ÁLGEBRA DE MATRIZES. Baseado no Capítulo 2 do livro: Linear Models in Statistics, A. C. Rencher, 2000 John Wiley & Sons, New York.

Transcrição

1 ÁGEBRA DE ATRIZES Bseo o Cpíulo o livro: ier oels i Sisics, A. C. Recher, Joh Wiley & Sos, New York. eril prepro pelo Prof. Dr. Césr Goçlves e im E-mil: ceglim@usp.r DCE/ESAQ USP Fevereiro e 7

2 Í N D I C E.. rizes e veores..... rizes, veores e esclres Igule e rizes riz Trspos Algus ipos especiis e mrizes..... Operções com mrizes Aição e us mrizes Prouo e us mrizes Som Dire Prouo ireo ou e Kroecker Poêci e mriz qur rizes pricios Poso (rk) e um mriz Ivers e um mriz rizes posiivs efiis Sisems e equções Ivers geerliz Defiição e Propriees Iverss Geerlizs e Sisems e Equções Deermies Veores orogois e mrizes Trço e um mriz..... Auovlores e uoveores..... Defiição Fuções e um mriz Prouos rizes simérics riz posiiv efii e posiiv semiefii rizes iempoees Derivs e fuções lieres e forms quráics Referêcis cis o exo is e exercícios iciois... 5 Apêice. Iroução o uso o proc iml eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

3 .. ATRIZES E VETORES... rizes, veores e esclres. Um mriz é um rrjo regulr e úmero ou e vriáveis em lihs e colus. Nesse exo esremos cosiero mrizes e úmeros reis, que serão eos por lers miúsculs em egrio. Os seus elemeos serão grupos ere colchees. Por exemplo: A ; B 9 ; X 5 6 Pr represer os elemeos mriz X como vriáveis, ós usmos: X (x ij ) x x x x A oção X (x ij ) represe um mriz por meio e um elemeo ípico. O primeiro íice iic lih e o seguo íice ieific colu. Um mriz geéric X em lihs e p colus. A mriz X o Exemplo em lihs e p colus e ós izemos que X é, ou que imesão e X é. Pr iicr imesão mriz, poemos usr X ou X ( x ). Um veor é um mriz com um úic colu e é eoo por lers miúsculs, em egrio. Os elemeos e um veor são muis vezes ieificos por um úico íice, por exemplo, y y y y Gerlmee o ermo veor esá ssocio um veor colu. Um veor lih é expresso como o rsposo o veor colu, como por exemplo, y x x x x y [, y, y] x x x x y [ y y ] (A rspos e um mriz será efii mis ie). y Geomericmee, um veor e elemeos esá ssocio um poo o espço -imesiol. Os elemeos o veor são s coores o poo. Em lgums siuções, ós esremos ieressos em clculr: (i) isâci () origem o poo (veor), (ii) isâci () ere ois poos (veores), ou (iii) o âgulo (θ) ere s lihs forms origem é os ois poos. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

4 No coexo e mrizes e veores, um úmero rel é chmo e um esclr. Assim, os úmeros,5, -9 e, são esclres. Um vriável represeo um esclr será eo por um ler miúscul e sem egrio. Por exemplo: c, iic um esclr.... Igule e rizes Dus mrizes (ou ois veores) são iguis se êm mesm imesão e se os elemeos e posições correspoees são iguis. Por exemplo: ms riz Trspos Se ós rocrmos e posição s lihs e s colus e um mriz A, mriz resule é coheci como rspos e A e é eo por A ou A. Formlmee, se A p ( ij ) eão su rspos é por: p A' A ( ij ) ( ji ) (.) Por exemplo: Se A 7 A é su rspos. 7 A oção ( ji ) iic que o elemeo i-ésim lih e j-ésim colu e A é ecoro j-ésim lih e i-ésim colu e A. Se A é p eão A é p. Teorem..A. Se A é um mriz qulquer, eão (A ) A (.) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

5 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im.. Algus ipos especiis e mrizes Se rspos e um mriz A é mesm mriz origil, iso é, se A A ou, equivleemee, ( ji ) ( ij ), eão izemos que mriz A é siméric. Por exemplo, A é siméric. É eviee que o mriz siméric é qur. A igol e um mriz qur p A p ( ij ) cosise os elemeos,,, pp, ou sej, ig(a) ( ii ). No exemplo erior, igol mriz A é form pelos elemeos, e 9. Se mriz A coém zeros em os s posições for igol el é um mriz igol, como por exemplo, D 8 que mém poe ser eo como D ig(8,,, ) Nós usmos oção ig(a) pr iicr mriz igol com os mesmos elemeos igol e A, como por exemplo, A ig(a) 9 Um mriz igol com o úmero em c posição su igol é chm e mriz ieie e é eo por I, como por exemplo, I () ig(,, )

6 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im 5 Um mriz rigulr superior é um mriz qur com zeros ixo igol, como por exemplo, T Um veor e s é eoo por j: j () Um mriz qur e s é eo por J, como por exemplo, J ( ) Nós eomos um veor e zeros por e um mriz e zeros por Ο ou Φ, por exemplo, (), Ο ( ) Φ... OPERAÇÕES CO ATRIZES.. Aição e us mrizes Se us mrizes êm mesm imesão, su som é ecor icioo os elemeos correspoees. Assim, se A ( p) e B ( p), eão C A + B mém é p e é ecor como C (c ij ) ( ij + ij ). Por exemplo,

7 A ifereç D A B ere s mrizes A e B é efii similrmee: D ( ij ) ( ij ij ). Dus propriees impores ição e mrizes são s seguir: 6 Teorem.A. Se A e B são p, eão: (i) A + B B + A (ii) (A + B) A + B (.) (.9).. Prouo e us mrizes Pr que o prouo AB e us mrizes sej possível, o úmero e colus mriz A eve ser igul o úmero e lihs e B. Nese cso, izemos que s mrizes A e B são coformes. Eão, o (ij)-ésimo elemeo o prouo C AB é efiio como: c ij ik kj (.) k que é igul à som os prouos os elemeos i-ésim lih e A pelos elemeos j-ésim colu e B. Assim, ós muliplicmos os s lihs e A por os s colus e B. Se A é ( m) e B é (m p) eão C AB é ( p). Por exemplo, Eão A B C B A D A ( ) 6 5 ()() + ()() + ()() ()() + (6)() + (5)() e B ( ) 6 8 ()() + ()(6) + ()(8) 8 ()() + (6)(6) + (5)(8) 9 Se A é m e B é m p, oe p, eão o prouo AB é efiio, ms BA ão é efiio. Se A é p e B é p, eão AB é e BA é p p. Nese cso, cermee, AB BA, como ilusro o exemplo erior. Se A e B são eão AB e BA êm o mesmo mho, ms, em gerl: AB BA (.) A mriz ieie I () é o elemeo euro muliplicção e mrizes. Iso quer izer que, se A é eão AI IA A. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

8 A muliplicção e mrizes ão é comuiv e lgums mipulções fmilires com úmeros reis ão poem ser feis com mrizes. Ereo, muliplicção e mrizes é isriuiv em relção à som ou surção: A(B ± C) AB ± AC (.) (A ± B)C AC ± BC (.) Uso (.) e (.) ós poemos expir prouos como (A B)(C D): (A B)(C D) (A B)C (A B)D AC BC AD + BD (.5) A muliplicção evolveo veores segue s mesms regrs s mrizes. Supoh A ( p), (p ), c (p ) e ( ). Eão: A é um veor colu A é um veor lih e imesão p c é um esclr correspoeo à som e prouos c é um mriz p p c é um mriz p Dese que c é um som e prouos (um esclr!) em-se que c c : A mriz c é por c c + c + + p c p c c + c + + c p p c c (.6) c c c c p [ ] Similrmee: [ p ] p c c c + p c c c p + + O c c c p p i p 7 (.7) i (.8) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

9 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im 8 p [ p ] p p p p p O (.9) Assim, é um som e quros e é um mriz qur e siméric. A riz qur som e quros os elemeos e um veor p é igul à isâci origem o poo e é coheci como orm euclii, ou o comprimeo o veor : comprimeo e ' p i i (.) Se j é um veor e s como efiio em (.6), eão por (.8) e (.9), ós emos que: j j, jj O J ( ) (.) oe J é um mriz qur e s como ilusr em (.7), Se é um veor e A é um mriz p, eão j j i i (.) j A [ ] i ip i i i i e Aj j j j j j j (.) Assim, j j é som os elemeos em, j A coem s soms s colus e A e Aj coem s soms s lihs e A. Noe que em j, o veor j é ; em j A, o veor j é e em Aj, o veor j é p.

