TEORIA DE VALORES EXTREMOS PARA CÁLCULO DE VaR *

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1 TEORIA DE VALORES ETREMOS PARA CÁLCULO DE VaR * Luiz Alvares Rezede de Souza ** (lalvares@usp.br) Marcos Eugêio da Silva *** (medsilva@usp.br) Julho de 999 Resumo É cohecido o fao de que disribuições de reoros de séries fiaceiras cosumam apresear caudas mais pesadas do que as de uma disribuição ormal. Coudo, as meodologias radicioais de cálculo de Valor em Risco (VaR) em geral supõem ormalidade, seja codicioal ou ão codicioal, e acomodam mal as ocorrêcias exremas da disribuição dos reoros. O objeivo dese rabalho, moivado pelo período de sucessivas crises fiaceiras ieracioais, é ivesigar a plausibilidade das hipóeses exigidas pelas meodologias radicioais, e a ifluêcia que as caracerísicas ipicamee ecoradas em séries fiaceiras exercem sobre os modelos de cálculo de Valor em Risco mais uilizados. Mais aida, ivesiga-se a possibilidade de se ober melhoria sigificaiva do poo de visa do corole de risco, aravés da uilização da Teoria do Valor Exremo. A meodologia é aplicada e comparada a duas séries fiaceiras reais: reoros de C-Bod e reoros de Telebrás. Os resulados idicam que a Teoria do Valor Exremo é mais idicada para a modelagem das caudas, a íveis de sigificâcia meores ou iguais a %, e que modelos do ipo GARCH desempeham melhor o ierior da disribuição. Irodução Dadas as sucessivas crises por que vem passado o mercado fiaceiro ieracioal, começado com a crise o Lese Asiáico (julho 997), passado pela moraória Russa (ouubro de 998) e, mais receemee, com a mudaça do regime cambial brasileiro (jaeiro de 999), observa-se que algumas isiuições fiaceiras icorreram em grades perdas em cada um desses eveos. Ifelizmee, algumas ão sobreviveram para apreder com os próprios erros. Ouras, de uma forma ou de oura, seiram a ecessidade de possuir um sisema adequado de corole de risco para preveir caásrofes fiaceiras em momeos de crise. Cabe eão perguar qual seria o méodo mais adequado para corole de risco essas siuações exremas, que permiisse ao um dimesioameo correo do risco evolvido a admiisração das suas posições de mercado, quao a deermiação das exigêcias de capial que deveriam ser requeridas das isiuições fiaceiras. * Os auores agradecem os comeários dos Professores Paulo Picchei, Pedro Luiz Valls Pereira, e José Carlos Souza Saos ao rabalho de disseração de mesrado do primeiro auor, orieado pelo segudo, que deu origem a ese arigo. ** Mesre pelo IPE-USP. Agradece o fiaciameo parcial cocedido pela CAPES. *** Professor do Deparameo de Ecoomia da FEA-USP.

2 Nese arigo será proposa uma modelagem de Value-a-Risk (VaR) baseada a Teoria do Valor Exremo. Seus resulados serão avaliados cora as meodologias radicioais, a saber: iervalo de cofiaça baseado em ormalidade ão-codicioal, simulação hisórica, EWMA (Riskmerics), GARCH com disribuição ormal, e GARCH com disribuição -Sude. Do poo de visa do corole de risco, pode-se defiir duas caegorias, ou objeivos básicos, para modelos de valor em risco: (a) uma medida de VaR para as perdas mais frequees, ou diárias. Nesse caso, objeiva-se íveis de sigificâcia em oro de 5% ou.5%. Traa-se das siuações dias ormais, ode seria desejável um modelo que respodesse rapidamee à percepção de risco do próprio mercado. (b) Uma medida de VaR para as perdas mais raras, ou de siuações de sress. Seria o caso de medidas de VaR(%) ou para íveis de sigificâcia aida meores do ipo VaR(0.%). É para o ipo de corole de risco exigido em (b) que o méodo de valor exremo discuido esse arigo melhor se aplica, por levar em cosideração a iformação de logo prazo coida a amosra.. Além disso, algus rabalhos defedem que as exigêcias de capial para isiuições fiaceiras imposas pelo acordo da Basiléia são excessivamee coservadoras e desiceivam a uilização de modelos de cálculo de value-a-risk mais precisos. O arigo esá orgaizado da seguie forma: a esa irodução segue-se uma seção que descreve os coceios básicos de Value-a-Risk e os modelos radicioais mais uilizados, bem como as hipóeses ecessárias para que sejam aplicáveis. Na seção 3 as duas séries fiaceiras que serão uilizadas o rabalho são descrias em dealhe, e seus faos esilizados caracerizados (reoros de C-Bod, e reoros de Telebrás-PN). Na seção 4, expõe-se a Teoria do Valor Exremo, e sua aplicação para o cálculo de VaR. Por fim, a seção 5 são fialmee aplicados os diferees méodos de esimação de valor em risco discuidos às duas séries fiaceiras descrias a seção 3. Uma sexa e úlima seção é reservada às coclusões. Meodologias radicioais para o Cálculo de VaR. Defiição de Valor em Risco (Value-a-Risk) Defie-se geericamee o Valor em Risco (value-a-risk) VaR, de uma careira de valor Π, o período, como: Pr{ Π VaR } = % ode: Π = variação o valor da careira de preço Π % = ível de sigificâcia Iso é, o VaR é a perda máxima esperada da careira, a um ível de sigificâcia de % (ou ível de cofiaça de -%), dero de um horizoe de empo deermiado. É imporae observar que se raa de uma medida moeária, dado que a variável aleaória, esse caso, é a variação de valor da careira. Defiido os reoros da careira Π como disribuição dos reoros da careira, iso é: r = Π Π Π, pode-se rabalhar com o VaR em ermos da Ver, por exemplo, Daielsso & Harma 998.

