PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO DEPARTAMENTO DE ECONOMIA MONOGRAFIA DE FINAL DE CURSO UM EXERCÍCIO QUANTITATIVO TEÓRICO EM FINANÇAS

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO DEPARTAMENTO DE ECONOMIA MONOGRAFIA DE FINAL DE CURSO UM EXERCÍCIO QUANTITATIVO TEÓRICO EM FINANÇAS Rafael Lopes de Melo Marícula: Orieador: Marcos Aôio Couiho da Silveira DEZEMBRO 2002

2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO DEPARTAMENTO DE ECONOMIA MONOGRAFIA DE FINAL DE CURSO UM EXERCÍCIO QUANTITATIVO TEÓRICO EM FINANÇAS Rafael Lopes de Melo Marícula: Orieador: Marcos Aôio Couiho da Silveira DEZEMBRO 2002 Declaro que o presee rabalho é de miha auoria e que ão recorri para realizá-lo, a ehuma firma de ajuda exera, exceo quado auorizado pelo professor uor.

3 As opiiões expressas esse rabalho são de resposabilidade úica e exclusiva do auor. 2

4 3 Agradecimeos: Agradeço aos professores Brya Ellickso, Joris Pikse e Marcos da Silveira pela iesimável ajuda a cocepção desse rabalho e aos meus pais por udo.

5 4 ÍNDICE I INTRODUÇÃO...6 II DESCRIÇÃO DO MODELO...0 III A CALIBRAGEM DO PROCESSO DE CRESCIMENTO DA DOTAÇÃO TOTAL DA ECONOMIA...4 III. Defiido o Processo...4 III. 2 A Discreização da Variável...6 III. 3 A Calibragem da Mariz de Trasição...8 IV INFERÊNCIAS SOBRE APREÇAMENTO DE ATIVOS...22 IV. A Equação Fudameal do Apreçameo de Aivos e Algumas Represeações Úeis...22 IV. 2 Razões de Sharpe e o Equiy Premium Puzzle...27 V CONCLUSÕES...33 BIBLIOGRAFIA...34 APENDICE A...36 APENDICE B...38

6 5 ÍNDICE DE TABELAS E GRÁFICOS Tabelas III. - Mariz de rasição esimada Crescimeo do cosumo com 6 esados da aureza...20 IV. Faos esilizados...29 IV. 2 Icliação das FMV...29 IV. 3 Reoro do aivo sem risco...3 A. Freqüêcias de cada esado da variável discrea...37 A.2 Violações da hipóese birh ad deah...37 Figuras III. - Crescimeo do cosumo com 6 esados Hisograma...7 III. 2 Crescimeo do cosumo efeivo X Crescimeo do cosumo discreo com 6 esados...8 IV. Froeira de média variâcia icodicioal...25 IV. 2 Froeiras de média variâcia codicioadas aos possíveis esados da aureza.26 IV. 3 Reoro do aivo sem risco X Reoro do ídice CRSP...28 IV. 4 Razões de Sharpe CRSP X Froeiras previsas pelo modelo...30 IV. 5 Rf Verificado X Rf predio pelo modelo (codicioal)...3

7 6 I INTRODUÇÃO Ese rabalho é sobre apreçameo de aivos em uma abordagem eórica. É o exercício de calibrar um modelo de equilíbrio geral a dados hisóricos e com isso fazer iferêcias sobre resulados e quesões usuais da lieraura de fiaças, como o comporameo do reoro e da variâcia de aivos. Modelos de equilíbrio geral de rocas são amplamee uilizados o campo de fiaças desde Lucas (978). Esa abordagem cosise em defiir um camiho exógeo para a doação dos agees e com isso fazer iferêcias sobre o comporameo do mercado de aivos. Essa abordagem claramee igora a edogeeidade do cosumo a ecoomia, de maeira que um modelo de equilíbrio geral com produção seria mais apropriado. O problema é que aida ão há um modelo com produção com resulados saisfaórios e, além disso, apesar da abordagem de defiir um camiho exógeo para a doação dos agees parecer um ao igêua, ós podemos chegar a bos resulados se especificarmos o processo de forma coeree. Discussões do assuo podem ser ecoradas em Cochrae (200) e Ellickso (a ser publicado). Em 985 Mehra e Presco usaram uma versão adapada do modelo de Lucas para raar uma quesão bem específica: por que o reoro do mercado de ações é ão maior do que o reoro dos suposos aivos sem risco um prêmio de 6.8% o período de os EUA. O exercício cosisiu em usar uma versão do modelo de Lucas de maeira que eles pudessem calibrá-lo a dados hisóricos e ver o que o modelo iha a dizer sobre a quesão proposa, efaizado que ão era um exercício de esimação, mas sim...a quaiaive heoreical exercise.... O pricipal resulado foi que o modelo ão era capaz de respoder a quesão de maeira saisfaória, criado um puzzle. O que se seguiu foi um dos arigos mais comeados os úlimos 20 aos em ecoomia. Teaivas de se resolver o puzzle ajudaram a desevolver e criar diversas áreas da lieraura de fiaças como preferêcias codicioadas ao hábio (habi prefereces), eaivas de iroduzir heerogeeidade os cosumidores, fiaças comporameais

8 7 (behavior fiace) e ouras. Excelees resehas bibliográficas descrevedo os desevolvimeos do campo e a imporâcia do arigo de Mehra e Presco podem ser ecorados em Campbell (2000), Cosaiides (2002) e Mehra (2002). Surpreedeemee a abordagem de se modificar a esruura probabilísica da ecoomia parece aida ão er sido esgoada. No arigo origial, Mehra e Presco assumiram que o crescimeo da doação oal da ecoomia segue uma Cadeia de Markov com dois possíveis esados de aureza e apeas um parâmero para simplificar, alegado que o resulado era robuso a especificações diferees. Riez (988) mosrou que se modificarmos as probabilidades de maeira a admiir grades desasres com uma probabilidade basae baixa se resolve o puzzle, mas foi imediaamee refuado pelos auores origiais (988) que julgaram sua hipóese absurda. Depois disso pouco se fez. Nessa liha de auação se ecora o modelo proposo por Ellickso (a ser publicado), que esede a cadeia de Markov para um caso geral como primeiro caso. A moivação é que provavelmee aida se em o que explicar usado modelos com uma esruura simples aes de se erar mais a fudo em ópicos como preferêcias mais realísicas, limiações de crédio ou iroduzir produção ao modelo. Meu rabalho cosise basicamee em usar uma especificação desse modelo mais geral, calibrá-lo a dados hisóricos e ear capurar o que o modelo em a dizer aquela especificação. Miha ieção ão é resolver o puzzle ou a uma quesão em específico. Miha moivação é o exercício quaiaivo eórico por si só. Ao logo do rabalho uilizarei o modelo proposo por Ellickso (a ser publicado): uma ecoomia de rocas em múliplos períodos defiida sobre um espaço de probabilidade filrado, com um grade úmero de cosumidores cada um com seu cojuo de cosumo, processo esocásico para sua doação e uma fução de uilidade; e um úmero arbirário de aivos egociados compeiivamee. Ese modelo foge da radição de se represear a ecoomia com um úico agee represeaivo ao iroduzir um úmero grade de agees (ão ecessariamee iguais), o que parece uma maeira mais aural de se raar a quesão. Eu uilizarei uma versão simplificada do modelo, assumido que odos os cosumidores êm uma fução de uilidade do ipo ime separable power (ou simplesmee