10 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im 9 Exemplo. Sej mriz A e o veor 8 5 eão: i) j'a [ ] [ ] 8 8 (ois s colus e A) ii) Aj (ois s lihs e A) iii) j [ ] 8 5 j [ ] (ol os elemeos e ) O prouo e um esclr por um mriz é oio muliplico-se c elemeo mriz pelo esclr: ca (c ij ) m m m c c c c c c c c c O. (.) Dese que c ij ij c o prouo e um esclr por um mriz é comuivo: ca Ac (.5) A rspos o prouo e us mrizes é igul o prouo s rsposs em orem revers. Teorem.B. Se A é p e B é p m, eão: (AB) B A (.6) Prov: Sej C AB. Eão por (.), emos que C (c ij ) p k ik kj Por (.), rspos e C AB é por:

11 (AB) C (c ij ) (c ji ) p k jk ki p k ki jk B A. Pr ilusrr os pssos ess prov, vmos usr s mrizes A e B : AB (AB) (AB) B A Corolário. Se A, B e C são coformes, eão (ABC) C B A. Exemplo. Sej y [y, y,, y ] um veor e pesos e frgos e core. Pr clculr méi e vriâci os pesos esses frgos, ós usmos: y y i s ( y i y) i i ricilmee, méi poe ser clcul por y j y, oe j é um veor e s e j j. Pr clculr vriâci precismos, primeirmee, clculr o veor e esvios: y y y j y y j j'y y jj y y Jy I J y Oe I é mriz ieie e J é um mriz e s. Pr clculr som e quros e esvios fzemos: eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

12 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im ( ) i y i y y I J J I y y J I J I y y IJ I'I I J' + J'J y s J J, I I I, IJ J, J I J J, j j e J J j jj j J. Eão: ( ) i y i y y J I + J y y J I + J y y J I y Eão, vriâci poe ser clcul por: s ( ) i y i y y J I y' Supoo que A é m e B é m p, sej i i-ésim lih mriz A e j, j- ésim colu mriz B, e l form que: A m m m O, B mp m m p p O [,,, p ] Eão, por efiição, o (ij)-ésimo elemeo e AB é i j : AB p p p O ),,, ( ),,, ( ),,, ( p p p B B B B (.7) A primeir colu e AB poe ser express em ermos e A como A

13 De form álog, segu colu e AB é A e ssim por ie. Assim AB poe ser escri em ermos s colus e B: AB A[,,, p ] [A, A,, A p ] (.8) Qulquer mriz A poe ser muliplic pel su rspos pr formr A A ou AA. Algums propriees esses prouos são s o próximo Teorem. Teorem.C. Sej A um mriz p. Eão A A e AA êm s seguies propriees: (i) A A é p p e é oi como prouo s colus e A. (ii) AA é e é oi como prouo s lihs e A. (iii) Ams s mrizes A A e AA são simérics. (iv) Se A A Φ eão A Φ. Sej A um mriz qur e D ig(,,, ). No prouo DA, i-ésim lih e A é muliplic por i e em AD, j-ésim colu e A é muliplic por j. Por exemplo, se, ós emos: DA AD DAD (.9) (.) (.) Vle or que DA AD. Ereo, o cso especil oe mriz igol é mriz ieie, (.9) e (.) emos: IA AI A (.) Se A é regulr, (.) coiu vleo, ms s ieies s us igules são e imesões iferees. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

14 Se A é um mriz siméric e y é um veor, o prouo: + y Ay ii y i ij yi y j (.) i i j é chmo e form quráic. Se x é, y é p e A é p, o prouo: x Ay ij xi y j (.) ij é chmo e form ilier.... Som Dire Ds s mrizes A (m ) e B (r s) efiimos su som ire como A A B C (m+r,+s) B Algums propriees som ire e mrizes: (i) A ( A) Φ (ii) Se s imesões são fvoráveis, eão: (A B) + (C D) (A + C) (B + D) (A B)(C D) AC BD Exemplo. Sejm s mrizes: Eão, A B A C 5, B A [ 5] 5 5 5, C [ 5] 5 Φ (Perce que A+C Φ)... Prouo ireo ou e Kroecker Ds s mrizes A (m ) e B (r s) efiimos o prouo ireo ou prouo e Kroecker e A por B como mriz C (mr s) e l form que: eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

15 C (mr s) A B m B B B m B B B O B B mb Algums propriees ieresses o prouo ireo e mrizes: (i) A B B A, em gerl (ii) Se u e v são veores, eão u v v u vu. (iii) Se D () é um mriz igol e A é um mriz qulquer, eão: (iv) Se s imesões são fvoráveis D A A A A (A B)(C D) AC BD Exemplo. Sejm s mrizes: Eão A B 9 A ( ) , B ( ), y ( ) 5 6, B A A y, y A..5 Poêci e mriz qur D um mriz qur A e um úmero k Z (cojuo os úmeros ieiros e posiivos), efiimos k-ésim poêci mriz A como: k A AAA A k vezes eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

16 Em relção à su segu poêci, um mriz qur A, será chm e: (i) iempoee, se (ii) ilpoee, se (iii) uipoee, se A A. A Φ. A I. 5 Teorem. Se P () é um mriz iempoee e se I () é mriz ieie e orem, eão mriz I P é iempoee... ATRIZES PARTICIONADAS uis vezes é coveiee pricior um mriz em sumrizes. Por exemplo, um prição e um mriz A em quro sumrizes (qurs ou regulres) e imesões propris, poe ser iic simolicmee como: A A A Pr ilusrr, sej mriz A ( 5) pricio como: Oe: 7 A A A 7 A A A A A, A, A 7 e A 5 6 Se us mrizes A e B são coformes, e se A e B são pricios e l form que s sumrizes sejm proprimee coformes, eão o prouo AB poe ser ecoro uso meir usul e muliplicção (lih-por-colu) eo s sumrizes como se fossem elemeos úicos. Por exemplo: AB A A A A B B AB + AB AB + AB AB + AB AB + AB B B (.5) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

17 Se B é roc por um veor pricioo em ois cojuos e elemeos e se A é correspoeemee pricio em ois cojuos e colus, eão (.5) fic: A [A, A ] A + A (.6) Oe o úmero e colus e A é igul o úmero e elemeos e e A e são similrmee coformes. 6 A muliplicção pricio em (.6) poe ser esei pr colus iiviuis e A e elemeos iiviuis e : A [,,, p ] p p p (.7) Assim, A poe ser express como um comição lier e colus e A, qul os coeficiees são os elemeos e. Nós ilusrmos (.7) o seguie exemplo: Exemplo 5. Sejm: A 6, A 7 Uso um comição lier e colus e A como em (.7), ós oemos: A ( ) Por (.8) e (.9), s colus o prouo AB são comições lieres s colus e A. Os coeficiees pr j-ésim colu e AB são os elemeos j-ésim colu e B. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

