio de θ é represeado aravés de um modelo probabilísico para θ. A abordagem clássica para esimação de um parâmero populacioal cosise em omar uma amosra aleaória de amaho proveiee de uma população cuja disribuição de probabilidades da variável aleaória por exemplo Y seja fução de um parâmero θ disribuição essa deoada por f ( y θ ) e poseriormee esimar o parâmero θ aravés dos valores amosrais y i i = L. Esse esimador poderia ser cosruído aravés do méodo da máxima verossimilhaça por exemplo. A abordagem bayesiaa para esimação de um parâmero populacioal usa uma disribuição a priori de θ f ( θ ) da amosra ( y y2 y θ ) deoada por f ( θ y y ) e a disribuição de probabilidades cojua f K para deermiar a disribuição a poseriori de θ 2 K y. Essa disribuição a poseriori para θ coém iformação proveiee da amosra e da disribuição a priori de θ. Sedo assim o parâmero θ é viso como uma variável aleaória a abordagem bayesiaa (MONTOMERY & RUNER 23 p. 437). Pole e al. (994) comeam que a aálise bayesiaa para a formulação de um modelo começa pela quaificação do cohecimeo iicial acerca desse esado iicial. Essas iformações a priori são eão combiadas com a iformação dos dados observados e quaificados probabilisicamee aravés da fução de verossimilhaça.

2 38 O mecaismo de combiar iformações a priori e verossimilhaça é o eorema de Bayes. Porao pode-se escrever: Sedo L P ( θ D ) P Y = ( = y θ ) P( θ D ) P( Y = y ) (2) O deomiador P ( Y = y ) ão é fução de θ e aua como uma cosae. D o esado do cohecimeo o isae a verossimilhaça ( θ Y = y ) P( Y = y θ ) P ( ) ( ) D P θ a disribuição a priori. θ é disribuição a poseriori e D O resulado de combiar iformações a priori e verossimilhaça é a disribuição a poseriori. Eão a disribuição a poseriori é proporcioal à disribuição a priori e à verossimilhaça: poseriori priori verossimilhaça. Esse processo de passagem da priori para a poseriori é referida como apredizado bayesiao sedo o mecaismo formal aravés do qual as icerezas são modificadas quado da obeção de uma ova iformação (POLE e al. 994 p. 6) Abordagem Bayesiaa para Previsão No que se refere a modelos de previsão de uma forma geral Pole e al. (994 p. 9) declaram que heever we make a forecas we acually make a saeme of probabiliy or more geerally sae a probabiliy disribuio ha quaifies he aure of our uceraiy. Ay ad every forecas is predicaed upo a fou of kowledge; forecass are herefore codiioal probabiliy saemes he codiioig beig o he exisig sae of kowledge. If we chage our kowledge base he ypically our forecas will chage.[ The Bayesia paradigm provides a raioal cohere formal framework for combiig iformaio: rouie model forecas (or idividual model compoe quaificaios ad more geerally compoes forms oo) are adjused by subjecive ierveio o reflec so called exeral iformaio. A abordagem bayesiaa para previsão permie que iformações ão coidas os dados hisóricos sejam icorporadas ao modelo. A possibilidade de se ober iformações exeras é o cero da iferêcia bayesiaa. Os dealhes dessa abordagem são discuidos o decorrer desse rabalho.

3 Caracerísicas Fudameais dos Modelos Bayesiaos de Previsão de Harriso & Seves (HS) Segudo Souza & Farias Neo (98) os fudameos esseciais dos modelos bayesiaos de Harriso & Seves (HS) são: (i) Formulação Paramérica (ou de espaço de esados) - Ierpreação física dos parâmeros iso é as séries são represeadas aravés de compoees que são direamee ierpreáveis faciliado o eedimeo do modelo por pare do aalisa. (ii) Iformação Probabilísica parâmeros são variáveis aleaórias (com disribuição de probabilidade associada) e ão simplesmee quaidades descohecidas. A abordagem bayesiaa explicia ão apeas as esimaivas dos compoees a cada isae de empo mas ambém idica auomaicamee uma medida de icereza associada a ais esimaivas. (iii) Modelo Seqüecial formulação aravés do Modelo Liear Diâmico (MLD) que descreve como as esimaivas dos parâmeros mudam emporalmee. (iv) Icereza do Modelo o modelo adequado em cero isae de empo pode ão ser mais apropriado em um isae seguie. Segudo Harriso & Seves (976) a icereza associada ao modelo pode ser de dois ipos disios: Classe I assume-se que o processo pode ser represeado adequadamee por um úico modelo (descohecido). Classe II supõe-se que o modelo que melhor represea o processo pode mudar com o empo. Dessa maeira a qualquer isae de empo cosidera-se que o modelo auae é aquele de maior probabilidade associada. A Tabela faz uma comparação ere os modelos bayesiaos (HS) versus os modelos radicioais (MT) para a previsão.