9 8 power) e que os mercados são compleos. Nessa especificação o resulado de equilíbrio assegura que exise um faor de descoo esocásico úico, que depede do crescimeo do cosumo agregado e de parâmeros de aversão ao risco/descoo ieremporal. Com o faor de descoo esocásico os podemos uilizar a equação fudameal do apreçameo de aivos para derivar imporaes resulados para a ossa ecoomia como o reoro de um aivo sem risco e froeiras de média-variâcia (FMV). Na verdade, como Cochrae (200) efaiza em seu livro, uma grade variedade de emas da lieraura de fiaças podem ser visas como aplicações da equação fudameal. A equação fudameal de apreçameo de aivos: (. ) P = E m X I + + ( e ) m = + β, +. e γ ode E deoa expecâcia, P = Preço do aivo, m = faor de descoo esocásico, X = payoff do aivo, I = o cojuo iformacioal, e = doação oal da ecoomia, β = parâmero de descoo ieremporal e γ = parâmero de aversão ao risco e elasicidade de subsiuição ere períodos/esados da aureza (dae/eves). A maior pare do rabalho se cocerará o esforço de modelar o faor de descoo esocásico ( m ). Como pode ser viso a equação acima ele depede de 3 elemeos: os parâmeros γ e β serão raados da maeira usual em exercício de calibragem (valores razoáveis deermiados pela lieraura) e a doação oal da ecoomia ( e ) que será raado a seguir. Eu assumo o processo de crescimeo da doação doal da ecoomia seguir uma cadeia de Markov do ipo birh ad deah com um umero fiio (pequeo) de esados da aureza (ou simplesmee esados). Isso é basicamee uma exesão do exercício de Mehra e Presco e a moivação aqui é uilizar uma disribuição simples de se raar Termiologia irada de Ellickso (a ser publicado). Cochrae (200) se refere como a equação básica de apreçameo

10 9 aaliicamee, mas que ao mesmo empo cosidera depedêcia ieremporal e a possibilidade de se aalisar o que acoece com a ecoomia em cada esado da aureza (por ser discrea). Para calibrar a mariz de rasição do processo de Markov eu uilizarei dados de cosumo agregado da ecoomia Americaa, pelo amaho da serie e cofiabilidade, e uilizarei a écica GMM, ão dado muia êfase em eses de especificação já que a ieção aqui ão é ecorar um processo que descreva perfeiamee o cosumo, mas sim um que seja raável, cocorde com a iuição e ambém seja coecado a dados reais. O rabalho será dividido as seguies seções: a seção II descrevo o modelo; a seção III descreverei os passos a calibragem do processo de crescimeo da doação da ecoomia; a seção IV ermiarei de calibrar m e caracerizarei resulados usuais da lieraura de fiaças, corasado com dados empíricos; fialmee a seção V coclui.

11 0 II DESCRIÇÃO DO MODELO Ao logo do rabalho uilizo uma versão simplificada do modelo de equilíbrio geral proposo por Ellickso (a ser publicado). Nesa seção mosrarei de forma reduzida as pares relevaes para o exercício, que são a equação fudameal do apreçameo de aivos e sua relação com o equilíbrio Arrow-Debreu. Assim como em Lucas (978) e em Mehra e Presco (985), eu uilizo um modelo de equilíbrio geral sem produção e, por simplicidade, um úico bem perecível é rasacioado. { X a, ea, Ua a A} Essa ecoomia de puras rocas é defiida como a coleção: ( ). Ou seja, exise um úmero fiio de agees A, cada um com seu cojuo de possibilidades de cosumo X a, sua doação e a (quado uilizado sem o subscrio a se refere à doação agregada) e uma fução de uilidade U a. Essa ecoomia é defiida sobre uma árvore de eveos fiia com cojuo de períodos τ = { 0,, 2,...,T} e espaço de probabilidade filrado ( Ω F P I ),,,. Isso sigifica que a ecoomia fucioa em múliplos períodos, em icereza e o cojuo iformacioal corree é cohecido pelos agees e aualizado a cada período. (as variáveis são processos esocásicos). Os preços são defiidos como o processo ( P: τ Ω R). Com isso coseguimos calcular o equilíbrio Arrow-Debreu (AD) para essa ecoomia. Esse equilíbrio é uma coleção de alocações de cosumo (para cada agee) e preços coigees de maeira que as alocações sejam facíveis (obedecem a resrições orçameárias ao ao ível do idivíduo quao socialmee) e maximizem a uilidade de cada agee. Uma possível ierpreação para esse equilíbrio é a de que a daa 0 os cosumidores egociam sua doação em odas as daas/esados da aureza fuuros, como se fosse uma rasação um mercado de fuuros. Assim como em Mehra e Presco, assumo as fuções de uilidade dos idivíduos serem do ipo ime separable power, com os mesmo parâmeros. O equilíbrio Arrow-Debreu o caso de fuções de uilidade do ipo power: (para s S )

12 As fuções de uilidade U ( c (, v )) = a a [ c (, v )] a γ γ (Eq II.) e(0) (, ) =.. ev (, ) Os preços de equilíbrio pv β Pv [ ] γ (Eq II.2) As alocações de equilíbrio pe. a ca(, v) =.(, e v) pe. (Eq II.3), ode c (, v ) a é o cosumo a daa, eveo v, γ = parâmero de aversão ao risco, β =parâmero de descoo ieremporal, Pv [ ] = probabilidade codicioada do eveo v, p.e e p. e a são fuções lieares de preço, ou seja, a soma do produo das duas variáveis em odos as possíveis daas/eveos. Agora emos que fazer algumas modificações para fazer esse modelo raar de apreçameo de aivos: os agees, a daa 0, egociam poder de compra ao ivés de bes coigees. Iso é, ao ivés de egociar direios sobre bes o fuuro os agees compram eses o mercado a visa e uilizam como isrumeo para egociar poder de compra aivos, como ações, íulos, ec. Arrow (953) mosra que em siuações de mercados compleos o equilíbrio AD pode ser aigido dessa maeira. Uma hipóese adicioal que faço é a de que os mercados são compleos. A maioria dos resulados apreseada aqui é valida o caso de mercados icompleos, mas ão achamos relevae para esse exercício iroduzir essas complicações adicioais. Porao a ecoomia possui um úmero de aivos rasacioados compeiivamee e pagado dividedos em cada período/esado da aureza. úico Derivações adicioais asseguram que para o caso de mercados compleos exise um m (faor de descoo esocásico) de maeira que: A equação fudameal do apreçameo de aivos ( +. + ) P = E m X I (Eq II.4),

