Uma Nova Abordagem para Estimação da Banda Efetiva em Processos Fractais

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1 436 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 5, DECEMBER 5 Uma Nova Abordagem para Esimação da Bada Efeiva em Processos Fracais Firmiao R. Perligeiro, Membro, IEEE e Lee L. Lig, Membro, IEEE Resumo O objeivo dese rabalho é apresear uma solução ampla para esimação da bada efeiva para um deermiado ráfego, cosiderado os requisios de QoS, proporcioado uma melhor alocação dos recursos o plaejameo e projeo de redes. Recees e exesos esudos de uma vasa gama de medidas de ráfegos, oriudos de diferees ipos de rede, êm demosrado a aureza moofracal ou mulifracal de uma grade variedade de ráfegos e o impaco desses feômeos o desempeho das redes. Baseados em esudos sobre o comporameo moofracal e mulifracal do ráfego de redes, em méodos de esimação da bada efeiva e a caracerização de ráfego real, iroduzimos um ovo parâmero de ráfego que represea simulaeamee as caracerísicas moofracal e mulifracal e aida propomos uma solução mais ampla para esimação da bada efeiva. Para esse fim, os coceios básicos sobre bada efeiva e fracais são aqui apreseados. Com a fialidade de validar osso méodo realizamos um exeso esudo de caracerização de ráfego, icluido aálise mulifracal, e simulações com vários ipos de arquivos de ráfego real. Os resulados aalíicos e experimeais obidos demosram que a meodologia proposa, baseada essa ova abordagem, aede adequadamee a esimação da bada efeiva para os diversos ipos de ráfegos aalisados. Termos Bada Efeiva, buffers, araso, probabilidade de perda de pacoes, qualidade de serviço (QoS), processos auosimilares, depedêcia de logo prazo, mulifracal, processos de Markov e parâmeros de ráfego. I. INTRODUÇÃO Quado cosideramos a quesão de qualidade de serviço [3], o esudo da esimação da bada efeiva [3] é crucial em ermos do dimesioameo de recursos de rede e ambém o raameo do ráfego. Dere os diversos desafios exisees para garair QoS em uma rede de comuicações, esimar a bada efeiva o mais precisamee possível é sem dúvida o que mais se desaca. Embora aida ão exisa uma defiição precisa para bada efeiva, podemos dizer que é uma axa de rasmissão de iformação, em geral com valor ere a axa média e a axa de pico, que aede aos requisios de QoS esabelecidos a priori para aeder a um deermiado ráfego. O coceio de bada efeiva pode ser aplicado a uma coexão, fluxo ou agregado de ráfego com mesmos requisios de QoS. É imporae saliear que a bada efeiva é uma medida que depede do modelo de ráfego, da disciplia da fila e dos criérios de desempeho adoados. Para efeuar essa Ese esudo foi suporado fiaceiramee pelo Projeo UNI do Covêio UNICAMP e ERICSSON. Firmiao Ramos Perligeiro, Deparameo de Egeharia Elérica da UNICAMP ( firmiao@decom.fee.uicamp.br). Lee Lua Lig, Deparameo de Egeharia Elérica da UNICAMP ( lee@decom.fee.uicamp.br). esimação, foram desevolvidos os úlimos aos, vários méodos baseados em diversas écicas e abordages, ais como: probabilidade de perda de pacoes [6][], araso fim a fim [5], redes eurais [47], lógica ebulosa [48], mapas caóicos [49] e eoria de jogos [46]. A bada efeiva ecessária para aeder aos requisios de QoS ambém depede das caracerísicas do ráfego. Ocorre que o comporameo do ráfego é foremee iflueciado pelo serviço que esá uilizado a rede. Esse serviço pode produzir padrões compleamee aleaórios, gerado uma grade gama de processos esocásicos ere eles, moofracais e mulifracais, em várias escalas de empo. Ouro faor que coribui para aumear a complexidade dos processos de ráfego em uma rede é a esruura em camadas dos proocolos evolvidos a comuicação e em seu ecapsulameo. Além disso, o feômeo de agregação do ráfego produzido pelos processos de muliplexação ambém podem gerar diferees comporameos aleaórios []. Nesse seido, a aálise fracal do ráfego de rede em recebido cosiderável aeção. A parir do rabalho de Lelad [5], vários esudos êm demosrado que muios ipos de ráfego exibem auosimilaridade e depedêcia de logo prazo [8][9][][4][4]. Algus méodos de esimação da bada efeiva para esse ipo de ráfego foram proposos [6][5]. Coudo, Jacques Lévy Véhel e Rudolf H. Riedi [] esudaram o feômeo mulifracal e ecoraram caracerísicas além da auosimilaridade e depedêcia de logo prazo. Essas caracerísicas referem-se ao coeúdo de ala freqüêcia coido o sial ão ideificado pela caracerísica auosimilar. A. Feldma, A. Gilber e W. Williger demosraram a exisêcia do comporameo mulifracal do ráfego de redes por meio do feômeo de escala [][][]. O comporameo mulifracal pode ser deecado aravés da aálise mulifracal que raa da descrição da esruura de sigularidades do sial de forma local e global. De forma simplificada, podemos dizer que a aálise mulifracal diz respeio ao ouro exremo do especro de Fourier, ou seja, a aálise do coeúdo de ala freqüêcia do sial [][6]. Cosideramos que a caracerização do ráfego, o mais dealhada possível, ora-se um poo idispesável para a esimação mais precisa da bada efeiva. No eao, somee a caracerização do ráfego como moo ou mulifracal ão é suficiee: é ecessário, aida, quaificar o grau desses comporameos. O objeivo dese rabalho, baseado a caracerização do ráfego icluido a aálise moo e mulifracal, é forecer uma solução o mais ampla possível para o problema de alocação de bada para os diversos ipos de ráfego rasporados pelas redes de comuicações auais. Nossa Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

