1 Introdução e Base Matemática

Transcrição

1 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Iroução Bs Mmáic Iroução Bs Mmáic 3. O úmro imgiário 3. Númros complxos 4.3 Oprçõs com úmros complxos 9.4 O so o co-so.5 A qução Eulr 5.6 A g 7.7 As ivrss so, co-so g 9.8 Expociis logrimos.9 Drivs 3.0 Igris 30. Dcibéis (B) 38

2 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Iroução Quo s fl m siis grlm é ssocio à mição ou o rgiso lgum fómo físico ou, m ours plvrs, um sism. Poro, siis sisms são cocios bs irligos. No prs cpíulo frmos um brv rvisão ivrsos ópicos básicos mmáic qu srão úis pr os cpíulos sguis. Rcpiulrmos vários rsulos, xprssõs fórmuls álgbr, álgbr lir, ális, o cálculo ifrcil igrl rigoomri qu srão cr form uso s xo. Nos cpíulos 3 rrmos scrição rmiologi os siis quo qu o cpíulo 4 rrmos sisms. Nos mis cpíulos rrmos lgums frrms ális siis: Trsforms Lplc (cpíulo 5), Trsforms z (cpíulo 6), Séris Trsforms Fourir (cpíulos 7 8, rspcivm) Digrms Bo (cpíulo 9).

3 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Bs Mmáic. O úmro imgiário O úmro imgiário é fiio como:. N lirur mmáic é muio comum usr-s i ( imgiário ) pr o úmro imgiário: i. Ero, m ghri lr i é ormlm rsrv pr corr lécric (mi m Ampèrs) quo qu pr o úmro imgiário us-s lr. Logo, 3 4 Poro, ssim por i. Além isso: 3

4 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic ou s, ( ). Smlhm, 3 4 Algus xmplos imios s rsulo : ( ) 4. Númros complxos Um úmro complxo z é xprsso por: z α β o α β R (úmros ris) é o úmro imgiário puro coform fiio cim. α β são chmos : α pr rl z, β pr imgiári z 4

5 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic são rprsos por α R (z) β Im (z). Um úmro complxo z scrio form cim é io sr form crsi ou lgébric. Fig.. O plo s, rprsção crsi (à squr) rprsção polr (à iri). Um úmro complxo z po sr scrio form quivl como z ρ θ o ρ θ são úmros ris, so qu ρ > 0 θ (m rios) é um rco. A xprssão cim é muio comumm brvi (spcilm m xos ghri) pr z ρ θ. por um qusão simplici. Além isso, s cso, quo s us s oção pr z, é comum s or o âgulo θ m grus m vz rios. ρ θ são chmos : ρ móulo z, θ âgulo ou fs z 5

6 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic são rprsos por ρ z θ z. Um úmro complxo z scrio s form cim é io sr form polr ou rigooméric. A rprsção gráfic um úmro complxo z fi o plo complxo (ou plo s) m rmos α, β, ρ θ é s figurs... Fig.. O plo s, s coors crsis polrs A rsformção form crsi pr polr ssim como form polr pr crsi são fcilm obis pls rlçõs básics gomri (orm Piágors) rigoomri (sos co-sos). As rlçõs qu prmim rsformr form crsi pr form polr são: β α ρ z α β θ z rcg s rlçõs qu prmim rsformr form polr pr form crsi são: α R( z) ρ cosθ β Im( z) ρ s θ 6

7 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Algus xmplos: z 0º 50º,68,73 z 45º 35º,884 ( π / 4) (0,7854) z 3 45º 0,785 z º ( π / ) 0,707 0,707 (,57) Fig..3 A rprsção gráfic os úmros complxos z, z, z 3 z 4. 7

8 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic O cougo um úmro complxo z é o úmro complxo z ou z * z α β z z* α β ou s, z ou z * é o rbimo o poo z o plo s m rlção o ixo rl. Fig..4 O cougo z ou z * um úmro complxo z. Em rmos form polr o cougo z ou z * um úmro complxo: é o por: No qu z ρ θ z z* ρ θ. z (z*)* z, lém isso, s x é um úmro rl (x R), ou s, x é um úmro complxo com pr imgiári igul zro, ão: x (x*)* x. 8

