MODELAGEM MATEMÁTICA E O EFEITO ESTUFA

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1 a MODELAGEM MATEMÁTICA E O EFEITO ESTUFA Âgela Maria Loureção Gerolômo 1 UEL Uiversidade Esadual de Lodria agela-maemaica@uol.com.br Rodolfo Eduardo Verua 2 UEL Uiversidade Esadual de Lodria rodolfoverua@yahoo.com.br Resumo Nese rabalho apreseamos a Modelagem Maemáica como aleraiva pedagógica para o esio e a apredizagem da Maemáica, bem como algumas aividades de Modelagem que coemplam idéias relacioadas à fução. Nesa perspeciva, realizamos, iicialmee, algumas cosiderações sobre a Modelagem Maemáica o âmbio da Educação Maemáica. Em seguida, abordamos um ema aual e presee o coidiao dos aluos a emissão de dióxido de carboo e a euralização dese em relação a população brasileira por meio da Modelagem Maemáica. Nesas aividades, são discuidos coceios maemáicos ais como fução do primeiro grau, fução expoecial e fução composa, coeúdos eses abordados, pricipalmee, o primeiro ao do Esio Médio. Palavras-chave: Modelagem Maemáica; Esio e Apredizagem; Fuções. 1. Irodução Esiar Maemáica implica em buscar propiciar o desevolvimeo de capacidades ais como a percepção, a visualização, o recohecimeo, a ideificação, as defiições, a argumeação, o espírio críico, de modo a possibiliar aos aluos cosruírem apredizagem. Nessa perspeciva, um dos objeivos dos educadores maemáicos é fazer com que o aluo apreda a Maemáica para er um comporameo aivo e críico a sociedade em que vive. Para isso, o campo da Educação Maemáica apresea discussões em oro de ovas aleraivas pedagógicas. Tais aleraivas pedagógicas são cosruídas free ao radicioalismo comumee praicado em ossas escolas. São elas: Eomaemáica, Resolução de Problemas, Hisória da Maemáica, Jogos Maemáicos e Modelagem Maemáica, ere ouras. 1 Alua do curso de Especialização em Educação Maemáica UEL. 2 Aluo do Douorado em Esio de Ciêcias e Educação Maemáica UEL.

2 2 Ao observar o coidiao, os deparamos com diversas siuações que poderiam ser ierpreadas e compreedidas uilizado a Maemáica como isrumeo de aálise e reflexão, ais como: crescimeo populacioal, cuso de um produo, lucro ao admiisrar uma empresa, localização de edereços, culivo de plaas e aimais, previsão do empo, coagem, siuações políicas e sociais e ec. Esa relação do coidiao do aluo com os coceios maemáicos apresea a Maemáica Escolar de forma sigificaiva e pode levar os aluos a refleirem sobre qual ou quais decisões omar em relação à siuação esudada. Para isso, pode acoecer um processo que rasforma a siuação esudada (uma parcela da realidade) em uma liguagem maemáica, ou seja, um modelo maemáico. Ese processo recebe o ome de Modelagem Maemáica. Nese rabalho uilizaremos a Modelagem Maemáica como aleraiva pedagógica e por meio dela desevolveremos aividades relacioadas ao ema Meio Ambiee, ema presee e comum as aividades escolares e a vida dos aluos. 2. Modelagem Maemáica a Educação Maemáica Quado o assuo é a Maemáica, observa se, muias vezes, uma rejeição por pare dos aluos, os quais geralmee quesioam para que serve a maemáica?, ode vou usar?, se ão vou usar para que apreder?, e aida comeam ão goso, Nuca apredi, ão vai ser agora que aprederei cosruido em algus casos um bloqueio quao a Maemáica. Porém, ao observar o coidiao, os deparamos com diversas siuações que poderiam ser ierpreadas e compreedidas uilizado-se a maemáica como isrumeo de aálise e reflexão, ais como: crescimeo populacioal, cuso de um produo, lucro ao admiisrar uma empresa, localização de edereços, culivo de plaas e aimais, previsão do empo, coagem, siuações políicas e sociais e ec. Esas siuações podem ser ierpreadas uilizado-se para isso uma esruura maemáica, ou aida, um modelo maemáico da siuação, cosruído a parir de uma parcela da realidade. Para TAVARES (1996), o modelo é uma forma de represear os elemeos fudameais de uma pare da realidade aravés de objeos e relações maemáicas. Para Bassaezi (2002), um modelo maemáico é um cojuo de símbolos e relações maemáicas que represeam de alguma forma o objeo esudado, ou seja,