3 Π Pr Π VaR = % Pr{ r VaRΠ } =% Π E pode-se defiir um ovo Pr r * ser facilmee obido como: VaR = VaR Π. VaR em ermos de reoros * : { VaR } =% *. Iervalo de Cofiaça baseado em ormalidade ão codicioal 3. O VaR moeário pode Impodo-se a hipóese de que os reoros sejam ormais e i.i.d. (idepedee e ideicamee disribuídos), pode-se calcular o VaR de % como: VaR( %) = Π Z % σ, ode Z -% é o quail de uma ormal padrão (z 95% =.65, z 99% =.33). Nesse caso, para uma amosra (ou jaela) de T T T observações, o esimador de σ é ˆσ = ( r r), ode r = T r. Noe que, esse caso, o = T = VaR é dado pelo limie iferior do iervalo de cofiaça uicaudal para o reoro da careira ao assumir-se 3 que r ~ N ( r, σˆ )..3 Simulação Hisórica Supodo-se que a disribuição dos reoros seja ão-padrão, e que ão se queira fazer hipóeses adicioais sobre ela, pode-se uilizar a própria disribuição dos reoros realizados da careira, a fim de se calcular ão-paramericamee o quail correspodee ao ível de sigificâcia do VaR de % desejado. Iso é, dada uma amosra de reoros = {,..., } χ T T, ordeam-se as observações 4 K T e oma-se o esimador de ˆ [ % T ] + [ % T + ] % = para T par 5. A parir da esimaiva do quail empírico % dos reoros, é possível coruir-se o VaR(%) como VaR( %) = Π ˆ %. A idéia é se uilizar a própria disribuição empírica dos reoros passados da careira ou aivo, com o argumeo de que ela reproduz da melhor maeira possível a verdadeira disribuição. O méodo é robuso a disribuições de caudas pesadas, mas baseia-se uma úica realização do processo gerador dos dados (uma úica rajeória de preços é observada a práica). É ecessária a hipóese de reoros i.i.d., exigido-se que a disribuição permaeça esável ao logo do empo. Além disso, é imporae observar que uma amosra de amaho N ão em ada a dizer sobre a probabilidade de perdas maiores do que /N. Será esse VaR, para reoros, que será esimado a seção empírica. 3 Exise a possibilidade de se cosiderar disribuições aleraivas. 4 As observações ordeadas desa maeira recebem o ome de esaísicas de ordem. A defiição formal ecora-se a seção Os colchees [.] defiem a pare ieira da operação. [ % T ], porao, refere-se ao reoro que ocupa a posição correspodee a % das observações, uma amosra ordeada de maeira crescee. Para T ímpar uiliza-se ˆ % = [ % T + ].

4 .4 Modelos da Família ARCH 4 No caso de ão ser válida a hipóese de ormalidade ão codicioal, uma possibilidade é se modelar a disribuição codicioal dos reoros. A abordagem iicial se deve a Bollerslev, e vem sedo desevolvida desde o iício dos aos 80, com iúmeras aplicações para séries fiaceiras, e uma grade quaidade de exesões. Uma boa reseha pode ser ecorada em Bollerslev e alii (99). O sucesso dessa classe de modelos se deve, em grade pare, ao fao de raar direamee duas das pricipais caracerísicas recorreemee observadas em dados fiaceiros: caudas pesadas e depedêcia emporal do segudo momeo codicioal. Para o cálculo de VaR, o que em geral se faz é esimar um modelo adequado da família ARCH para prever a volailidade codicioal σ ˆ e, a parir daí, cosruir-se o iervalo de cofiaça, como em.3, só que com base a disribuição codicioal dos reoros 6. A modelagem da volailidade codicioal coora vários dos problemas apoados as abordages aeriores, dado maior peso às observações mais recees. Coudo, ecessia de hipóeses ao sobre a disribuição codicioal dos reoros, em geral assumida como ormal 7, como sobre a especificação diâmica seguida pela variâcia. A seguir, as especificações mais radicioais uilizadas para o cálculo de value-a-risk..4. GARCH com disribuição Normal e -Sude Supodo-se que os reoros eham média ula e sejam ão auocorrelacioados 8, um modelo GARCH(p,q) (Geeralized Auoregressive Codiioal Heerokedasiciy) com iovações gaussiaas pode ser escrio como: r = σ ε, ~ N(0, ) ε q p = + ϖ + ir i i= j= σ βjσ j, ϖ > 0, i, β j 0, i + βj < E pode ser esimado aravés da maximização da log-verossimilhaça, ao se impor as resrições sobre os parâmeros da variâcia codicioal 9. Tecicamee a escolha da ordem das defasages p e q deveria ser feia caso a caso aravés da miimização de um criério de iformação como o BIC 0 (Bayesia Iformaio Crierio). Coudo, a práica, uma boa escolha para séries fiaceiras acaba sedo p = e q =. Esse resulado é recorree a lieraura. Todas as esimações de VaR com base em modelos GARCH feias ese rabalho, e apreseadas a seção 5, foram feias codicioais aos valores de p = e q =. Isso se q i= p j 6 Para isso, como já ciado aeriormee, basa subsiuir a esimaiva do desvio-padrão ão codicioal σˆ da seção.3, ˆ pelo σ dado pelo modelo escolhido da família ARCH. 7 Pode-se assumir uma -sude, e esimar seu úmero de graus de liberdade cojuamee por máxima verossimilhaça, ou aida uilizar uma disribuição de erros geeralizada (GED), que possui a ormal e a como casos pariculares. 8 Em caso corário pode-se especificar uma esruura ARMA para os reoros, e esimá-la cojuamee com a esruura GARCH por máxima-verossimilhaça. 9 As resrições garaem a esacioariedade do processo, e que ao variâcia codicioal, como ão codicioal, sejam fiias e esriamee posiivas. = θ, ode Ψ(θ *) T 0 BIC ( Ψ( *) k l T ) úmero de observações uilizadas a esimação, e k o úmero de parâmeros. é o valor da log-verossimilhaça avaliada o poo de máximo, T é o

5 jusifica pelo fao de faciliar uma auomaização do processo a implemeação compuacioal, e por ser essa ser a especificação mais adequada a grade maioria dos casos. Como em sempre os modelos GARCH codicioalmee gaussiaos coseguem explicar odo o excesso de curose ecorado as séries fiaceiras, disribuições aleraivas foram proposas para as iovações dos reoros. A mais comum, é supor-se que os erros seguem disribuição -Sude, com v graus de liberdade, porao, que: ~ ( v) ε Esse modelo pode, da mesma forma, ser esimado por máxima verossimilhaça, impodo-se as resrições usuais, e com o parâmero do úmero de graus de liberdade da disribuição sedo esimado cojuamee..4. Meodologia RiskMerics: o EWMA Um dos procedimeos mais comumee uilizados o mercado é o sugerido pela meodologia RiskMerics do JPMorga. Traa-se de modelar a volailidade dos aivos como um EWMA (Expoeially Weighed Movig Average), ode: σ = ( λ) r + λσ que pode ser viso como o caso de um GARCH(,) degeerado, sem o iercepo da volailidade, e ode os parâmeros e β somam (IGARCH). O parâmero λ pode ser facilmee esimado pela miimização do erro quadráico médio ere o quadrados dos reoros e a variâcia codicioal dada pelo modelo 3 Descrição das Séries Tedo em visa as hipóeses ecessárias para que cada uma das meodologias descrias a seção aerior se mosre apropriada, cabe esudar os faos esilizados observados as séries a serem rabalhadas. As quesões fudameais ivesigadas são ormalidade e idepedêcia. 3. Série de Reoros de C-Bod O C-Bod é o pricipal íulo da dívida exera brasileira, e um dos mais líquidos ere os braddies sedo egociados o mercado ieracioal. Na figura ecora-se o gráfico dos preços e reoros diários da série de C-Bod uilizada. Os preços são dados em perceual sobre o valor de face do íulo, e os reoros são calculados com referêcia a esses preços. O período cobre de /8/94 a 6//999, oalizado observações. A foe dos dados é a empresa Efoque Gráfico Sisemas. 5 De fao o uso de especificações diâmicas mais ricas permiidas pela escolha de ordes mais elevadas de modelos GARCH produz uma difereça muio pouco sigificaiva para as séries de desvio-padrão codicioal exraídas segudo modelos aleraivos. A implicação desse fao para o cálculo de VaR é que as esimaivas de valor em risco dadas por modelos com p e q diferees de, deve ser muio próxima da dada por um GARCH(,). Isso pode ser facilmee observável sobrepodo-se as séries de VaR de modelos GARCH(p,q) aleraivos um úico gráfico. Ao logo de odo ese rabalho, os reoros uilizados serão os discreos, calculados como ao ieresse específico do problema de Value-a-Risk que é modelar a disribuição das perdas modelar a disribuição de r Π. 5.6 r Π Π = Π. Iso se deve Π. Nese caso, basa