2 PERLINGEIRO AND LING : A NEW BANDWIDTH ESTIMATION APPROACH FOR 437 abordagem baseia-se a medida de probabilidade de perda de pacoes proposa por H.G.Duffield e O Coell [44], esimada aravés da Teoria dos Grades Desvios [35]. Adicioalmee, emprega méodos aalíicos e heurísicos para a esimação da bada efeiva e écicas de simulação com o uso de arquivos de ráfego real para validação dos resulados. Com a fialidade exclusiva de esimação da bada efeiva iroduzimos um ovo parâmero de ráfego deomiado parâmero de esimação fracal empírica. Esse parâmero preede represear o impaco das caracerísicas moo e mulifracal do ráfego cosiderado. Além disso, foi desevolvido um processo de oimização para bada efeiva em relação ao amaho do buffer uilizado. A meodologia proposa, além de iédia uma vez que é aplicável a esimação da bada efeiva para ráfego com caracerísicas moo e mulifracal ou ão, é foremee fudameada a caracerização do ráfego, e por isso, cosegue refleir mais precisamee o impaco do comporameo do ráfego a esimação da bada efeiva. Os resulados obidos experimealmee demosram que essa meodologia é eficiee para a esimação da bada efeiva para qualquer ipo de ráfego aalisado, seja de foe úica ou agregado produzido por diversas aplicações. Nese rabalho, resumimos a seção II os coceios de moo e mulifracal. A seção III mosra algus resulados da aálise de ráfego real. Na seção IV, defiimos o parâmero de esimação fracal empírica e iroduzimos o méodo proposo. Na seção V, apreseamos os resulados experimeais obidos e, fialmee, a seção VI, cocluímos. II. OS CONCEITOS DE MONOFRACTAL E MULTIFRACTAL Na década de 7, Madelbro empregou o ermo fracal para descrever uma eidade caracerizada pela sua ieree ocorrêcia de irregularidades que goveram sua forma e complexidade, possuido uma esruura fia, com dealhes em odos os íveis de resolução [3]. Um fracal pode ser avaliado aravés de sua dimesão fracal ou dimesão de Hausdorff-Besicovich, que mede o grau dessa irregularidade possuido, geralmee, valores fracioários. A dimesão fracal D H, iroduzida por Hausdorff em 99, para um cojuo de poos S, é um úmero real ão egaivo para o qual o limie D H N ( r) r coverge para um valor fiio posiivo quado r. Noe que r represea o amaho da medida de uma parição arbirada do fracal. N(r) é o úmero de parições omadas do objeo fracal e D H é calculado como log N( r) DH lim () r log(/ r) No caso específico de fracais geoméricos deermiísicos, N(r) copia a forma origial do objeo a cada ieração. Exemplos clássicos de fracais icluem a curva de Va Koch, o cojuo cardióide de Madelbro e o riâgulo de Sierpikski, odos gerados recursivamee [3]. Exisem ouras formas de defiir uma dimesão D(S) de um cojuo S semelhae à dimesão de Hausdorff para se avaliar um fracal: Dimesão Capacidade, Dimesão de Correlação e Dimesão Iformação. A Dimesão Capacidade (D C ) de um cojuo foi defiida por Kolmogorov [3][3]. Assumimos que o úmero de elemeos desse cojuo é iversamee proporcioal a D ode é a escala de coberura dos elemeos do cojuo e D é uma cosae. Cosidere, por exemplo, um segmeo de uma curva qualquer (em uma dimesão) e ee cobrir esse segmeo de curva com segmeos de rea de um deermiado comprimeo. Supoha aida que iicialmee ecessiemos de rês segmeos de rea para cobrir o segmeo da curva compleamee. Para cobrir o mesmo segmeo de curva com segmeos de rea com meade do comprimeo iicial, espera-se que sejam ecessários seis segmeos de rea, ou seja, esse caso, o úmero de segmeos de rea requeridos para cobrir o segmeo de curva é iversamee proporcioal ao comprimeo dos segmeos de rea. Porao, para objeos do espaço uidimesioal eremos N() s/, ode represea o comprimeo de segmeo de rea, N() é o úmero de segmeos de rea do amaho requerido para cobrir o cojuo e s é uma cosae. Se cosiderarmos um objeo de um espaço bi-dimesioal, como um pedaço de papel (desprezado a espessura), será ecessário cobrir esse pedaço de papel com pequeos quadrados e, esse caso, eremos N() s/. Como coseqüêcia, para um objeo de D-dimesioal, pode-se esperar que N() s/ D [3]. Com a fialidade de ober o valor de D da equação N() s/ D, omamos o limie de, o que permie cocluir que a l N( ) D C lim () l/ Dimesão Capacidade D C é dada aravés de A Dimesão de Correlação (D R ) pode ser calculada aravés das disâcias ere os poos de cada par s(i, j) de um cojuo com N poos, ode s(i, j) = X i X j [3]. A fução de correlação () é calculada aravés de ( ) úmero de pares ( i, j), com s( i, j) (3) N Podemos escrever () mais formalmee como N N ( ) lim ( X i X j ) (4) N N j i j ode é a fução degrau de Heaviside [4], descria como, ( X i X j ) ( X i X j ) { (5), ( X i X j ) () pode ser achada seguido uma lei de poêcia semelhae à uilizada a Dimesão Capacidade, ou seja, () s D. Porao, a Dimesão de Correlação [3] pode ser calculada como l ( ) D R lim (6) l A Dimesão Iformação (D I ) é relacioada ao coceio de eropia, ou seja, a iformação perdida por um sisema deoada por I(). Cosidere um espaço de esado, iso é, um espaço uilizado para represear o comporameo de um sisema cujas dimesões são as variáveis desse sisema. Deomiados araor um cojuo de valores desse espaço de Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