13 2 ode P = Preço do aivo, iformacioal acumulado m = Faor de descoo esocásico, X = payoff do aivo, I =Cojuo Essa equação diz que o preço de um aivo é o valor fuuro esperado dos payoffs, descoado por um faor m. É imporae efaizar que esse faor é o mesmo para qualquer aivo dessa ecoomia, o que ora esse resulado muio fore, dado que a exisêcia desse faor sequer depede de codições muio fracas. Ao compararmos as fuções lieares de preço oa-se uma imporae ligação ere o apreçameo dos aivos e os preços do equilíbrio AD. No caso de idivíduos com uilidade do ipo power emos: O faor de descoo esocásico: m ( e ) β( g ) e γ + + β.. + γ = = (Eq II.5), ode g = + e e + Essa especificação rás uma fore iuição para a ossa equação de apreçameo. O ermo de descoo é uma fução iversamee relacioada à axa de crescimeo da doação agregada da ecoomia 2. Ou seja, os aivos que pagam alos dividedos quado a ecoomia esá crescedo muio serão meos valorizados (em um preço meor) do que os aivos que pagam muio quado a ecoomia esá em recessão. A impaciêcia e a aversão ao risco são represeadas pelos parâmeros β e γ respecivamee. Eão, oda a foe de risco sisemáico da ecoomia se resume a fluuações o cosumo agregado, e somee o risco sisemáico é relevae em ermos de se descoar payoffs fuuros. Ao logo do rabalho basicamee rabalharei com a equação fudameal do apreçameo de aivos (eq II.4) e com resulados derivados dela. Para isso emos de rabalhar com uma esruura probabilísica para m, que depede esocásicamee somee 2 Como oda a doação agregada é cosumida em equilíbrio, essa axa correspode à axa de crescimeo do cosumo agregado.

14 3 de g +. Sigo o exemplo de Mehra e Presco e assumo que ese segue uma cadeia de Markov do ipo birh ad deah 3, com um úmero fiio (pequeo) de esados da aureza. A modelagem do processo de crescimeo do cosumo é um passo muio imporae o exercício, dado que ao fazermos isso esamos defiido a disribuição de probabilidade assumida pelos agees ao egociar aivos. Isso ocorre pelo fao de o risco sisemáico da ecoomia ser represeado por fluuações a doação agregada da ecoomia. Na próxima seção coiuo com essa modelagem, calibrado esse processo a dados reais de cosumo da ecoomia. 3 Mehra e Presco usam uma cadeia de Markov com somee dois esados da aureza, o que a ora do ipo birh ad deah por cosrução.

15 4 III A CALIBRAGEM DO PROCESSO DE CRESCIMENTO DA DOTAÇÃO TOTAL DA ECONOMIA III. Defiido o Processo Agora que defii o modelo, eu calibrarei seus parâmeros de maeira que eu use uma especificação o mais próximo possível de dados reais. Nessa seção eu coiuarei de ode ermiei a ulima: o processo de crescimeo da doação oal da ecoomia. É imporae efaizar que esse é um passo muio imporae o exercício, dado que uma ecoomia de simples rocas a foe de icerezas da ecoomia provém da icereza quao às doações dos idivíduos. Como a doação oal da ecoomia é simplesmee a soma das doações idividuais em um deermiado período/ esado da aureza, ós emos a icereza da ecoomia modelada quado defiimos esse processo. Como Mehra e Presco (985) diriam, hey (o ível de cosumo agregado e seu crescimeo) cosiue legiimae sae variables for he model. Como eu já disse aes, eu assumo que o crescimeo da doação oal da ecoomia (em log - l( g ) ) segue uma cadeia de Markov com um úmero fiio de esados da aureza (s). Esse ulimo comeário ão é um simples formalismo; ao fazer isso eu esou assumido que miha variável pode assumir algus poucos valores, digamos 5,6. Isso pode soar um ao absurdo, dado que essa variável é coiua por aureza. No eao, você pode ver esse procedimeo como se ós esivéssemos agrupado os possíveis valores da variável aleaória em um pequeo úmero de classificações com algum sigificado como, por exemplo: se o cosumo cair mais de % ós os ecoramos em um período de recessão, equao que se o cosumo crescer mais de 3% esse é um bom período para os cosumidores. Me parece razoável assumir que os ivesidores pesam ão em ermos de um coíuo de possíveis valores para g, mas sim em ermos de classes mais abragees como a ecoomia irá bem, ou a siuação ficara esagada. Nessa discreização os

16 5 poos de quebra e o úmero de possíveis valores para a variável são arbirários e basicamee segue a iuição, como mosrarei em seguida. Uma propriedade de qualquer cadeia de Markov discrea é que oda iformação relevae para as probabilidades de um cero eveo o próximo período é o que acoeceu o período corree, sedo oda a iformação passada dispesável. Iso é, para deermiar o que acoecerá o próximo período ão ieressa como se chegou ao esado da aureza corree, mas sim em que esado você se ecora. Esa é uma esruura de depedêcia emporal basae simples, o obsae com um poder explicaivo basae poderoso, dado que é usada para modelar varias siuações reais, e que ambém os permie lidar com ela de uma forma simples aaliicamee. Oura caracerísica imporae desse ipo de processo, mas agora peculiarmee das cadeias de Markov da classe Birh ad Deah, é que um esado da aureza somee pode visiar seus vizihos. Iso é, esou assumido que o crescimeo do cosumo ão varia radicalmee de um período para o ouro. Isso será levado em coa o processo de escolha da especificação. Esse processo esocásico é compleamee caracerizado por sua mariz de rasição: A mariz de rasição de uma cadeia de Markov do ipo Birh ad Deah: r p q2 r2 p2 0 P =..., 0 qs rs p s qs r s s s ode para a Cadeia de Markov da mariz Pi, j Pr ( X+ Sj X Si) X, com espaço de esados S ( S S S ) = = =. (Pr deoa probabilidade) =, 2,..., s cada ermo s Noe que Pi, j=, i (,2,..., s) (essa é uma mariz esocásica) j=