9 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic.3 Oprçõs com úmros complxos A form crsi é mis propri pr oprçõs som (z z ) subrcção (z z ) úmros complxos, ( α β ) ( α β ) ( α α ) ( β β ) ( α β ) ( α β ) ( α α ) ( β β ) quo qu form polr é mis propri pr oprçõs muliplicção (z z ) ivisão (z / z ) úmros complxos: ou, quivlm: θ ( ) ( ) ( ) θ θ θ ρ ρ ρ ρ θ ( ρ ) ρ ( θ θ ) θ ( ρ ) ρ θ ( ) ( ) θ ρ ρ ρ ρ θ θ ) θ ( ρ ) θ ( ρ ) ρ ρ ( θ θ) ( Um rsulo bs úil é o pl qução bixo: z z ( α β ) ( α β ) α β ou s, o prouo um úmro complxo z plo su cougo z é um úmro rl (um úmro complxo sm pr imgiári) cuo vlor é som o quro pr rl z com o quro pr imgiári z. Es rsulo prmi qu s scrv um frcção z/z, o z z são úmros complxos form crsi A B, ou s, z α β z σ ω z z α β σ ω A B 9

10 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic No qu, muliplico-s mbos o umror o omior z/z plo cougo o omior z mos z z zz z z ( α β)( σ ω) ( σ ω)( σ ω) ( ασ βω) ( βσ αω) σ ω ou s, z z ( ασ βω) ( σ ω ) ( βσ αω) ( σ ω ) poro, ( ασ βω) A ( σ ω ) B ( βσ αω) ( σ ω ) Algus xmplos: ) z z 5 ão, α, β 5, σ, ω, logo z z ( 0) ( 5 4) 5 5,4 0, b) z z 3 ão, α 3, β, σ, ω, logo z z ( 3 ) ( 3) 0,5,5 c) z 3 z ão, α 3, β 0, σ 0, ω, logo z z ( 0 0) ( 0 3) ()( ) ()( ) Ns úlimo cso obsrv qu sri mis simpls imio s foss uilizo o rsulo 0

11 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic qu á vimos mis cim. Ouro rsulo bs úil é o sgui: θ, θ ou s, z θ é um poo circufrêci rio cr origm o plo s. é o poo s circufrêci cuo âgulo com o ixo rl posi- N vr ivo é θ. z θ Fig..5 ircufrêci rio cr origm o plo s. Logo, é fácil vrificr qu π 0 π π

12 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic.4 O so o co-so O so o co-so um âgulo θ um riâgulo rcâgulo são fiios como: c s ( θ ) b cos ( θ ) co oposo hipous co c hipous Fig..6 Triâgulo rcâgulo. Uso o Torm Piágors b c po-s fcilm corr os sguis sos co-sos cohcios: s( 0) 0 cos (0º ) cos( 0) s (0º ) s (45º ) s 4 cos (45º ) cos 4 s (90º ) s cos (90º ) cos 0

13 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Ouros sos co-sos oávis: s (30º ) s 6 cos (30º ) cos 6 3 s (60º ) s 3 3 cos (60º ) cos 3 S θ ω, o < <, ω > 0, ão s (θ) cos (θ) s rsformm m fuçõs, x() s (ω), ω > 0 x() cos (ω), ω > 0 cuos gráficos po-s vr bixo s figurs.7.8. Fig..7 A fução so, x() s (ω), (, ), ω > 0. 3

14 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Fig..8 A fução co-so, x() cos (ω), (, ), ω > 0. Algums rlçõs qu volvm sos co-sos: Vrsão rigooméric o Torm Piágors: s ( θ ) cos ( θ) Rlçõs o rco complmr (pr o so pr o co-so): π cos ( θ) s θ s θ s π ( θ) cos θ Rlçõs o rco suplmr (pr o so pr o co-so): s cos ( θ) s( π θ) ( θ) cos( π θ) 4

15 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Rlçõs pri pr o so pr o co-so: s So co-so som rcos: s cos cos So co-so o obro um rco: ( θ) s ( θ) ( θ) cos( θ) ( θ θ ) s( θ ) cos( θ ) cos( θ ) ( θ ) s ( θ θ ) cos( θ ) cos( θ ) s( θ ) ( θ ) s s cos ( θ) s( θ) cos( θ) ( θ) cos ( θ) s ( θ).5 A qução Eulr O mmáico físico suíço Lohr Eulr ( ) publicou o sgui rsulo m 748: θ cos θ s θ por s rzão l é chmo qução Eulr. om qução Eulr é fácil s comprr rsformção form polr pr crsi á vis cim. S z scrio form polr, z ρ ρ θ ( cosθ sθ) ( ρ cosθ) ( ρ sθ) logo, o z α β α ρ cos θ β ρ s θ 5

