TESTE DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS TESTE DE HIPOTESES DA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS

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Raíssa Câmara Barreto
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1 TESTE DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS TESTE DE HIPOTESES DA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS A hipóese ula (Ho) usualmee esaa é a e que as uas amosras eham sio obias e populações om méias iguais, ou seja ( μ μ ) 0. 0 O uso a isribuição ormal para uas amosras iepeees é uilizaa sempre (esvioparão a população) for oheio ou variâias populaioais oheias ( ). Uiliza-se a isribuição e Sue se for esoheio, ou seja, quao o esvio-parão a amosra for oheio E NÃO O DA POPULAÇÃO, ou seja, variâias esoheias (s ). O uso a isribuição e Sue () leva em oa se as variâias populaioais são equivalees ou iferees. Esuaremos os seguies asos: A) POPULACÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS CONHECIDAS Cosieremos uas populações ormais iepeees om méias μ e μ e variâias e, seo e uas amosras iepeees obias, respeivamee, essas populações, e x e x suas méias. A esaísia e ese a ser usaa é: z B) POPULACÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS E EQUIVALENTES Quao as variâias e uas populações Normais forem esoheias, mas iguais usamos uma s meia poeraa as variâias amosrais e, o álulo a esaísia e ese : s ˆ.ˆ ( ).S ( ).S A isribuição é uilizaa om um úmero e graus e liberae igual a gl

Uiliza-se a isribuição e Sue se for esoheio, ou seja, quao o esvio-parão a amosra for oheio E NÃO O DA POPULAÇÃO, ou seja, variâias esoheias (s ).

2 C) POPULACÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS E DIFERENTES Quao as variâias e uas populações Normais forem esoheias e iferees, usamos as s s variâias amosrais e, o álulo a esaísia e ese : s s A isribuição é uilizaa om um úmero e graus e liberae igual a: gl s s s s TESTE DE HIPOTESES DA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS COM OBSERVACÕES EMPARELHADAS Fazemos eses e omparação e méias para aos emparelhaos (amosras epeees), obias e populações Normais. Para aa par efiio, o valor a primeira amosra esá laramee assoiao ao respeivo valor a segua amosra. Para observações emparelhaas, ou amosras pareaas, o ese apropriao para a ifereça ere uas méias osise em eermiar primeiro a ifereça ere aa par e valores, e eão esar a hipóese ula e que a méia as ifereças a população é zero. Eão, o poo e visa e álulo, o ese é apliao a uma úia amosra e valores. A méia e o esvio parão a amosra e valores são obios pelas fórmulas: S. A esimaiva o erro parão a ifereça méia ere observações emparelhaas é obia pela fórmula: ˆ S

para aos emparelhaos (amosras epeees), obias e populações Normais. Para aa par efiio, o valor a primeira amosra esá laramee assoiao ao respeivo valor a segua amosra.

3 Uma vez que o erro parão a ifereça méia é alulao om base as ifereças observaas em amosras emparelhaas (logo é esoheio) e uma vez que os valores e geralmee poem ser amiios omo eo isribuição Normal, as isribuições são apropriaas para esar a hipóese ula e que μ 0. A isribuição esse aso erá um úmero e graus e liberae igual a: gl - A esaísia e ese, eão, será aa por: μ ˆ o TESTE QUI-QUADRADO PARA DUAS AMOSTRAS NÃO-RELACIONADAS (OU TESTE DE INDEPENDÊNCIA: TABELAS DE CONTINGÊNCIA) A uilização em pesquisa e markeig o ese qui-quarao para uas amosra ão-relaioaas é para verifiar se as isribuições absoluas e uas amosras ão-relaioaas iferem sigifiaivamee em relação a eermiaa variável. Por exemplo: verifiar se as lasses soioeoômias iferem sigifiaivamee o osumo e eermiao prouo; verifiar se as esolhas o amaho o auomóvel ifere sigifiaivamee em fução o amaho a família e. Coições para uilização: Daos qualiaivos. Disribuição os aos em freqüêias absoluas. Amosras ão-relaioaas ou iepeees. Não poe ser uilizao se mais e 0% as freqüêias absoluas forem iferiores a 5 ou se qualquer freqüêia for iferior a. Neses asos a solução para orar a uilização o ese possível é a e agrupar élulas aé er as oições aeias. Coeio: O ese qui-quarao para uas amosras ão-relaioaas é, semelhaemee ao ese quiquarao e uma amosra, um ese o ipo aerêia, iso é, o quao que a isribuição observaa (O i ) se ajusa à isribuição esperaa (E i ). Aravés a omparação ere O i e E i, aeia-se ou rejeiase H 0, a eermiao ível e sigifiâia α. Proeimeo sumarizao o ese: ) Formular as hipóeses H 0 : As variáveis evolvias são iepeees. H a : As variáveis evolvias ão são iepeees. ) Calular a esaísia e ese 3