17 6 e P i, j= 0 if i j >, i, j (, 2,..., s) (a propriedade Birh ad Deah) Uma hipóese adicioal que faço é que esse processo é fracamee esacioário. Essa hipóese é imporae, por que ela me permie esimar os parâmeros dessa mariz uilizado momeos da disribuição de forma cosisee, por causa da lei fraca dos grades úmeros. Um deseho represeaivo do processo: (as variáveis acima das seas deoam probabilidades) r r2 r3 rs p p2 p3 Ps- S S2 S3 Ss q2 q3 qs Agora descreverei o processo de discreização dos dados e em seguida como os parâmeros da mariz de rasição foram esimados. III.2 A Discreização da Variável Primeiramee, acho imporae dizer qual série uilizei como proxy para o cosumo agregado: gasos reais com o cosumo pessoal, série rimesrais (bilhões de dólares ecadeados (996) ajusados sazoalmee em axas auais). A jaela de esimação vai de 947. ae e a foe é o Bureau of Ecoomic Aalysis (abela NIPA.2 liha 2). O e + crescimeo do cosumo agregado segue a defiição l( g+ ) = l e mecioados como uma aproximação para a doação agregada. ode usei os dados Como esse é um exercício de cuho eórico geral, e ão levado em coa as especificidades da ecoomia brasileira, uilizei dados da ecoomia americaa dado que essa me proporcioou uma série loga e cujos dados são cofiável, porao sedo mais apropriados para esse exercício.

18 7 Eu uilizei dois méodos para discreizar os dados: Primeiro eu apliquei o logarimo aural em g, peguei o máximo e o míimo dessa ova série e dividi o iervalo em um umero arbirário de iervalos iguais. O segudo méodo segue mais uma iuição esaísica: eu dividi os iervalos defiido as quebras com base em um úmero arbirário de desvios padrão em relação a media. Eu rao isso com mais dealhes o apêdice A. Depois de aalisar as diferees series de cosumo discreo obidas, cheguei a coclusão que a divisão da série em 6 esados da aureza (ou apeas esados) usado-se o méodo de media-desvios padrão é o mais apropriado. Dealho esse poo o Apêdice A, mas adiao que algus dos poos mais imporaes ao omar essa decisão foram: violações da hipóese birh ad deah (a variável move bruscamee de um período para ouro), úmero de observações em cada esado da aureza e o gaho em relação à maior riqueza da esruura por possuir mais esados. Figura III.- Crescimeo do cosumo com 6 esados - Hisograma 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% Freqüêcia 20,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% -,48% 0,00% 0,57%,8%,79% 3,02% Variação % do cosumo (valor do esado)

19 8 5,0% Figura III.2 - Crescimeo do cosumo efeivo X Crescimeo do cosumo discreo com 6 esados 4,0% 3,0% 2,0%,0% C 0,0% ,0% -2,0% -3,0% III.3 A Calibragem da Mariz de Trasição Na úlima subseção eu preparei os dados de maeira que eu possa aplicar o ulimo passo da calibragem: a esimação dos parâmeros da mariz de rasição. Assim que o fizermos eremos a esruura de probabilidade da ecoomia defiida. Para esimar os parâmeros dessa mariz eu farei uso da esruura de probabilidade que eu impus. Como eu assumi a variável ser esacioária (ehum absurdo, já que o próprio formao da série os dá evidecia disso) eu posso esimar de maeira cosisee os momeos eóricos da disribuição por suas médias amosrais. Fialmee a écica uilizada para esimar os parâmeros foi a GMM (méodo geeralizado dos momeos). Aqui você usa algus momeos implicados pela disribuição assumida e as correspodees versões amosrais, ambos depededo dos parâmeros a serem esimados. Você deve cosruir os momeos eóricos de maeira que eles igualem 0, e assim você escolhe os parâmeros a fim de que os momeos amosrais fiquem o mais

20 9 próximo de 0 o possível. Como esamos lidado com veores moamos um problema de miimização para ecorar os resulados. O méodo GMM: Seja o processo esocásico veor de momeos eóricos para X ; Θ o veor de parâmeros a serem esimados; U ( Θ ) um X de maeira que U ( Θ ) = 0 ; e fialmee ( Θ dados) seu correspodee amosral, obedecedo a U ( Θ dados) U ( Θ ) Uˆ, ˆ, O esimador GMM é o veor ˆΘ que saisfaz o seguie problema de miimização : T ( Uˆ( Θ dados) ) W Uˆ( Θ dados) ( ) mi %,.. %,, para alguma mariz ão sigular W. Θ% Se você escolher a especificação apropriada o esimador GMM é o mais eficiee em uma classe muio abragee de esimadores, a qual se ecoram OLS, IV, máxima verossimilhaça ere ouros. Os requerimeos para cosisêcia são que os momeos eóricos uilizados igualem 0 e que suas coraparidas amosrais covirjam para os momeos eóricos. Especificamee esse caso eles são aedidos (é claro que seguido o paradigma da esimação clássica, assumo uilizar o modelo correo). Discussões sobre o méodo GMM e suas propriedades podem ser ecoradas em Cochrae (200) ou Hase (982) para uma abordagem mais profuda. Descrevo o procedimeo com mais dealhes o apêdice B. Mosro agora os resulados, mas aes uma breve digressão. Como veho mecioado ao logo do exo eu esou fazedo uma calibragem, ão um exercício de esimação propriamee dio. Esou usado um esimador basae poderoso para ober meus resulados, mas ão erarei muio a fudo em dealhes do procedimeo, como se esou usado a especificação mais eficiee ou eses de especificação, pela razão que eu ão espero que o modelo ão sobreviva a uma baeria de eses. Exercícios de calibragem em sua credibilidade e discussões sobre isso podem ser ecoradas em Heckma e Hase (996).