16 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic π O sgui xmplo srv pr vrificr s rlçõs cim pr,, 0 π π 0 cos ( 0) s ( 0) 0 π cos s 0 π cos s 0 π cos ( π) s( π) 0 D qução Eulr é fácil obr-s s sguis rlçõs mbém bs cohcis: cosθ s θ θ θ θ θ omo xmplo, vmos uilizr ss rlçõs cim obi qução Eulr pr vrificr lgus sos co-sos bs cohcios: 0 0 cos( 0º ) cos( 0) 0 0 s ( 0º ) s ( 0) 0 π π ( ) cos( 90º ) cos π 0 π π ( ) s ( 90º ) s π 6

17 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic cos s ( 90º ) cos 0 ( 90º ) s cos π ( ) ( 80º ) cos( π) s π π ( 80º ) s( π) 0 π ( ).6 A g A g um âgulo θ um riâgulo rcâgulo é fii como: c g ( θ ) b co oposo co c, pls fiiçõs so co-so, fcilm obém-s: g ( θ ) s( θ) cos( θ) s form po-s fcilm corr s sguis gs cohcis: ( 0) 0 g (0º ) g g (45º) g 4 g (90º) g g (30º) g 6 g (60º) g

18 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic S θ ω, o < <, ω > 0, ão g (θ) s rsform m um fução, x() g (ω), ω > 0 cuo gráfico po-s vr bixo figur.9. Fig..9 A fução g, x() g (ω), (, ), ω > 0. Assim como o so pr o co-so qu s rpm c irvlo π, g s rp c irvlo π. Logo, ou mlhor: ( θ) g ( θ π) g ( θ π) g. ( θ ) g( θ k π), k { 0, ±,,... } g ± 8

19 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic.7 As ivrss so, co-so g Niim s fuçõs so, co-so g ão são ivrsívis. Plo gráfico x() s (ω), x() cos (ω) x() g (ω) vmos qu s α β form vlors o irvlo [0, ], γ for um vlor rl qulqur, ou s, α [, ], β [, ], γ (, ), ão vão hvr muios vlors (, ) pr os quis x() s (ω) α x() cos (ω) β x() g (ω) γ Poro, pr por s chr fução ivrs so, co-so g mos qu limir o irvlo ss fuçõs. No cso o so limimos o irvlo [ π/, π/], o cso co-so limimos o irvlo [0, π], o cso g limimos o irvlo [ π/, π/]. Os gráficos ss fuçõs são prsos s figurs.0.. Fig..0 A fução so, x() s (ω) limi o irvlo [ π/, π/] (º 4º qurs), ω > 0 (à squr), fução co-so, x() cos (ω) limi o irvlo [0, π] (º º qurs), ω > 0 (à iri). 9

20 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Fig.. A fução g, x() g (ω) limi o irvlo [ π/, π/] (º 4º qurs), ω > 0. Es é orm grl op pls máquis clculors mios iformáicos cálculo moros. Limi-s o rco qurs: º 4º qur, o cso o so ou g; º º qur, o cso o co-so. Ds form é possívl flr s fuçõs ivrss o so, o co-so g: rcs (α), rccos (β) rcg (γ). Por xmplo, s γ, o rco cu g é é o por π rcg 4 ( ) 45º mbor, como á foi viso cim, xism muios ouros rcos θ cu g mbém é. N vr s soluçõs possívis são: ou s: π θ k π, 4 0 k θ 45 º θ 5º { 0, ±, ±,... } são possívis soluçõs rcg (π/4). E θ 45º sá o primiro qur θ 5º sá o rciro qur.

