CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO: ÂNGULO DE VISÃO DAS CORES DO ARCO-ÍRIS

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1 CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO: ÂNGULO DE VISÃO DAS CORES DO ARCO-ÍRIS Profª. Drª. Vailde Bisogi UNIFRA Prof. Rodrigo Fioravati Pereira UNIFRA Prof. Cladio Timm Marques UNIFRA Prof. Claito Timm Marques UNIFRA Resumo Neste artigo objetiva-se descrever uma experiêcia de sala de aula, realizada a disciplia de Fudametos de Cálculo do Curso de Mestrado Profissioalizate em Esio de Física e de Matemática do Cetro Uiversitário Fraciscao UNIFRA, utilizado-se a Modelagem Matemática como metodologia de esio. O tema escolhido foi o âgulo de visão das cores do arco-íris. Com a utilização dos coceitos de geometria plaa, da trigoometria e da física, para o esio médio, e recursos computacioais foi possível estabelecer os âgulos de visão de todas as cores que compõem o arco-íris. A experiêcia realizada pode ser utilizada as aulas de Matemática do Esio Médio, como proposta didática. Com o resultado da experiêcia é possível iferir que a Modelagem Matemática, quado utilizada em sala de aula, pode cotribuir para a melhoria do processo de esio e apredizagem da Matemática. Palavras chave: arco-íris, Modelagem Matemática, Esio Médio. Itrodução A Matemática é uma ciêcia que está presete o dia a dia de todos os cidadãos. Na atureza ela aparece sempre de uma forma iterdiscipliar, pricipalmete, associada aos feômeos físicos, químicos e outros. Por outro lado, a escola a Matemática é esiada de forma desviculada dos feômeos que aparecem a atureza, como a questão do arco-íris. Propomos o presete trabalho o setido de cotribuir com a associação da Matemática à vida das pessoas em sala de aula. Nosso objetivo é descrever os resultados de

2 uma experiêcia cocreta realizada a disciplia de Fudametos de Cálculo, utilizado-se a Modelagem Matemática como metodologia de esio. O tema escolhido foi o feômeo físico do arco-íris. A partir do tempo escolhido a perguta proposta foi a seguite: quais os âgulos de visão das cores que compõem o arcoíris? Com dados sobre a refração e reflexão da luz, os meios de codução ar e água, foram obtidos os âgulos de visão de cada uma das suas cores. Modelagem Matemática A Modelagem Matemática é um método de ivestigação cietífica oriuda da matemática aplicada e, por isso mesmo, muito atiga. Ela evolve equipes de pesquisadores de diferetes áreas de cohecimeto, sedo que o objetivo maior é ecotrar um modelo que descrevesse determiados feômeos da atureza. A trasposição didática desse método de ivestigação para a sala de aula é recete e tem sido realizada por diferetes pesquisadores preocupados com o processo de esio e apredizagem da matemática. Existem várias cocepções sobre a modelagem, todas matedo como base a relação realidade/modelo/realidade. Na expressão de D`Ambrósio (2002) realidadereflexão sobre a realidade, ou seja, a criação de um modelo que auxilie o idivíduo o etedimeto, criação do modelo e ação sobre essa realidade. Desta maeira, o modelo deve permitir iferêcias capazes de trasformar a realidade. O modelo pode ser ecarado como uidade básica da Modelagem Matemática e se caracteriza por abordar um problema iicialmete ão matemático, por meio de estruturas matemáticas, a fim de delimitar, eteder, resolver e validar o modelo do problema iicial. As pesquisas em Educação Matemática defiem Modelagem Matemática sob diferetes perspectivas, quado tratada como uma opção didática da sala de aula. Para Bassaezi (2004, p.16), Modelagem Matemática é trasformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, iterpretado suas soluções a liguagem do mudo real. Para Burak (2004), Modelagem é uma metodologia de esio e o autor descreve os passos que devem ser seguidos: Escolha do tema: em osso caso o tema escolhido é o feômeo físico arcoíris. Essa é uma etapa que traz algumas tesões aos aluos/professores, pois, 316