6 6 Série de Cbod Série de Telebrás Reoros Preços 3. Série de Reoros de Telebrás Reoros Figura Figura A série uilizada cosiui-se de 8 preços de fechameo de Telebrás PN, o período compreedido ere /8/994 e 6//999. Dias após a privaização do Sisema Telebrás, as ações das 3 empresas cididas foram separadas a Bovespa. A parir de eão passaram a ser egociados os Recibos de Telebrás, cosiuídos por uma cesa com os papéis das 3 empresas vedidas. A série uilizada é a de Telebrás PN (TEL4) aé /9/998 (observação 03), ecaixada à série de Recibos de Telebrás (RCTB40) daí em diae. Na figura ecora-se o gráfico dos preços e reoros uilizados. Os dados foram adquiridos da Efoque Gráfico Sisemas. Preços RETORNOS DE C-BOND RETORNOS DE TELEBRÁS Média Mediaa Desvio-Padrão Míimo Máximo Assimeria [0.0000].348 [0.0000] Exc.de Curose.086 [0.0000] [0.0000] Jarque-Bera [0.0000] [0.0000] Tabela : Esaísicas Descriivas das Séries de Reoros Noa: p-values das esaísicas qui-quadrado de ese ere colchees 3.3 Aálise das Séries de Reoros A abela mosra algumas esaísicas descriivas para ambas as séries. Verifica-se iicialmee que a hipóese de média ula para os reoros é razoável, dado que seu desvio-padrão é 50 vezes maior do 3 O valor críico da esaísica qui-quadrado é Ouros ese de ormalidade como o Doorik-Hase e Bowma- Sheo ambém rejeiam foremee a hipóese de ormalidade.

7 que a média para o C-Bod, e 0 vezes para Telebrás. Rejeiam-se as hipóeses de excesso de curose igual a zero e de ão assimeria para as duas séries. Essas esaísicas poderiam esar coamiados pela preseça de ouliers, pricipalmee para a série de Telebrás. Checou-se, elimiado-se algus desses eveos exremos, e refazedo os eses. Aida assim os resulados foram de rejeição da hipóese de ormalidade. Com relação à hipóese de idepedêcia, pode-se observar a figura 3 as fuções de auocorrelação amosral dos reoros e quadrados dos reoros das duas séries. Tao para os reoros de C-Bod, quao para os de Telebrás, observa-se que o correlograma apresea algus picos fora do iervalo de cofiaça 4, que do poo de visa do cálculo do VaR poderiam ser cosiderados espúrios 5. Coudo, o correlograma dos quadrados dos reoros apresease fora do iervalo de cofiaça aé aproximadamee a 5 a defasagem para o C-Bod, e aé a 3 a para Telebrás, demosrado clara depedêcia emporal presee o segudo momeo da disribuição dos reoros, e rejeiado a hipóese de idepedêcia. Em ouras palavras, mesmo assumido iexisêcia de depedêcia liear para os reoros, ão é possível fazê-lo para seus quadrados. Como úlimo exercício, cosruiu-se a abela, que esima os perceis para a disribuição das duas séries, supodo ormalidade. Percebe-se que hipóese de ormalidade superprediz valores de maior probabilidade (meor perda), e subprediz os de meor probabilidade (maior perda). Fica claro o problema poecial em se assumir ormalidade para o cálculo de VaR para esses aivos, pricipalmee o caso do C-Bod, ode ao ível de sigificâcia de 0.%, o VaR seria violado 7 vezes mais do que o esperado. 7 C-BOND TELEBRÁS Sigificâcia Esperado Efeivo Esperado Efeivo 0.% % % % % % % Tabela : Número de observações os perceis da cauda iferior da disribuição dos reoros de C-Bod e Telebrás, supodo ormalidade. 3.4 Comporameo dos Valores Exremos Descrias as propriedades esaísicas básicas ormalmee aalisadas, vale a pea ivesigar o comporameo dos valores exremos das séries esudadas, as peças de iformação esseciais para a modelagem do VaR associado às grades perdas poeciais. A pergua mais imporae a ser respodida é se os reoros exremos são idepedees ao logo da amosra. ±0. T 4 Sob a hipóese de reoros i.i.d, o ievalo de cofiaça é dado pelos limies ± Pode ser viso para essa série, em Pereira e alii (999), que mesmo ao se icluir esruura auoregressiva a média codicioal dos reoros, os criérios de iformação AIC e BIC mosram que apeas a esruura GARCH a variâcia e uma cosae a média cosiuem o melhor modelo.

8 8 0. FAC: Reoros de C-Bod 0.5 FAC: Reoros de Telebrás FAC 0 FAC lag lag 0.4 FAC: Quadrados dos Reoros de C-Bod FAC: Quadrados dos Reoros de Telebrás FAC FAC lag Figura lag As abelas 3 e 4, mosram as daas em que as piores realizações foram observadas, juamee com a magiude dos reoros, o úmero de dias ere suas as ocorrêcias, e os seus raks. % dos piores reoros de C-Bod Daa Reoro Dias Rak 03-Ja Ja Ja Mar Ou Ago Ago Se Se Ja Ja Tabela 3: Valores Exremos de C-Bod Observa-se que um úmero sigificaivo de ocorrêcias ocorre dero de um prazo de 5 dias úeis a parir da observação de uma oura. Isso o míimo sigifica que a ocorrêcia de um eveo exremo aumea a probabilidade de que um ouro ocorra os períodos subsequees, levado por erra a hipóese de que ais eveos sejam idepedees. Esse resulado é ieressae porque coradiz o que em geral se ecora a lieraura de valores exremos aplicada a Fiaças, como em Daielsso e de Vries (997c). Uma possível explicação para esse efeio é a quaidade de aos dispoíveis para aálise, de apeas 4 aos. 4 Teoria de Valores Exremos % dos piores reoros de Telebrás PN Daa Reoro Dias Rak 05-Se Ja Mar Mar Mar Ou Ou Ago Se Se Ou Tabela 4: Valores Exremos de Telebrás Ere os avaços recees de méodos de cálculo de Value-a-Risk esá o uso da Teoria de Valores Exremos (Exremal-Value Theory, doravae EVT). Seu uso permie esimar probabilidades e quais com razoável precisão os limies dos valores ecorados dero da amosra, e mesmo além deles. A