21 20 A mariz de rasição esimada uilizado-se os dados referidos e uma mariz ideidade como a mariz de pesos é: (mais dealhes o apêdice B) Tabela III. - Mariz de rasição esimada - Crescimeo do cosumo com 6 esados da aureza S S2 S3 S4 S 0,564 0,436 0,000 0,000 0,000 0,000 S2 0,222 0,36 0,47 0,000 0,000 0,000 S3 0,000 0,65 0,389 0,446 0,000 0,000 S4 0,000 0,000 0,37 0,406 0,223 0,000 S5 0,000 0,000 0,000 0,444 0,449 0,06 S6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,472 0,528 Recessão esperada: 3.68 rimesres Expasão esperada: rimesres S5 S6 Disribuição Valor do esado esacioária (% crescimeo) 5,677% -,477%,56% -0,005% 28,230% 33,995% 7,092% 3,848% 0,567%,77%,794% 3,02% Agora emos a ão desejada mariz, mas e agora? O que ela os diz sobre as propriedades da esruura da icereza da ecoomia? Muio eu diria. Primeiramee, acho ieressae oar que exise uma fore simeria ere os esados da aureza superiores (5 e 6) e os iferiores ( e 2), em relação aos cerais. Noe que ão esou falado sobre a defiição de uma mariz simérica, o poo que quero efaizar aqui é que as probabilidades de se aigir os esados cerais, com você esado acima ou abaixo são basae similares, assim como o movimeo de dero para fora. Essa especificação os diz que aproximadamee durae 7% do empo a ecoomia esa em crescimeo egaivo (esados e 2), 62% crescedo em axas mediaas (3 e 4) e em cerca de 2% dos períodos a ecoomia esa em fore expasão (5 e 6). Esses resulados foram obidos da disribuição esacioária do processo, que pode ser ierpreada como a freqüêcia de logo prazo de cada esado. Para ilusrar a coerêcia dessa especificação eu fiz o exercício de comparar as predições do modelo para o empo esperado de recessões e expasões da ecoomia com valores reais dessas esperaças. Essas quesões podem ser facilmee respodidas em cadeias de Markov, uilizado-se resulados de hiig imes. A duração de recessões é defiida como o úmero de períodos cosecuivos em que a ecoomia efrea crescimeo egaivo,

22 2 equao que a de uma expasão é o umero de períodos cosecuivos em que a ecoomia esa com crescimeo posiivo. O modelo diz que uma recessão dura em média 3.62 rimesres, equao uma expasão 7.9 rimesres. O NBER (hp:// diz que para o período de a coração média durou 3.66 rimesres e a expasão média 6.7 rimesres.

23 22 IV - INFERÊNCIAS SOBRE APREÇAMENTO DE ATIVOS IV. - A Equação Fudameal do Apreçameo de Aivos e Algumas Represeações Úeis Na úlima seção deermiei a esruura de probabilidade da ecoomia. Nessa eu usarei esses resulados para ver como o mercado de aivos se comporaria se a ecoomia ivesse a esruura probabilísica assumida. Toda a aálise ficará cerada em uma equação: a equação fudameal do apreçameo de aivos, que apreseei a seção II. O ome dessa equação ão superesima sua imporâcia. Ela é formal e iuiiva: O preço corree de um aivo é o valor esperado, descoado dos payoffs fuuros. E é imporae efaizar que odos os aivos são descoados por um ermo de descoo úico ( m ). Lembrado da seção II: ( +. + ) P = E m X I (Eq II.4) esse caso m β. ( g ) + + γ = (Eq II.5) Trabalhado-se um pouco a equação II.4 chegamos a represeações basae úeis. Aqui eu rabalharei com Froeiras de Média-Variâcia. Essa represeação usa a equação II.4 de uma forma ieligee, impodo froeiras para os momeos dos reoros dos aivos (médias, variâcias e covariâcias). Logo volarei a isso, mas aes eho algumas cosiderações acerca do procedimeo de calibragem. ( Nos próximos passos eu uilizarei de forma iesiva o faor de descoo esocásico m + ). Na ulima seção deermiei os valores e a esruura de probabilidade de g +, um de seus compoees, mas aida fala raar os parâmeros β e γ. O β é o parâmero de descoo emporal, equao que o parâmero γ capa a aversão ao risco e a elasicidade de subsiuição de empo e esado da aureza. Esses parâmeros resulam da agregação das

24 23 preferêcias dos idivíduos e se em uma exesa lieraura em microecoomia sobre valores razoáveis para eles. Seguido a radição dos exercícios usuais de calibragem, eu uilizarei os valores dessa lieraura para esses parâmeros, ciee de que há críicas para esse procedimeo (Heckma e Hase, 996). Assumo o β valer 0.99; equao que para o γ eso diferee valores ao fazer mihas iferêcias (Mehra e Presco em 985 cosideram 0 um limie superior aceiável para esse parâmero). Froeiras de Média-Variâcia Eq II.4 é equivalee a ( ) = E m. R I (Eq IV.) + + X Aode para o aivo, R = + + P Esa é a chamada represeação em reoro( R + ) da mesma equação.essa represeação é basae úil, dado que os permie rabalhar com uma variável com um comporameo oadamee esacioário (reoros), ao ivés de variáveis com uma clara edêcia de crescimeo ao logo do empo (Preços e dividedos). Supoha exisir um aivo que proporcioe um reoro cero sem risco).decorre da equação IV.: Rf em + (o reoro o aivo E( m+ I) = (Eq IV.2) Rf Aplicado a defiição de covariâcia em IV. e juado à equação IV.2 obemos: R E + I R, m cov = Rf I (Eq IV.3) Defio os reoros em excesso como:

25 24 e ( + ) ( + ) E R I = E R I Rf De vola a equação IV.3, deixe: ρ mr, ( m+ R+ I) σ ( ) cov, = ode σ deoa desvio padrão. σ( m I ). R I pode ser reescria como: σ ( m I ) E R I = ρ.. σ R I ( ) ( ) e + + m, R + E( m+ I) como ρmr, [,], emos: σ ( m I ) E R I.. σ R I (Eq IV.4) ( ) ( ) e E( m+ I) IV.4 é a equação das froeiras de Média-Variâcia (FMV) dessa ecoomia. As derivações acima podem ser ecoradas em qualquer livro de fiaças. O que uilizarei daqui em diae será a equação IV.4, como mecioei aeriormee. Essas represeações os permiem aalisar risco e reoro dos aivos em ermos de limiações para os momeos da variável, como média, variâcia e covariâcias. Se acrediarmos que os reoros dos aivos são esacioários, esses momeos eóricos podem ser esimados cosiseemee a parir de suas coraparidas amosrais. Noe que a equação IV.4 é expressa em ermos de esperaças codicioais. Iso é, dado que você sabe udo que acoeceu aé a daa (o cojuo iformacioal I ), você ira esperaças do que vai ocorrer em +. Na Seção III deermiei que oda a icereza é modelada de maeira que o que vai ocorrer em + depede somee do que acoeceu aé a daa (propriedade da cadeia de Markov). Eão para cada possível realização em as probabilidades do que vai ocorrem em + diferem. Com isso se coclui que para osso caso emos 6 diferee FMV para essa ecoomia, cada um correspodedo a um possível esado da aureza (valor de g ) em.