3 438 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 5, DECEMBER 5 esado para o qual o sisema migra o decorrer do empo, podedo ser represeado por um poo ou uma coleção de poos. Para deermiar D I dividimos a região do araor do espaço em células c de lado. Se o úmero de poos coidos em uma deermiada célula c i do espaço é N i, a probabilidade de essa célula esar ocupada é p i = N i / N, ode N é o úmero oal de poos a região do araor. Eão I( ) N i p i l p i (7) a dimesão iformação é defiida como [3] N I( ) l lim lim p i i pi DI l l Essas dimesões, em geral, são diferees para um mesmo objeo fracal, o eao, se o objeo for um moofracal, eremos D H = D C = D R = D I. O feômeo moofracal maifesado por iermédio das caracerísicas de auo-similaridade e de depedêcia de logo prazo geralmee é gerado aravés de processos adiivos. Embora eha sido iroduzido por Kolmogorov em 94, o coceio de processo Auo-Similar só foi uilizado a esaísica a década de 96 por Madelbro, Wallis e Va Ness. Jea Bera [8] defie auo-similaridade como um processo esocásico Y com empo coíuo e parâmero de auo-similaridade H, ambém deomiado parâmero de Hurs ( < H < ), se para qualquer faor de escala posiivo a, emos o processo a -H Y a escala de empo a, com sua disribuição igual ao processo origial Y. Iso sigifica que para qualquer seqüêcia de poos o empo,..., k, para qualquer cosae H a Y Y,..., Y possui a mesma disribuição de posiiva a, c, c c k Y Y,..., Y, k (8). Paricularmee, quado um processo auosimilar Y possui o parâmero H assumido valores a faixa de,5 < H <, dizemos que esse processo possui depedêcia de logo prazo, iso é, o somaório das auocorrelações ede para o ifiio. Os coceios de auo-similaridade e depedêcia de logo prazo ão são equivalees: o primeiro refere-se ao comporameo de escala das disribuições dimesioais dos processos, equao o segudo esá relacioado com o comporameo da cauda da fução de auocorrelação de uma série emporal esacioária que, esse caso, possui um decaimeo muio leo [4]. Os processos auo-similares ou moofracais como o fbm, por exemplo, são goverados pelo coeúdo de baixa freqüêcia em ermos locais e globais. Nesse caso, o processo é suficieemee caracerizado pelo parâmero de Hurs. Para maiores iformações sobre processos auo-similares e formas para medir o parâmero de Hurs cosular [6][7][8][4][8][9]. O feômeo mulifracal, por sua vez, diz respeio ao coeúdo de ala freqüêcia do sial, ou seja, refere-se à esruura de sigularidades do sial de forma local e global sedo geralmee gerados aravés de processos muliplicaivos [5]. A iformação local é dada pelo expoee de Hölder em cada poo do especro, equao a iformação global é capurada pela caracerização da disribuição geomérica ou esaísica dos expoees de Hölder, deomiado especro mulifracal. Em aálise de ráfego, o comporameo em pequeas escalas de empo pode ser represeado pelas variações de ível local do processo de ráfego []. A aálise mulifracal é desiada à caracerização e à classificação de medidas irregulares, capacidades e fuções [6][7][8]. Essa aálise é capaz de descrever o comporameo local de medidas, disribuições, ou fuções aravés de méodos geoméricos ou esaísicos. Caso uma disribuição de poos em um espaço d seja dada a forma de uma medida sigular, esa ão pode ser descria aravés de uma desidade []. Nesse caso, a aálise mulifracal é uilizada para caracerizar propriedades geoméricas complicadas desse ipo. Cosiderado uma medida, a idéia básica é classificar as irregularidades de por meio do expoee de sigularidade (). é dio mulifracal se () varia de acordo com, ode () é expoee de Hölder. Em um processo de ráfego, observado-se um poo em um dado isae de empo, podemos dizer que esse poo possui um expoee de escala local () se a axa de ráfego do ) processo se compora como ( com. Noe que () correspode a isaes com baixo ível de iesidade ou com pequeas variações, equao (), idica regiões com alo ível de variações ou rajadas. Iformalmee, para siais com () = H para odos os isaes de empo, ou seja, () cosae, dizemos que o processo é moofracal ou auo-similar [][][]. A. A Medida Biomial A medida biomial ambém deomiada medida de Beroulli ou Besicovich sobre um iervalo uiário é a medida mais simples de um processo muliplicaivo e pode esclarecer de forma mais didáica a aplicação da aálise mulifracal. Nesse caso, a medida de um iervalo arbirado meor que o iervalo origial que possui massa uiária é fragmeado exaamee da mesma forma recursivamee []. A medida biomial é uma medida de probabilidade que é defiida dividido-se o iervalo I : [,] em dois subiervalos de igual comprimeo com massas m e m =-m. Esses dois subiervalos são divididos da mesma forma sucessivamee. Na -ésima divisão a massa uiária oal é disribuída o subiervalos [3]. Cosiderado uma vizihaça de um poo com uma medida de um desses subiervalos, emos o expoee de Hölder local defiido como l B( ) ( ) lim (9) l ode B() é uma esfera de raio ao redor de. Quado o limie da equação () ão exise, dizemos que o expoee de Hölder local ão é defiido. Em ermos práicos o limie para ão pode ser uilizado, levado-os à aproximação da equação () ao deomiado expoee de Hölder local aproximado (coarsegraied), que é aribuído a cada iervalo fiio. Eão, para uma esfera B() de raio de um poo, o expoee de Hölder local aproximado é defiido aravés da equação () l B( ) ( ) () l A medida sobre o iervalo [, ] possui uma desidade d() o poo se B( ) d( ) lim () Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