18 O prouo e um veor lih por um mriz, B, poe ser expresso como um comição lier s lihs e B, qul os coeficiees são os elemeos e : B [,,, ] (.8) Por (.7) e (.8), s lihs o prouo AB são comições lieres s lihs e B. Os coeficiees i-ésim lih e AB são os elemeos i-ésim lih e A. Filmee, omos que se um mriz A é pricio como A [A, A ], eão: A A [A, A ] A (.9). POSTO (RANK) DE UA ATRIZ Aes e efiirmos o poso (ou rk) e um mriz, ós irouziremos oção e iepeêci lier e epeêci. Um cojuo e veores {,,, p } é io liermee epeee (l..) se puermos ecorr um cojuo e esclres c, c,, c p (em oos ulos) e l form que: c + c + + c p p (.) Se ão ecorrmos um cojuo e esclres c, c,, c p (em oos ulos) que sisfçm (.), o cojuo e veores {,,, p } é io liermee iepeee (l.i.). Por (.7), poemos reescrever ess efiição seguie form: As colus e A são liermee iepeees se Ac implic em c. Oserve que se um cojuo e veores iclui um veor ulo, o cojuo e veores é liermee epeee. Se (.) é sisfei, eão exise pelo meos um veor i que poe ser expresso como um comição lier os ouros veores o cojuo. Ere veores liermee iepeees ão exisem reuâcis esse ipo. Defiição: O poso (rk) e qulquer mriz A (qur ou regulr) é efiio como o úmero e colus (lihs) liermee iepeees e A Poe-se mosrr que o úmero e colus l.i. e qulquer mriz é igul o úmero e lihs l.i. ess mriz. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

19 Se mriz A em um úico elemeo iferee e zero, com oos os emis elemeos iguis zero, eão rk(a). O veor e mriz Φ êm poso zero. Se mriz regulr A ( p) e poso p, oe p <, eão A em o mior poso possível e é io er poso colu compleo. 8 Em gerl, o mior poso possível e um mriz A ( p) é o mi(, p). Assim, em um mriz regulr, s lihs, s colus ou ms são liermee epeees. Nós ilusrmos esse fo o próximo exemplo. Exemplo 6. O poso mriz: A 5 é igul, porque s us lihs são liermee iepeees, pois ehum lih é múlipl our. Coseqüeemee, pel efiição e poso, o úmero e colus l.i. mém é. Poro, s rês colus e A são l.. e por (.) exisem coses c, c e c (em os uls) is que: c + c 5 + c Por (.7) ós escrevemos (.) form 5 c c c (.) ou Ac (.) A solução (ão rivil) pr (.) é por qulquer múliplo e c. Nese cso o prouo Ac, mesmo com A e c. Isso só é possível por cus epeêci lier os veores-colus e A. Nem sempre é fácil perceer que um lih (ou colu) é um comição lier e ours lihs (ou colus). Nesses csos poe ser ifícil clculr o poso e um mriz. Ereo, se coseguirmos oer form esclo côic (f.e.c.) mriz, o seu poso correspoerá o úmero e lihs (ou colus) que ehm o úmero como líer. A oeção f.e.c. e um mriz é fei rvés e operções elemeres em sus lihs (ou colus). eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

20 Defiição: São chms e operções elemeres s lihs mriz A (e e moo similr s sus colus): (i) rocr posição e us lihs mriz. (ii) muliplicr um lih mriz por um esclr k (l i kl i ). (iii) somr um lih mriz um múliplo e our lih (l i l i + kl j ). 9 Teorem: Um mriz A é equivlee por lihs um mriz B se B poe ser oi e A plico-se um seqüêci e operções elemeres sore s sus lihs. Defiição: Dizemos que um mriz A ( m) esá su form esclo côic ou reuzi se ocorrer simulemee que: () o primeiro elemeo ão ulo e c lih ão ul é o úmero (pivô); () o colu que em um pivô, em oos os ouros elemeos ulos; (c) o pivô lih i + ocorre à irei o pivô lih i (i,,, ). () os s lihs uls (forms ieirmee por zeros) ocorrem ixo s lihs ão uls. Defiição: Dizemos que um mriz esá form esclo se el sisfz s propriees (c) e (), ms ão ecessrimee s propriees () e (). Ds mrizes preses seguir, B ão esá form esclo, A e C esão s sus forms esclos côics e D, form esclo. A, B, C, D Teorem. D um mriz rel A ( p) é sempre possível oermos su form esclo côic (f.e.c.) rvés e operções elemeres. Assim, clculr o poso mriz A é o mesmo que clculr o poso f.e.c. e A, pois são equivlees. Poro, clculr o poso f.e.c. e A é o mesmo que cor o seu úmero e s pivôs. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

21 Exemplo 7. Vmos oer f.e.c. mriz A o Exemplo.(): A 5 (i) Fzeo l l 5l, ós oemos: ~ 5. (ii) Fzeo l l /, ós oemos: ~. / (iii) Fzeo l l + l, oemos: 7 / 6 ~ / / 7 / 6 Eão f.e.c. e A é mriz e o rk(a). / Defiição: Dizemos que um mriz qur esá form e Hermie (Gryill 969, p.) se sisfz s seguies coições: () é um mriz rigulr superior; () em pes vlores zero ou um su igol; (c) se em o vlor zero igol, os elemeos reses lih são zeros; () se em o vlor um igol, os elemeos reses colu em que prece o úmero um, são ulos. Defiição: Dizemos que um mriz qur esá form e Echelo (Gryill, 969, p.86) se el sisfz s coições e um form e Hermie e prese s lihs e zeros ixo s lihs que ão são uls. Nós poemos eseer (.) pr prouos e mrizes. É possível ecorr mrizes A e B, is que: AB (.) Por exemplo, 6 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

22 Nós mém poemos explorr epeêci lier s lihs ou colus e um mriz pr crir expressões is como AB CB, oe A C. Assim em um equção mricil, ós ão poemos, em gerl, ccelr um mriz e mos os los equção. Um exceção ess regr ocorre quo s mrizes evolvis são qurs e B é um mriz ão-sigulr (será efii Seção.5). Exemplo 8. Nós ilusrmos exisêci e mrizes A, B e C is que AB CB, oe A C. Sejm s mrizes: A, B 5, C AB CB 5 6. O eorem seguie á um cso gerl e ois csos especiis pr o poso o prouo e us mrizes. Teorem.A. (i) Se s mrizes A e B são coformes, eão rk(ab) rk(a) e rk(ab) rk(b). (ii) A muliplicção por um mriz ão-sigulr (ver Seção.5) ão ler o poso mriz, iso é, se B e C são ão-sigulres rk(ab) rk(ca) rk(a). (iii) Pr qulquer mriz A, rk(a A) rk(aa ) rk(a ) rk(a). Prov: (i) Tos s colus e AB são comições lieres s colus e A (ver um comeário o Exemplo.) coseqüeemee, o úmero e colus l.i. e AB é meor ou igul o úmero e colus l.i. e A, e rk(ab) rk(a). Similrmee, os s lihs e AB são comições lieres s lihs e B [ver comeário em (.8)] e í, rk(ab) rk(b). (ii) Se B é ão sigulr, exise um mriz Eão, e (i) ós emos que: - B l que BB - I [ver (.5) seguir]. rk(a) rk(ab - B ) rk(ab) rk(a). Assim ms s esigules orm-se igules e rk(a) rk(ab). Similrmee, rk(a) rk(ca) pr C ão-sigulr..5. INVERSA DE UA ATRIZ Um mriz qur e poso compleo é i ão-sigulr. Um mriz A, ão-sigulr, em ivers úic, eo por A, com propriee que: A A A A I (.5) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

23 Um lgorimo simples (que é rlhoso se imesão mriz é gre!) pr oeção ivers e um mriz cosise em juspor à mriz A um mriz ieie e mesm orem. Oper-se simulemee sore s lihs s us mrizes é que o lugr mriz A preç su f.e.c. (ese cso, um mriz ieie). Nesse momeo, o lugr mriz ieie esrá ivers A e A. Ou sej: [A I ] ~ ~ [I A ] Exemplo 9. Sej mriz qur: () Fzeo l l (/) l : () Fzeo l (/5)l : 7 5 / () Fzeo l l + ( 7) l : () Fzeo l (/) l : Eão A ~ 5 / / 7 / ~ / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 ~ / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 7 / / 5 ~ / 5 / 5 / 5 7 / ~ ~ A.6 / 5 / Se mriz B é ão-sigulr e AB CB, eão ós poemos muliplicr à irei por B os ois los igule, oeo: AB CB ABB CBB A C Impore: Se mriz B é sigulr ou regulr, el ão poe ser ccel os ois los igule AB CB. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