3 represea de alguma forma uma parcela da realidade que esa sedo esudada. Como afirma D Ambrosio (1989, p.17) Os modelos maemáicos são formas de esudar e formalizar feômeos do dia-a-dia. Comparilhado da mesma liha de pesameo Dias (2005) saliea que, um modelo maemáico pode ser eedido como uma represeação da realidade. Ele coém uma série de simplificações que, a medida do possível, descreve e possibilia uma aálise da quesão em esudo. Também, pode ser aperfeiçoado de acordo com o efoque adoado e respoder de forma saisfaória aos aseios do modelador. Um bom modelo simplifica a realidade, suficieemee, a poo de permiir uma precisão da mesma e proporcioa a obeção de coclusões cosideráveis. (DIAS, 2005, p.27) 3 Ese processo de aálise de uma siuação por meio da Maemáica desde a escolha do ema aé a resposa fial ao problema, passado pela cosrução do modelo maemáico, recebe o ome de Modelagem Maemáica, a qual surge o âmbio da Educação Maemáica como uma aleraiva pedagógica para o esio e a apredizagem da Maemáica. Comparilham dese coceio diversos auores, dere eles BASSANEZI (2002) e BIEMBENGUT (2000). Para Bassaezi a Modelagem Maemáica é: [...] um processo diâmico uilizado para a obeção e validação de modelos maemáicos. E uma forma de absração e geeralização com a fialidade de previsão de edêcias. A modelagem cosise, essecialmee, a are de rasformar siuações da realidade em problemas maemáicos cujas soluções devem ser ierpreadas a liguagem usual. (BASSANEZI, 2002, p.24) Para Biembegu a Modelagem Maemáica é: [...] o processo evolvido a obeção de um modelo. Ese, sob cera ópica, pode ser cosiderado um processo arísico, viso que, para elaborar um modelo, além de cohecimeo de maemáica, o modelador deve er uma dose sigificaiva de iuição e criaividade para ierprear o coexo, saber discerir que coeúdo maemáico melhor se adapa e ambém er um seso lúdico para jogar com as variáveis evolvidas (BIEMBENGUT, 2002, p.12) Podemos cosiderar, porao, que a aividade de Modelagem cosise em cosruir um modelo maemáico sobre uma siuação real a qual se quer esudar e rabalhar com ese modelo de maeira a ober dados sigificaivos para ierprear eses dados a fim de respoder a siuação apreseada iicialmee.

4 D Ambrosio argumea que: Aravés da Modelagem Maemáica o aluo se ora mais cosciee da uilidade da maemáica para resolver e aalisar problemas do diaa-dia. Esse é um momeo de uilização de coceios já apreedidos. É uma fase de fudameal imporâcia para que os coceios rabalhados eham um maior sigificado para os aluos, iclusive com o poder de orá-los mais críicos a aálise e compreesão dos feômeos diários. (D AMBROSIO,1989, p.17) 4 Coclui-se, eão, que a Modelagem Maemáica é uma aleraiva ieressae quado se visa uma apredizagem maemáica diâmica, coexualizada e de formação críica do esudae. Por isso, apreseamos aividades relacioadas ao ema efeio esufa, relacioado coeúdos como: Fução Liear, fução Expoecial e fução Composa. 3. Uma proposa de Modelagem Maemáica A Educação em papel essecial o desevolvimeo da sociedade, a medida em que se dedica à formação de aluos paricipaivos, críicos e reflexivos e, ese seido, a Modelagem Maemáica é uma aleraiva para o esio da Maemáica que coribui para essa formação. Com a ieção de discuir aividades de Modelagem Maemáica, apreseamos rabalhos relacioados ao ema Meio Ambiee, mais especificamee, procuraremos respoder ao problema: quaas árvores devem ser plaadas, para euralizar o aumeo de dióxido de carboo emiido de 2007 para 2008, pela população brasileira. Para respoder a esa quesão procuraremos respoder, aes, as seguies quesões: Qual o crescimeo populacioal brasileiro os úlimos aos? Quao a população brasileira emie de dióxido de carboo por ao? 3.1 Desevolvimeo Aualmee, são veiculados pelos meios de comuicação cosaes e desasrosos acoecimeos relacioados a feômeos aurais, dos quais pare é coseqüêcia do Efeio Esufa. Mas, o que é o efeio esufa? Segudo iformações obidas o sie ciêcia e química :

