Resposta no tempo de sistemas de primeira e de segunda ordem só com pólos

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1 Resposa o empo de sisemas de pimeia e de seguda odem só com pólos Luís Boges de Almeida Maio de Iodução Esas oas apeseam, de foma sumáia, o esudo da esposa o empo dos sisemas de pimeia e de seguda odem só com pólos De um modo geal apeseam-se apeas os esulados, sem as especivas deivações (que, a gade maioia dos casos, são muio simples) Equao, dum poo de visa eóico, a esposa ao impulso é a feamea mais impoae paa caaceiza os sisemas o domíio do empo, as aplicações páicas é basae mais impoae caaceiza a esposa ao escalão Na Fig epesea-se uma esposa ao escalão geéica, e ideificam-se os picipais paâmeos que se uilizam paa a caaceiza S V F 9 % 5% T a % p s Figua Paâmeos da esposa dum sisema ao escalão Eses paâmeos são: Valo fial ( V F ) Valo paa o qual ede, assimpoicamee, a esposa Ese valo é, a geealidade das siuações de ieesse páico, igual ao gaho esáico do sisema, H () Tempo de subida ( ) Tempo que a esposa leva ee a pimeia vez que cuza um deemiado limie ifeio e a pimeia vez que cuza um deemiado limie supeio Eses limies são gealmee defiidos em peceagem do valo fial É vulga usaem-se os empos de subida % 9%, 5% 95% e % Sobe-elevação (S) Difeeça ee o valo máximo e o valo fial da esposa, gealmee medida como peceagem ou facção do valo fial Tempo de pico ( p ) Tempo que a esposa leva a aigi o seu valo máximo Fequêcia ( a ou f a ) e peíodo ( T a ) das oscilações amoecidas Fequêcias (agula ou liea) e peíodo das oscilações amoecidas que a esposa apesea em oo do valo fial Eses paâmeos só se defiem o caso de essas oscilações exisiem e seem peiódicas apae o amoecimeo da ampliude

2 Tempo de esabelecimeo ( s ) Tempo ao fim do qual a esposa se ecoa defiiivamee deo de deemiada magem em oo do valo fial É habiual defii-se a lagua dessa magem em peceagem do valo fial, e é fequee a uilização duma magem de 5% Ese empo idica-se fequeemee a foma (5%), mas po vezes usa-se simplesmee a foma (5%) s s Sisemas de pimeia odem A fução de asfeêcia deses sisemas, o caso de gaho esáico uiáio, é dada po a H ( s), s a com a, paa que o sisema seja esável É habiual usa-se, em vez de a, o paâmeo / a, ao qual se dá o ome de empo de elaxação ou cosae de empo do sisema Assim, / H ( s) s / (), s coespodedo à equação difeecial y( y( x( Resposa ao impulso A pai da fução de asfeêcia (), edo em coa que se esá a cosidea um sisema causal, é fácil de coclui que a esposa ao impulso uiáio é dada po h( e u(, que se ecoa epeseada gaficamee a Fig Nesa figua idicam-se algus dos elemeos mais impoaes desa cuva / 37% 4% 5% 3 Figua Resposa dum sisema de pimeia odem ao impulso

3 Resposa ao escalão Em qualque SLIT, a esposa ao escalão uiáio é dada po s ( h( d, edo-se s ( h( No sisema que esamos a esuda, esa esposa é fução que se ecoa epeseada a Fig 3 s( ( e ) u(, 86% 95% 63% 3 Figua 3 Resposa dum sisema de pimeia odem ao escalão Os paâmeos mais impoaes desa esposa são Tempos de subida Tempo de esabelecimeo O empo de subida ( %) é, aualmee, ifiio (% 9%) (5% 95%) 95 ( 5%) 3 s Como facilmee se pode veifica, quao maio fo, mais empo leva a esposa do sisema a esabiliza, e mais peo esá o pólo do eixo imagiáio Ese é um esulado geal, válido paa qualque ipo de sisemas: Quao mais peo esiveem os pólos dum sisema do eixo imagiáio, mais empo o sisema leva a esabiliza 3 Sisemas de seguda odem Vamos esuda o sisema que apesea gaho esáico igual a Paameizamos a sua fução de asfeêcia da seguie foma: H( s), () s s 3