9 explícia modelagem dos valores exremos correspode a um ajuse apeas da cauda da disribuição dos dados origiais, ressalado o caráer pouco iformaivo que pode er o ierior da disribuição para as ocorrêcias de baixíssima frequêcia. 4. Coceios Básicos Por coveção cosuma-se apresear a EVT para o caso dos máximos. Coudo, udo o que for dio para os máximos serve ambém para os míimos basado lembrar que: mi(, K, ) = max(, K, Além disso, é imporae recohecer que dadas as peculiaridades dos valores exremos (máximo e míimo) de cada problema aplicado, o comporameo de cada um dos exremos deve ser esudado separadamee para cada amosra, iso é, os míimos podem comporar-se difereemee dos máximos. No caso específico de corole de risco de uma careira agregada, o ieresse recai apeas sobre as perdas, porao sobre os míimos, e ão exise razão ehuma para se impor simeria, como viso a seção Disribuição dos Máximos Supoha uma amosra χ = {,, K, }. Chama-se de esaísicas de ordem os elemeos de χ ordeados de forma que K. Deoam-se as observações ordeadas, de agora em diae, de esaísicas de ordem, da forma < > < > K < >. Deomiado-se o máximo amosral por: M = e M = max(,, K, ), para É possível, supodo χ i.i.d. escrever-se a disribuição exaa do máximo como: Pr{ M x} = Pr{ x, K, x} = Pr{ x}pr{ x} KPr{ x} = F ( x) ode F( x) = Pr{ x}. O que sugere uma lei de poêcia para a disribuição do máximo. O resulado ceral da EVT é euciado pelo eorema a seguir: 4... Teorema de Fisher-Tippe: Lei de Limie para o Máximo Supoha ( ) uma sequêcia de variáveis aleaórias i.i.d.. Se exisem cosaes de padroização c > 0 e d R, e alguma disribuição ão-degeerada H al que: M d c d H, eão H perece a um dos rês seguies ipos de disribuição: Fréche: Φ 0, ( x) = exp( x x 0 > 0 exp( x ), Weibull: Ψ ( x) =, ), se se x > 0 se x 0 > 0 se x > 0 ) 9

10 0 x Gumbel: Λ ( x) = exp( e ), x R 4... Domíio de Aração do Máximo Ouro coceio basae imporae a EVT, é basicamee a forma reversa de se olhar o eorema aerior. Diz que uma variável aleaória (ou a disribuição de ) perece ao domíio de aração do máximo (maximum domai of aracio) de H se exisirem as cosaes c > 0 e d R que produzam c ( M d d ) H Disribuição Geeralizada do Valor Exremo (GEV) A pergua relevae ese poo deve ser como ideificar a correa disribuição do exremo de uma dada amosra, ere as rês possíveis. É possível iroduzir uma família paramérica que eglobe as rês disribuições, e o problema recai simplesmee a esimação do parâmero de ieresse que dará o formao da disribuição: Defiido a família: H ξ Φξ, se ξ > 0 = Λ, se ξ = 0 Ψ ξ, se ξ < 0 Tem-se que, para qualquer F perecee ao domíio de aração do máximo de aproximação: F ( c x + d ) H para a disribuição do exremo ξ Mais precisamee, coforme Embrechs e alii. (997), pode-se defiir / ξ exp{ (+ ξx ) }, se ξ 0 H ξ ( x) = ode + ξx > 0 exp{ exp( x)}, se ξ = 0 H ξ como: Além disso, é possível subsiuir-se x a expressão acima pela rasformação de escala e locação H ξ, vale a x µ ψ ξ x µ com µ R e ψ > 0. Dessa forma produz-se a disribuição Hξ ; µ, ψ = exp + ξ ψ deomiada de GEV (Geeral Exreme Value disribuio). Todos os casos aeriores esão ecaixados dero da GEV com a escolha dos parâmeros µ, ψ adequados. Uma Gumbel pode ser obida como o caso limie H em que ξ 0. 0; µ, ψ É possível aida eseder o resulado acima, de modelagem do máximo, para se ober a desidade cojua das k esaísicas de ordem superiores a parir de uma GEV e cujos parâmeros podem ser esimados por máxima verossimilhaça. Basa lembrar que a desidade cojua das k esaísicas de ordem superiores pode ser escria como: k! k f,, ( x x = F xk f x,, ) ( ) ( i), K K, x, <K< x ( k)! i= Ode: f K, ( x, K, x ) é a fução desidade cojua das k esaísicas de ordem superiores,,,

11 F ( x k ) é a fução disribuição de x k f ( x i ) é a fução desidade de x i 4.. Esimação o Domíio de Aração do Máximo Ao ivés de se assumir que os máximos provém de uma H ξ ; µ, ψ, pode-se relaxar essa hipóese para que ( j) ( j) os j = max(, K, s ) observados sejam i.i.d., mas agora proveiees de uma disribuição F que pereça ao domíio de aração do máximo de H ξ Esimador de Hill para ξ = > 0 Supoha uma amosra, K, de variáveis aleaórias i.i.d. cuja disribuição F perece ao domíio de aração do máximo de uma Fréche 6. Nesse caso, é possível mosrar que F em a forma: F( x) = x L( x), x > 0 se L(x) é uma fução de baixa variação 7. O parâmero é cohecido como ídice de caudas (ail idex), ou ídice de variação regular (regular variaio idex) e é de fudameal imporâcia para muias aplicações. Ele dá por exemplo o maior úmero de momeos fiios exisees. Por exemplo, se <, o segudo momeo de ão esá defiido, i.e., E =. Resulados ípicos para esimaivas desse parâmero em séries fiaceiras de reoros diários esão ere 3 e 4. O esimador de Hill pode ser obido como o esimador de máxima verossimilhaça 8, basado para isso supor a fução L(x) = C (cosae), e a fução disribuição F(x) válida para um domíio ode x > u > 0, com u = k,. Os esimadores MLE para e C, codicioais a um valor de k, e para uma amosra de amaho, são dados por: k ˆ, l, l k ˆ k k = j k, e C ˆ, = ( k k, ) j= Além disso, o esimador das caudas da disribuição segue auralmee como: ˆ k, ˆ k, k x Fˆ( u) e para os quais, xˆ p = ( p) k, k, k 6 A hipóese de que F perece ao domíio de aração do máximo de uma Fréche, e porao de que ξ > 0, parece um ao quao resriiva. Coudo as aplicações de Fiaças e de Seguros, ξ é posiivo, e esse pressuposo ão represea maiores problemas. 7 Uma fução de baixa variação (slowly varyig fucio) é defiida como uma fução L mesurável, posiiva, de domíio L( x) ( 0, ) se lim =, > 0. Uma fução F de variação regular o ifiio (regularly varyig fucio a ifiiy) de x L( x) F( x) ídice é aquela que obedece a: lim =, >0 x F ( x) 8 O esimador supõe k cohecido, e porao é codicioal a sua esimaiva. Também é possível ober o esimador de Hill aravés da maximização da verossimilhaça da desidade cojua das k esaísicas de ordem superiores (expliciada a seção 4..3). Ouras abordages aida podem ser ecoradas em Embrechs e alii (997).