A isribuição esse aso erá um úmero e graus e liberae igual a: gl - A esaísia e ese, eão, será aa por: μ ˆ o TESTE QUI-QUADRADO PARA DUAS AMOSTRAS NÃO-RELACIONADAS (OU TESTE DE INDEPENDÊNCIA: TABELAS

4 ( O ij E ij ) Χ i j E ij 3) Eorar o valor ríio a abela qui-quarao O valor o χ abelao orrespoee eora-se a liha (r-).(k-) e a olua α, seo r e k, respeivamee, o º e aegorias as variáveis evolvias o esuo. 4) Coluir Se χ alulao for meor o que o χ abelao, rejeia-se H 0. 5) Ierprear Ex.: Para α 0,05, poe-se afirmar que o osumo o prouo P epee a lasse soioeoômia. Os aos amosrais iiam que a lasse D é a que mais osome o prouo e a lasse A é a que meos osome. Apliação: A Alber s Brewery of Tuso, Arizoa, fabria e isribui rês ipos e erveja: ligh, ormal e esura. Em uma aálise e segmeos e merao para as rês ervejas, o grupo e pesquisa e merao a empresa levaou a quesão e que a preferêia pelos rês ipos e erveja varia e aoro om o sexo o osumior. Se a preferêia pela erveja iepee o sexo, uma ampaha publiiária será iiiaa para oas as ervejas a Alber. Ereao, se a preferêia pela erveja epee o sexo o osumior, a empresa aapará suas promoções para iferees meraosalvo. Uma amosra aleaória simples e 50 osumiores e erveja foi seleioaa. Depois e experimear aa erveja, os iivíuos assialaram suas preferêias ou primeira esolha. De aoro om o sexo e o ipo e erveja preferia, obeve-se a seguie abulação ruzaa resumio as resposas o esuo : Preferêia e erveja Ligh Normal Esura Masulio Femiio PROCEDIMENTO PARA O TESTE DE HIPÓTESES: ) HIPÓTESES Ho: A preferêia pela erveja é iepeee o sexo o osumior H a : A preferêia pela erveja ão é iepeee o sexo o osumior. ) CÁLCULO DA ESTATÍSTICA DE TESTE Supoo que a hipóese ula é veraeira, iso é, as variáveis são iepeees, evem-se alular as freqüêias esperaas para aa élula a abela. Verifiamos que 50/500,3333 ou 33,33% prefere erveja ligh; 70/50 0,4667 ou 46,67% prefere a ormal e 30/500,0 ou 0% prefere erveja esura. Porao, para uma amosra e 80 homes, esperamos que 50/50 x 80 6,67 homes (ou 33,33% os 80 homes ) prefiram erveja ligh; 70/50 x 80 37,33 prefiram erveja ormal ( ou 46,67% os 80 homes) e 30/50 x 80 6 prefiram erveja esura ( ou 0 % os 80 homes). Para as 70 4

: Para α 0,05, poe-se afirmar que o osumo o prouo P epee a lasse soioeoômia. Os aos amosrais iiam que a lasse D é a que mais osome o prouo e a lasse A é a que meos osome.

5 mulheres o raioíio é o mesmo: 50/50 x 70 3,33 mulheres prefiram a ligh: 70 /50 x 70 3,67 prefiram a ormal e 30/50 x 70 4 prefiram a esura. Observe que o álulo poe ser resumio assim: (Toal a liha i) x (Toal a olua j) E ij... Tamaho a amosra. Os valores esperaos supoo que Ho é veraeira esão a abela abaixo. OBS: Noe que as somas as oluas e lihas ão se aleraram: Preferêia e erveja Ligh Normal Esura Masulio 6,67 37, Femiio 3,33 3, Esaísia e ese: ( O ij E ij ) Χ i j E ij Preferêia e erveja Ligh Normal Esura Masulio,67 0,9,00 Femiio,9 0,,4 6,3 Calulao a esaísia e ese, obemos χ alulao 6,3. 3) VALOR CRÍTICO DO TESTE (úmero e lihas -) x (úmero e oluas -) (-) (3-). O valor ríio, a abela a qui-quarao, para alfa 0,05, é χ α 5, ) CONCLUSÃO Como o χ alulao > χ α, rejeia-se Ho (0,05 < valor p < 0,05). 5) INTERPRETAÇÃO Para α 0,05, poe-se afirmar que a preferêia pelo ipo e erveja ão é iepeee o sexo o erevisao. Pela aálise as freqüêias esperaas e observaos, há iiação que as mulheres em preferêia maior pela ligh e os homes pela ormal e esura. 5

OBS: Noe que as somas as oluas e lihas ão se aleraram: Preferêia e erveja Ligh Normal Esura Masulio 6,67 37,33 6 80 Femiio 3,33 3,67 4 70 50 70 30 50 Esaísia e ese: ( O ij E ij ) Χ -----------------

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