3 muitas vezes, a tedêcia é escolher um tema de difícil modelação devido a sua amplitude ou complexidade. Pesquisa exploratória: essa etapa buscam-se dados para compreeder o tema proposto. Em osso caso, buscaram-se dados e iformações a área da física para compreeder o feômeo do arco íris. Levatameto dos problemas: os problemas surgem a partir dos dados e iformações obtidos a pesquisa exploratória. Em osso caso, buscou-se respoder a questão: quais os âgulos da visão das cores do arco-íris? Resolução dos problemas e desevolvimeto da matemática ecessária para a resolução do problema: ao colocar essa fase o desevolvimeto da matemática ecessária à compreesão do problema proposto, Burak (2004) deixa claro que o coteúdo matemático aparece como uma ecessidade para a resolução do problema. Em osso caso, os coteúdos ecessários para a resolução do problema evolvem a geometria plaa e a física em ível médio. Aálise crítica das soluções propostas: todo modelo apreseta um objetivo fora da matemática pura a qual lhe serviu de ferrameta. Estas são as etapas propostas por Burak (2004) e foram usadas esse trabalho. Essas etapas ão são estaques, mas podem ser modificadas ou tomadas em diferetes ordes, de acordo com as ecessidades da criação do modelo quado aplicado em outras perspectivas. Para Barbosa (1999), Modelagem Matemática é um ambiete de apredizagem em que os aluos são covidados a ivestigar, por meio da matemática, situações da realidade. Essas diferetes cocepções ão são atagôicas, pois ao se trabalhar a Modelagem a sala de aula, como metodologia de esio, pesquisas como ecotradas os trabalhos de Satos e Bisogi (2007) tem mostrado que cria-se um ambiete favorável à apredizagem. Nesse trabalho seguimos as etapas da Modelagem Matemática coforme descrito por Burak (2004). Como professores da Educação Básica e Superior, cocluímos que é importate que o professor experimete a metodologia ates de aplicá-la, para que possa coduzir com mais eficiêcia e seguraça as atividades propostas, as quais serão realizadas 317

4 por seus aluos. Nesta pesquisa pretede-se cotribuir sobre a utilização da Modelagem Matemática a sala de aula que pode ser usada por professores do esio médio. A experiêcia em ação A experiêcia foi realizada a disciplia de Fudametos de Cálculo do Curso de Mestrado Profissioalizate em Esio de Física e de Matemática da UNIFRA, composta de seis aluos que são professores da Educação Básica e Superior. Os aluos foram divididos em dois grupos de três aluos. Descreve-se aqui o trabalho desevolvido pelo grupo de aluos que escolheu o tema: arco-íris. Aspectos históricos O primeiro passo dado pelo grupo foi estudar os aspectos históricos da descoberta do arco-íris. A primeira explicação teórica precisa do arco-íris foi feita por Descartes em Sabedo que o tamaho das gotas de chuva ão parecia afetar o arco-íris observado, ele fez uma experiêcia icidido raios de luz através de uma grade esfera de vidro cheia d'água. Ao medir os âgulos que os raios emergiam, ele cocluiu que o primeiro arco era causado por uma úica reflexão itera detro da gota de chuva e que o segudo arco (arco-íris secudário) podia ser causado por duas reflexões iteras. Ele foi capaz de chegar aos seus resultados a partir da lei de refração e calculou corretamete os âgulos de ambos os arcos. Etretato, ele ão foi capaz de explicar as cores. Como se forma o arco-íris? Para o arco-íris ser visto, o sol deve estar brilhado uma parte do céu e as gotas de água existetes uma uvem, ou caido a forma de chuva, devem estar presetes a parte oposta do sol. Quado viramos de costa para o sol vemos o espectro das cores formado um arco. Todos os arco-íris seriam completamete redodos se o chão ão estivesse o camiho. 318