4 PERLINGEIRO AND LING : A NEW BANDWIDTH ESTIMATION APPROACH FOR 439 a equação () exise e saisfaz d ( ). Se () é o expoee de Hölder local em [, ], eão ( ) d( ) lim. Nos poos ode () a desidade da medida biomial é uma sigularidade [3]. O processo muliplicaivo gerado pela medida biomial é mosrado a Figura. Figura : Medida Biomial B. Especro Mulifracal A aálise mulifracal esá iimamee relacioada com os seguies especros mulifracais f(): Hausdorff, Grades Desvios e Legedre. O especro de Hausdorff, deoado por f h () ou simplesmee f h, é defiido como a dimesão de um cojuo de poos que possuem o mesmo valor de expoee de Hölder. O especro de Hausdorff forece uma descrição geomérica, o eao, é difícil de esimar. O especro dos Grades Desvios, deoado por f g (), ou simplesmee f g, forece uma descrição esaísica de uma medida. De forma simplificada, podemos dizer que f g mede a rapidez da probabilidade de observar um expoee de Hölder diferee do esperado, que ede para zero quado a resolução ede para o ifiio. Mais precisamee, f g esá relacioado com a fução axa defiida pelo Pricípio dos Grades Desvios (LDP) [3][8]. Para defiir f g, cosidere uma medida de probabilidade μ defiida em um iervalo uiário [, ). Seja P uma seqüêcia de parições do iervalo [, ) P é composo de iervalos diáicos ode cada : P k [4], iso é, P : I com k k I : [ k,( k ) ) [][33][36]. Nesse caso o especro dos Grades Desvios é defiido como log N ( ) f ( ) lim limsup () g ode k k N ) : # I P : (, com os expoees de Hölder defiidos mais precisamee aravés da equação (3) k k : log I (3) Cosidere X(), a íulo de simplificação, um sial difereciável e defiido o iervalo [, ) para fixo, esse k k iervalo k é al que I : I que coém. Eão k - como, logo, emos como expoee limie em k ( ) : limif (4) A equação (4) represea o expoee de Hölder local de X() o empo [][33]. O especro de Legedre, deoado por f l (), ou simplesmee f l, pode ser calculado aravés da rasformada de Legedre da fução geradora de momeos logarímica da Teoria dos Grades Desvios [35]. Cosiderado o sial X(), baseado a parição wavele S (q) com q [34][36], é defiida a fução esruural dada aravés da equação (5). log S ( q) ( q) limif (5) com S ( q) k X q ( k ) X ( k ) (6) ode q represea os momeos da soma de cada ível do valor absoluo dos coeficiees ormalizados da wavele [][][][34]. Eão, o deomiado especro de Legedre é defiido como f l ( ) : if q ( q) (7) q Na ermodiâmica, a variável (q) é deomiada expoee de Réyi [3]. Em geral, a siuação obida é f h f g f l. Coudo, em algus casos, pode-se provar que f h = f g = f l. Nesa úlima siuação é possível afirmar que o formalismo mulifracal é maido. A Teoria dos Grades Desvios forece codições para que a fução axa possa ser calculada aravés da rasformada de Legedre do limie da fução geradora de momeos. Lévy Véhel e Riedi [][7][8][36], baseados o eorema de Gärer-Ellis [35], mosraram o formalismo mulifracal fraco, em que a seguie codição f g = f l é maida. Nesa codição, f g pode ser esimado aravés de f l de forma aceiável e mais simples[6]. Para calcular o especro mulifracal f() da medida biomial, devemos compuar o úmero N de iervalos k I de amaho - com expoee de Hölder local aproximado (). O especro mulifracal côcavo f() da medida biomial, apreseado a Figura, é caracerizado como um processo mulifracal. f() pode ser esimado aravés da equação (8) quado [3]. f ( ) l max mi (8) Figura : Especro mulifracal da Medida Biomial com m = /3 e m = /3. Para ober maiores iformações sobre os processos mulifracais e sobre as écicas para esimar os expoees de Hölder cosular as seguies referêcias bibliográficas [][][3][4][5][6][][5][6][7][8][39]. Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

5 44 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 5, DECEMBER 5 III. CARACTERIZAÇÃO DO TRÁFEGO REAL Nese esudo foram esados mais de arquivos de ráfego real. Os arquivos de ráfego aalisados foram capurados a rede da Perobras aravés de um aalisador de dados da Acera modelo DA35, com a resolução (ime samp) de 3 microsegudos. Um resumo dos resulados da caracerização de ráfego é apreseado as Tabelas e. A oação adoada para desigar os diferees arquivos de ráfego real aalisados ese esudo é a seguie. Os arquivos de ráfego agregado desigados com a lera S sigificam que os arquivos de ráfego foram capurados juo aos servidores de aplicações. Arquivos de ráfego agregado desigados pela lera I foram capurados em roeador de acesso Iere. Os arquivos de ráfego agregado desigados por meio da lera R foram capurados em roeador de ráfego IP corporaivo. Os arquivos desigados pelas leras FTP e MTX são arquivos de ráfego de foe úica de dados e áudio/vídeo respecivamee. A Figura 3 mosra o ceário de capura dos arquivos de ráfego real aalisados ese esudo. Tráfego Foe Úica Dados FTP Áudio/Vídeo MTX Tráfego Agregado Dados Corporaivo R liear caracerizado como mulifracal. Para efeuar a aálise mulifracal dos arquivos de ráfego real, uilizamos a ferramea desevolvida pelo INRIA deomiada FRACLAB, fudameada o formalismo fracal fraco usado o especro de Legedre [5]. Com a fialidade de esimação do parâmero de Hurs, uilizamos os méodos das variâcias e, aravés aálise de mulirresolução baseada em rasformada waveles discrea [9]. A caracerísica mulifracal pode ser observada aravés da forma do especro mulifracal. No caso mulifracal, o especro apresea uma forma