12 É possível ober cosisêcia fraca o caso de ( ) ser uma sequêcia de variáveis aleaórias i.i.d 9 : P para k e k 0, obém-se ˆ k,. Sob resrições adicioais, ambém é possível ober cosisêcia fore (covergêcia quase-cera), e aida ormalidade assióica. Ouros esimadores para o ídice de caudas ambém esão dispoíveis, como o esimador de Pickads, ou esimador de Deckers-Eimahl-de Haa, que permie ξ R. Coudo são meos uilizados. Kears & Paga [997] comparam os esimadores de Pickads, Hill, e de Ha para amosras ão i.i.d. aravés de simulações de Moe-Carlo, e mosram que o esimador de Hill desempeha melhor esse ipo de siuação, geralmee o caso em Fiaças. Diebold (998), ambém só uiliza o esimador de Hill. Como o foco dese rabalho é a esimação das caudas, e ão do ídice de caudas, ambém se uilizará apeas o esimador de Hill, seguido os resulados de Kears & Paga (997) Escolha do úmero de esaísicas de ordem k O esimador de Hill depede do valor de k, a úlima esaísica de ordem uilizada. Nesse caso, k deermia um poo de core óimo ode deveria iiciar a cauda da disribuição e, porao, a parir de ode a EVT se ora válida para descrever a cauda da disribuição. Não exise coseso a lieraura sobre a forma mais adequada de se escolher o valor de k. Mais aida, a esimaiva do ídice de caudas é alamee sesível à escolha de k, pricipalmee em amosras cosideradas pequeas. Isso se deve ao fao de que exise um rade-off ere viés e variâcia do esimador devido à escolha de k. A variâcia do esimador cai com o aumeo do amaho da amosra, e o cosequee aumeo de k. Coudo ambém é possível mosrar a exisêcia de um viés, crescee com a escolha de k. Isso implica que, ao aumear-se o valor de k, simulaeamee, aumea-se o viés e reduz-se a variâcia do esimador de Hill, sugerido que deve haver um poo óimo k* ere viés e variâcia. Para resolver o problema de ecorar o k* óimo, duas aleraivas são mais uilizadas. A primeira cosise um méodo gráfico, como sugerido em Embrechs e alii (997), e a seguda, sugerida por Hall (990), laça mão de um procedimeo de boosrap ieraivo. O méodo gráfico cosise em se raçar o gráfico cohecido como Hill-plo e procurar a região mais próxima das caudas ode o valor do ídice de caudas esimado se esabiliza. O gráfico é cosiuído dos ( H ) pares {( k, ˆ k, ) : k =, K, }. A iuição é que à medida que um k maior é escolhido, avaça-se em direção ao ierior da disribuição e meos peso é dados às observações da cauda, o real ieresse da modelagem. Coudo, um valor pequeo de k icorpora muio poucas observações exremas e produz um esimador com elevada variâcia. No meio desse camiho, deve haver algum valor de k que aproxima a axa à que o viés aumea da axa à que a variâcia decresce, refleido-se em um paamar o gráfico. Nem sempre isso é facilmee ideificável. A figura 4 mosra o gráfico Hill-plo para a cauda iferior da série de reoros de C-Bod ( observações). Observa-se que um valor em oro de 30, ou de 70 parece ser adequado. Há dúvidas pois exisem dois paamares. Como k = 70 represea cerca de 7% das observações da amosra é coveiee opar pela parcimôia e escolher k* = 30. A disribuição ajusada para a cauda iferior da série de C-Bod se ecora a figura 5. Observa-se que o resulado parece basae bom pricipalmee para as piores perdas, ou meores probabilidades. 9 Essa hipóese pode ser relaxada, por exemplo, para ( ) um processo liear. Embrechs e alii (997)

13 3 A parir do diagósico da exisêcia do rade-off ere viés e variâcia foi possível a Hall (990) formalizar a idéia do iem (a) em ermos de uma fução perda, o erro quadráico médio 0 (MSE), que poderia ser miimizada para escolha de um k* óimo. Essa idéia foi operacioalizada por Daielso e de Vries, 997b, aravés de um procedimeo de boosrap ieraivo. Foi implemeada pelos auores do presee arigo em Souza, 999. Porém, como a experiêcia mosrou que, para as séries de C-Bod e Telebrás, o méodo ão apreseou resulados cofiáveis, opou-se por ficar com a meodologia do Hill-Plo HILL-PLOT AJUSTE DA CAUDA INFERIOR DA DISTRIBUIÇÃO D. Empírica D. Ajusada D. Normal alpha k 4. Esimação de Value-a-Risk aravés da EVT A eoria de valores exremos visa aé aqui parece basae idicada para a esimação de quais e probabilidades, e porao de VaR, para as caudas da disribuição dos reoros. Duas quesões surgem de imediao: a) o que é cauda e o que é ierior da disribuição; b) o que fazer o caso de medidas de VaR com íveis de sigificâcia mais alos (e porao íveis de cofiaça mais baixos) que avacem o ierior da disribuição, ode a EVT, em pricípio, ão desempeha ão bem como ouros méodos radicioais. A resposa de (a) esá a escolha óima de k que, como viso acima, ão é uma arefa livre de corovérsias. A parir de um k, a EVT é capaz de dizer a parir de que ível de probabilidade a aproximação das caudas passa a valer. Com relação a (b) a resposa foi dada por um dos arigos da série de Daielso e De Vries (997c), em que propõem uma solução semi-paramérica. A idéia é uilizar a simulação hisórica o ierior da disribuição e a esimação paramérica, dada pela EVT, as caudas da disribuição. 4.. Esimação Semi-Paramérica de VaR Figura 4: Hill-plo para cauda iferior Figura 5: Cauda iferior ajusada da série de C-Bod de C-Bod O méodo semi-paramérico, desevolvido por Daielsso e de Vries (997a), cosise basicamee o uso do méodo de simulação hisórica para observações ere INF < x < SUP k + k e de F ˆ( x) em 0 O erro quadráico médio de um esimador θˆ, é dado por ˆ MSE ( θˆ) = E{[( θ θ)] }, e pode ser decomposo a soma do quadrado do viés com a variâcia do esimador. Do ajuse da cauda iferior sai o k INF, o poo de core óimo das esaísicas de ordem. O ajuse da cauda superior, se