26 25 Além das FMV codicioais, exise a chamada Froeira de Média-Variâcia icodicioal. A um ível práico essa correspode às equações codicioais, porem derivadas com momeos icodicioais. Assumi a cadeia de Markov ser aperiódica e recorree, o que implica que a disribuição icodicioal das variáveis da ecoomia correspode a disribuição esacioária que já calculamos (π ). No eao, em ermos eóricos, essa equação em um sigificado muio mais fore do que essas simples coas sugerem. Quado rabalha com momeos icodicioais ao ivés dos momeos codicioais, o eorisa esá admiido que rabalha com um cojuo iformacioal iferior ao dos agees dos mercados. Exise uma relação ere os momeos codicioais e icodicioais, porém ão erarei a fudo esse assuo. Discussões sobre isso podem ser ecoradas em Hase e Richard (987), Cochrae (200) e Ellickso (a ser publicado). Em seguida ilusro as FMV para essa ecoomia assumido β =0.99 e γ =5. Figura IV. - Froeira de média variâcia icodicioal ( e ) ER + icliação : 0,045 ( Re ) σ +

27 26 Figura IV.2 - Froeiras de média variâcia codicioadas aos possíveis esados da aureza ( e ) ER + ( e ) ER + FMV codicioada em S ( Re ) σ + ( Re ) σ + S4 icliação : 0,0363 icliação : 0,023 ( e ) ER + ( e ) ER + S2 ( Re ) σ + ( Re ) σ + S5 icliação : 0,0398 icliação : 0,0273 ( e ) ER + S3 ( Re ) σ + ( Re ) σ + S6 icliação : 0,028 icliação : 0,0307 Resulados ieressaes podem ser irados desses gráficos: Primeiramee, oe que a froeira de Média-Variâcia icodicioal em uma icliação mais aceuada que as codicioais. Esse resulado é iuiivo, já que quado se cohece mais iformação (o fao de se codicioar) os limies para os possíveis valores da variável devem ser mais esreios.

28 27 Em segudo lugar, é ieressae oar as difereças ere as froeiras codicioais. As FMV dos esados da aureza superiores e iferiores são mais icliadas que as cerais. As dos iferiores são as com a icliação maior. Você pode ierprear a icliação dessas froeiras como o preço de mercado o risco. Iso é, quao mais icliada é a froeira, mais os ivesidores esão preocupados com o fuuro e esão disposos a pagar para reduzir o risco de seu porfolio (ou, em coraparida, esão demadado mais para segurar um aivo mais arriscado oe que esou falado de risco sisemáico). Isso sugere que os ivesidores esão mais preocupados com o fuuro quado a ecoomia esá ou crescedo muio rápido (esados da aureza do opo) ou quado a ecoomia esá em recessão. Por um ouro lado, quado a ecoomia esá crescedo a axas ormais (os esados da aureza cerais), a icereza do amahã impora meos. IV.2 Razões de Sharpe e o o Equiy Premium puzzle Ao logo do rabalho veho mecioado o famoso arigo The equiy premium: a puzzle (Mehra e Presco, 985). Agora ilusrarei seu famoso resulado: usado essa classe de modelos você ão cosegue ecorar um valor razoável para γ de maeira que se explique o ão maior excesso de reoro do porfolio médio sobre o aivo sem risco. Basae coecado a esse, emos um segudo puzzle: Esses modelos prevêem reoros muios alos para o aivo sem risco. Uma maeira de se ilusrar essa quesão é se olhar para as razões de Sharpe: As razões de Sharpe. Rearrumado a equação IV.4 chegamos a: e ( + ) E R I σ ( m+ I).. (Eq IV.5) σ ( R I ) E ( m I ) + + Essa codição deve valer em qualquer período, para qualquer aivo, codicioalmee ou icodicioalmee: a razão ere o reoro em excesso sobre o desvio padrão do reoro de um aivo ão pode exceder a icliação da froeira de média-variâcia.

29 28 Essa codição pode ser esada, dado que o lado direio da equação emos momeos de um processo esocásico que já modelamos e do lado esquerdo emos os momeos do reoro de um aivo, que podem ser razoavelmee assumidos ser esacioários, porao sedo cosiseemee esimados pelas suas coraparidas amosrais. Mehra ad Presco se coceraram os momeos icodicioais, o que é algo aural, dado que você obém esimaivas basae cofiáveis (você em mais de 00 aos de dados). Alem desses, eu ambém irei aalisar os momeos codicioais, para ver como essas razões de Sharpe variam a cada esado da aureza. Figura IV.3 - Reoro do aivo sem risco X Reoro do ídice CRSP (Dados rimesrais reais ) 20,0% 0,0% Reoros Reais 0,0% -0,0% -20,0% -30,0% Rf real CRSP real O aivo cujo reoro usei para esar essa codição é uma proxy para o reoro do mercado : o ídice CRSP, um ídice poderado de reoro de ações calculado a Tabela IV. - Faos esilizados (dados rimesrais - codicioado aos possíveis esados) Uiversidade de Chicago. A proxy usada Reoro CRSP para o Desv. aivo Pad. sem risco foi o reoro Razão de dos Sharpe íulos Esado Rf real Desv. Pad. Rf Treasury bills de 0,0% 3 meses.,39% Para levarmos 5,36% em coa 0,78% apeas as 5,36% variações reais, 49,70% ambas as séries 3foram deflacioadas 0,23% 0,75% pelo ídice,97% de preços 9,% ao cosumidor,74% (CPI cosumidores 9,0% 5 0,% 0,82% 2,02% 6,02%,9% 3,77% urbaos, odos os ies divulgado pelo Bureau of Labor Saisics), o que ão é ecessário quado olhamos para os reoros em excesso, mas imporaes quado olhamos para cada série idividualmee. real CRSP Prêmio (Prêmio/Desv pad Crsp) 2 0,07% 0,70%,87% 7,46%,80% 24,9% 4 0,3% 0,5%,45% 8,04%,4% 4,9% 6-0,30%,07% 0,46% 7,50% 0,76% 0,7% Icodicioal 0,9% 0,74%,92% 8,7%,72% 2,05% Ic (aual) 0,7% 2,43% 8,2% 6,39% 7,4% 45,20% Ic (mesal) 0,06% 0,32% 0,62% 4,28% 0,56% 3,08%