24 Similrmee, se A é ão-sigulr eão o sisem Ax c em solução úic: x A c (.7) Teorem.5A. Se A é ão sigulr, eão A é ão sigulr e su ivers poe ser ecor como: (A ) (A ) (.8) Teorem.5B. Se A e B são mrizes ão sigulres e mesm imesão, eão AB é ão-sigulr e (AB) B A (.9) Se mriz A é siméric, ão-sigulr e pricio como: A A A A A e se B A A (A ) A, eão supoo que (A ) e B exisem, ivers e A é por A A AAB AA AAB - (.5) B AA B Como um cso especil e (.5), cosieremos mriz ão sigulr: A A ( ) oe A é qur, é um esclr e é um veor. Eão se (A ) exise, ivers e A poe ser express como: A A - + A ( - ) ( A - ) A - A oe ( ) (A ). Como um ouro cso especil e (.5) ós emos: que em ivers A A A Φ A Φ A Φ A Φ - (.5) (.5) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

25 Se um mriz qur form B + cc é ão sigulr, oe c é um veor e B é um mriz ão sigulr, eão: (B + cc ) B B cc'b (.5) + c'b c.6 ATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS Forms quráics form irouzis em (.). Por exemplo, form quráic y + y + y + y y + 5 y y 6 y y poe ser express como: oe y + y + y + y y + 5 y y 6 y y y Ay y y y y, A 5 6. Ereo, ess form quráic poe ser express em ermos mriz siméric: (A + A ) 5 / 5 /. Em gerl, qulquer form quráic y Ay poe ser express como: A + A' y Ay y y (.5) Assim mriz-úcleo form quráic poe sempre ser escolhi como um mriz siméric (e úic!). Exemplo. A vriâci efii como s quráic e su mriz úcleo é siméric: A y' I J y y Ay é um form ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

26 As soms e quros ecors álise e regressão (Cpíulos 6 ) e álise e vriâci (Cpíulos ) poem ser expresss form y Ay, oe y é um veor e oservções. Tis forms quráics são posiivs (ou o míimo ãoegivs) pr oos os vlores e y. Se mriz siméric A em propriee e y Ay > pr oos os possíveis veores e oservções y, com exceção e y, eão form quráic y Ay é i posiiv efii e A é i mriz posiiv efii. Similrmee, se y Ay pr oos os possíveis veores e oservções y, com exceção e y, eão form quráic y Ay é i posiiv semiefii e A é i mriz posiiv semiefii. 5 Exemplo. Pr ilusrr um mriz posiiv efii, cosiere: A form quráic ssoci A y Ay y y y + y ( y,5 y ) + (5/) que é clrmee posiiv meos que y e y sejm mos iguis zero. Pr ilusrr um mriz posiiv semiefii, cosiere: que poe ser expresso como y Ay, com A ( y y ) + ( y y ) + ( y y ) Se y y, y y e y y, eão ( y y ) + ( y y ) + ( y y ). Assim y Ay pr qulquer múliplo e y [,, ]. Pr oos os ouros csos, y Ay > (com exceção e y ). y Teorem.6A. (i) Se A é posiiv efii, eão oos os elemeos ii su igol são posiivos. (ii) Se A é posiiv semiefii, eão oos ii. (Ver prov pági o livro o Recher) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

27 Teorem.6B. Sej P um mriz ão-sigulr. (i) Se A é posiiv efii, eão P AP é posiiv efii. (ii) Se A é posiiv semiefii, eão P AP é posiiv semiefii. (Ver prov pági o livro o Recher) 6 Corolário. Sej A (p p) um mriz posiiv efii e sej mriz B (k p) e poso k p. Eão mriz BAB é posiiv efii. Corolário. Sej A (p p) um mriz posiiv efii e sej mriz B (k p). Se k > p ou se rk(b) r, oe r < k e r < p, eão mriz BAB é posiiv semiefii. Teorem.6C. Um mriz siméric A é posiiv efii se e somee se exise um mriz ão sigulr P l que A P P. (Ver prov pági o livro o Recher) Corolário. Um mriz posiiv efii é ão-sigulr. Um méoo e forr um mriz posiiv efii A em um prouo P P é chmo e ecomposição e Cholesky [ver Seer (977, pág.-5)], pelo qul A poe ser foro e moo úico em A T T, oe T é um mriz ão sigulr e rigulr superior. Pr qulquer mriz qur ou regulr B, mriz B B é posiiv efii ou posiiv semiefii. Teorem.6D. Sej mriz B ( p). (i) Se rk(b) p, eão B B é posiiv efii. (ii) Se rk(b) < p, eão B B é posiiv semiefii. Prov: (i) Pr mosrr que y B By > pr y, ós omos que y B By (By) (By) é um som e quros e poro, é posiiv efii, meos que By. Por (.7) ós poemos expressr By form: By y + y + + y p p Ess comição lier ão é igul (pr qulquer y ) porque rk(b) p e s colus e B são l.i. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

28 (ii) Se rk(b) < p, eão ós poemos ecorr y l que By y + y + + y p p porque s colus e B são l.. [ver (.)]. Dí, y B By. 7 Noe que se B é um mriz qur, mriz B BB ão é ecessrimee posiiv semiefii. Por exemplo, sej mriz: B Eão: B, B B 8 Nese cso, B ão é posiiv semiefii, ms B B é posiiv semiefii, porque y B By (y y ). Teorem.6E. Se A é posiiv efii, eão A é posiiv efii. Prov: Pelo Teorem.6C, A P P, oe P é ão sigulr. Pelos Teorems.5A e.5b, A (P P) P (P ) P (P ), que é posiiv efii pelo Teorem.6C. Teorem.6F. Se A é posiiv efii e é pricio form A A A oe A e A são qurs, eão A e A são posiivs efiis. I Prov: Nós poemos escrever A como A [I, ] A, oe I em mesm imesão e A. Eão, pelo Corolário o Teorem.6B, A é posiiv efi- i. A A eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

29 .7 SISTEAS DE EQUAÇÕES O sisem e equções e equções (lieres) e p icógis 8 x + x + + p x p c x + x + + p x p c (.55) x + x + + p x p c poe ser escrio form mricil como oe A é p, x é p e c é. Noe que: Ax c (.56) Se p eão os veores x e c são e mhos iferees. Se p e A é ão-sigulr, eão por (.7), exise um úico veor solução x A c. Se > p, l que A eh mis lihs que colus (mis equções o que icógis), eão, gerlmee, o sisem Ax c ão em solução. Se < p, l que A eh meos lihs que colus, eão o sisem Ax c em um úmero ifiio e soluções. Se o sisem (.56) em um ou mis veores soluções, ele é chmo e sisem cosisee. Se ão em solução, ele é chmo e sisem icosisee. Pr ilusrr esruur e um sisem cosisee, supoh que A sej p p eh poso r < p. Eão s lihs e A são liermee epeees e exise lgum l que [ver (.8)]: A p p Eão, ós mém poemos er c c + c + + p c p, porque muliplicção e Ax c por (e mos os los) á: Ax c ou x c. Por ouro lo, se c, ão exise x l que Ax c. Poro, pr que Ax c sej cosisee, mesm relção (qulquer que sej) que exise ere s lihs e A eve exisir ere os elemeos (lihs) e c. Isso é formlizo compro o poso e A com o poso mriz ume [A, c]. A oção [A, c] iic que c foi juspos à mriz A como um colu iciol. Teorem.7A O sisem e equções Ax c é cosisee (em o míimo um solução) se e somee se rk(a) rk[a, c]. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

30 Prov: Supoh que rk(a) rk[a, c], e l form que juspor ão ler o poso mriz A. Eão c é um comição lier s colus e A; iso é, exise pelo meos um x l que x + x + + x p p c que, por (.8) poe ser escrio como Ax c. Assim, x é um solução o sisem Ax c. Por ouro lo, supoh que exise um veor solução x l que Ax c. Em gerl, em-se que rk(a) rk[a, c] [ver Hrville (997, p.)]. s ese que exise um x l que Ax c, ós emos: Por isso, rk[a, c] rk[a, Ax] rk[a(i, x)] rk(a) [Teorem.A(i)] rk(a) rk[a, c] rk(a) e í ós emos que rk(a) rk[a, c]. 9 Um sisem e equções cosisee poe ser resolvio pelos méoos usuis preseos os cursos ásicos e álger (méoo elimição e vriáveis, por exemplo). No processo, um ou mis vriáveis poem ermir como coses riráris, gero ssim um úmero ifiio e soluções. Um méoo lerivo pr resolver o sisem será preseo Seção.8.. Exemplo. Cosiere o sisem e equções: A mriz ume é: x + x x x x + x [A, c] ou x x que em rk[a, c] porque erceir colu é igul à som e us vezes primeir colu com segu colu. Dese que rk[a, c] rk(a), exise o meos um solução pr o sisem. Se iciormos us vezes primeir equção à segu equção, o resulo é um múliplo erceir equção. Assim, erceir equção é reue e s us primeirs poem ser resolvis pr oer solução úic x [, ]. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

