Prova Parcial de Estatística I. Turma: AE1 AE2 AE3 AE4

Transcrição

1 ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS Prova Parcial de Estatística I Data: Setembro / Professores: Eduardo Francisco Francisco Aranha Nelson Barth A Nome do Aluno: GABARITO Assinatura: Nome do Professor: Eduardo Francisco Francisco Aranha Nelson Barth Turma: AP AE AE AE3 AE4 Instruções:. Responda cada questão em sua própria página. Use o verso da página se houver necessidade de mais espaço.. Para rascunho, utilize o verso da capa e da folha de fórmulas. 3. Justifique seus resultados com clareza. Resultados numéricos isolados, sem justificativas ou cálculos, não serão considerados. 4. Não faça qualquer pergunta aos professores. A correta compreensão faz parte da prova. Em caso de dúvida ou de suspeita de incorreções, escreva o que você assumiu. 5. Utilize caneta ou lápis (com clareza e nitidez).. Não é permitida a consulta a nenhum material. Questão [Valor:,5 pontos] 7. Não solte o grampo. 8. Calculadoras são permitidas. 9. Celulares são proibidos. Devem estar DESLIGADOS.. É proibido o empréstimo de qualquer material.. Para sair da sala, encerre e entregue a prova. Notas: Q Q Q3 Q4 Total

2 Questão [Valor:,5 pontos] Em uma loja de fábrica de roupas, cada jeans, com determinado estilo, custa R$,. Mas, se o cliente comprar dois jeans, leva mais um de graça. Seja o número de jeans que um cliente leva ao sair da loja (nem todos jeans levados serão pagos!). A função de probabilidade de é: f() = k. (-), para =,, e 3 f() = nos demais casos a) [,5 ponto] Determine k. b) [, ponto] Determine o valor esperado do número de jeans levados por cada cliente que sai da loja. c) [, ponto] Determine o valor esperado (em Reais) do valor pago por cada cliente que sai da loja. Gabarito x a) 3 f ( x) 4k k k k f ( x) k k 4 4 b) E ( ) x f ( x) 3, 7 O número esperado de jeans levados por cada cliente é,7. c) Y = valor pago por cliente y f (y) 4 E ( Y) 4 y f ( y) 5 O valor esperado a ser pago por cada cliente é R$ 5,.

3 Vendas Questão [Valor:,5 pontos] (Adaptado de Bussab e Moretin, Cap. 4, Ex. 3) O departamento de vendas de certa companhia foi formado há um ano, com a admissão de 5 vendedores. Naquela época, os vendedores foram submetidos a um teste de aptidão, cujo resultado está representado na variável Teste. O montante de pedidos captados por cada vendedor ao longo do ano, em milhares de reais, foi totalizado na variável Vendas. Os dados originais, algumas medidas descritivas e uma representação gráfica das duas variáveis estão disponibilizadas a seguir. Obs Teste Vendas Estatísticas Descritivas: Teste, Vendas Variável N Média DesvPad Variância CoefVar Mínimo Q Mediana Q3 Máximo Teste 5,7,87 3,495 3,8 3, 5,, 8, 9, Vendas 5 3,,43 3, 37,84, 3, 7, 3, 54, Covariância: Teste, Vendas Cov(Teste,Vendas) = 5,574 Diagrama de Dispersão de Vendas vs Teste Teste Pergunta-se: a) [, ponto] Utilizando-se o critério de outlier do Box-Plot, há valores discrepantes para a variável Teste? Se sim, quantas e quais observações são outliers? b) [,5 ponto] Qual o valor da correlação das variáveis Teste e Vendas, considerando-se todas as observações? Interprete esse resultado. Dica: evite cálculos desnecessários. c) [, ponto] Calcule a densidade de frequência do intervalo interquartilar da variável Teste. Dica: use a definição de densidade de freqüência. 3

4 Gabarito a) Limite Inferior para Teste: Q,5 (Q3 Q) = 5,5 * 3 =,5 Limite Superior para Teste: Q3 +,5 (Q3 Q) = 8 +,5 * 3 =,5 Observando os dados dos 5 vendedores, não há outliers para a variável Teste. b) Utilizando os valores fornecidos, temos: Y 5,574 corr(, Y) Y,745 Y,87,43 A correlação entre Teste e Vendas é forte, da ordem de 7%, o que representa forte influência da aptidão dos vendedores em seu desempenho de vendas. c) Freqüência Absoluta da variável Teste no Intervalo Interquartilar (ou seja, entre 5 [inclusive] e 8 [exclusive]): 8 Freqüência Relativa: 8/5 Devemos ter a densidade de freqüência h tal que h * (8-5) = 8/5. 8 Logo, h, ATENÇÃO: Se o aluno considerar o intervalo interquartilar entre 5 (inclusive) e 8 (também inclusive), teremos: Freqüência Relativa: /5 Devemos ter a densidade de freqüência h tal que h * (8-5) = /5. Logo, h, Se o aluno considerar o intervalo interquartilar entre 5 (exclusive) e 8 (inclusive), teremos: Freqüência Relativa: 8/5 Devemos ter a densidade de freqüência h tal que h * (8-5) = 8/5. 8 Logo, h, Aceitaremos também se o aluno considerar o intervalo interquartilar entre 5 (exclusive) e 8 (exclusive). Teremos: Freqüência Relativa: 5/5 Devemos ter a densidade de freqüência h tal que h * (8-5) = /3. Logo, h, 33 4

