6 Formulação para Análise com Fundação Não-Linear

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1 76 6 Formulação para álise com Fuação ão-iear 6 Fuação Elásica ão-iear Uma caracerísica usualmee ecoraa as uações reais é o seu comporameo ão-liear exibio um gaho ou pera a rigiez uao submeias a graes carregameos ese coexo uma hipóese e comporameo liear a uação ão represea e maeira aeuaa ese ipo e problema ese rabalho para represear o comporameo ão-liear a uação é cosieraa uma ução e reação a uação o ipo cúbico similar à aoaa por rae 99 Serebreick e hie & he 5 oe é acresceao um ermo cúbico à reação a uação liear eiia a euação 8 obeo-se: x R x k x ± k 6 oe k é o parâmero e rigiez ão-liear a uação euação 6 é ambém cohecia como moelo e uação ão-liear e Wikler ela o sial posiivo e k iica um gaho e rigiez a uação hareig ouaio e o sial egaivo iica uma pera a rigiez a uação soeig ouaio Ese úlimo caso é o mais comum a grae maioria as uações composas por solos oe se observa uma pera e rigiez coorme os eslocameos aumeam osierao o sisema e cooreaas móvel em-se ue: R k ± k 6 Subsiuio a euação 6 a euação obém-se a euação ierecial ão-liear ue govera o movimeo o sisema e ue é aa pela seguie expressão:

2 77 mr m k k P ± 6 euação 6 só se ierecia a euação pela preseça o ermo cúbico a parcela correspoee à orça a uação 6 Euação e Movimeo ão-liear imesioal om o obeivo e se er uma sesibiliae a iluêcia as graezas esuaas a aálise paramérica aimesioaliza-se a euação e movimeo Para iso eie-se a seguie cooreaa aimesioal o espaço móvel: 6 e os seguies parâmeros aimesioais: k k 6 r m P P a α m Q 65 Deiio o campo e eslocameo aimesioal com respeio à cooreaa o espaço móvel como / * e cosierao os parâmeros aimesioais a euação 65 obém-se a seguie euação e movimeo ão-liear aimesioal: * * * * * * * * * * * * P ± 66 Para um carregameo isribuío a correspoee ução e carregameo aimesioal o espaço móvel é aa por: [ ] H H Q α α 67

3 78 oe é a ução ue eie a variação a ampliue o carregameo ao logo o empo 6 Solução proximaa ão-liear imesioal pelo Méoo e Galerki a grae maioria as vezes ão é possível se ober uma solução aalíica para as euações ierecias ão-lieares seo ecessário o emprego e méoos aproximaos para sua resolução ese iem são apreseaos os passos para a aplicação o méoo e Galerki à resolução a euação 66 Para a eução a resposa aproximaa somee são usaas como uções e aproximação os moos e vibração e viga bi-apoiaa para o caso e simeria a resposa e a série complea e Fourier para o caso e resposa ão simérica 6 Solução aproximaa ão-liear com simeria a resposa omo viso aeriormee o iem 5 para valores e velociae meores ue a velociae críica o sisema coserva a simeria a resposa ese caso a aproximação poe ser eia usao apeas a meae o omíio iscreizao omo o omíio é aimesioal o iervalo e iegração é agora eiio a cooreaa aimesioal ese caso os limies e iegração para miimizar o resíuo siuam-se ere e Desa orma a euação 5 poe ser reescria a seguie orma: R φ para 68 Supõe-se ue a resposa o sisema e a ução peso são aas por: 69 φ 6 Subsiuio a euação 69 a euação 66 obém-se o resíuo a miimizar R Para a moagem o sisema e euações covém separar o resíuo R em uas pares: uma a parcela liear R cua eermiação é eia a mesma

4 79 orma ue para a aálise liear e oura a parcela ão-liear R ue provém o ermo ão-liear a uação Se além esa separação se leva em coa a euação 6 eão a euação 68 poe ser escria a seguie orma: E E para com: R E R E 6 euação 6 eie o sisema e euações ierecias a resolver oe E represea a pare liear a euação e E represea o a pare ãoliear geraa pelo ermo ão-liear cúbico a uação elásica osierao ue aproximação é agora eia aravés e moos e vibração e uma viga bi-apoiaa em cooreaas aimesioais a ução e aproximação é aa por: cos 6 pare liear o sisema e euações E é eiia por: Ks Ds Ms E 6 oe: Ms Ds 6 Ρ Ks Da mesma orma ue para o caso liear aa a orogoaliae e e cosierao a simeria a resposa o sisema e euações eiio em 6 ica esacoplao poeo ser escrio a seguie orma: Ks Ds Ms E E 65

5 8 oe: Ms Ds 66 Ρ Ks pare ão-liear o sisema e euações E é eiia por: E ± 67 ese caso a parcela ão-liear o sisema e euações ica acoplaa O sisema ial será a soma as uas parcelas eiias a euação 65 e a euação 67 6 Solução aproximaa ão-liear com assimeria a resposa omo viso a aálise liear para velociaes muio próximas ou superiores à velociae críica a resposa o sisema pere simeria mesmo eo simeria o carregameo ssim é ecessário usar a ormulação ue cosegue escrever esa assimeria ese iem é cosieraa apeas a aproximação por série complea e Fourier e é ecessário cosierar a iegração o iervalo e a ese caso a resposa aimesioal é aa por: se cos 68 oe e iicam as ampliues o empo a serem eermiaas Usao o mesmo proceimeo ue o caso liear eiem-se as uções e poeração: ψ cos ψ ψ se 69

6 8 Subsiuio a euação 68 a euação 6 obém-se o resíuo a miimizar ue poe ser separao a soma uas parcelas como o caso simérico ão-liear: uma parcela liear e oura parcela ão-liear ssim muliplicao o resíuo pela ução e poeração ψ e iegrao com respeio o sisema e euações oma a orma: E E para 6 pare liear E aalogamee ao caso a aálise liear ica esacoplaa para e acoplaa por pares para a saber E E P cos E P se 6 s expressões coias em 6 compõem a parcela liear o sisema e euações a resolver para a eermiação as ampliues o empo parcela ão-liear o sisema e euações é aa por: E ± cos se 6 represeação a solução uao a resposa o sisema ão em simeria emaa um úmero maior e uções e aproximação Porao é ecessário realizar algumas maipulações algébricas a euação 6 e al orma a imiuir o úmero e operações

7 8 Para reuzir o amaho as expressões simbólicas são eiias as seguies uções: cos se 6 ssim as parcelas ão-lieares poem ser escrias a orma: ± E 6 { E ± 65 { E ± 66 s euações 6 65 e 66 orecem as parcelas ão-lieares alaes para complear o sisema ial e euações iereciais euações ue permiirão o cálculo as uções e ampliue o empo

8 8 6 Resolução o Sisema e Euações por Iegração umérica Sabe-se ue para a maioria as euações iereciais ão-lieares ão é possível ober uma solução aalíica exaa ssim exise uma série e meoologias uméricas para sua solução aproximaa o presee rabalho a solução o sisema e euações iereciais ão-lieares o omíio o empo eiio a euação 6 é calculaa aravés o méoo e iegração umérica as euações ierecias e Ruge-Kua Para al im é empregaa a roia á implemeaa o programa MPE versão