31 x 5 x Figur. Três lihs represeo s equções o sisem o Exemplo.7() A Figur. mosr s rês lihs que represem s rês equções o sisem. Noe que s rês lihs cruzm o poo e coores (, ), que é solução úic o sisem e rês equções. Exemplo. Se rocrmos o úmero por erceir equção o Exemplo.7(), mriz ume fic: [A, c] que em poso, já que ehum comição lier s colus é. Como rk[a,c] rk(a), o sisem é icosisee. As rês lihs que represem s rês equções são preses Figur., oe ós perceemos que s rês lihs ão êm um poo comum e ierseção. Pr ecorr melhor solução proxim, um orgem cosise em usr o méoo os míimos quros, que cosise em uscr os vlores e x e x que miimizm (x + x ) + (x x ) + (x + x ). x 5 x Figur. Três lihs represeo s equções o sisem o Exemplo.7() eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

32 Exemplo.7(c) Cosiere o sisem: x + x + x x + x + x 5 x + x + x 6 A erceir equção é som s us primeirs, ms segu ão é um múliplo primeir. Assim rk(a) rk[a, c] e o sisem é cosisee. Resolveo s us primeirs equções pr x e x em ermos e x, ós oemos: O veor solução poe ser expresso como: x x +, x x x + x x x x + oe x é um cose rirári. Geomericmee, x é um lih represeo ierseção os ois plos correspoees às us primeirs equções..8. INVERSA GENERAIZADA Vmos cosierr iverss geerlizs quels mrizes que ão êm iverss o seio usul [ver (.5)]. Um solução e um sisem cosisee e equções Ax c poe ser expresso em ermos e um ivers geerliz e A..8. Defiição e Propriees Um ivers geerliz e um mriz A p é qulquer mriz A, que sisfz: AA A A (.57) Um ivers geerliz ão é úic exceo quo A é ão-sigulr, ese cso A A. Um ivers geerliz que sisfz (.57) é mém chm e ivers coiciol. To mriz (qur ou regulr) em um ivers coiciol. Isso é grio mesmo pr veores. Por exemplo: x eão x [,,, ] é um ivers geerliz e x que sisfz (.57). Ouros exemplos são x [, /,, ], x [,, /, ] e x [,,, /]. Pr c x i, ós emos que: x x x x, i,,. x i x i é um veor lih. Esse moelo é geerli- Ness ilusrção, x é um veor colu e zo o seguie eorem. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

33 Teorem.8A. Se A é p eão qulquer ivers geerliz A é p. Exemplo. Sej: A (.58) Como erceir lih e A é som s us primeirs lihs, e segu lih ão é um múliplo primeir, o rk(a). Sejm A /, A / Fcilmee poemos verificr que A A A A e A A A A. / (.59) Teorem.8B. Supoh que A é p e poso r e que A é pricio como A A A Oe A é r r e poso r. Eão ivers geerliz e A é por A A Oe s rês mrizes uls êm imesões propris pr que A sej p. (Ver prov pág. o livro o Recher) Ο A A Ο Ο Corolário. Supoh A ( p) e poso r e que A é pricioo como o Teorem.8B, oe A é r r e poso r. Eão ivers geerliz e A é por A A oe s rês mrizes uls são e imesões propris, is que A é p. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

34 A sumriz ão-sigulr ão precis esr posição A ou A, como o Teorem.8B e o seu corolário. O Teorem.8B poe ser eseio pr o seguie lgorimo pr ecorr um ivers coiciol A, pr qulquer mriz A ( p) e poso r [ver Serle, 98, p.8]:. Ecore qulquer sumriz ão-sigulr C(r r). Não é ecessário que os elemeos e C ocupem posições (lihs e colus) jcees em A.. Ecore C e su rspos (C ).. Susiu em A os elemeos e C pelos elemeos e (C ).. Susiu oos os ouros elemeos e A por zeros. 5. Trspoh mriz resule. Exemplo 5. Clculr um ivers geerliz (coiciol) e X Uso o lgorimo e Serle (e lemro que o poso mriz X é ), escolhemos coveieemee: C C X (C ) é um ivers coiciol e X Vle lemrr que escolheo ours mrizes C e uso o lgorimo, poemos ecorr ours iverss coiciois e X. Teorem.8C. Sej A ( p) e poso r, sej A um ivers geerliz e A e sej (A A) um ivers geerliz e A A. Eão: (i) poso(a A) poso(aa ) poso(a) r. (ii) (A ) é um ivers geerliz e A ; iso é (A ) (A ). (iii) A A(A A) A A e A A A(A A) A. (iv) (A A) A é um ivers geerliz e A, iso é, A (A A) A. (v) A(A A) A é siméric, rk[a(a A) A ] r e é ivrie à escolh e (A A) ; iso é, A(A A) A permece mesm, pr qulquer (A A). eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

35 Um ivers geerliz e um mriz siméric ão é ecessrimee siméric. Ereo, mém é vere que um ivers geerliz siméric e um mriz siméric, sempre poe ser ecor; ver Prolem.5. Nese livro, ós ssumimos que s iverss geerlizs e mrizes simérics mém são simérics. Além ivers geerliz (coiciol) efii em (.57) exisem ours, como ivers e míimos quros (A mq ) e ivers e oore-perose (A + ) que é muio úil em emosrções evolveo moelos lieres. Defiição: D mriz A( p) eão o mriz A (p ) que sisfz s us coições seguies, é um ivers e míimos quros mriz A: () AA mq A A () AA mq é um mriz siméric mq Teorem. To mriz o ipo A mq (A A) A é um ivers e míimos quros e A [qulquer que sej ivers coiciol (A A) ]. Exemplo 6. Oer um ivers e míimos quros e X Primeirmee clculmos X X. Escolheo C e uso o l- gorimo e Serle, oemos: (X X),5,5 Eão um ivers e míimos quros e X é igul : X mq (X X) X,5,5,5 Vle oservr que escolheo ours mrizes C e, correspoeemee, clculo ours iverss coiciois e X X, poemos ecorr ours iverss e míimos quros mriz X.,5 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

36 Defiição: D mriz A ( p) e poso r, eão mriz A + (p ), e poso r, que sisfz às quro coições seguies, é efii como ivers geerliz e oore-perose mriz A: () AA + A A () A + AA + A + (c) A A + é siméric () A + A é siméric 5 Teorem. Pr c mriz A ( p) exise sempre um e só um mriz A + que sisfz s coições e oore-perose. A oeção ivers e oore-perose é se rlhos. Gerlmee els são ois rvés e lgum pcoe esísico. No proc iml o SAS, por exemplo, el é oi com o como giv..8.. Iverss Geerlizs e Sisems e Equções Um solução pr um sisem e equções poe ser express em ermos e um ivers geerliz. Teorem.8D. Se o sisem e equções Ax c é cosisee e se A é um ivers geerliz e A, eão x A c é um solução. Ver prov pág. o livro o Recher. Vle lemrr mis um vez que iferees escolhs e A, resulrão em iferees soluções pr Ax c. Teorem.8E. Se o sisem e equções Ax c é cosisee, eão os s possíveis soluções poem ser ois s us seguies meirs: (i) Use um A específic em x A c + (I A A)h e use oos os possíveis vlores pr o veor rirário h. (ii) Use os s possíveis iverss A em x A c. Ver prov em Serle (98, p.8) Um coição ecessári e suficiee pr que o sisem Ax c sej cosisee poe ser o em ermos e um ivers geerliz (ver Gryill 976, p.6). eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