5 Aceitaremos também se o aluno considerar: Freqüência Relativa:,5 Devemos ter a densidade de freqüência h tal que h * (8-5) =,5.,5 Logo, h, 7 3 5

6 Questão 3 [Valor:,5 pontos] João Rico Aquoso é um velho especialista em achar as causas de vazamentos de água em casas e apartamentos. Ele usa métodos estranhos para trabalhar, cobra caro e só é chamado em casos realmente difíceis. Apesar de ser considerado um milagreiro, ele sabe que costuma achar as causas de 7% dos vazamentos em apartamentos e de % dos vazamentos em casas. João é muito organizado e atende, a cada semana, apartamentos e casas. Ele cobra R$., por serviço, mas desde que de fato localize o vazamento (se não achar, não cobra nada). a) [, ponto] Calcule a probabilidade de, em determinada semana, um apartamento no máximo deixar de ter seu vazamento descoberto (esqueça as casas, neste item). b) [,5 ponto] Calcule a probabilidade de, em determinada semana, João ganhar no mínimo R$ 9.,. Atenção: para evitar problemas de arredondamento, calcule todas as probabilidades em números absolutos (isto é, não em percentagem) com pelo menos quatro casas decimais. Gabarito a) = nº de vazamentos encontrados em apartamentos. Para um apartamento no máximo deixar de ter seu vazamento descoberto, deveremos ter = 9 ou =. segue distribuição binomial com p =,7 e n =. 9),7 9, ,3 9) ),7 k 9,3,7 k k (,7) k,8,8475 ATENÇÃO: Fazendo todos os cálculos com 7 casas decimais, a resposta é,49383, ou,493 quando apresentado com 4 casas decimais. Fazendo todos os cálculos com apenas 4 casas decimais, a resposta também é,493.

7 b) Y = nº de vazamentos encontrados em casas. Y segue distribuição binomial com p =, e n =. Para João ganhar R$ 9., deverá encontrar o vazamento em (i) casas e 9 apartamentos, OU (ii) 9 casas e apartamentos. Para João ganhar R$., deverá encontrar o vazamento em exatamente casas e apartamentos. Logo, João ganhar R$9mil ou mais) [ Y ) 9)] [ Y 9) )] [ Y ) pois e Y são assumidamente independentes. Calculando: 9 P ( Y 9),,4,438 9 P ( Y ),,4,4 Resposta: João ganhar Y ),45 R$9mil ou mais) 9) Y 9) ) Y ) )] ),4,8,438,8475,4,8475 ATENÇÃO: Fazendo todos os cálculos com 7 casas decimais, a resposta é,45. Fazendo todos os cálculos com 4 casas decimais, a resposta é,. Qualquer resposta com resultado numérico entre esses valores deve ser aceita. 7

8 Densidade de Frequência Densidade de Frequência Questão 4 [Valor:,5 pontos] Na cidade de Ursk, a distribuição de frequências da idade (em anos) das pessoas que vão ao Estádio Municipal é representada pelo histograma abaixo (o eixo horizontal indica o centro de cada classe). Responda às questões abaixo. Reflita bem antes de fazer qualquer cálculo.,45,4,35,3,5,,5,, a) [, ponto] Pessoas com mais de anos pagam meia-entrada. Qual é a proporção de pessoas que pagam meia-entrada? b) [,5 ponto] Para uma amostra com 5 pessoas da cidade, a soma dos quadrados das distâncias das idades em relação à média amostral é igual a 799. Qual é o valor da variância amostral? c) [, ponto] Se, depois de dois anos, exatamente as mesmas pessoas continuarem frequentando o Estádio na cidade (isto é, se nenhum dos atuais frequentadores parar de ir ao Estádio e nenhum novo frequentador surgir), o que acontecerá com a média de idade dos que frequentam o Estádio? E com o desvio padrão da idade dos frequentadores? Justifique claramente sua resposta. Gabarito,45,4,35,3,5,,5,,5 4% % % 5% % 5% a) f( ou mais) = f[;7[ + f[7;8[ = % + 5% = 5% 5% das pessoas pagam meia-entrada. b) Seja x a média amostral das idades das pessoas que vão ao Estádio Municipal. Sabemos que x 799 x. Logo, s x x n ,

9 c) A média aumentará em anos, pois às idades atuais de todos os frequentadores do Estádio Municipal serão acrescidos anos, ou seja, será somada uma constante aos valores da variável, o que faz com que à sua média seja acrescida a mesma constante. Já em relação ao desvio-padrão, não ocorrerá alteração, pois os valores absolutos das distâncias das idades em relação à média não se alterarão e, consequentemente, a soma dos quadrados destas distâncias também não; como o número de freqüentadores será mantido, a variância e o desvio padrão não se alteram. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9