30 29 As razões de Sharpe do ídice CRSP variam cosideravelmee codicioado os diferees esados, sedo maior os esados dos exremos (exceo o 6) do que os cerais. Isso é cosisee com os resulados que ecoramos sobre a icliação da FMV: os ivesidores demadam um maior reoro para um mesmo desvio padrão os esados dos exremos. Ilusrarei isso de maeira mais clara a figura IV.4 Um ouro resulado ieressae é o que você obém diferees valores para as razões de Sharpe olhado para os mesmos dados, mas em uma freqüêcia diferee. Quao maior a freqüêcia você usar, meor será a razão de Sharpe, como ilusro com o caso icodicioal. Agora raarei do lado direio da equação: a icliação da FMV. Esa em de ser maior que a razão de Sharpe para o ídice CRSP em qualquer esado da aureza. A figura IV.4 corasa o comporameo das razões de Sharpe verificadas para o ídice CRSP com o limie previso para diferees valores de γ. Tabela IV.2 - Icliação das FMV (para diferees valores de γ e β = 0.99 ) Esado Razão de Sharpe 0,73% 3,63% 7,22% 6,96% 39,07% 49,70% 2 0,78% 3,98% 8,0% 20,39% 55,83% 24,9% 3 0,43% 2,8% 4,38% 0,64% 27,34% 9,0% 4 0,46% 2,3% 4,6% 0,97% 26,63% 4,9% 5 0,55% 2,73% 5,36% 2,24% 27,30% 3,77% 6 0,6% 3,07% 6,4% 4,72% 35,88% 0,7% Icodicioal 0,90% 4,50% 9,0% 23,00% 69,70% 2,05%

31 30 Figura IV.4 - Razões de Sharpe CRSP (codicioais) X Froeiras previsas pelo modelo 50,0% 40,0% γ = 60 30,0% 20,0% 0,0% 0,0% γ = 24 γ = Esado CRSP Noe que para saisfazer a equação IV.5 icodicioalmee ós precisaríamos de um valor de 24 para γ. Para validá-la codicioalmee em cada esado ós precisaríamos de um valor aida maior, maior que 60. Mehra e Presco disseram que 0 seria um valor máximo aceiável para esse parâmero. Eão, como esperado, o puzzle resise. O puzzle advém do fao de a variâcia do reoro do mercado ser muio maior que a variâcia dos dados de cosumo. Eu ão esperava que esse exercício resolvesse o puzzle, a medida que apareemee ele já foi resolvido: rabalhos recees de Lusig (2000) e Cosaiides (2002) mosram que se você cosiderar os mercados icompleos, o seido de que os agees são icapazes de omar emprésimos devido à sua icapacidade de colearizar sua reda fuura de rabalho, isso aumea o disúrbio em m de maeira que o puzzle é resolvido. Essa explicação é basae coeree e seria aé basae surpreedee se esse exercício coseguisse resolver o problema sem levar em coa esse faor adicioal. Fialmee aalisarei as previsões do modelo para o reoro do aivo sem risco da ecoomia. A abela IV.3 e a figura IV.5 corasam as previsões do modelo com o

32 3 comporameo verificado desse reoro, codicioado ao crescimeo do cosumo o período passado. Tabela IV.3 Reoro do Aivo sem risco (para diferees valores de γ e β = 0.99 ) Esado Rf verificado 0,20% -3,20% -7,30% -8,60% -44,0% 0,0% 2 0,90% 0,50% -0,20% -3,00% -5,60% 0,07% 3,80% 4,80% 8,70% 20,0% 52,50% 0,23% 4 2,0% 6,60% 2,50% 30,40% 87,00% 0,3% 5 2,70% 9,70% 9,00% 48,90% 59,20% 0,% 6 3,50% 4,0% 28,70% 79,50% 308,90% -0,30% icodicioal,90% 5,50% 0,0% 22,40% 47,90% 0,9% Figura IV.5 - Rf verificado X Rf predio pelo modelo (codicioal) 22,5% 7,5% 2,5% 7,5% 2,5% -2,5% -7,5% Esado Dado efeivo 5 0 Primeiramee, em ermos de ível, um valor basae pequeo para γ parece ser apropriado. Um valor de aida forece esimaivas maiores que as verificadas, apesar de ão errar ao. As discussões acerca do valor desse parâmero apoam para algo em oro de, o que idica que esse modelo é melhor para explicar o comporameo do aivo sem risco da ecoomia do que o reoro em excesso do porfolio de mercado. Os alos valores

33 32 para γ sugeridos pela figura IV.4 resulariam em um comporameo paológico para o aivo sem risco como se vê a abela IV.3. Agora, em ermos dos movimeos do reoro do aivo sem risco em relação a variações o cosumo, vemos pela figura IV.5 que o modelo segue correamee o comporameo se o cosumo esa crescedo os esados de aé 4, mas ão prevê os valores meores para o reoro quado a ecoomia esá crescedo a grades axas (5 e 6).

34 33 V - CONCLUSÕES O modelo uilizado durae oda a aálise é um modelo que uiliza o cosumo como o faor de descoo esocásico. A calibragem foreceu uma esilização do processo que rege o crescimeo do cosumo, de maeira que obemos um processo fácil de ser raado aaliicamee e ao mesmo empo é relacioado a dados da ecoomia real. Com isso podemos olhar para a média e variâcia de aivos codicioalmee ao crescimeo do cosumo de maeira basae explicia. Um resulado iuiivo que obivemos foi que ao olharmos para as froeiras de média variâcia codicioalmee ao crescimeo do cosumo, vemos que o preço do risco (quao os ivesidores cobram para aceiar uma dada quaidade de risco) é maior quado a ecoomia esá em recessão ou crescedo em axas muio elevadas. Fialmee, como se era previso, a eaiva de se alerar a esruura probabilísica da ecoomia se esededo a cadeia de Markov ão solucioa o puzzle iroduzido por Mehra e Presco.Ou seja, ao codicioalmee, quao icodicioalmee, precisamos uilizar valores muio alos para o parâmero γ de maeira que se obedeça a codição imposa pelas razões de Sharpe. Em relação ao comporameo do aivo sem risco da ecoomia, o modelo prevê um valor em oro de para γ, o que é um valor coeree com os resulados da lieraura de microecoomia. Porao as simulações feias a dada especificação levam a cocluir que ese ipo de modelo é mais apropriado para explicar o comporameo do reoro do aivo sem risco da ecoomia do que a relação ere média e variâcia de reoros.