4 4 Tabela - Comparação dos Modelos Bayesiaos (HS) com Modelos Tradicioais (MT) Caracerísicas Modelos Tradicioais (MT) Modelos Bayesiaos (HS) Esacioariedade do modelo Exise um modelo cosae para odo = 2 K Pode exisir mais de um modelo adequado para odo = 2 K Iformação exera Uilizam somee os dados hisóricos. Uilizam a série hisórica e/ou ouras iformações relevaes. Tamaho da série hisórica Tamaho suficieemee grade. Tamaho qualquer HS podem ser uilizados iicialmee mesmo a Esacioariedade da série O processo gerador dos dados deve ser esacioário e ergódico. ausêcia de dados hisóricos. O processo pode ser qualquer Modelo Liear Diâmico MLD es & Harriso (997) mosram que o modelo liear diâmico ormal pode ser escrio de forma geral como: ode Equação das Observações: Y F θ + υ υ N[ V Equação do Sisema: θ θ ω ω N[ = (3) + = (4) Y deoa um veor (r x) das observações da série o empo ; F é uma mariz ( x r) de cosaes cohecidas veor de regressão; θ é o veor ( x ) dos parâmeros de esado do modelo veor de esado; υ é o ruído das observações veor (r x) edo disribuição ormal com média zero e variâcia V que é uma mariz (r x r); é uma mariz ( x ) de coeficiees cohecidos que deermia a evolução sisemáica dos parâmeros o empo; e ω é o ruído do sisema veor ( x ) edo disribuição ormal com média zero e mariz de covariâcia mariz ( x ). Supõe-se que υ e muuamee idepedees ou seja para odo s ais que [ ω ; e para odo s cov [ υ = cov = que ω s ω s ω são emporalmee e s cov [ υ = e υ s. Oura suposição imporae é ou seja o ieresse se ecora em MLD s que possuem uma mariz de coeficiees que ão se modifica com o empo. A eq. (3) descreve a forma como cada observação é gerada para um dado esado do sisema o isae é chamada equação das observações. A eq. (4) por coseguie descreve o modelo diâmico ou seja a evolução paramérica ere o isae - e o isae e é chamada equação do sisema.

5 4 O problema de esimação do MLD refere-se a ecorar esimaivas para o veor de esados θ a cada isae com base as observações dispoíveis aé aquele isae iclusive Algorimo do MLD com variâcia V cohecida Em muias siuações é mais simples uilizar o Y (caso escalar) o lugar do veor de observações Y esse procedimeo caraceriza o MLD como uivariado. es & Harriso (997) defiem o MLD uivariado geral com variâcia V cohecida como: Equação das Observações: Y = θ +υ υ N[ V Equação do Sisema: θ θ ω ω N[ Especificações iiciais do usuário: ( θ D ) N( m C ) e { F V e } D F (5) = (6) + esado do cohecimeo o isae iicial. D esado do cohecimeo o isae. Iformação: ( D ) N[ m C θ poseriori o isae -. ( θ D ) N[ a R priori o isae. = m a (7) R C + = (8) Previsão o isae : ( Y D ) N[ f Q f F a = (9) Q = RF + V F (2) Aualização: ( θ D ) N[ m C poseriori o isae m = a + A e (2)

6 42 C = R A Q A (22) e = Y f (23) = RF Q A (24) Previsões a origem k passos à free ( k ): ( θ D ) N[ a ( k) R ( k) + k ( Y D ) N[ f ( k) Q ( k) + k ( k) = + a ( k ) k a (25) ( k ) = + kr ( k ) + + k R f ( k) a ( k) F + k + k (26) = (27) ( k) = F + R ( k) F + k + V k Q k + ( ) m (28) a = (29) ( ) C R = (3) Como pôde ser observado o processo de previsão evolve a esimação de rês disribuições codicioais:. Disribuição a priori de θ deoada por ( θ ) D : represea a melhor idéia acerca do esado do sisema após observar Y L Y porém aes de observar Y. 2. Disribuição da previsão o isae ( Y D ) disribuição a priori ( θ ). D 3. Disribuição a poseriori de θ ( θ ) D : é derivada da : esa resula da revisão da disribuição a priori com a iclusão da observação Y uilizado o Teorema de Bayes. De forma esquemáica: Y L ( θ D ) Evolução ( ) θ Aualização ( θ )L D Previsão D ( Y ) D