14 caso corário. Como o presee arigo os valores de k uca foram iferiores a 5%, o maior ível de sigificâcia de VaR calculado a seção 5, ão foi ecessário o uso do procedimeo semi-paramérico, que pode ser ecorado em dealhes em Souza, Exesão para Careiras Essa meodologia pode ser esedida para careiras de duas maeiras, cohecidas por pré-amosragem, e por pós-ajusameo. No méodo de pré-amosragem, raa-se a série de cada aivo (ou faor de risco) idividualmee, pela meodologia descria em 4.., e faz uma rasformação a mariz de covariâcias dos reoros ajusados, para que reproduzam a esruura de covariâcias origial dos reoros. No méodo de pós-ajusameo, cosrói-se uma série com os reoros hisóricos da careira, aos pesos (cosaes) do momeo aual, e aplica-se a meodologia 4.. a série resulae. Daielso e de Vries 997c mosram que ão há gaho sigificaivo de uma meodologia sobre a oura, e esse caso recomeda-se o méodo de pós-ajusameo, por simplicidade. 5 Aplicação às Séries Brasileiras Ceramee uma das quesões mais complexas que diz respeio à implemeação de sisemas de Valuea-Risk relacioa-se à validação e discrimiação ere meodologias aleraivas. Vários faores coribuem para isso: o VaR ão é uma quaidade observável, exise um rade-off ere a quaidade de iformação uilizada a esimação e o amaho da amosra que sobra para validação, e resa a quesão de se a comparação deve levar em coa apeas a frequêcia relaiva de violações, ou ambém ou perda absolua. 5. Tese de Validação Ere as medidas de validação mais uilizadas esão o iervalo de cofiaça para os reoros, e a frequêcia relaiva de sua violação. Nese arigo, uilizou-se um ese de razão de verossimilhaça (LR) para a proporção de violações 3. De loge ese é o méodo mais largamee uilizado. Traa-se de se esimar um VaR para o ível de sigificâcia desejado, e verificar quaas vezes ele é superado fora da amosra. Quao mais próxima for a frequêcia de superação da probabilidade efeiva para a qual o VaR foi esimado, melhor é o modelo. Coudo, o comporameo em geral observado as meodologias radicioais é o de que o VaR é superado mais vezes, quao mais próximo se esiver ao exremo da disribuição (meores probabilidades). Como são esses os piores casos, das maiores perdas, é jusamee aí que as aeções deveriam se cocerar. Fora da amosra espera-se que cada observação eha probabilidade de superar o VaR. Isso implica uma disribuição de Beroulli para uma variável aleaória, que assume valor caso o VaR seja superado, e 0 em caso corário. O valor esperado de é [ E( ) = ]. Se são observadas T realizações de, e esas são assumidas idepedees 4, eão o valor esperado para um horizoe 4 aplicável, deve ser feio separadamee, e produzirá um k SUP, que pode ou ão ser o mesmo de k INF. Para maiores dealhes sobre a meodologia, ver Souza Uma das aleraivas sugeridas em Chrisofferse, A violação do VaR em um dia é idepedee da violação do VaR em qualquer ouro. É uma hipóese fore, mas que faz seido se ão houver erros sisemáicos a esimação do VaR.

15 T, é E( T ) E( ) = T, simplesmee o úmero de observações vezes o ível de sigificâcia do VaR. = T = = T T = possui disribuição biomial de média T, e variâcia T ( ). O ese de razão de verossimilhaça esa o modelo biomial, com a proporção de violações dada pela hipóese ula de o ível de sigificâcia ser o omial do VaR (p=), cora o modelo ode é dado pela proporção efeivamee observada (p = pˆ ). A esaísica do ese possui disribuição qui-quadrado com grau de liberdade: 5 LR = l[( ) ( ˆp ) T ˆpT ] + l[( pˆ ) ( pˆ ) T pˆ pt ˆ ] ~ χ () 5. Resulados Empíricos A seguir ecoram-se os resulados dos valores em risco esimados para as séries fiaceiras esudadas a seção. Para cada uma das séries, o VaR foi calculado de seis maeiras diferees: a) IC iervalo de cofiaça ormal; b) HS simulação hisórica; c) EWMA Riskmerics TM ; d) GARCH(,) codicioalmee gaussiao; e) GARCH(,) codicioalmee -Sude; f) Teoria do Valor Exremo. As medidas de desempeho são baseadas o cofroo do valor em risco esimado com base uma amosra crescee 5, que sempre icorpora desde a primeira aé a observação imediaamee aerior à que se esá calculado VaR, e cofroado com os reoros realizados o mercado. 5.3 Série de Reoros de C-Bod A escolha do úmero adequado de esaísicas de ordem, para a modelagem por EVT, foi k* = 40. Os resulados das esimações para as diversas meodologias esão a abela 5. O VaR de cada dia é esimado com base uma amosra que vai aé a observação aerior ao dia em quesão. Sobre esse procedimeo, dois dealhes merecem comeários: a) por uma quesão de empo compuacioal os modelos GARCH foram reesimados apeas a cada 50 períodos, maedo-se os parâmeros cosaes esse iervalo. Assim, o VaR previso para as observações ere 56 e 60 uiliza os parâmeros esimados com uma amosra que vai aé a observação 560. O VaR previso para as observações ere 6 e 660 uiliza os parâmeros esimados com uma amosra que vai aé a observação 60, e assim por diae. b) o valor de k* iicialmee uilizado é o de 40, para a amosra de 560 observações. À medida que cresce o amaho da amosra, o valor de k* é corrigido para maer uma proporção cosae com o logarimo do úmero de observações, que é a axa à qual assioicamee cresce o valor do parâmero. Na abela 5, verifica-se que os piores modelos para cálculo de VaR foram o IC e o EWMA. As previsões do IC são rejeiadas para odos os íveis de sigificâcia meores ou iguais a %, e do 5 O problema com esa meodologia é o fao de que o erro de previsão possui variâcia decrescee com o amaho da amosra, iso é, ao logo do procedimeo de validação. Em Souza,999, o mesmo procedimeo é feio para um amaho de amosra fixo, e ão apresea resulados sigificaivamee diferees para as mesmas séries. Além disso, mosra-se aravés de simulação que o procedimeo de amosra crescee é mais apropriado para esse caso específico de validação.