4 com Esa fução em pólos o semiplao esquedo, coespodedo a um sisema causal e esável, sse Paa os pólos são complexos cojugados, sedo eais se A Fig 4 ilusa a siuação em que os pólos são complexos cojugados p j p j Figua 4 Localização, o plao s, dos pólos dum sisema de seguda odem com pólos complexos cojugados Po azões que se oaão mais claas com a coiuação dese esudo, a dá-se o ome de fequêcia aual ou fequêcia pópia do sisema, e a dá-se o ome de faco de amoecimeo Os sisemas de seguda odem omam as seguies desigações em fução do valo de : Sisema sub-amoecido, se Sisema ciicamee amoecido, se Sisema sobe-amoecido, se Esudaemos sepaadamee os sisemas sub- e sobe-amoecidos, e aaemos os sisemas ciicamee amoecidos com caso limie, de foeia ee esas duas classes 3 Sisemas sub-amoecidos A Fig 4 ilusa a elação das posições dos pólos com os paâmeos e Idica ambém o âgulo accos, que seá úil a caaceização deses sisemas Os pólos são dados po, j p Defiimos /( ), paâmeo que, como veemos, iá desempeha um papel semelhae ao da cosae de empo dos sisemas de pimeia odem Defiimos aida a, valo que epesea, como veemos, a fequêcia das oscilações amoecidas do sisema Assim, os pólos são dados po p j, a 3 Resposa ao impulso A fução de asfeêcia () pode decompo-se a soma de duas facções simples, coespodees aos dois pólos, e é fácil de coclui que a esposa ao impulso em de se da foma / j / j a a h( ( A e e A e e ) u( ) (3) 4

5 Os dois emos do lado dieio êm de se cojugados ee si poque h ( é eal, pelo que A A É fácil de ve que h ( vai apesea uma oscilação com fequêcia a, oscilação cuja ampliude decai com uma evolvee da / foma A e Assim, desempeha o papel de cosae de empo do decaimeo das oscilações do sisema Mais pecisamee, a esposa ao impulso é dada po / h( e si( u( a Esa esposa ecoa-se ilusada a Fig 5 paa, paa váios valoes do faco de amoecimeo, icluido o caso ciicamee amoecido Os emos / e a, que sugem a expessão de h (, são popocioais a, pelo que h ( depede de apeas aavés do poduo Po isso, desempeha o papel de faco de escala o eixo dos empos Po ouo lado, a ampliude de h ( é popocioal a, pelo que ese desempeha ambém o papel de faco de escala a ampliude Tomado iso em coa, é fácil adapa os gáficos da Fig 5 a qualque ouo valo de Po exemplo, coespodeia a uma coacção dos gáficos po um faco de o eixo dos empos e a uma expasão pelo mesmo faco a ampliude Figua 5 Resposa dum sisema de seguda odem sub-amoecido ou ciicamee amoecido ao impulso Os valoes do faco de amoecimeo esão idicados juo das cuvas coespodees 3 Resposa ao escalão Iegado a esposa ao impulso (3) obém-se s( e / si( a ) u( (4) A Fig 6 ilusa as esposas ao escalão paa, paa váios valoes do faco de amoecimeo, icluido o caso ciicamee amoecido A fução s ( só depede de aavés do poduo, e ão em ifluêcia a ampliude de s ( Po isso, apeas afeca a escala dos empos: quao maio fo, mais ápida seá a esposa do sisema, o que, ovamee, oa muio fácil adapa os gáficos a ouos valoes de As esposas ao escalão, com excepção do caso ciicamee amoecido, apeseam oscilações com fequêcia a e com ampliude amoecida com cosae de empo /( ) A fequêcia de oscilação dimiui com o aumeo de, mas essa dimiuição é difícil de oa os gáficos, poque, paa pequeo, a é quase igual a, e, paa gade, o amoecimeo das oscilações é muio ápido As esposas covegem paa o valo fial, igual à ampliude do escalão de eada Iso esula de emos escolhido uma fução de asfeêcia com gaho esáico uiáio, H ( ) 5

6 Figua 6 Resposa dum sisema de seguda odem sub-amoecido ou ciicamee amoecido ao escalão Os valoes do faco de amoecimeo esão idicados juo das cuvas coespodees Os picipais paâmeos desas esposas são: Peíodo das oscilações amoecidas Tempo de pico T a a p Ta a Sobe-elevação Tempo de subida Tempo de esabelecimeo S e e co( ) ( %) (5) a s( 5%) ~ 3 (6) Paa ouos empos de subida, como po exemplo os % 9% e 5% 95% ão exisem expessões simples A Fig 7 mosa a vaiação deses empos, bem como do empo ( %), em fução do faco de amoecimeo O valo do empo de esabelecimeo dado po (6) é obido de (4) omado-se em coa apeas a evolvee e, sem se oma em coa a siusóide, que oscila ee e, em o faco /, que é supeio a A apoximação só é válida paa valoes pequeos de, e poao pioa à medida que o faco de amoecimeo se apoxima de A Fig 8 mosa a vaiação do empo de esabelecimeo em fução de, bem como a apoximação dada pela expessão (6) / 6