5 Efeio esufa é um feômeo que sempre exisiu e sempre foi um regulador da emperaura da erra. Sem o efeio esufa com cereza as emperauras médias da Terra seriam muio baixas e dificularia a exisêcia de muias formas de vida. Porém, o efeio esufa em se orado cada vez mais ieso devido à poluição ambieal provocada pelo homem, aravés da queima de combusíveis fósseis como derivados de peróleo, carvão e pela queima de maérias orgâicas como madeiras, vegeais e ec. Ese efeio esufa idesejável em alerado cosideravelmee a emperaura do globo. O efeio esufa cosise a reeção de calor por gases como o dióxido de carboo, meao, CFCs e ouros. Sedo o pricipal resposável pelo efeio esufa o dióxido de carboo. Como fucioa: 1) Os raios solares aigem a Terra; 2) Pare dos raios refleem a amosfera (camada mais superior - esraosfera) e reoram para o espaço; 3) Pare dos raios aigem a crosa erresre (aigem o solo, rios, mares, casas, árvores e ec.); 4) Eses raios aquecem a maéria do solo, rios, mares, casas e ec. e são coveridos em calor pela vibração dos áomos e moléculas; 5) Eses áomos e moléculas aquecidos, emiem raios ifravermelhos, os quais ão exergamos; 6) Eses raios ifravermelhos ão coseguem sair da Terra para o espaço, porque os gases de efeio esufa, pricipalmee o dióxido de carboo, impedem sua passagem; 7) Sedo assim quao mais dióxido de carboo a amosfera mais calor fica reido e a Terra fica mais quee <dispoível em: capurado em 10/12/2008, às 17h 26mi> No Brasil, assim como em ouros países, exisem projeos sedo desevolvidos sobre crédio de carboo, ou seja, coforme a emissão de dióxido de carboo desse país, o plaio de árvores pode ser uilizado para suprir essa emissão e eviar o efeio esufa idesejável. 5 Com essas iformações poderão surgir em sala de aula algus quesioameos: Quaos são os habiaes brasileiros aualmee? Qual é o crescimeo populacioal brasileiro os úlimos aos? Quao dióxido de carboo emie em média um cidadão brasileiro? Quao a população brasileira emie de dióxido de carboo por ao? Quaas árvores devem ser plaadas, para euralizar o aumeo de dióxido de carboo emiido de 2007 para 2008, pela população brasileira?

6 6 Buscado respoder ao úlimo dere os problemas acima apreseados quaas árvores devem ser plaadas para o aumeo de dióxido de carboo de 2007 para 2008, pela população brasileira opamos por ivesigar as quesões aeriormee apreseadas ª aividade Qual o crescimeo populacioal brasileiro os úlimos aos Segudo iformações obidas juo ao IBGE Isiuo Brasileiro de Geografia e Esaísica, a população brasileira em aumeado o decorrer dos úlimos aos como segue: Tabela 1 Quaidade de habiaes brasileiros ao a ao Ao Hab/milhões = ,37 = ,39 = ,99 = ,06 = ,6 = ,23 = ,82 Foe: IBGE As variáveis uilizadas podem ser: empo em aos (Variável idepedee) e Q quaidade de habiaes exisees o Brasil (Variável depedee). Formulação das hipóeses Tabela 2 Razão ere o úmero de habiaes brasileiros de dois aos cosecuivos. Razão ere o úmero de ANO Hab/milhões habiaes de dois aos cosecuivos = ,37 = ,39 1, ,02 = ,99 1, ,01 = ,06 1, ,03 = ,6 1, ,01 = ,23 1, ,01 = ,82 1, ,01 De acordo com os resulados obidos a erceira colua da abela podemos apresear a seguie hipóese:

7 7 H 1 = A razão ere o úmero de habiaes de um deermiado ao e do ao imediaamee aerior é cosae, ou seja, o úmero de habiaes de um deermiado ao é proporcioal ao úmero de habiaes do ao imediaamee aerior. Dedução do modelo Como a razão ere o úmero de habiaes de um deermiado ao e do ao imediaamee aerior é cosae, emos que Q +1 = k Q, ode Ν e k é uma cosae de proporcioalidade. Com isso, obemos a equação a seguir: Q k. Q =. + 1 Aribuido valores para podemos geeralizar uma expressão que represee a siuação esudada: para =0, emos Q 1 = k.q. 0 2 para =1, emos Q 2 = k. Q1 = k.( k. Q0 ) = k. Q0 2 3 para =2, emos Q 3 = k. Q2 = k.( k. Q0 ) = k. Q0 3 4 para =3, emos Q 4 = k. Q3 = k.( k. Q0 ) = k. Q0 4 5 para =4, emos Q 5 = k. Q4 = k.( k. Q0 ) = k. Q0... para, emos Q = k.q (1) 0 Nese momeo, pode se abrir uma discussão em sala sobre qual o coeúdo que podemos relacioar com a expressão (1): fução expoecial ou aida, uma progressão geomérica. Para deermiar os valores de k e Q0, podemos uilizar os pares ordeados da abela (1; 169,37) e (7; 189,82). Logo, o modelo obido é: Q = 1,02.166,05, ode Ν e =-2000, sedo o ao (Modelo I)

8 8 Podemos aida cosruir ouro modelo para a siuação, ambém expoecial, realizado, para isso, a liearização dessa expressão expoecial e um ajuse liear por meio do Méodo dos Míimos Quadrados. Logo: Q be a. = (2) a a lq = l( be ) lq = lb + l( e ) l Q = lb + a. Cosideraremos l Q = z e l b = β, obedo a rea auxiliar para deermiar a fução expoecial: z = β + a. (3) Uilizado o Ajuse liear, por meio do Méodo dos Míimos Quadrados, precisaremos de iformações auxiliares. Esas são apreseadas a abela a seguir: usamos: Tabela 3 Dados auxiliares para a aplicação do Méodo dos Míimos Quadrados. Número real i =-2000 de habiaes z i =l Q i i^2 x i *z i (milhões) - Q i 1 169,37 5,13 1 5, ,39 5, , ,99 5, , ,06 5, , ,6 5, , ,23 5, , ,82 5, ,72 Soma= 36, ,98 Para deermiar o valor de a e β pelo Méodo dos Míimos Quadrados,. i. zi i. zi a = e 2 2. ( i ) i 1 1 β zi a. = 1 1 i a 0,01928 e β 5, 117

9 Deermiados os valores de a e β, e subsiuido em (3), obemos a seguie equação liear: 9 z = 5, , Para usarmos uma fução liear, cosideramos ( l Q = z e l b = β ), logo: l b = β β b = e 5,117 b = e b 166, 83 Subsiuido os valores de a e b em (2), obemos o modelo II: Q = be a. Q = 166,83. e 0, ,0192 Q = 166,83.( e ) Ou seja, Q = 1,02.166,83, ode Ν e =-2000, sedo o ao (Modelo III) Na abela a seguir podemos verificar a validação dos rês modelos cosruídos: Tabela.4 validação dos modelos maemáicos da primeira siuação. Número Número de Número de real habiaes habiaes Número de habiaes ao habiaes (em milhões) dado (em milhões) dado (em milhões) dado (milhões) pelo modelo I pelo modelo II pelo modelo III ,37 169,37 169,99 170, ,39 172,76 173,39 173, ,99 176,21 176,86 176, ,06 179,74 180,40 180, ,60 183,33 184,01 183, ,23 187,00 187,69 187, ,82 190,74 191,44 190,98 Podemos represear esas fuções por meio de um gráfico. Para isso, uilizaremos o sofware graphmáica, como segue:

10 10 Gráfico 1 represeação gráfica dos rês modelos cosruídos. Modelo I em azul - Q = 1,02.166, 05 Modelo II em verde - Q = 1,02.166, 66 Modelo III em vermelho - Q = 1,02.166, 83 Pode se observar que os modelos maemáicos obidos apreseam praicamee mesmos parâmeros, o que implica gráficos quase sobreposos o plao caresiao ª aividade - Quao à população brasileira emie de dióxido de carboo por ao? Nese caso, foi ecessário o coao com algumas empresas de crédio de carboo, o Isiuo Brasileiro de Floresas e Carboo euro, que os idicou o sie da empresa carboo euro (2008), por meio do qual obivemos a seguie iformação: Um brasileiro emie em média por ao 22 oeladas de dióxido de carboo. 75% desse valor são emiidos pelas queimadas, porém faz pare do cálculo da média por brasileiro. Defiição das Variáveis As variáveis uilizadas para resolver os problemas são: q quaidade de habiaes exisees o Brasil o ao de esudo (Variável idepedee) e D

11 quaidade de dióxido de carboo emiido pela população brasileira um deermiado ao (Variável depedee). 11 Formulação das hipóeses H 1 = A emissão de Dióxido de Carboo depede do úmero de habiaes. H 2 = Cada habiae brasileiro emie, em média, por ao, 22 oeladas de dióxido de carboo. Dedução do modelo Ese modelo é cosiuído muliplicado a emissão média de dióxido de carboo por ao pelo oal de habiaes o ao de esudo. Assim, emos: D q = 22. q, ode q > 0 (expressão I) Nese momeo, pode se abrir uma discussão em sala sobre qual o coeúdo que podemos relacioar com a expressão (1) que foi ecorada: fução liear. Porém, como a variável idepedee q represea a população em deermiado ao, podemos subsiuí-la por uma fução que calcula a população em deermiado ao, modelo ese já cosruído a primeira aividade de Modelagem dese rabalho. Sedo assim, a variável idepedee passará a ser : empo (aos): Q = 1,02.166,66, ode = 2000, ode p 2001 (Equação II) Assim, subsiuido q (equação I) por D = 22.1,02.166,66 Q (equação II), emos que: O modelo que defie a emissão do dióxido de carboo é: = 3666,52.1,, ode Ν D 02 e =-2000, 2001 Ese procedimeo maemáico recebe o ome de composição de fuções ou, aida, a fução oação D Q ). ( D 02 = 3666,52.1, é cosiderada fução composa, podedo receber a Cosideremos o ao de 2008: D = 3666,52.1, 02 D 8 = 3666,52.1, 02 D = ,91 8

12 12 Logo, em 2008 a população brasileira emiiu aproximadamee 4 bilhões, 295 milhões e 910 mil de oeladas de dióxido de carboo. E em 2007: D = 3666,52.1, 02 D 7 = 3666,52.1, 02 D 4211, Em 2007, a população brasileira emiiu aproximadamee 4 bilhões, 211 milhões e 680 mil de oeladas de dióxido de carboo. Desa maeira cocluímos que o aumeo de emissão de dióxido de carboo de 2007 para 2008 foi: D 8 D7 = 4295, ,68 D D 84,23 milhões de oeladas. 8 7 = Mas quaas árvores seriam ecessárias para euralizar essa quaidade de dióxido de carboo? Esse é o osso próximo problema Aividade 3 Quaas árvores devem ser plaadas, para euralizar o aumeo de dióxido de carboo emiido de 2007 para 2008, pela população brasileira? No sie da empresa carboo euro (2008), foi obido a seguie iformação: O plaio de 2000 mil árvores euraliza aé 400 oeladas de dióxido de carboo. Defiição das Variáveis As variáveis uilizadas para resolver os problemas são: d quaidade de dióxido de carboo emiido o ao de esudo (Variável idepedee) e A quaidade de árvores que devem ser plaadas para euralizar o dióxido de carboo emiido pela população brasileira um deermiado ao (Variável depedee). Formulação das hipóeses: H 1 = A emissão de Dióxido de Carboo depede do úmero de habiaes. H 2 = se 2000 mil árvores euralizam 400 oeladas de dióxido de Carboo, eão 5 árvores euralizam 1 oelada.