5 Por que e como isso pode ser explicado? Iicialmete, é preciso otar que o arco-íris é produzido por gotas de chuva que desviam parte da luz solar em direção aos ossos olhos. Podemos simplificar a aálise os restrigido ao estudo do desvio (ou espalhameto, falado em liguagem técica) da luz em uma úica gota d'água, que produz ela soziha um pequeo arco-íris. Decomposição da luz solar que atravessa um prisma, realizada por Newto O experimeto da decomposição da luz solar, realizada por Newto, é extraordiariamete simples. Um prisma de vidro é suficiete. Ao passar por um prisma, a luz solar, que é braca, decompõe as cores do arcoíris. No caso do arco-íris, são as gotículas de água que fazem o papel do prisma. Newto demostrou que, combiado adequadamete dois ou mais prismas, é possível decompor e recompor a luz braca. A separação é possível porque cada cor tem um ídice de refração diferete, isto é, apreseta um desvio diferete quado passa de um meio para outro. Podemos calcular a abertura agular dos raios do arco-íris mediate as leis da reflexão e da refração. A figura 1 mostra um raio de luz icidete uma gota de água esférica (A). O âgulo de refração que forma com a ormal θ 2 está relacioado ao âgulo de icidêcia θ 1 pela lei de Sell: ar.se θ 1 = água.se θ 2 319

6 Normal θ 1 Raio de luz icidete A θ 2 O Reflete θ 2 θ 2 Refrata β B β P φ d Refrata C FIGURA 1 - Descrição da icidêcia e refração de um raio solar em uma gota esférica. O raio refratado atige a parte posterior da gota em B. No poto B, o âgulo com a reta radial OB é θ 2 e o raio é refletido sob esse mesmo âgulo. O raio é refratado uma outra vez o poto C, ode emerge da gota. O poto P é a itersecção da trajetória iicial do raio icidete com a reta suporte do raio emergete. O âgulo φ d é o âgulo de desvio do raio. Este âgulo está relacioado com o âgulo β. φ d + 2β =, sedo que 2β é a abertura agular do arco-íris. Queremos relacioar o âgulo de desvio φ d ao âgulo de icidêcia θ 1. Pelo AOB, que é isósceles, temos: 2θ 2 + =, logo: = - 2θ 2 (1) Pelo AOP, temos: θ β = (2) Substituido (1) em (2) temos: θ θ 2 + β =, ficado com: β = 2θ 2 - θ 1 Levado a expressão acima, a equação φd + 2β = temos: 320

7 φ d = - 2β = - 2(2θ 2 - θ 1 ) = - 4θ 2 + 2θ 1 Para elimiar o θ 2 e se ter o âgulo de desvio φd, em termos do âgulo de icidêcia θ 1 temos que relacioar com lei de Sell: ar.se θ 1 = água.se θ 2 se θ θ 2 2 = ar = arcse.se θ ar água água 1.se θ 1 Na equação acima combiada com a lei de Sell, podemos elimiar o θ 2 e ficar com o âgulo de desvio φ d em termos do âgulo de icidêcia θ 1, como mostra a equação abaixo:. seθ ar 1 ϕ d = π - 4arc se + 2θ 1 água Assim, temos a equação que relacioa os raios que etram a gota sob um âgulo θ 1 e emergem da gota sob um âgulo φ d. Ressaltamos que ão são todos os raios que emergem da gota que formam o arco-íris, mas somete aqueles que etram sob um âgulo de desvio φ d míimo. Vamos ecotrar este desvio míimo: O gráfico mostra θ 1 x φ d, em radiaos, com ar = 1,004 e água = 1,3300: FIGURA 2 - Gráfico de θ 1 x φ d para a luz braca, com o cálculo do valor míimo obtidos pelo software Wiplot. 321

8 φ d míimo = 2,38586 rd, atigido em θ 1 = 1,04534 rad, em graus temos φ d míimo = 136,7 o, atigido em θ 1 = 59,89 o. Com esses valores, determiamos a abertura agular: 2β = - φ d míimo logo 2β = 180º - 136,7º = 42,3º. Assim, o observador deve estar a um âgulo de mais ou meos 42º em relação aos raios icidetes do sol, sob as gotículas de água, para poder exergar o arco-íris. Mas e as cores? As cocetrações de raios próximas ao âgulo míimo provocam o feômeo da dispersão da luz, tal como Newto o descreveu, e é somete em toro do âgulo míimo que a gotícula de água fucioa como o prisma de Newto. A separação das cores é coseqüêcia do ídice de refração da água ser ligeiramete depedete do comprimeto de oda da luz, assim, os arredores do âgulo míimo, os diferetes comprimetos de oda das cores, possuem ídices de refração a água diferetes da luz braca. Desta forma é possível calcular a agulação de cada cor cohecidos os respectivos ídices de refração a água, como mostra a figura 4. FIGURA 3 Ídices de refração de cada uma das cores etre os meios ar/água. Fote: em 07/08/2008. Embora o ídice de refração da luz seja sempre igual para os diversos meios, as cores que compõem a luz braca têm ídices levemete variados quado icidete sobre o extremo da gota, o que justifica a dispersão da luz braca as diversas cores do arco-íris. 322