parabólica côcava, com as seguies caracerísicas: - O especro oca a liha bisseora ere os eixos f() e (). - f() (), para odo (). - f() D, para odo (), ode D = f( ) que é ecessariamee o valor máximo de f() [4]. A Figura 4 mosra os especros de Legedre esimados aravés do Fraclab [5] de algus arquivos de ráfego como exemplo. Noe que, de acordo com a forma parabólica côcava obida e com a ierpreação ecorada a lieraura [][3][3][], cosiderado a aálise do especro de Legedre, observa-se a caracerísica mulifracal os referidos arquivos de ráfego em fução do comporameo ão liear. Tráfego Agregado Acesso Iere I Tráfego Agregado Acesso Servidor S Figura 3: Ceário de capura do ráfego Os parâmeros de ráfego apreseados a Tabela são os seguies: H, m, p, L, z, C V e Ĥ, sedo parâmero de Hurs, axa média, axa de pico, amaho máximo da rajada, PMR (Peak o Mea Raio), coeficiee de variação e parâmero de esimação fracal empírica, respecivamee. Arquivo H m p L z C V Ĥ 3_7_MTX_, ,6,4 3,37,847 3_7_MTX_, ,7,84 3,4,835 3_7_MTX_3, ,49,9 3,55,88 3_7_MTX_4, ,76,69 4,35,77 3_7_FTP_, ,65,66,45,77 3_7_FTP_, ,79,6,63,77 3_7_I_, ,77 4,96,73 3_7_I_, ,5 6,7,3,743 4_7_I_, ,44 3,3,,7 4_7_I_3, ,99 3,77,94,74 3_7_R_, ,3,4,37,788 3_7_R_4, ,88,83,4,77 4_7_R_3, ,,35,3,743 Tabela : Dados da caracerização do ráfego A aálise do especro mulifracal permie quaificar e caracerizar os ipos de sigularidades em um processo, medido o seu grau de liearidade. Quado as sigularidades são de apeas um ipo, emos o caso de um processo moofracal, ou seja, emos um fracal liear. Coudo, se o sial apresea vários ipos de sigularidades, geralmee possuido uma esruura heerogêea, emos um processo ão Figura 4: Especro de Legedre A Tabela apresea os valores dos expoees de Hölder bem como o valor do parâmero de Hurs esimado pelo méodo waveles e variâcia. Observa-se que, embora os arquivos de ráfego eham apreseado a caracerísica mulifracal coforme mosrado a Figura 4, aravés dos resulados obidos o Fraclab [5], os valores do parâmero H da Tabela sugerem comporameo auo-similar, ou seja, moofracal [8][9]. Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

6 PERLINGEIRO AND LING : A NEW BANDWIDTH ESTIMATION APPROACH FOR 44 Arquivo de ráfego H (waveles) H (variâcia ) mi max 3_7_I_,7849,6898,5,86,6 3_7_I_,63898,743,,86,8 3_7_R_,6636,669,,9,7 3_7_R_4,6776,6353,5,86,4 _7_S_,756,6889,3,88,8 _7_S_3,5847,5663,3,86,6 Tabela : Dados da caracerização fracal do ráfego De fao, a caracerização exaa para deermiar se um deermiado ráfego é moofracal (parâmero de Hurs) e/ ou mulifracal (expoees de Hölder), mesmo cosiderado as meodologias exisees, ão é uma arefa rivial. A classificação depede de como e ode é observado e aalisado o cojuo de expoees () e a fialidade da aálise. De acordo com P. Maersalo e Ilkka Norros, o ráfego real de dados parece adapar-se bem ao modelo mulifracal em muias escalas de resolução, odavia, deve-se er muio cuidado ao decidir ode e como aplicar al modelo [5]. Riedi e Williger [43] sugerem que o comporameo mulifracal deecado o ráfego WAN pode coexisir com caracerísica auo-similar, ou seja, o ível microscópico processo muliplicaivo e o ível macroscópico processo adiivo. Feldma [] apresea evidêcias de que dero das sessões TCP há uma complicada misura de compoees adiivos e muliplicaivos. Adicioalmee, sugere que a rasição da escala mulifracal para a auo-similar ocorre ipicamee a ordem dos empos de viagem do pacoe a rede cosiderada (roud-rip delay). Fudameados em exesivos eses de caracerização de ráfego real [9][][39], somos de opiião de que ão imporae quao saber se um deermiado ráfego possui comporameo moofracal ou mulifracal é saber ode cada modelo pode ser aplicado mais apropriadamee. Como mecioado aeriormee, o modelo mulifracal esá relacioado com empos de iervalos muio pequeos, e esse comporameo local possui grade imporâcia a alocação diâmica em uma siuação em empo real, por exemplo. Como podemos cosaar, o modelo moofracal fudameado somee o parâmero de Hurs pode ão ser suficiee para descrever odos os ipos de eveos que ocorrem o ráfego. Por ouro lado, o modelo mulifracal baseado em um cojuo de expoees de Hölder e a aálise do especro mulifracal, depededo da aplicação, pode ão ser de grade valia. Nesse caso, podemos ciar siuações que exijam uma aálise em uma escala de empo maior como, por exemplo, o ível de dimesioameo de elemeos de rede e elaces de comuicação[]. IV. ESTIMAÇÃO DA BANDA EFETIVA Nesa seção, propomos um ovo méodo para a esimação da bada efeiva. Nossa proposa esá fudameada os rabalhos de Ilkka Norros [6][7], desiado ao ráfego agregado, e de George Kesidis e Jea Walrad [], baseado em modelos markoviaos. Além deses, ese rabalho cosidera o esudo de exesão do fbm proposo por Jacques Lévy Véhel e Romai Fraçois Pelier []. Com a fialidade exclusiva de esimação da bada efeiva, iroduzimos um parâmero de ráfego deomiado parâmero de esimação fracal empírica, que egloba as caracerísicas moo e mulifracal do ráfego cosiderado. A. Esimação da bada efeiva para ráfego agregado Madelbro e Va Ness iroduziram, em 968 [8], o processo esocásico gaussiao auo-similar Z, (-, ), deomiado movimeo browiao fracioário (fbm), com parâmero de Hurs H [½, ) e com as seguies propriedades: Z possui icremeos esacioários; Z =, e EZ =, para odo ; EZ = H, para odo ; Z Z possui camihos coíuos; Z é gaussiao, ou seja, odas as suas disribuições