13 13 Dedução do modelo Com base as iformações o próximo modelo maemáico se dará pela muliplicação do oal de dióxido de Carboo emiido pelo úmero de árvores que euralizam uma oelada de dióxido de carboo. A d = 5. d, ode d > 0 (expressão I) Obemos, assim, o modelo maemáico, ou seja, uma fução liear que represea a siuação. No eao, podemos, aida, calcular a quaidade de árvores a serem plaadas para euralizar a quaidade de emissão de dióxido de carboo, em fução do ao esudado, geeralizado a siuação. Na modelagem aerior, cosruímos um modelo que calcula a quaidade de emissão de dióxido de carboo por ao, como segue: = 3666,52.1, ode = 2000, sedo p 2001 D 02 Subsiuido d por D em A d = 5. d, eremos um modelo que dará a quaidade de árvores que euralizam uma quaidade de dióxido de carboo emiido em um ao, o que implica em realizarmos, ovamee, uma composição de fuções. A D ) = 5. ( D ) ( A( 3666,52.1,02 ) = ,52.1, 02 Tem-se, eão, o modelo maemáico: ( ) = 18332,6.1, ode Ν A 02 = 2000, sedo 2001 Com ele podemos resolver osso problema iicial: Quaas árvores devem ser plaadas, para euralizar o aumeo de dióxido de carboo emiido de 2007 para 2008, pela população brasileira? O oal de árvores ecessárias para euralizar o dióxido de carboo pela população brasileira em 2008 será: A ( ) = 18332,6.1,02 A ( 8) = 18332,6.1,02 A ( 8) = 21479,

14 14 Logo, êm se um oal de, aproximadamee, 21 bilhões, 479 milhões e 560 mil árvores. Para 2007 êm-se: A ( ) = 18332,6.1,02 A ( 7) = 18332,6.1, A ( 7) = 21058,39 E, esse caso, êm se um oal de, aproximadamee, 21 bilhões, 58 milhões e 390 mil árvores. Com esas iformações, podemos calcular o úmero de árvores que devem ser plaadas para euralizar o aumeo de dióxido de carboo emiido de 2007 para 2008, pela população brasileira: A ( 8) A(7) = 21479, ,39 A ( 8) A(7) = 421,17 milhões de árvores Porao, para euralizar o aumeo de dióxido de carboo emiido de 2007 para 2008, pela população brasileira, precisam ser plaadas cerca de 421 milhões de árvores. 4. Cosiderações fiais Nese rabalho procurou-se colocar em evidêcia a imporâcia da cosrução do cohecimeo maemáico pelo aluo equao se discue siuações presees o coidiao desse aluo. Procurou-se, coseqüeemee, apresear a Modelagem Maemáica como aleraiva pedagógica que possibilia o desevolvimeo do seso críico e a compreesão de coceios maemáicos um âmbio formaivo e sigificaivo. Esperamos que ese rabalho eha mosrado a odos os leiores possibilidades de esiar Maemáica de maeira sigificaiva e de modo a formar cidadãos críicos que saibam, quado preciso, lidar em siuações que uilizam de isrumeal maemáico para jusificar uma idéia. Acrediamos que esas aividades podem subsidiar o esio de fução expoecial, fução liear e fução composa, coeúdos eses que são, geralmee, esiados o primeiro ao do Esio Médio. Além disso, podem coribuir para o desevolvimeo de capacidades ais como a percepção, a visualização, o

15 15 recohecimeo, a ideificação, as defiições, a argumeação, o espírio críico, capacidades essas de fudameal imporâcia para odos os aluos, cidadãos cosciees e críicos que rasformam a sociedade em que vivem. 5. REFERÊNCIAS BASSANEZI, Rodey Carlos. Esio apredizagem com Modelagem Maemáica. Ediora Coexo. São Paulo, p. BIEMBENGUT, Maria S; HEIN, Nelso. Modelagem Maemáica o esio. São Paulo: Ediora Coexo, D AMBROSIO, Beariz S. Como esiar maemáica hoje? Temas e Debaes. SBEM. Ao II. N2. Brasília P DIAS, M.R. Uma experiêcia com Modelagem Maemáica a formação coiuada de professores Disseração de Mesrado Esio de Ciêcias e Educação Maemáica, Uiversidade Esadual de Lodria, Lodria. Em dia com o plaea, dispoível em: <hp:// capurado em 10/12/2008. O Efeio esufa, dispoível em: < capurado em 10/12/2008. TAVARES, F. Os Modelos Maemáicos e o processo de modelação maemáica. Milleium Revisa do Isiuo Superior Poliécico de Viseu..3, 2 ed., p.30-35,juho, 1996.