21 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic No cso priculr ivrs sr um frcção rcs (b/), rccos (b/) rcg (b/) ão pomos lvr m cosirção o qur o poo (, b). Fig.. Dois rcos qu êm msm g : 45º (ou π/4, º qur) 5º (ou 5π/4, 3º qur). Ds form ivrs o so, o co-so ou g ão fic limi o irvlo [ π/, π/] ou [0, π] qu rprsm ps qurs, pois mos iformção sufici pr rmir o rco os 4 qurs. Por xmplo: π rc g 45º 4 (º qur) rcg 5π 4 5º 35º (3º qur) π rc g 45º 35º 4 3π rc g 35º 4 (4º qur) (º qur)

22 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic.8 Expociis logrimos O úmro prio (vio o mmáico, srólogo ólogo scocês. Joh Npir, ) vl proximm,783 Mis prcism, l po sr scrio como um séri ifii ou como um limi (s úlim form vio o mmáico suíço Jkob Broulli, ): 0! lim O úmro prio mbém é chmo cos Eulr é bs os logrimos uris (l). Poro: l ( x ) x Algums rlçõs básics xpociis logrimos: x y x y x y xy x y x y ( ) ( x y) l( x) l( y) l l ( x) l ( y) l l x y ( x ) l( / x ) x l ( x ) l ( x) Trsformção bs pr bs 0: log 0 ( x) ( x) ( ) l l 0 Trsformção bs 0 pr bs : ( x) ( ) ( x) l,3 ( x) 0,4343 l log log l( x) 0 0,3 log0 log 0,4343 Trsformção qulqur bs b pr bs : 0 log ( x) log log b b ( x) ( ) ( x) ( x)

23 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic.9 Drivs A ori o cálculo ifrcil é uori o físico mmáico iglês Sir Isc Nwo (643-77) 77) o filósofo mmáico lmão Gofri Wilhlm vo Libiz (646-76). A oção s riv um fução f() po sr ou f f '( ) (vio à Nwo) ( (vio à Libiz). A riv um fução f() o is os á iclição (ou cliv) um rc g à curv qul is. S f() é crsc m, ão riv srá posiiv qul is f '() f > 0. Isso é ilusro figur.3. Fig..3 Iclição posiiv (ou cliv posiivo) rc g à curv f() o is. Por ouro lo, s f() é crsc m, ão riv srá giv qul is 3

24 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic f '() f < 0. Isso é ilusro figur.4. Fig..4 Iclição giv (ou cliv givo) rc g à curv f() o is. Fig..5 Iclição ul (ou cliv ulo) rc g à curv f() o is. so máximo locl. Film, s f() ão é crsc m crsc m, ão riv srá zro qul is f '() f 0. 4

25 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Ns cso po-s r um máximo ou um míimo locl, ms às vzs hum os ois. Isso é ilusro s figurs.5,.6.7. Fig..6 Iclição ul (ou cliv ulo) rc g à curv f() o is. so míimo locl. Fig..7 Iclição ul (ou cliv ulo) rc g à curv f() o is. so poo iflxão, ão é máximo m míimo locl. Algums propris rgrs s rivs: Liri: ( c f ()) ( f () f ()) f () c c f '() f () f () f' () f '() (homogi) (iivi) 5

26 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Rgr o prouo: f () g() ( f () g() ) g() f () f '() g() g' () f () Rgr o quoci: f () g() f () g() g() f () g () g() f '() f () g' () g () Rgr ci: S fiirmos ão, f (g()) f g() ( g() ) f '(g()) g' () u () f () v () g() f g u v E s rgrs cim pom sr rscris form mis compc como: c (homogi) ( u) c u u ( v) u v (iivi) u ( v) u v u v (rgr o prouo) u v u u v v v (rgr o quoci) u u v v (rgr ci) 6

27 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Algums rivs fuçõs simpls: c 0 ( ) (cso priculr, ) ( c ) c (plico homogi) ( ) (cso priculr, ) m m m ( ) m m m ( ) ( ), 0 (cso priculr, m) (cso priculr, /) sig(), Drivs fuçõs xpociis logrímics: c c l c 0 (cso priculr, c, úic fução qu é igul própri riv) log c l c l, > 0 (cso priculr, c ) l l ( l ) 7

28 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Drivs fuçõs rigoomérics: s () cos () cos () s () g () sc () cos () sc () g () sc () cog () cossc () s () cossc () cossc () cog () rcs () rccos () rcg () rcsc () rcco g () rccossc () 8