7 MLD - Modelo Esáico de HS É o modelo mais simples dero da classe de Modelos Bayesiaos de HS correspodedo ao problema clássico de esimação seqüecial da média μ de uma população ormal. Na formulação MLD em-se que: [ V ; θ μ; F = ; = ; υ N ω = (3) = A formulação maemáica para o modelo esáico (Figura 5) se resume a: Equação das Observações: Y θ +υ ; υ N[ V Equação do Sisema: = (32) θ = cosae = μ (33) Y θ = μ = cosae Figura 5 - um processo com comporameo do modelo esáico MLD - Modelo Esacioário de HS Esse modelo descreve a evolução diâmica do ível segudo um passeio aleaório. Nesse caso: [ V ; N[ θ = μ ; F = ; = ; υ N ω (34) A formulação maemáica para o modelo esacioário (Figura 6) eão se resume a: Equação das Observações: Y θ +υ ; υ N[ V Equação do Sisema: θ θ + ω ; ω N[ = (35) = (36) -

8 44 Y Figura 6 - um processo com comporameo do modelo esacioário MLD Modelo de Crescimeo Liear (MCL) de HS No modelo de crescimeo liear (MCL) o processo é composo de um ível e de uma icliação que variam o empo segudo as equações: Equação das Observações: Y μ + ε ; ε N[ V Equações do Sisema: μ = μ β = β = (37) [ Vμ [ V + β + δ μ ; δ μ N (38) + δ β ; δ β N β (39) ode μ - Nível o isae. β - Icliação o isae. ε - Ruído das observações o isae. δ μ - Ruído do ível o isae. δ β - Ruído da icliação o isae. θ = μ β : o primeiro represea o ível e o segudo a icliação. Na formulação MLD pode-se mosrar que: δ μ + δ β F = ; = ; υ = ε ; ω = (4) δ β O modelo esáico e o modelo esacioário são casos pariculares do modelo O veor de esado compreede dois elemeos [ de crescimeo liear. Se β = eδβ = para odo eão fica caracerizado o modelo esacioário aeriormee ciado.

9 45 Quado β = δβ = δμ = e μ = μ para odo eão o modelo esáico era em uso. Farias Neo (98 p. 47-5) mosra que a mariz de covariâcia pode ser dada por: Vμ + Vβ Vβ = (4) Vβ Vβ Exisem ouros modelos como o MCL sazoal mas que ão seriam úeis o coexo desse rabalho ou seja CEP para dados auocorrelacioados. Maiores dealhes da operacioalização de um modelo bayesiao geral de HS podem ser ecorados em Pole e al. (994 p. 43 e p.63) Faores de Descoo para Amee e Harriso (985) iroduziram o coceio de faores de descoo com iuio de subsiuir a mariz de variâcia do MCL-HS. Ciam que os faores de descoo proporcioam simplicidade ao modelo. O faor de descoo corola o grau de evelhecimeo do coeúdo iformaivo de uma observação. O uso de faores de descoo baseia-se a idéia de descoar a iformação coida as observações mais aigas; quao maior o faor de descoo meor será a perda de iformações com o passar do empo (o sisema é mais coservador). A recíproca ambém é verdadeira quao meor o faor descoo meor será a relevâcia das observações aigas. Uilizado a oação adoada por Baraojo (989) β x deoa os faores de descoo ode x é a especificação da compoee ão observável. O valor de é defiido ere β sedo que valores próximos de fazem com que o < x sisema seja meos sesível a ovas observações (coservador). Já valores próximos de fazem com que o sisema seja mais sesível. Tabela 2 resume o uso de faores de descoo. β x

10 46 Tabela 2 - Faores de Descoo Faores de Variâcia do Cofiaça as Sesibilidade do Descoo β x Sisema Observações Aigas Modelo Próximos de Pequea Ala Baixa Próximos de rade Baixa Ala Foe: adapado de Baraojo (989) Como pode ser viso em Pole e al. (994 p.52) a mariz calculada aravés da formulação de faores de descoo como: pode ser ( x ) C = β (42) = x C R β (43) Desa forma a variâcia da priori o isae ( R ) é calculada como fução da variâcia da poseriori ( C ) o isae - de acordo com o faor de descoo β x. Em modelos com múliplos compoees Pole e al. (994) recomedam que o procedimeo seja feio compoee por compoee diferees. Faores de descoo são especificados para cada compoee e a evolução de compoees idividuais da mariz de variâcia é calculada. Eão a forma maricial em-se que: R = βc β (44) β Diag I β I L I = 2 k β2 βk I i Mariz ideidade de ordem i X i. O uso de β acima esá associado à possibilidade de se escrever a mariz de rasição esruurada em blocos um para cada compoee do sisema ou seja [ = Diag. 2 L k. Ode i = bloco maricial de ordem i i X correspodee ao i-ésimo compoee. Para exemplificar seja o modelo com duas compoees edêcia (T) e sazoalidade (S). Defiido β T e β S como sedo os faores de descoo para os respecivos compoees eão:

11 47 ( ) ( ) = = S S S S T T T T S T C C β β Algorimo do MLD com variâcia V Descohecida Novamee uilizado o procedimeo descrio por Pole e al. (994 p. 63) e sua oação para MLD uivariado e variâcia = φ k V descohecida e k cohecido em-se que: Equação das Observações: [ + = k N Y φ υ υ θ F (45) Equação do Sisema: [ ω ω θ θ + = (46) Iformação: ( ) [ D C m θ poseriori o isae -. ( ) [ D R a θ δ priori o isae. ( ) 2 2 d D φ ( ) 2 2 d D δ δ φ = m a (47) C R + = (48) Previsão o isae : ( ) [ Q f D Y δ f a F = (49) + = S k Q F R F (5) Aualização: ( ) [ C m D θ poseriori o isae ( ) 2 2 d D φ

12 48 m = a + A e (5) [ R A A Q S C = S e (52) = Y f (53) RF A = Q = δ + (54) por: d = δ d d S = + S e Q 2 Previsões a origem k passos à free ( k ): ( θ D ) [ a ( k) R ( k) + k δ ( Y D ) [ f ( k) Q ( k) + k δ ( k) = + a ( k ) k a (55) ( k ) = + kr ( k ) + + k R f ( k) a ( k) F + k + k (56) = (57) ( k) = F + R ( k) F + k + k k S Q k + ( ) m (58) a = (59) ( ) C R = (6) Desa forma em qualquer isae de empo o MLD pode ser caracerizado M { F ; ; V ; } = (6) O veor M é cohecido como veor de caracerização do sisema. O veor F é sempre cohecido a priori assim como a mariz ambém será cohecida. Já os elemeos de V e são odos descohecidos e erão de ser especificados a priori. Para V usualmee cosidera-se a lei de variâcia para modelar o aspeco de que a variâcia do compoee irregular ede a variar de

13 49 acordo com o ível das séries. No caso da mariz faz-se uso de faores de descoo para caracerizar sua evolução emporal. Além disso aes de se iiciar o processo de esimação ambém é ecessário esipular algus parâmeros: as codições iiciais para os compoees do modelo ( m ) e suas respecivas variâcias ( R ) ou seja os parâmeros da disribuição a priori iicial; os faores de descoo β x para cada compoee e δ para a lei de variâcia; o expoee da lei de variâcia i. quado ão se em iformação sobre a disribuição a priori iicial iicializa-se o filro adoado-se uma priori de referêcia fazedo m = e R = h.i ode h é um úmero grade e I é a mariz ideidade. Iso equivale a supor igorâcia oal a priori quao ao veor de esados θ Faor de Bayes Segudo Pole e al. (994) e Souza (23) a ferramea de avaliação de um MLD é o faor de Bayes que lida com a razão da verossimilhaça prediiva de dois modelos: o corree e o aleraivo. Sedo: M : modelo corree; prediiva p( y D M ) A. ; M : modelo aleraivo; prediiva p ( y D ; M ) Eão o faor de Bayes é defiido por: H ( y D ; M ) ( y D ; M ) A. p = (62) p Dessa forma o modelo corree será adequado quado H >>. Pole e al. (994) e Souza (23) sugerem que: H idica evidêcia em favor de modelo corree. H idica fore evidêcia em favor de modelo corree. A

14 Faor de Bayes Acumulado O faor de Bayes H mede a evidêcia de um dado modelo em uma úica observação o empo com relação a ouro modelo. Observar uma seqüêcia de observações é uma oura forma de avaliar o desempeho da previsão segudo Pole e al. (994). O faor de Bayes acumulado para uma seqüêcia de observações Y Y L Y k + é defiido como: H H ( k) = k i= H i ( k) = H H ( k ) Souza (23) afirma que o faor de Bayes acumulado pode ser uilizado para deecar rapidamee variações o comporameo do processo provocadas por descoiuidades dos ipos rasiees ou mudaças esruurais. (63) Algorimo para ideificação de Descoiuidades Passo Calcular seqüecialmee as quaidades L e l : L l = H + l = mi ( L ) L L < l é cohecido como comprimeo da descoiuidade e L como faor de Bayes acumulado. Para efeio de iicialização Pole e al. (994) sugerem uilizar L = e l =. Passo 2 Regra de decisão Baraojo (989) e Souza (23) afrimam que se L τ ode τ é um real posiivo pré-esabelecido o sisema será cosiderado em corole ou seja ão é observada descoiuidade o isae. Caso se L < τ o isae eão: (i) l = a descoiuidade deecada em é do ipo rasiee. (ii) l > a descoiuidade deecada em é do ipo mudaça esruural e ocorreu provavelmee a parir de l +.