37 Teorem.8F. O sisem e equções Ax c é cosisee se e somee se pr qulquer ivers geerliz A e A Ver prov pág. o livro o Recher. AA c c. 6 Oserve que o Teorem.8F forece um leriv o Teorem.7A pr eciir se um sisem e equções é cosisee..9. DETERINANTES Aes e efiirmos o eermie e um mriz qur, precismos efiir permução e úmero e iversões. Sej o cojuo os cico primeiros úmeros ieiros S {,,,, 5} rrumos em orem crescee. Qulquer our orem j, j,, j 5 os elemeos e S é chm um permução e S. Por exemplo: 5, 5, 5, 5 são permuções e S. O úmero e permuções possíveis com ojeos (íices, ese cso) é igul! ( )( ) ()(). Por exemplo: com os íices {,, } coseguimos! 6 permuções, ser, {,,,,, }. Um permução j, j,, j 5 e S em um iversão se um úmero ieiro j r precee um ieiro meor j s. Por exemplo: permução 5 em 5 iversões porque: o es o ; o es o ; o es o ; o quro es o e o 5 es o. O eermie e um mriz A ( ) é um fução esclr e A efii como som lgéric e oos os seus! possíveis prouos elemeres. Deo-se gerlmee por! δ(a) A e(a) C prouo elemer é o ipo p i j j j j em que, os íices j, j,, j são colocos os úmeros e lgum permução simples o cojuo {,,, }. Em c prouo p i exise somee um elemeo e c lih e colu. C prouo elemer recee o sil + ou, coforme o úmero e iversões evolvis em p i sej pr ou ímpr, respecivmee. Ess efiição ão é muio úil pr clculr o eermie e um mriz, exceo pr o cso e mrizes ou. Pr mrizes miores, exisem progrms específicos (proc iml o SAS, pple e hc por exemplo) pr clculr os eermies. i p i eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

38 7 Exemplo 7. Sej mriz A Como, emos! 6 permuções, ser: i p i Permução N o e iversões Sil Vlor e p i + +p p 8 p + +p 5 + +p p e(a) i p i 9 Teorem.9A. i i (i) Se D ig(,,, ) eão e(d) (ii) O eermie e um mriz rigulr é o prouo os elemeos igol. (iii) Se A é sigulr, e(a). Se A é ão-sigulr, e(a). (iv) Se A é posiiv efii, e(a) >. (v) e(a) e(a ) (vi) Se A é ão sigulr, e(a ) /e(a) Teorem.9B. Se mriz A é pricio como A A A e se A e A são qurs e ão sigulres (ms ão ecessrimee o mesmo mho) eão e(a) A A A (A ) A (.7) A A, A A A (A ) A (.7) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

39 8 Noe logi e (.7) e (.7) com o cso o eermie e um mriz A, : e(a) ( / ) ( / ) (ver os Corolários s págis 5 e 6 o livro o Recher) Teorem.9C. Se A e B são qurs e e mesmo mho, eão o eermie o prouo é igul o prouo os eermies: AB A B (.76) Corolário. AB BA (.77) Corolário. A A (.77).. VETORES ORTOGONAIS E ATRIZES Dois veores x e são ios orogois se ' (.79) Noe que o ermo orogol se plic os ois veores e ão um úico veor. Geomericmee, ois veores orogois são perpeiculres um o ouro. Pr mosrr que os veores e são perpeiculres poemos clculr o âgulo formo ere eles. Quo θ 9º, ( ' )( ') perpeiculres quo. cos(θ) ' ( ')( ' ) (.8) cos(9º), porque cos(9º). Assim e são Exemplo 8. Sejm os veores e. Eão cos(θ) o âgulo formo ere eles é e 9º, ou sej, os veores e são perpeiculres. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

40 9 Figur. Veores orogois Se, izemos que o veor esá ormlizo. Um veor poe ser ormlizo iviio-o pelo seu comprimeo (ou orm), '. Assim, o veor: c (.8) ' esá ormlizo, porque c c. Um cojuo e veores c, c,, c p e imesões p que são ormlizos (c i c i, pr oo i) e muumee orogois (c i c j, pr oo i j) é io ser um cojuo oroorml e veores. Se mriz C [c, c,, c p ] p p em colus oroormis, C é chm mriz oroorml. Dese que os elemeos e C C são prouos e colus e C [ver Teorem.C(i)], um mriz oroorml C em propriee C C I (.8) Poe ser mosro que um mriz orogol C mém sisfz CC I (.8) Assim, um mriz orogol C em lihs orogois como mém colus orogois. É eviee que e (.8) e (.8), C C, se C é orogol. Exemplo 9. Pr ilusrr um mriz orogol, primos e: A eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

41 Que em colus muumee orogois, ms que ão são oroormis. Pr ormlizr s rês colus, ós s iviimos pelos seus respecivos comprimeos,, 6 e, oeo ssim mriz: 6 C 6 6 cujs colus são oroormis. Noe que s lihs e C mém são oroormis, l que C sisfz (.8) e (.8). A muliplicção e um veor por um mriz orogol em o efeio e rocior os eixos; iso é, se um poo x é rsformo pr z Cx, oe C é um mriz orogol, eão isâci origem z é mesm que isâci origem x: z z (Cx) (Cx) x C Cx x x (.8) Nese cso, rsformção e x pr z é coheci como um roção. Teorem.A. Se um mriz C (p p) é oroorml e se A (p p) é um mriz qulquer, eão (i) C + ou (ii) C AC A (iii) c ij, oe c ij é qulquer elemeo mriz C.. TRAÇO DE UA ATRIZ O rço e um mriz ( ) A ( ij ) é um fução esclr efii como som os elemeos igol e A; iso é, Por exemplo, se A 8 5 r(a) i ii 6, o rço e A é igul r(a) 8 + ( ) Teorem.A. (i) Se A e B são ( ) eão r(a ± B) r(a) ± r( B) (.85) (ii) Se A é ( p) e B é (p ), eão r(ab) r(ba) (.86) Noe que em (.86) poe ser meor, igul ou mior que p eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

42 (iii) Se A é ( p) oe j é j-ésim colu e A. (iv) Se A é ( p) oe i é i-ésim lih e A. p r(a A) j j (.87) r(aa ) (v) Se A ( ij ) é um mriz p eão: j i i r(a A) r(aa ) i p ij i j (vi) Se A é ( ) e P ( ) é qulquer mriz ão-sigulr, eão: (.88) (.89) r(p AP) r(a) (.9) (vii) Se A é ( ) e C ( ) é qulquer mriz orogol, eão: r(c AC) r(a) (.9) (viii) Se A é ( p) e poso r e A (p ) é um ivers geerliz e A, eão: r(a A) r(a A ) r (.9). AUTOVAORES E AUTOVETORES.. Defiição Defiição: Pr qulquer mriz qur A, um esclr λ e um veor ão-ulo x poem ser ecoros, e l form que: Ax λx (.9) Em (.9), λ é chmo um uovlor e A e x é um uoveor e A (mém são chmos e vlor crcerísico e veor crcerísico e A, respecivmee). Noe que em (.9) o veor x é rsformo por A, em um múliplo e si próprio, e l form que o poo Ax esá sore lih que pss por x e origem. Pr ecorr λ e x pr um mriz A, ós escrevemos (.9) como: (A λi)x (.9) eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