29 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Drivs fuçõs hiprbólics: sh () cosh () - cosh () sh () - gh () sch () sch () gh () sch () cogh () cossc h () csch () cogh () cossch () rcsh () rccosh () rcgh () rcsch () rc coh () rc sch () 9

30 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic.0 Igris A igrl ifii um fução f() é rprs como f ( τ) τ Por ouro lo, igrl fii, rprs como b f ( τ) τ, b f ( τ) τ ou f ( τ) τ fz Som Rim qu clcul ár sob curv m m irvlo bm fiio como por xmplo: [, b ], ], b ] ou [, [. Es om cim é o m lusão o mmáico lmão Gorg Fririch Brhr Rim (86-866). A igrl é um procsso ivrso o riv fuçõs pois, ou f f () f ( ) () f f ( ) ( f () ) f (). Mis prcism: F () f () é chm primiiv f(). Es rsulo é chmo Torm Fuml o álculo fz irligção r o álculo Difrcil (scção rior) o álculo Igrl (s scção). Algums rgrs igrção fuçõs m grl ( ) f ( ) f (rgr homogi) [ f ( ) g ( ) ] f ( ) g ( ) (rgr iivi) [ ( ) g ( ) ] f ( ) g() f () g ( ) f (rgr igrl por prs) 30

31 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic S fiirmos ão, u () g() v () f () u g () v f () rgr igrl por prs po sr scri our form: Por ouro lo, s u v uv v u (rgr igrl por prs) u () f () u f (), ão igrl fii é clcul como: b u b u] u(b) u() Fig..8 A ár S sob curv f() o irvlo fiio [, b]. A igrl fii s é b fução f b f ( τ) τ S é ár S sob curv, coform ilusro figur.8. 3

32 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic A figur.9 mosr ois xmplos igrl fii s é b fução f, o árs bixo o ixo s bcisss com givm. b b f ( τ) τ S S f ( τ) τ S S S3 Fig..9 Dois xmplos ár sob curv f() o irvlo fiio [, b]. As árs bixo o ixo s bcisss com givm. A figur.0 mosr ois xmplos igrl fii m irvlos ifiios como: ], b], [, [. b f3 ( τ) τ 4 S f ( τ) τ S Fig..0 Dois xmplos ár sob curv f() fiios m irvlos ifiios: ], b] [, [. 3

33 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Aprsmos gor um bl s igris s pricipis fuçõs. Igris fuçõs rciois: u u u u u ( ), u u u l u u u rcg u u u u u rcg, u > Igris fuçõs irrciois: u l u u u u l u u u u u u u rcsc u u u rcs, u < Igris logrimos: logb ( ) logb ( ) logb (*) l ( ) l ( ) [cso priculr b igrl (*) cim] l( ) l( ) ( ), l ( ) [ l ( ) ] 33

34 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic l ( ) l [ l ( ) ] Igris fuçõs xpociis: u u u,, > 0 (**) l() u u u [cso priculr igrl (**) cim] b b (***) l (b) [cso priculr b igrl (***) cim] ( ) b b l(b) l(b) b, b > 0, b s(b ) cos( b ) ( ) [ s(b) b cos(b) ] b ( ) [ cos(b) b s(b) ] b Igris fuçõs rigoomérics: ( u) u cos( u) s ( u) u s ( u) cos ( u) u l ( sc(u) ) g ( u) u l s (u) co g sc ( u) u u l sc(u) g (u) cos ( u) 34

35 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic cos c ( u) u u l cosc(u) cog (u) s ( u) ( u) ( u) g s c( u) g ( u) u u sc (u) s cos c( u) cog ( u) u u cosc (u) s ( u) g ( u) sc ( u) u cos ( u) u g (u) cosc ( u) u s ( u) u co g (u) s ( ) cos( ) cos ( ) s ( ) ( ) s s ( ) 4 s ( ) ( ) cos 4 Fórmul rcorrêci pr igris poêcis fuçõs rigoomérics: s cos s ( u) cos( u) ( u) u s ( u) cos ( u) s ( u) ( u) u cos ( u) u u g ( u) u g ( u) ( ) g ( u) u co g ( u) u co g ( u) ( ) co g ( u) u sc ( u) u sc ( u) g ( u) ( ) sc ( u) u cosc ( u) u cosc ( u) cog ( u) ( ) cosc ( u) u 35