margiais dimesioais fiias são gaussiaas [5][]. pode ambém ser defiido aravés da seguie iegral esocásica para Z H H s / dw ( s) (9) H / H s ( s) / dw ( s) ode W deoa um processo Wieer defiido em (-, +) e deoa fução Gama []. Baseado a aproximação gaussiaa e o processo (Z ), Ilkka Norros [6][7] propôs o seguie modelo para ráfego agregado com comporameo auo-similar A m amz, (, ) () ode A é um processo de ráfego browiao fracioário com os seguies parâmeros de erada m, a e H, sedo axa média, peakedess e o parâmero de Hurs respecivamee. Para ese modelo de ráfego Norros derivou a seguie equação () para esimação da bada efeiva C [6][7]: C m / H /(H ) ( H ) / H /(H ) k ( H) l P{ X b} a b m () sedo k(h) = H H (- H) -H, b é amaho do buffer, P{X b} é a probabilidade de perda e m, a e H já defiidos acima. Jacques Lévy Véhel e Romai Fraçois Pelier iroduziram uma exesão do fbm deomiado movimeo browiao mulifracioário (Mulifracioal Browia Moio - mbm). De forma simplificada, podemos dizer que o mbm é um fbm em que o parâmero de Hurs H ão mais é cosae, mas sim variável, depedee do empo, deoado por H() ou H. Os auores mosram que H e -H são de fao o próprio expoee de Hölder local e a dimesão de Hausdorff o isae de empo, respecivamee []. H() depede da medida dos expoees de Hölder. Caso odos os expoees sejam iguais eremos um processo auo-similar bem represeado pelo parâmero H. Jacques Lévy Véhel defiiu o movimeo browiao mulifracioário com parâmero H, com, a seguie fução aleaória represeada por V, cosiderado H : (, ) (, ) uma fução de Hölder do expoee : V H H s / dw ( s) () H / H s ( s) / dw ( s) Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

7 44 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 5, DECEMBER 5 ode W deoa um processo Wieer e a iegração é omada em ermos de média quadráica []. Assim sedo, um mbm possui as seguies propriedades: - V é um processo coíuo; - Para H para odo, exise a seguie dimesão com probabilidade um: dim H, V : [ a, b] mih, [ a, b] (3) - Com probabilidade um o expoee de Hölder de V em é H para odo com H para odo. Cosiderado o modelo de ráfego proposo por Norros, por aalogia eremos para o processo mbm B m amv, (, ) (4) ode B é o processo de ráfego browiao mulifracioário com parâmeros de erada m, a e H, sedo axa média, peakedess e o parâmero H variável o empo respecivamee. Também por aalogia, podemos esimar a bada efeiva para o processo de ráfego B, o isae de empo, ambém aravés da equação () subsiuido-se H por H. B. Esimação da bada efeiva para ráfego de foe úica Em ceários que apreseam baixos íveis de agregação de ráfego, como em uma rede de acesso por exemplo, ão é recomedável uilizar o modelo proposo por Norros. Nese caso uilizaremos a aproximação proposa por George Kesidis, Jea Walrad, e Cheg-Sha Chag []. Esse méodo usa o modelo MMPP (Markov-Modulaed Poisso Process), o qual os pacoes são gerados como processo de Poisso com axa, que é fução de uma cadeia de Markov de empo coíuo. Nese caso modelamos o ráfego como MMPP de dois esados, ode T o e T off são os empos médios em cada esado. Assim eremos a seguie esimação de bada efeiva c (5) c (5) ode ( e ) (6) p T o T off e p ( e ) (7) Toff Nese caso, p é a axa de pico e é a fução axa, represeado o decaimeo da cauda da fução disribuição de ocupação do buffer. Para o modelo fluido em-se p p (8) (9) T o T off T off Em seu esudo, Kesidis usa como probabilidade de perda o resulado obido por Gly e Whi [45]. Nese rabalho, uilizamos a geeralização desse resulado, feia por Duffield e O Coell [44], ode P{X b} saisfaz o Pricípio dos Grades Desvios [8][35] aravés das equações (3) e (3): ( H ) ( H ) lim b l P( X b) a ( a C) / (3) b ode a = C/H-C, com,5 H, e C é a axa de serviço. A equação (3) pode ser aproximada por ( H ) P X b exp b (3) ode = -a ( H) (a+c) / e a = C/H-C, que é largamee uilizada para represear foes com caracerísica de depedêcia de logo prazo. Aalogamee ao iem aerior, podemos esimar a bada efeiva baseado o modelo fluido markoviao, o isae de empo, ambém aravés da equação (3) subsiuido-se H por H. Ocorre que a subsiuição de H por H, o caso das equações () e (3) para a esimação da bada efeiva, pode orar-se uma arefa muio complicada e árdua em fução da caracerísica de grade variação do parâmero de Hölder em um processo mulifracal. C. Parâmero de esimação fracal empírica Fudameados os esudos apreseados a lieraura e em exausivas aálises de ráfego, cosaamos que a precisa caracerização de deermiado ráfego, seja moo ou mulifracal, ão é uma arefa rivial. Também verificamos que em um mesmo processo de ráfego podem coexisir, em uma complicada misura, processos adiivos e muliplicaivos em deermiados iervalos de empo, origiado simulaeamee comporameos moo e mulifracal. É plausível admiir, que deermiado comporameo seja prepoderae, ou que pelo meos um erá uma coribuição mais sigificaiva do que ouro, em ermos de alocação de bada efeiva. Coudo, a maioria dos processos reais ão possui essa caracerísica, mas sim apreseam um comporameo decorree de uma misura. Para aplicações em empo real ou cosiderado pequeos iervalos de empo, a uilização da caracerização mulifracal a esimação da bada efeiva, iso é, o uso de H, parece mais adequado. Embora coceiualmee as possibilidades acima mecioadas façam pare da solução do problema de esimação da bada efeiva, exisem poos de dificuldade a serem resolvidos, ais