43 Por (.7), (A λi)x é um comição s colus e A λi e por (.) e (.9) esss colus são liermee epeees. Assim mriz qur A λi é sigulr, e pelo Teorem.9A(iii) ós poemos resolver (.9) pr λ uso: que é cohecio como equção crcerísic. A λi (.95) Se A é ( ) su equção crcerísic erá rízes, iso é, A erá uovlores λ, λ,,λ. Os λ s ão serão ecessrimee isios ou oos iferees e zero, ou oos úmeros reis. Ereo, os uovlores e um mriz siméric serão reis, ver Teorem.C. Depois e ecorr λ, λ,, λ uso (.95) os uoveores correspoees x, x,, x poerão ser ecoros uso (.9). Se λ i, o correspoee uoveor ão é o veor ulo,. Pr perceer isso, oe que se λ eão (A λi)x fic Ax que em solução pr x porque A é sigulr e s sus colus são liermee epeees [ mriz A é sigulr porque el em, o meos, um uovlor ulo]. Exemplo. Pr ilusrr uovlores e uoveores, cosiere mriz: A Por (.95), equção crcerísic é: Ou sej λ A λi ( λ)( λ) λ λ 5λ λ(λ 5) Que em rízes λ 5 e λ. Pr ecorr o uoveor x correspoee λ 5, ós usmos (.9), ( 5) (A 5I)x ( ) x 5 x Que poe ser escrio como: x + x x x Como primeir equção é um múliplo segu, emos que x x. Um veor solução poe ser escrio com x c como um cose rirári. x x x x x x c / 5 Escolheo c / 5 pr ormlizr o veor, ós ecormos ν. / 5 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

44 De form similr, correspoee à λ, ós oemos ν Eão, ecomposição especrl e A é A (5) / / [ 5 5 ] [ / 5 / 5 ] / 5. / 5 5 / 5 + () 5 / Fuções e um mriz Se λ é um uovlor mriz qur A com um correspoee uoveor x, eão pr cers fuções g(a), um uovlor é o por g(λ) e x é o uoveor correspoee e g(a) como mém e A. Nós ilusrmos pr lgus csos:. Se λ é um uovlor e A, eão cλ é um uovlor e ca, oe c é um cose rirári, l que c. Esse resulo é fcilmee emosro muliplico-se relção e efiição Ax λx por c: cax cλx (.96). Se λ é um uovlor e A e x é o uoveor correspoee e A, eão cλ + k é um uovlor mriz ca + ki e x é o uoveor e ca + ki, oe c e k são esclres. Pr mosrr isso, iciomos kx (.96): cax + kx cλx + kx (ca + ki)x (cλ + k)x (.97) Assim cλ + k é o uovlor e ca + ki e x é o correspoee uoveor e ca + k. Noe que (.97) ão se esee (A + B), oe A e B são mrizes x riráris; iso é, A + B ão em uovlores λ A + λ B, oe λ A é um uovlor e A e λ B, e B.. Se λ é um uovlor e A, eão λ é um uovlor e A. Iso poe ser emosro, muliplico-se relção e efiição Ax λx por A: AAx Aλx A x λax λ(λx) λ x (.98) Assim λ é um uovlor e A e x é o uoveor correspoee e A. Isso poe ser eseio pr: A k x λ k x (.99). Se λ é um uovlor mriz ão-sigulr A, eão /λ é um uovlor e A. Pr emosrr isso, ós muliplicmos Ax λx por A pr oer: A Ax A λx x λa x A x (/λ)x (.) Assim /λ é um uovlor e A e x é um uoveor o e A quo e A. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

45 5. Os resulos em (.96) e (.99) poem ser usos pr oer uovlores e uoveores e um poliômio em A. Por exemplo, se λ é um uovlor e A, eão (A + A A + 5I)x A x + A x Ax + 5x λ x + λ x λx + 5x (λ + λ λ + 5)x Assim, λ + λ λ + 5 é um uovlor e A + A A + 5I, e x é o uoveor correspoee. Pr cers mrizes, propriee (5) poe ser esei pr séries ifiis. Por exemplo, se λ é um uovlor e A, eão por (.97), λ é um uovlor e I A. Se I A é ão-sigulr, eão, por (.), /( λ) é um uovlor e (I A). Se < λ <, eão /( λ) poe ser represeo pel série (e Fourier) λ + λ + λ + λ + Correspoeemee, se oos os uovlores e A sisfzem < λ <, eão (I A) I + A + A + A + (.)... Prouos Similr o comeário feio pós preseção e (.97), os uovlores e AB ão são prouos form λ A λ B. Ereo, os uovlores e AB são os mesmos e BA. Teorem.A. Se A e B são ou se A é p e B é p, eão os uovlores (ão ulos) e AB são os mesmos queles e BA. Se x é um uoveor e AB eão Bx é um uoveor e BA. Teorem.B. Sej A um mriz. (i) Se P é qulquer mriz ão-sigulr, eão P AP em os mesmos uovlores. (ii) Se C é qulquer mriz orogol, eão C AC em os mesmos uovlores.... rizes simérics Teorem.C. Sej A ( ) um mriz siméric (i) Os uovlores e A são úmeros reis. (ii) Os uoveores x, x,, x são muumee orogois; iso é, x i x j pr i j eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

46 Se os uoveores e um mriz siméric A são ormlizos e colocos como colus e um mriz C, eão, pelo Teorem.C(ii), C é um mriz orogol que poe ser us pr expressr A em ermos e seus uovlores e uoveores. Teorem.D. Se A é um mriz siméric com uovlores λ, λ,,λ e uoveores ormlizos x, x,,x eão A poe ser express como A CDC (.) λ i i i i 5 x x (.) oe D ig(λ, λ,,λ ) e C é mriz oroorml C [x, x,,x ]. O resulo mosro em (.) ou (.) é chmo e ecomposição especrl e A. Ver prov s pág Corolário. Se A é um mriz siméric e C e D são efiis como o Teorem.D, eão C igoliz A, iso é, C AC D ig(λ, λ,,λ ) (.5) Teorem.E. Se A é um mriz com uovlores λ, λ,,λ eão (i) e(a) A λ (ii) r(a) λ i i i i (.6) ( riz posiiv efii e posiiv semiefii Os uovlores λ, λ, λ,, λ e mrizes posiiv efiis (semiefiis) são posiivos (ão egivos). Teorem.F. Se A é um mriz com uovlores λ, λ,,λ eão (i) Se A é posiiv efii eão λ i > pr i,,, (ii) Se A é posiiv semiefii eão λ i pr i,,,. O úmero e uovlores λ i pr os quis λ i > é igul o poso e A. Teorem A.5. Sej A um mriz rel e siméric,, e D ig(λ, λ,...,λ ) é mriz igol que exie s rízes crcerísics e A. Eão: ) λ i >, i A é posiiv efii. ) λ i, i, λ i A é posiiv semi-efii. c) λ i <, i A é egiv efii. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

47 ) λ i, i, λ i A é egiv semi-efii. e) λ i mu e sil A é ão efii. 6 Se um mriz A é posiiv efii, ós poemos ecorr riz qur e A, eo por A /, como segue. Dese que os uovlores são posiivos, ós poemos susiuir riz qur λ i ecomposição especrl e A em (.) pr oer: A / CD / C (.8) com D / ig( λ, λ,, λ ). A mriz A / é siméric e em propriee: A / A / CD / C CD / C A (.9).. ATRIZES IDEPOTENTES Um mriz qur A é i iempoee se A A. Nese exo, muis s mrizes iempoees são qurs. uis s soms e quros s álises e regressão e e vriâci (Cpíulos -) poem ser expresss como forms quráics y Ay. A iempoêci e A ou e um prouo evolveo A será us pr eselecer que y Ay (ou um múliplo e y Ay) em isriuição e qui-quro. Teorem.A. A úic mriz ão-sigulr iempoee é mriz ieie. Teorem.B. Se A é sigulr, siméric e iempoee eão A é posiiv semiefii. Teorem.C. Se A é um mriz, siméric, iempoee e e poso r, eão A em r uovlores iguis e r uovlores iguis. Teorem.D. Se A é um mriz, siméric, iempoee e e poso r, eão poso(a) r(a) r. Teorem.E. Se A é um mriz iempoee, P é um mriz ão sigulr e C é um mriz orogol, eão: (i) I A é iempoee. (ii) A(I A) e (I A)A (iii) P - AP é iempoee (iv) C AC é iempoee (se A é siméric, C AC é um mriz siméric e iempoee). eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