35 34 BIBLIOGRAFIA Arrow, Keeh J., 953, "The Role of Securiies i he Opimal Allocaio of Risk- Bearig", Ecoomerie. Campbell, Joh Y., 2000, Asse pricig a he milleium, Joural of Fiace 55, pp Cochrae, Joh H., 200, Asse Pricig, (Priceo Uiversiy Press, Priceo, NJ). Cosaiides, George M., 2002, "Raioal asse prices", Joural of Fiace 57, pp Cosaiides, George M., Joh B. Doaldso, e Rajish Mehra, 2002, Juior ca borrow: A ew perspecive o he equiy premium puzzle, Quarerly Joural of Ecoomics 7, pp Ellickso, Brya, a ser publicado, Fiace. Hase, Lars P., Large sample properies of geeralized mehod of momes esimaors, Ecoomerica 50, pp Hase, Lars P. e James J. Heckma, 996, "The Empirical Foudaios of Calibraio", Joural of Ecoomic Perspecives 0 o., pp Hase, Lars P. e Sco F. Richard, 985, "The Role of Codiioig Iformaio i Deducig Tesable Resricios Implied by Dyamic Asse Pricig Models", NORC Program i Quaiaive Ecoomic Aalysis Discussio Paper, pp Lucas, Rober E., 978, Asse pricig i a exchage ecoomy, Ecoomerica 46, pp Lusig, Hao., Secured Ledig ad Asse Prices, Mimeo Saford Uiversiy.

36 35 Mehra, Rajish e Edward C. Presco, 985, The equiy premium: a puzzle, Joural of Moeary Ecoomics 5, pp Mehra, Rajish e Edward C. Presco, 988, The equiy premium: a soluio, Joural of Moeary Ecoomics 22, pp Mehra, Rajish, 2002, Fiace 200, Joural of Ecoomic Dyamics ad Corol, 26 6/7, pp Riez, Thomas A., 988, The equiy premium: a soluio, Joural of Moeary Ecoomics 2, pp

37 36 APÊNDICE A : DISCRETIZAÇÃO DE l ( g ) Como disse aeriormee uilizei 2 méodos para discreizar essa variável: Méodo : pega o valor máximo da variável e o míimo e divide esse iervalo em subiervalos de amaho igual (de acordo com o úmero de esados que você quiser). O valor da variável em cada esado é a média dos valores de cada subiervalo. Méodo 2 : Divide as observações de acordo com úmero (arbirário) de desvios padrão em relação à média. Modelo com 4 esados mi µ σ µ µ + σ max Modelo com 5 esados mi µ, 2σ µ 0, 4σ µ + 0, 4σ µ +, 2σ max Modelo com 6 esados mi µ, 5σ µ 0,75σ µ µ + 0,75σ µ +, 5σ Modelo com 7 esados max µ, 05σ µ + 0,35σ µ +, 75σ mi µ, 75σ µ 0,35σ µ +, 75σ max A escolha da disribuição discrea leva em coa a riqueza adicioal em se uilizar mais esados da aureza, a preseça de um úmero razoável de observações em cada esado e o úmero de violações da hipóese birh ad deah da cadeia de Markov ( l ( g ) varia mais do que um esado de para +). Como mosram as abelas A.. e A..2, o méodo proporcioa meos violações da hipóese, mas em coraparida em muio poucas observações os esados exremos. Poderado esses criérios ciados acima, escolhi a disribuição advida do méodo 2 com 6 esados da aureza. Tabela A. freqüêcias de cada esado da variável l ( g ) discrea

38 37 Méodo : divisão em iervalos uiformes 4 esados 5 esados 6 esados 7 esados Esado Freqüecia Esado Freqüecia Esado Freqüecia Esado Freqüecia -2,23% 2,28% -2,45%,83% -2,7%,37% -2,7%,37% 0,46% 54,34% -0,2%,87% -0,88% 3,65% -,0% 2,28%,5% 42,47% 0,94% 75,80% 0,52% 5,60% 0,4% 2,46% 4,23% 0,9% 2,05% 9,59%,49% 42,0% 0,98% 57,99% 4,23% 0,9% 3,3% 0,9%,87% 5,53% 4,99% 0,46% 3,3% 0,9% 4,99% 0,46% Méodo 2 : divisão com desvios padrões em relação à media 4 esados 5 esados 6 esados 7 esados Esado Freqüecia Esado Freqüecia Esado Freqüecia Esado Freqüecia -0,87% 8,68% -,08% 6,85% -,48% 4,57% -,59% 4,% 0,50% 40,64% 0,28% 23,74% 0,00% 0,05% -0,22% 4,57%,26% 39,27% 0,89% 37,90% 0,57% 34,70% 0,33% 22,83% 2,20%,42%,54% 25,%,8% 3,96% 0,87% 34,25% 2,49% 6,39%,79% 5,98%,44% 23,74% 3,02% 2,74% 2,0% 9,3% 3,75%,37% Tabela A.2 - violações da hipóese "Birh ad deah" Méodo 4 Saes 5 Saes 6 Saes 7 Saes 2sae sae or more 0 3 Toal Toal(%) 2.75% 5.50% 4.3% 0.09% Méodo 2 4 Saes 5 Saes 6 Saes 7 Saes 2sae sae or more Toal Toal(%).0% 22.94% 26.5% 30.73%

39 38 APÊNDICE B : ESTIMAÇÃO DA MATRIZ DE TRANSIÇÃO DA CADEIA DE MARKOV PELO MÉTODO GMM Deseja-se esimar os 0 (a soma de cada liha é igual a ) parâmeros da mariz abaixo pelo méodo GMM. r p q2 r2 p2 0 P =... 0 q 5 r5 p5 q r Para isso precisamos de pelo meos 0 momeos implicados pela disribuição assumida e de uma mariz de pesos W. Eu uilizei os 2 momeos abaixo a esimação: Momeo eórico Coraparida amosral aé 4, probabilidades codicioais. ( ) Pr l g + = S3 l g = S3 r ) ( ) ( ) 3 ( ) 2) ( ) ( ) Pr l g + = S4 l g = S4 r 4 ( ) 3) ( ) ( ) Pr l g + = S3 l g = S4 q 4 ( ) 4) ( ) ( ) Pr l g + = S4 l g = S5 q 5 I 3/3 I 4/4 I 3/4 I 4/5 5 aé 9, probabilidades icodicioais.

40 39 5) π lim P () 6) π 2 lim P (2) 7) π 4 lim P (4) 8) π 5 lim P (5) 9) π 6 lim P (6) I I 2 I 4 I 5 I 6 0 aé 2, média, variâcia e auocorrelação de ª ordem. 0) 6 i= i Si i= µ π X i ) i.( Si ) i= σ π µ X i i= j= X j 2 2) 6 6 σ P.( Si µ )( Sj µ ), i, j i= j= X X. X X i j i j i= j= j= Ode I k é uma fução idicadora ( o esado idicado, 0 o reso) e Ik/ idicadora codicioada ao esado aerior. j fução Fialmee uilizo uma mariz ideidade como a mariz de pesos W. Isso sigifica que esou dado pesos iguais para odos os momeos uilizados, o que ão é a forma mais eficiee de se esimar, mas ão compromee a cosisêcia.