como: para a esimação em empo real a deermiação isaâea e precisa de H ão é fácil; em escalas de empo maiores, a uilização do parâmero de Hurs ão represea adequadamee o impaco do ráfego os buffers em odos os casos, pricipalmee quado o processo de ráfego apresea caracerísicas de processo aipersisee, ambém chamado de depedêcia egaiva, que é o caso de processos com H,5. O objeivo dese rabalho é esabelecer um méodo de esimação de bada efeiva o mais abragee possível para um deermiado ráfego, mas que adicioalmee seja simples. Fudameados a caracerização do ráfego real, os eses de simulação que serão apreseados resumidamee a próxima seção, baseados o criério da aproximação gaussiaa e com a fialidade exclusiva de esimação da bada efeiva, iroduzimos um ovo parâmero de caracerização de ráfego que cosidera odos os expoees de Hölder () do arquivo de ráfego cosiderado. Seja um especro mulifracal f() de uma medida efeuada em um arquivo de ráfego real com expoees de escala (), ou simplesmee. Defiimos o parâmero de esimação fracal empírica, em um iervalo de empo [, ], deoado por Ĥ e represeado pela seguie equação Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

8 PERLINGEIRO AND LING : A NEW BANDWIDTH ESTIMATION APPROACH FOR 443 ode Hˆ a ( ) d (3) (33) deoa o valor médio de odos os expoees de Hölder (), em um iervalo de empo [, ], e o coeficiee de variâcia a dado por Var a (34) A parir do parâmero de esimação fracal empírica Ĥ, cosiderado a esimação da bada efeiva em escalas de empo ão isaâeas, propomos a uilização de Ĥ em vez de H ou H. No eao, quado o processo esocásico for exaamee auo-similar ou se essa caracerísica for muio fore, podemos cosiderar que a uilização do parâmero H é mais cosisee. Coseqüeemee eremos as equações (35) e (36) para esimação da bada efeiva de ráfego agregado e baseado em modelos markoviaos respecivamee. C m, / /() ( ) / /() k ( ) l P{ X b} a b m (35) P ( ) X b exp b (36) Desa forma, a uilização de H ou Ĥ as equações (35) e (36) será dada pelo máximo valor ere ambos, ou seja max H, H ˆ (37) D. Solução Oimizada para esimação da bada efeiva A solução geral apreseada previamee é baseada a aproximação gaussiaa proposa por Norros [6][7], bem como o modelo proposo por Kesidis [], usado a geeralização de Duffield ad O Coell [8][9], baseada a probabilidade de perda de pacoes. Essas aproximações geralmee superesimam os resulados da bada efeiva para amahos grades de buffer. Com a fialidade de miimizar esse efeio, fudameados em méodos heurísicos e em eses de simulação, propomos aplicar os seguies faores de oimização de bada efeiva baseados em parâmeros de ráfego e amaho de buffer. Esses parâmeros de ráfego possuem imporae impaco a bada efeiva. Para ráfego agregado, o faor de oimização é dado pela equação (38) e, para ráfego de foe úica ou baixa agregação, é dado pela equação (39) l Lz opf b' (38) Lz opf b' (39) ode b é o amaho de buffer ormalizado, z é o parâmero PMR (Peak o Mea Raio), L é o amaho máximo da rajada [8][9]. LEGENDA DOS GRÁFICOS Geral sem oimização Geral com oimização Simulação Fluido MMPP Norros Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego de Vídeo Foe Úica - Arquivo 3_7_MTX_ x ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 5: Tráfego 3_7_MTX_ Bada Efeiva (Byes/seg) Tráfego de Vídeo Foe Úica - Arquivo 3_7_MTX_ 6 x ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 6: Tráfego 3_7_MTX_ Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego de Vídeo Foe Úica - Arquivo 3_7_MTX_3 6 x 4 8 V. RESULTADOS EXPERIMENTAIS Nesa seção apreseamos algus resulados de esimação da bada efeiva, baseados o méodo proposo, validados por meio dos resulados experimeais obidos com eses de simulação, uilizado os arquivos de ráfego real. As Figuras 5, 6, 7, 8, 9,,,, 3, 4, 5, e 6 apreseam os resulados da esimação de bada efeiva e de simulação, coforme a legeda mosrada a seguir ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 7: Tráfego 3_7_MTX_3 Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

9 444 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 5, DECEMBER 5 Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego de Dados Foe Úica - Arquivo 3_7_FTP_ Bada Efeiva (byes/seg) x Tráfego Agregado Iere - Arquivo 3_7_I_ ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 8: Tráfego 3_7_FTP_ Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego de Dados Foe Úica - Arquivo 3_7_FTP_ ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura : Tráfego 3_7_I_4 Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego Agregado Iere - Arquivo 4_7_I_ x ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 9: Tráfego 3_7_FTP_ Bada Efeiva (byes/seg) x Tráfego Agregado Iere - Arquivo 3_7_I_ ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 3: Tráfego 4_7_I_ Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego de Agregado Iere - Arquivo 4_7_I_3 x ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura : Tráfego 3_7_I_ Bada Efeiva (byes/seg) Tráfego Agregado Iere - Arquivo 3_7_I_ ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 4: Tráfego 4_7_I_3 Bada Efeiva (byes/seg) x Tráfego Agregado Dados Corporaivo - Arquivo 3_7_R_ ,73E+7 BLR= E-3 Tamaho do Buffer (byes) Figura : Tráfego 3_7_I_ ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 5: Tráfego 3_7_R_4 Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.