48 Teorem.F. Sej A um mriz p e poso r, sej A qulquer ivers geerliz e A e sej (A A) um ivers geerliz e A A. Eão A A, AA e A(A A) A são os iempoees. 7 Teorem.G. Supoo que mriz siméric A poss ser escri como A k i A pr lgum k, oe c A i é um mriz siméric. Eão, quisquer i us s seguies coições implicm erceir coição:. A é iempoee.. C A, A,, A k é iempoee.. A i A j pr i j. k Teorem.H. Se I k ri i A, oe c mriz A i é siméric e e poso r i e i se i, eão são vereirs s seguies firmções:. C A, A,, A k é iempoee.. A i A j pr i j.. DERIVADAS DE FUNÇÕES INEARES E FORAS QUADRÁTICAS Sej u f(x) um fução s vriáveis x, x,, x p em x [x, x,, x p ] e sejm u / x, u / x,, u / x p s erivs prciis. Nós efiimos u / x como: u x u / x u / x u / x p (.) Em lgus csos ós poemos ecorr um máximo ou um míimo e u resolveo u / x. Teorem.A. Sej u x x, oe [,,, p ] é um veor e coses. Eão u ( ' ) x xx (Ver prov pág. 5 o livro o Recher). ( x') (.) x eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

49 Teorem.B. Sej u x Ax, oe A é um mriz siméric e coses. Eão u x ( x'ax) x (Ver prov s pág. 5-5 o livro o Recher). 8 Ax (.) Exemplo. Amimos o moelo e regressão lier y i β + β x i + ε i, pr i,,, expresso mricilmee como y Xβ + ε, oe: y y y x x β + β x ε ε ε Procurremos os esimores e β e β que miimizm som e quros os esvios os vlores oservos e y em relção os vlores preios ŷ : i ˆε ( y i y i ) i i ricilmee, ós emos que: i ˆε i ˆ ( y ˆ i β ˆ βx i ) i εˆ εˆ (y Xβˆ ) (y Xβˆ ) y y βˆ X y + βˆ X Xβˆ Pr ecorrmos βˆ que miimiz εˆ εˆ, clculmos iferecil e εˆ εˆ em relção βˆ. Oservo que: (y y) βˆ (βˆ X y) X y, por (.) βˆ Dí em-se que: (βˆ X Xβˆ ) X Xβˆ, por (.) βˆ εˆ ' εˆ βˆ X y + X Xβˆ Igulo o resulo um veor e zeros, oemos o sisem e equções ormis: X Xβˆ X y (7.8) Como X X é ão-sigulr, solução o sisem é úic e oi por: βˆ (X X) X y Es solução é chm e solução e míimos quros. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

50 Uso os os o Exercício, emos: β + 6 β 8 O sisem e equções lieres correspoee fic: 7 A solução e míimos quros fic: ˆ β ˆ β 7 78 ε ε ε ε ε 5 ε 6 ε 7 ˆ β ˆ β ˆ β.99 ˆ β.9 E re e míimos quros jus fic: ŷ i x i REFERÊNCIAS CITADAS NO TEXTO Gryill, F. A. (969). Iroucio o rices wih Applicios i Sisics. Belmo, CA: Wsworh. Recher, A. C. (). ier oels i Sisics. New York: Wiley, Serle, S. R. (98). rix Alger Useful for Sisics. New York: Wiley. EXERCÍCIOS Ver exercícios s págis 5-6 o livro exo. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

51 .6. ISTA DE EXERCÍCIOS ADICIONAIS 5 Nos exercícios, e cosiere s seguies mrizes: A, B, C 5, D, 5 E 5 e F ) Se s operções forem possíveis, clcule: () C + E () AB e BA (c) D F () B C + A 5 ) Verifique s seguies propriees: () A(BD) (AB)D () A(C + E) AC + AE ) Verifique s seguies propriees: () A (A ) () (C + E) C + E (c) (AB) B A + c + ) Se c 6, clcule os vlores e,, c e. 5) Seo A e B mrizes qurs, ão sigulres e e mesm orem, escrever mriz e icógis, X, em fução e A e e B: () XA B () (A + B) X B (c) ABX B () ABA X A (e) (AX) B 6) osrr lgericmee que se A é ão sigulr eão (A ) (A ), uso mriz A. ` eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

52 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im 5 7) Sejm A 7 5, Escrev AB como um comição lier s colus e A como em (.7) e verifique o resulo clculo A meir usul. 8) Pr os sisems preseos seguir, pee-se: (i) escrev-os form Ax, (ii) clssifique-os como cosisees ou icosisees compro poso(a) e poso(a ); (iii) oeh um solução se o sisem for cosisee. () y x y x () + + x z z y y x (c) z y x z y x z y x () c c (e) y x y x 9) Sej o sisem escrio form mricil Ax, ou x x x 8. () Ecore um ivers geerliz siméric e A. () Ecore um ivers geerliz ão siméric e A. (c) Ecore us soluções o sisem x A uilizo s iverss clculs os ies eriores e iique qul els em o meor comprimeo. () osre que mriz AA é iempoee. ) As colus mriz seguie são muumee orogois A () Normlize s colus e A e eoe mriz resule por C () osre que C C CC I.

53 ) Sej mriz sigulr A. () Ecore os uovlores (λ, λ e λ ) e os uoveores ormlizos (c, c e c ). () A mriz A é posiiv efii? Por quê? (c) osre que r(a) λ + λ + λ e que e(a) (λ )(λ )(λ ) () osre que mriz igol que exie os uovlores e A poe ser oi por D ig(λ, λ, λ ) C AC, oe C [c, c, c ] é mriz form pelos uoveores ormlizos e A. (e) Se mriz A for posiiv efii ou posiiv semiefii, oeh su riz qur que é clcul como A / CD / C, oe D ig(λ, λ, λ ) é mriz igol que exie os uovlores e A e C [c, c, c ] é mriz form pelos uoveores ormlizos e A. 5. Os resulos experimeis preseos el seguir form oios e um esio e irrigção oe se esuou y: proução e lff (/h) como um fução e x: quie e águ plic (ml/cm ). x: águ y: proução 5,7 5,68 6,5 7, 8, 8,7 8, () Cosru um gráfico e ispersão y (proução) versus x (águ) pr visulizr o relciomeo lier ere s vriáveis. () Escrev o moelo e regressão lier y i + x i + ε i pr os os experimeis. (c) Escrev o moelo e regressão lier form mricil, y Xβ + ε, ieifico c um s mrizes. () Verifique que r[x] e que r(x X), ou sej, que X X é ão sigulr. ˆ (e) Clcule βˆ ˆ (X X) X y, ŷ Xβˆ e εˆ y ŷ. (f) Verifique que fzeo X [x, x ] ŷ â x + ˆ x. (g) Verifique que o veor εˆ é orogol ŷ e c um s colus mriz X. (h) Verifique que y ŷ + εˆ. eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im

54 . Supohmos um experimeo ficício e limeção e suíos em que form uilizs rções (,, e ) um eliemeo ieirmee csulizo com 5 repeições (leiões). Os ghos e peso oservos, em quilogrms, cosm o quro seguie: Com se esses os, pee-se: Trmeos (rções) () Escrever o moelo y ij µ + i + ε ij pr oos os vlores oservos, oe y ij é o gho e peso o j-ésimo leião que receeu o i-ésimo rmeo; µ é um cose comum os s uies experimeis; i é o efeio o i-ésimo rmeo e ε ij é o erro ssocio à prcel y ij, pr i,,, e j,,,, 5. () Cosruir mriz o eliemeo X e escrever o moelo su form mricil, y Xβ + ε, oe β [µ,,,, ]. (c) Escrever o sisem e equções ormis X Xβ X y e clculr us soluções (iferees!) o sisem, uilizo βˆ (X X) X y, oe (X X) é um ivers geerliz e X X. () Clculr ŷ Xβˆ X(X X) X y (veor e oservções juso pelo moelo) pr c um s soluções ois em (c) e verifique que os veores resules são iguis. (e) Clculr s soms e quros, uilizo s fórmuls seguies: SQTol y I J y, SQTr y ( ) SQRes y I X( X'X) X' ] X X'X [ y. X' J (f) Cosruir um quro e ANOVA, seo que o úmero e grus e liere ssocios um SQ é igul o poso mriz úcleo form quráic correspoee. (g) Cofir os resulos ANOVA uso, por exemplo, o proc glm o SAS. y, 5 eril eloro pelo Prof. Césr Goçlves e im