9 Da tabela acima, temos: vermelho = 1,33141 laraja = 1,33322 amarelo = 1,33472 verde = 1,33659 azul = 1,34055 idigo = 1,34235 violeta = 1,34451 De forma aáloga ao que foi feito para a luz braca, a luz vermelha, os trás os seguites dados: φ d = 2,38676 rad = 136,75º 2β = 43,24º âgulo de visualização da luz vermelha Procededo da mesma maeira para as demais cores, obtemos os seguites resultados: COR φ d 2β = 180 o - φ d Vermelho 136,75º 43,25º Laraja 137,01º 42,98º Amarelo 137,24º 42,76º Verde 137,5º 42,49º Azul º 41,92º Ídigo 138,34º 41,65º Violeta 138,65º 41,34º TABELA 1 - Âgulo de visualização (2β) de cada uma das cores a partir de φ d. O presete trabalho trouxe uma possibilidade de tratameto computacioal das fuções da ecessidade de se calcular o seu valor míimo. O computador, esse caso, possibilita o trabalho, o Esio Médio, de um coteúdo comumete tratado o Esio Superior, que são os máximos e míimos de fução ão quadrática. Pesado o Esio Superior, será feito o cálculo do valor míimo usado as ferrametas da derivada. Seja a fução, 323

10 φ d = - 4 ar.se θ1 arc se + 2θ 1 água Para achar o desvio míimo basta ecotrar a d(φ d )/d(θ 1 ) = 0 e usar os métodos de aálise de potos de máximo e míimos de fuções.assim, derivado ecotramos que cos θ = 0, o que sigifica que,aproximadamete, o valor de 0 θ = 59. Cosiderações Fiais O trabalho evolveu todos os participates do grupo que são professores da Educação Básica e Superior. Como professores, acreditamos que é possível trabalhar esta proposta metodológica a sala de aula, pois coseguimos viveciar, em atividades desse tipo, mudaça dos aluos de uma atitude passiva para ativa e comprometidos com todo o trabalho que foi realizado. Houve, de fato, um trabalho colaborativo. Acreditamos que o uso da Modelagem Matemática ão é a úica solução para as mudaças ecessárias o esio de Matemática, mas é uma estratégia que pode e deve ser utilizada, em algus mometos a sala de aula e em diferetes íveis de esio. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBOSA, J. C. O que pesam os professores sobre a Modelagem Matemática? Zetetiké, Campias, v.7,.11, p.67-85, BASSANEZI, Rodey Carlos. esio-apredizagem com Modelagem Matemática São Paulo: Cotexto, 2004., Esio-apredizagem com Modelagem Matemática: Uma ova estratégia. São Paulo: Cotexto, BISOGNIN, V. Modelagem Matemática a Sala de Aula: Experiêcias a Educação Básica e Superior, (Apresetação de Trabalho/Coferêcia ou palestra). BURAK, Dioísio. Modelagem matemática e a sala de aula. I: Ecotro Paraaese de Modelagem em Educação Matemática, 1., Lodria. Aais. Lodria: UEL, D AMBROSIO, U.. Etomatematica. 1. ed. Bologa: Pitagoras Editrice, v p. 324

11 SANTOS, L. M. M.; BISOGNIN, V. Experiêcias de esio por meio da Modelagem Matemática a Educação Fudametal. I: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. de L. (orgs). I: BARBOSA, J. C. et al. (Org). Modelagem a Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacioais. Recife: SBEM, 2007, pp

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