16 EWMA para as meores de 5%. Como segudo grupo, apreseam-se os GARCHs, cujos resulados são esaisicamee idisiguíveis ere o modelo com disribuição -Sude e o com disribuição Normal. As previsões de ambos são rejeiadas aé 0.5%, e pode-se cosiderá-los os melhores modelos para os éveis de.5% e 5% de sigificâcia. Série de Reoros de C-Bod, 0 observações Nível de Sigificâcia 0.0% 0.5% 0.50%.00%.50% 5.00% Número de dias esperado úmero de dias IC frequêcia 8.5%.79%.79%.86% 3.57% 4.64% Normal ese LR úmero de dias frequêcia 0.36% 0.54%.5%.79% 3.% 5.36% Hisórica ese LR Simulação EWMA GARCH úmero de dias frequêcia.6%.79%.96%.5% 4.8% 6.5% ese LR úmero de dias frequêcia.5%.5%.43%.96% 3.04% 5.54% Normal ese LR GARCH úmero de dias frequêcia.5%.5%.6%.79%.86% 5.7% -Sude ese LR Valor úmero de dias frequêcia 0.8% 0.54%.5%.79% 3.57% 5.8% Exremo ese LR Tabela 5: Resulados para a Série de C-Bod. Para os íveis de sigificâcia ere 0.% e %, os melhores modelos foram a HS e a EVT. Pode-se dizer que os resulados da EVT foram sempre melhores ou iguais aos da HS. Tao a EVT quao a HS apeas são rejeiadas pelo ese LR ao ível de sigificâcia de 0.5%, porém odos os modelos ambém o são. Em seguida vem a HS, que ambém em suas previsões rejeiadas pelo ese LR aé o ível de 0.5%. Para =.5%, os modelos GARCH foram melhores, e para 5% a EVT foi melhor. De oda forma, os resulado da EVT para > % deveriam ser sempre olhados com reservas para esse amaho de amosra. 5.4 Série de Reoros de Telebrás Com base o gráfico de Hill-Plo, e a experiêcia a modelagem dessa série 30, escolheu-se o úmero de esaísicas de ordem uilizadas como k* = 40. Na abela 6 esão os resulados da esimação de VaR 6 6 Número de violações esperadas para o ível de sigificâcia cosiderado, em fução do amaho da amosra de validação. 7 Número de dias em que o VaR foi violado dero da amosra de validação. 8 Frequêcia relaiva das violações, i.e., o ível de sigificâcia efeivo observado o ese de validação. 9 P-value da esaísica qui-quadrado do ese LR.

17 uilizado amosra crescee para validação. O primeiro resulado a chamar a aeção é o fao de que ambos modelos GARCH, EWMA e IC êm suas violações de VaR rejeiadas pelo ese LR para íveis de sigificâcia iferiores ou iguais a 0.5%. Nesse caso, o melhor modelo foi a EVT, e o segudo melhor foi a HS. A HS é o méodo que melhor descreve o perceil de %, e qualquer um dos GARCHs são os melhores modelos para os íveis de sigificâcia de.5% e 5%. Observa-se que os resulados para o EWMA são sempre ligeiramee piores ou iguais aos resulados dos GARCHs. A quase ehuma difereça ere o GARCH Normal e o GARCH- se explica pelo elevado valor dos graus de liberdade da disribuição - Sude das iovações (em geral maior v > 0). Também fica difícil de disiguir esaisicamee os resulados desses dois modelos cora o EWMA. 7 IC Série de Reoros de Telebrás, 8 observações Nível de Sigificâcia 0.0% 0.5% 0.50%.00%.50% 5.00% Número de dias esperado úmero de dias frequêcia % 0.89%.4%.% 3.55% 5.4% Normal ese LR Simulação úmero de dias frequêcia 0.36% 0.53% 0.89%.4% 3.7% 5.85% Hisórica ese LR EWMA GARCH úmero de dias frequêcia.4%.4%.4%.3% 3.9% 4.6% ese LR úmero de dias frequêcia.06%.4%.4%.77% 3.0% 4.6% Normal 3 ese LR úmero de dias GARCH frequêcia.06%.4%.4%.77% 3.9% 4.6% -Sude 3 ese LR úmero de dias Valor frequêcia 0.8% 0.36% 0.53%.77% 3.9% 6.03% Exremo 4 ese LR Tabela 6: Resulados para a Série de Telebrás PN. A EVT se mosra realmee como o melhor modelo ao acessar as frequêcias de violação de 0.8%, 0.36% e 0.53% para os íveis omiais de 0.%, 0.5%, e 0.5%. Os GARCHs mosram-se a modelagem mais adequada para os íveis de sigificâcia de.5% e 5%. A surpresa é o IC ormal como melhor modelo para o VaR(5%). A HS é o segudo melhor modelo para os baixos íveis de sigificâcia, apesar de errar basae o 0.% que esava fora da amosra. 30 Ver Souza, 999.

18 Apesar de ão ser grade o úmero de observações dispoíveis para validação, são imporaes as coclusões que se pode depreeder a parir da modelagem dessas séries, e que vão ão direção dos resulados obidos por simulação, e para ouras séries em Souza, 999: ) A modelagem ão codicioal da EVT se mosra basae apropriada para a esimação de VaR de baixos íveis de sigificâcia, o caso, de % ou iferiores. ) A modelagem codicioal dos GARCHs é mais idicada para íveis de sigificâcia mais alos, do ipo.5% ou 5%. 3) Os resulados dos modelos EWMA são ligeiramee iferiores aos dos GARCHs. 4) A HS é uma boa aleraiva de modelagem para baixos íveis de sigificâcia (ão meores do que %), o que se refere ao cuso-beefício de implemeação. 5.5 Perdas Esperadas A maioria dos rabalhos aplicados cosidera apeas o úmero de violações das esimaivas de VaR visà-vis os reoros observados, e descosidera a magiude das perdas realizadas. O fao é que para se avaliar as perdas esperadas são ecessária hipóeses fores à respeio da disribuição dos reoros. Por exemplo, se os reoros seguirem uma disribuição ormal, é possível calcular-se a perda média dos % piores resulados, e cofroá-la com a dada pela disribuição em quesão. Supodo-se ormalidade codicioal para os reoros, e média ão codicioal, ula, a idéia pode ser formalizada como: r E σ r σ < Z f ( Z = F( Z ) E r ) [ r < σ Z ] = σ f ( Z F( Z É possível a derivação do mesmo resulado para a meodologia de valores exremos. A esperaça da perda em caso de violação do VaR pode ser escria como: VaR* VaR* E( R R < VaR*) = rdf( r r < VaR*) = rdf( r) F( VaR*) Supodo-se que a cauda da disribuição dos reoros (i.e. para um x grade) possa ser aproximada assioicamee por uma disribuição do ipo Pareo ( F( x) = Cx ), como é o caso das disribuições de caudas pesadas, ecora-se como resulado da iegral acima: VaR* E( R R < VaR*) = Aalogamee é possível se ober o resulado o excesso de perda sobre o VaR*: VaR* E( R VaR* R < VaR*) = A fim de se adquirir algum isigh adicioal a respeio desses resulados de perdas esperadas dadas pela EVT, e das perdas médias observadas, cosruíram-se as abelas 7 e 8 a seguir. Elas comparam as perdas esperadas dadas pela HS e pela EVT 3 cora as perdas médias empiricamee observadas para as duas séries esudadas esse capíulo. Todos os resulados são baseados os cálculos de VaR feios com base a primeira meade da amosra, e validados cora a seguda. Os melhores modelos são escolhidos de acordo com a meor difereça absolua ere a perda esperada (previsa), e a média observada (realizada). Todas as perdas são dadas em ermos de reoros. ) ) 8 Ode: f ( ) = f. desidade de uma N(0,) F ( ) = f. disribuição de uma N(0,) Z = quail de % de uma N(0,) 3 Foram escolhidos apeas esses dois modelos por erem sido os melhores a esimaiva de VaR para os íveis mais baixos de sigificâcia. Além disso, ão é possível se raar aaliicamee as perdas esperadas ão codicioais dadas pelos modelos GARCH.