10 PERLINGEIRO AND LING : A NEW BANDWIDTH ESTIMATION APPROACH FOR 445 Bada Efeiva (byes/seg) x Tráfego Agregado Dados Corporaivo - Arquivo 4_7_R_ ,73E+7 Tamaho do Buffer (byes) Figura 6: Tráfego 4_7_R_3 Como pode ser verificado, em odos os casos a esimação da bada efeiva aravés dos méodos origiais (Fluido, MMPP e Norros) [6][], em que foram uilizados o parâmero de Hurs, ão fucioaram compleamee. A aálise das mesmas figuras permie observar um subdimesioameo da bada efeiva, quado usamos amahos de buffer ere. a 7. byes, para ráfego de foe úica. No caso de ráfego agregado, observamos que o subdimesioameo da bada efeiva ocorre com amahos de buffer ere 4. a 5. byes, depededo do ipo de ráfego agregado aalisado. Por ouro lado, observado os resulados obidos pelo méodo de esimação de bada efeiva proposo, uilizado o parâmero de esimação fracal empírica, comprovamos o seu fucioameo adequado para odos os arquivos de ráfego aalisados, aededo o requisio de QoS, referee à perda de byes, previamee esabelecida (Byes Loss Raio BLR = -3 ). Para o ráfego do ipo dados foe úica FTP, observamos uma região de leve falha de esimação da bada efeiva para valores de buffer de amaho ere 9. e.. de byes aproximadamee, demosrado que o faor de oimização pode ser aida aprimorado para esse ipo de ráfego. Também vale saliear que observamos um melhor desempeho do parâmero de Hurs somee os casos em que H é maior de,9 ou para processos exaamee auo-similares. Esse fao idica que quado a auo-similaridade é muio fore a uilização do parâmero H é mais idicada. VI. CONCLUSÕES Exesos e recees esudos êm idicado um comporameo fracal de medidas de uma grade gama de ráfego de redes: ou seja, os arquivos de ráfego aalisados apreseam caracerísicas de moofracal e / ou mulifracal. Como mecioado ese rabalho, o feômeo mulifracal esá relacioado com o comporameo em pequeas escalas de empo, ao passo que o moofracal maifesa-se em grades escalas de empo, ou seja, comporameo de logo prazo. Cocluímos que deermiar se um deermiado ráfego é moo ou mulifracal em sempre é uma arefa fácil. No eao, o mais imporae é aplicar cada modelo o mais adequadamee possível. Além disso, verificamos que, em ceros casos, em o parâmero de auo-similaridade expressa correamee o comporameo em rajada. Esses faos levaram-o a iroduzimos um ovo parâmero que leva em cosideração odos os expoees de Hölder de um deermiado arquivo de ráfego, deomiado parâmero de esimação fracal empírica, deoado por Ĥ. Esse parâmero mosrou-se mais geérico e com bom desempeho a aplicação de esimação da bada efeiva para ráfegos com caracerísicas moo e /ou mulifracais. De acordo com os resulados aalíicos e experimeais obidos ese rabalho, observamos que a meodologia proposa aede mais adequadamee a esimação da bada efeiva para aplicações de plaejameo e projeo de redes. A quesão araso será abordada em ouro arigo que será submeido para publicação fuura. Os próximos passos de osso esudo preedem averiguar aé que amaho míimo de iervalo de empo que o parâmero de esimação fracal empírica Ĥ pode ser uilizado, uma vez que o valor exao o isae de em é H. Também há possibilidade de aprimorameo dos parâmeros de oimização para a bada efeiva esimada. VII. AGRADECIMENTOS Os auores agradecem a grade coribuição dada pelo grupo de rabalho do Projeo Ericsso UNI, em especial a Magali Rado a egeharia do sofware. VIII. REFERÊNCIAS [] Aja Feldma, A.C. Gilber, W. Williger, e T.G. 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Mesrado em egeharia elérica pela Uiversidade Esadual de Campias em Campias esado de São Paulo em 6 de Julho de 999. Aualmee é esudae de douorado em egeharia elérica a UNICAMP. Trabalha a área de elecomuicações desde 979 e a Peróleo Brasileiro SA desde 989. Aua as seguies áreas de pesquisa: dimesioameo de redes, aálise desempeho de redes e egeharia de ráfego. Lua Lig Lee (M 99) obeve o íulo de egeheiro elerecisa pela USP em 98, mesre em egeharia elérica pela UNICAMP em 984 e PhD em egeharia elérica pela Uiversidade de Corell em 99. Foi fudador e em sido o coordeador do Laboraório de Recohecimeo de Padrões e Redes de Comuicações (LRPRC) da FEEC-UNICAMP desde 994. Desde ele em sido Professor Tiular da FEEC-UNICAMP. Aualmee aua iesamee em duas áreas de pesquisa: Recohecimeo de Padrões e Redes de Comuicações. Auhorized licesed use limied o: UR Fuurs. Dowloaded o April 6, 9 a 8:39 from IEEE Xplore. Resricios apply.