36 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic Igris ours fuçõs rigoomérics: s ( ) cos ( b ) [( b) ] cos[ ( b) ] cos ( b) ( b), b s ( ) s ( b ) [( b) ] s [( b) ] s ( b) ( b), b cos ( ) cos ( b ) [( b) ] s [( b) ] s ( b) ( b), b cos ( ) s 4 ( ) cos ( ) ( ) ( ) s g ( ) l cos cos ( ) ( ) ( ) cos co g ( ) l s s ( ) s ( ) s ( ) cos ( ) cos s cos ( ) cos ( ) si ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) s ( ) s ( ) Igris fuçõs hiprbólics: sh () cosh () cosh () sh () sh () sh () 4 cosh () sh () 4 sh () cosh () sh () 36

37 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic cosh () sh () cosh () sh () cosh () cosh () cosh () sh () sh () sh () h () l cosh () [ cosh () ] cosh() coh () l sh() sh() Igris fiis: - 0 π 0 x π 0 π 0 π π 5 0 s() π 0 Γ () ( )! [fução gm] π 0 s π ( ) cos ( ) 0 5 L ( ) 4 6 L 4 6 L L ( ) π, π, s é iiro pr s é iiro ímpr 3 37

38 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic. Dcibéis (B) A ui Bll (B) m s om m lusão o scocês Alxr Grhm Bll (847-9). O cibl (B) é um submúliplo o Bll qu corrspo um écimo o Bll. Ero, o cibl orou-s um ui uso muio mis comum qu o Bll. O cibl (B) é uso pr um gr vri miçõs, spcilm m cúsic (isi sos), ms mbém como mi gho ou isi rliv físic (pr prssão ρ) lcróic (pr são lécric v, pr corr lécric i, ou pr poêci P). O cibl (B) é um ui mi imsiol ssim como s mis âgulo: o rio (r) o gru (º), ou prcgm (%). O cibl é poro um ui isi ou poêci rliv (um mi rzão r us quis, so um rfrêci). A fiição o B é obi com o uso o logrimo sgui form: x m cibéis usulm é fiio como: x 0 log0 B qu é xprssão qu vmos uilizr s xo, ms às vzs x m cibéis mbém po sr fiio como: x 0 log0 B omo o cibll é um mi rliv gho rlivo (m rlção um vlor rfrêci) som são clculos os cibéis vlors posiivos. Não fz sio clculr os cibéis um vlor givo. É fácil s vrificr qu, 0 log ( ) 0 B B 0 ( x) ( x), logo B 0 B Vlors miors qu s orrão posiivos o srm rsformos m B. Els rprsm um gho fco. Por ouro lo, vlors mors qu (i.., vlors r 0 ) s orrão givos o srm rsformos m B. Els rprsm um ução. Ouro lh: x B x B 38

39 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic No qu: s x > > x > 0 B B s x > x 0 B B s 0 < x < > x < 0 B B s x < 0 > ão xis x B Isso sá ilusro figur.. Fig.. o vlor x m B. Algus xmplos: 0 0 log0 B ( 0) 0B 0 B 0, B 0 log 0 ( 0 ) ( ) 0 log ( 0) 0 B 0 00 B 0 B 0 log 0 ( 0 ) 40B 000 B 0 3 B 0 log 0 3 ( 0 ) 60 B 39

40 J. A. M. Flipp Souz Iroução Bs Mmáic 0 log0 ( ) 0 ( 0,3) 6 B B 0,5 0 log 0 log B 0 0 B ( ) ( ) 0 ( 0,3) 6 B ( ) 0 log 0 ( 0,3) 3 B 0 log0 0 B 0 log0 0 log0 B B 0 ( 0,3) 3B ( 00) 0 { log ( 00) log ( ) } 0 ( 0,3) 46B 00 0 log0 0 0 B 0, 0 log0 0 B B log { log ( ) log ( 0) } 0 ( 0,3 ) 4B { log ( 00) log ( ) } 0 ( 0,3) 34B B B 50 B 00 B 0 log { log ( ) log ( 00) } 0 ( 0,3 ) 34B 0 0 Rsumio os xmplos cim: 0 B 0B 0, 0 B B 00 B 40 B 000 B 60 B B 6 B 0,5 6 B B B 3 B 3 B B 00 B 46 B 0, 4 B B 50 B 34B 34B 50 B 40