19 Para o caso da série de C-Bod (abela 7) a HS desempehou melhor os íveis de sigificâcia de 0.5% e 0.5%. Para %,.5% e 5% a EVT se saiu melhor. No cômpuo geral, pode-se dizer que o desempeho da EVT foi melhor, iclusive porque a HS ão é capaz de esimar a perda esperada de 0.%. No caso da série de Telebrás PN (abela 8) foi a EVT que se saiu icodicioalmee melhor. É imporae observar que, o caso dos íveis de sigificâcia que esão fora da amosra, como o 0.% as abelas 7 e 8, a HS ão em como esimar a perda esperada. Nesse caso apeas a EVT pode fazer previsões. Perda Média Excesso de Perda HS EVT Série de C-Bod 0.% 0.5% 0.5% %.5% 5% previso realizado previso realizado melhor modelo - HS HS EVT EVT EVT HS EVT previso realizado previso realizado melhor modelo - HS HS EVT EVT EVT Tabela 7: Perdas esperadas para Série de C-Bod 9 Perda Média Excesso de Perda HS EVT Série de Telebrás PN 0.% 0.5% 0.5% %.5% 5% previso realizado previso realizado melhor modelo - EVT EVT EVT EVT EVT HS EVT previso realizado previso realizado melhor modelo - EVT EVT EVT EVT EVT Tabela 8: Perdas esperadas para Série de Telebrás PN 6 Coclusões A pricipal proposa dese rabalho foi ivesigar a meodologia mais adequada para a esimação de Value-a-Risk para séries fiaceiras, pricipalmee sob a óica de eveos exremos que receemee abalaram os mercados fiaceiros ieracioais e, de maeira aida mais aguda, os mercados emergees. Os resulados obidos deixam claro que o uso da EVT para o cálculo de VaR de siuações aípicas, ou de sress, é basae apropriado, e que o uso de alguma modelagem codicioal do ipo GARCH para o dia-a-dia, ou para os íveis de sigificâcia mais elevados, do ipo.5% e 5% é bem

20 idicado. Além disso, o que se refere aos modelos GARCH, o uso do GARCH- ão parece razer gahos sigificaivos sobre o GARCH Normal a esimação de VaR fora da amosra. Foi feio um esforço empírico cosiderável para se avaliar o desempeho de modelos de VaR aleraivos de acordo com sua habilidade a esimação das perdas esperadas, em caso de violação do valor em risco. O resulado foi que a EVT parece se cosiuir uma aleraiva basae razoável quado ão se cohece a disribuição dos reoros. Por fim, ambém vale a sugesão de se realizar o mesmo rabalho para careiras de aivos, e verificar se o fao de se agrupar um maior cojuo de aivos afea de alguma forma os resulados obidos com o uso dessas écicas mais sofisicadas. 7 Referêcias Bibliográficas Bollerslev, T.R., Y. Chou, K. F. Kroer; 99. ARCH Modellig i Fiace: A Review of he Theory ad Empirical Evidece. Joural of Ecoomerics 5 (99), Chrisofferse, P. F Evaluaig Ierval Forecass. Ieraioal Ecoomic Review. Vol. 39. No. 4, November 998. Daielsso, Jo; Casper G. de Vries. 997a. "Beyod he sample: Exreme quaile ad probabiliy esimaio." Mimeo, Tiberge Isiue Roerdam. Daielsso, Jo; Casper G. de Vries. 997b. "Value-a-Risk ad Exreme Reurs" Mimeo, Tiberge Isiue Roerdam. Daielsso, Jo; Casper G. de Vries. 997c. "Tail idex ad quaile esimaio wih very high frequecy daa". Joural of Empirical Fiace 4:4-57 Daielsso, Jo; Phillip Harma; Casper G. de Vries "The Cos of Coservaism: Exreme Reurs Value-a-Risk, ad he Basle 'Muliplicaio Facor'". Mimeo. Lodo School of Ecoomics. De Vries, C. G.; Hols, M. C. A. B.; 99. The Limiig Disribuio of Exremal Exchage Rae Reurs. Joural of Applied Ecoomerics. Vol (99) Diebold, F..; Schuerma, T.; Sroughair, J. D.; 998. Pifalls ad Opporuiies i he Use of Exreme Value Theoru\y i Risk Maageme. The Wharo School. Workig Paper. Ocober 998. Embrechs, P.; Klüppelberg, C.; Mikosch, T Modellig Exremal Eves for Isurace ad Fiace. Spriger Hall, P "Usig he boosrap o esimae mea squared error ad selec smoohig parameer i oparameric problems." Joural of Mulivariae Aalysis, 3: J.P. Morga RiskMerics-echical maual. Fourh ed. Jorio, Philippe Value-a-Risk. Irwi. Kears, P.; Paga, A. R Esimaig he Tail Desiy Idex for Fiacial Time Series, Review of Ecoomics ad Saisics, 79, 7-75 Müller Ulrich A.; Dacoroga, Michel M.; Pice, Olivier V Hill, Boosrap ad Jackife Esimaors for Heavy Tails. Workig Paper. Pereira, P. L. V.; Hoa, L. K.; Souza, L. A. R.; Almeida, N. M. C. G Modelos Aleraivos para Exração da Volailidade de Aivos: um Esudo Comparaivo. a ser publicado a Revisa de Ecoomeria Souza, L. A. R.; 999. Valor em Risco em Épocas de Crise. Disseração de mesrado. FEA-USP. 0