7 4 -% 5%-95% -9% Figua 7 Tempos de subida de sisemas de seguda odem, em fução do faco de amoecimeo A vemelho mosam-se as apoximações dadas pelas expessões (7) paa sisemas sobe-amoecidos Os cículos vemelhos idicam as apoximações paa sisemas ciicamee amoecidos dadas pelas expessões (9) Figua 8 Tempos de esabelecimeo de sisemas de seguda odem, em fução do faco de amoecimeo A vemelho mosam-se as apoximações dadas pelas expessões (6) e (8) O cículo vemelho idica a apoximação paa sisemas ciicamee amoecidos dada pela expessão () 3 Sisemas sobe-amoecidos Quado, a fução de asfeêcia () apesea dois pólos eais dados po p, ( ) Quado, p ede paa a oigem e p ede paa Paa em-se p p 7

8 3 Resposa ao impulso A esposa ao impulso paa vai, aualmee, se a soma de duas expoeciais com expoees p e especivamee, com ampliudes apopiadas Defiido p, M, aquela esposa é dada po p p h( M( e e ) u( A Fig 9 mosa o compoameo desa esposa paa, paa váios valoes do faco de amoecimeo, icluido o caso ciicamee amoecido Relaivamee à ifluêcia de, são aida válidas as coclusões iadas o caso sub-amoecido: desempeha apeas o papel de faco de escala, ao os empos como as ampliudes Noe-se que esa esposa ão apesea oscilação, edo apeas uma subida iicial seguida duma descida assimpóica paa zeo Pode-se veifica que o compoameo da esposa, paa gade, é domiado pela expoecial coespodee ao pólo mais póximo do eixo imagiáio, que é p Iso deve-se ao faco de esa expoecial decai mais leamee do que a coespodee a p Paa valoes elevados de os pólos esão basae afasados ee si, e a esposa é quase idêica à dum sisema de pimeia odem apeas com o pólo p Figua 9 Resposa dum sisema de seguda odem sobe-amoecido ou ciicamee amoecido ao impulso Os valoes do faco de amoecimeo esão idicados juo das cuvas coespodees 3 Resposa ao escalão Esa esposa obém-se ovamee po iegação de h (, e é dada po M p M p s( e e u( p p A Fig mosa o compoameo desa esposa paa, paa váios valoes do faco de amoecimeo, icluido o caso ciicamee amoecido Noe-se que a esposa é sempe cescee, ededo assimpoicamee paa o valo fial e ão apeseado oscilação Noe-se ambém que, al como o caso sub-amoecido, acua apeas como um faco de escala o eixo dos empos Nesa esposa evidecia-se, aida mais do que a esposa ao impulso, a domiâcia do emo coespodee a p, e poao a esposa é quase idêica à dum sisema de pimeia odem apeas com o pólo p Ese efeio é mais macado a esposa ao escalão do que a esposa ao impulso poque a esposa ao escalão a ampliude do emo coespodee a p vem dividida pelo pópio valo de p, cujo módulo é maio que o de p 8

9 A sobe-elevação da esposa ao escalão é, aualmee, ula As apoximações paa os empos de cescimeo e de esabelecimeo podem obe-se facilmee desde que, com, se façam as apoximações de que o emo coespodee a p é despezável e de que M / p Nesse caso o sisema compoa-se como um sisema de pimeia odem com um pólo em p, e poao, fazedo / p, obêm-se as mesmas expessões que os sisemas de pimeia odem: Tempos de subida (% 9%) (5% 95%) 95 (7) Tempo de esabelecimeo s ( 5%) 3 (8) As Figs 7 e 8 mosam a evolução deses empos em fução de e ilusam a validade das apoximações idicadas em (7) e (8) Pode-se veifica que, paa 5, os eos de apoximação são já ifeioes a % em odos os casos Figua Resposa dum sisema de seguda odem sobe-amoecido ou ciicamee amoecido ao escalão Os valoes do faco de amoecimeo esão idicados juo das cuvas coespodees 33 Sisemas ciicamee amoecidos 33 Resposa ao impulso Paa a fução de asfeêcia () apesea um pólo duplo em A expessão da esposa ao impulso é h( e u( A epeseação gáfica foi já feia as Figs 5 e 9 Esa esposa ão apesea oscilação, edo apeas um peíodo iicial de subida seguido duma descida assimpóica paa zeo Mais uma vez, acua simplesmee como faco de escala os eixos dos empos e das ampliudes 33 Resposa ao escalão Esa esposa é dada po 9 s( [ ( e ] u( O seu gáfico esá epeseado as Figs 6 e Taa-se duma fução cescee que ede assimpoicamee paa o valo fial de Mais uma vez, acua simplesmee como faco de escala o eixo dos empos

10 Tal como o caso sobe-amoecido, a sobe-elevação desa esposa é ula Os empos de subida e de esabelecimeo são: Tempos de subida Tempo de esabelecimeo 34 (% 9%) 44 (5% 95%) s 48 ( 5%) () (9) 4 Comeáios fiais 4 Velocidade de esabilização a logo pazo Vale a pea efaiza o faco, já efeido a popósio dos sisemas de pimeia odem, de que quao mais peo esiveem os pólos do eixo imagiáio, mais empo o sisema leva a esabiliza Pudemos veifica ese faco os sisemas de seguda odem sub-amoecidos, em que o empo de esabelecimeo depede essecialmee da pae eal dos pólos Pudemos veificá-lo ambém os sisemas sobe-amoecidos, os quais apaece, o eao, um faco ovo e ão meos impoae, que é ambém válido paa odos os sisemas, mesmo de odem supeio a : A velocidade de esabilização a logo pazo (assimpóica) depede apeas do pólo que eseja mais póximo do eixo imagiáio A esabilização é ao mais lea quao mais póximo se ecoa esse pólo do eixo imagiáio Daqui esula ambém que, de odos os sisemas de seguda odem com a mesma fequêcia aual, o que esabiliza mais apidamee a logo pazo é o ciicamee amoecido, poque é aquele em que o pólo mais póximo do eixo imagiáio esá a maio disâcia dese Ese úlimo faco em aplicação páica o deseho de divesos sisemas Po exemplo, os apaelhos de medida de quado móvel (de que são exemplo os volímeos aalógicos) podem se modelados, com basae pecisão, como sisemas de seguda odem só com pólos Quado se aplica uma esão a um volímeo esá-se a aplica, essecialmee, um escalão, e peede-se que o poeio esabilize o mais apidamee possível O aio mecâico pesee eses sisemas é muio baixo, o que os oa foemee sub-amoecidos Sem mais aleações, ao se aplicada uma esão a um al apaelho, o poeio oscilaia foemee em oo do valo fial, com oscilações cuja ampliude decesceia muio devaga A solução que gealmee se adopa é coloca, o quado móvel do apaelho, uma espia em cuo-cicuio Esa, devido às coees iduzidas pelo campo magéico a que o quado móvel esá sujeio, acua como feio elecomagéico (dissipa eegia po efeio de Joule), foecedo amoecimeo suplemea A espia é calculada de foma a que o sisema fique ciicamee amoecido, paa que o poeio esabilize o mais apidamee possível 4 Pólos ão domiaes Pudemos ambém veifica, os sisemas sobe-amoecidos, que, quado os dois pólos se ecoam a disâcias basae difeees do eixo imagiáio, só o pólo mais póximo dese em ifluêcia sigificaiva a esposa do sisema ao escalão Ese faco veifica-se a geealidade dos sisemas, e ão apeas os de seguda odem Po ouo lado, é fácil de pecebe que um pólo que apesee, a decomposição em facções simples da fução de asfeêcia do sisema, um esíduo muio pequeo, em ambém uma ifluêcia muio pequea a esposa do sisema Assim, desigam-se gealmee po pólos ão domiaes: aqueles que esejam muio mais afasados do eixo imagiáio do que os pólos que se ecoam mais póximos dese; aqueles que apeseem, a decomposição da fução de asfeêcia, um esíduo muio mais pequeo do que os maioes esíduos que ocoem essa decomposição Quado se peede apeas obe uma apoximação da esposa ao escalão, é fequee elimiaem-se, da fução de asfeêcia, os pólos ão domiaes Ao fazê-lo há, o eao, que e o cuidado de ajusa o faco

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