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1 Procssmto Digitl Siis Mrclo Bsílio Joquim São Crlos -

2 Íic Aprstção i Cpítulo Siis Sistms tmpo iscrto. Itroução. Siis Tmpo Discrto. Siis tmpo iscrto básicos.. Squêci mostr uitári.. Squêci gru uitário.. Squêci pocil..4 Squêci soil 4.4 Algums fiiçõs sobr siis tmpo iscrto 6.4. Ergi 6.4. Potêci 6.4. Squêcis simétrics ti-simétrics 8.5 Sistms tmpo iscrto 8.5. Sistms lirs tmpo iscrto 9.5. Sistms lirs ivrits o slocmto.5. Sistms cusis.5.4 Sistms stávis.5.5 Rprstção m igrm blocos os sistms tmpo iscrto.5.6 Sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto.5.7 Som covolução.5.7. Propris covolução sistms LID Cusli stbili m sistms lirs ivrits o slocmto 5.6 Equção lir ifrçs com coficits costts 7.6. Solução qução ifrçs 7.6. Rspost o impulso 9.7 Rprstção siis sistms iscrtos o omíio frquêci.8 Trsform Fourir pr squêcis.8. Espctro si rgi.8. Propris trsform Fourir pr siis iscrtos 5 Ercícios Cpítulo Amostrgm siis 5. Siis tmpo iscrto 5. Amostrgm siis 5. Torm mostrgm 6.4 Covrsão t mostrgm 9 Ercícios 44 Cpítulo A trsform 45. Itroução 45.. Dfiição covrgêci 45.. Rgião covrgêci 46.. Propris rgião covrgêci 5. Trsform ivrs 5.. Métoo forml pl itgrl cotoro 5.. Métoo por ispção 5.. Métoo por psão m frçõs prciis Métoo por psão m séri potêcis Métoo pl ivisão log 58.4 Propris trsform Liri 59

3 .4. Dslocmto o tmpo Difrcição X() Multiplicção por um squêci pocil Complo cojugo um squêci Rvrsão o tmpo Covolução squêcis Torm o vlor iicil Torm o vlor fil 6.4. Torm covolução compl 6.4. Torm Prsvl 6.5 Aplicção m sistms lirs 6.5. Rprstção um sistm utilio trsform 6.5. Fução o sistm prtir qução ifrçs 6.5. Estbili cusli Obtção rspost m frquêci prtir o gráfico polos ros 65 Ercícios 67 Cpítulo 4 Trsform iscrt Fourir 7 4. Itroução 7 4. Trsform Fourir pr tmpos iscrtos 7 4. Trsform Discrt Fourir Trsform Discrt Fourir Ivrs Propris TDF Prioici Liri Dslocmto circulr () Dslocmto circulr m X() TDF squêcis ris Covolução circulr Covolução lir Uso DFT m ális spctrl 8 Ercícios 84 Cpítulo 5 Filtros Digitis Itroução Projto filtros igitis com rspost o impulso ifiit - IIR Métoo por proimção s rivs Métoo por ivriâci o impulso Métoo por trsformção bilir 9 5. Fmíli filtros lógicos Rspost Buttrworth Espcificçõs pr o projto filtros pss-bis Rspost Chbyshv Filtros Elípticos 5..4 Filtros Bssl Emplo projto um filtro IIR Plo métoo por proimção s rivs Métoo por trsformção bilir Projto filtros igitis com rspost o impulso fiit - FIR 5.5. Dfiição um filtro FIR 5.5. Coição fs lir 5.5. Loclição os ros um filtro FIR com fs lir 5.6 Projto filtros FIR por jls 5.7 Projto filtros FIR utilio jl Kisr Projto filtros FIR por mostrgm m frquêci 9 Ercícios Cpítulo 6 Projtos otimios filtros 5

4 6. Projto filtros FIR quirippl 5 6. Aproimção Pé 6. Métoo Proy 6.4 Projto filtros FIR plo métoo os míimos quros 4 Bibliogrfi 9 Apêics A Jls 4 A FFT 45 A Fórmuls tbls 5

5 Aprstção Procssmto igitl siis (PDS) é o trtmto qu s plic um sil tmpo iscrto. Est procssmto é cuto por mios igitis: computors ou procssors igitis. Com o vto os computors o iício éc 6, com o svolvimto lgoritmos como o trsform rápi Fourir - FFT (Coly Tuy 965), tm iício um ov tp o cmpo trtmto siis sus plicçõs. O svolvimto os microprocssors (éc 97) os procssors igitis (éc 98): mplirm s plicçõs PDS. Por volt 975 tm-s publicção os primiros livros importts o ssuto: Ophim, A. V. Schfr, R. W., Digitl Sigl Procssig. Rbir & Gol, Thory Applictios of Digitl Sigl Procssig. A mior prt os siis cotros são cotíuos o tmpo, por mplo, áuio, vío, tmprtur. Assim, pr o trtmto igitl, tm-s cssi covrtr s iformçõs m siis létricos tmpo cotíuos por mio trsutors m sgui igitlir sts siis, isto é: covrtr o tmpo cotíuo pr o tmpo iscrto (igitl) utilio covrsors AD. Os pricipis compots um sistm DSP típico são mostros figur. (t) Filtro (I) AD DSP DA Filtro (II) y(t) (t) () Filtro I: Filtro ti-lisig AD: Covrsor lógico igitl DSP: Computor igitl ou procssor igitl siis DA: Covrsor igitl lógico Filtro II: Filtro ti-imgig (filtro rcostrução) Figur : Compots um sistm pr procssmto igitl siis. Algums vtgs DSP: Progrmbili: Um implmtção m PDS é mis flívl, s qu é mis fácil s moificr (o softwr po sr tulio, rfito ou moifico). Estbili Rptibili: Aprst mlhor quli o sil, stbili rptibili o smpho o sistm, pois o sistm é rprsto form igitl implmtção é trvés lgoritmos qu ão pm tolrâci compots, vlhcimto, tc. Aplicçõs spciis: Algus procssmtos são rlios com mis ficiêci form igitl: comprssão, filtros com fs lir. Agums svtgs DSP: ão é coômico m plicçõs simpls: os covrsors AD DA, m grl crcm o sistm. Limitção m frquêci, cosumo lto potêci. Algums plicçõs DSP Grvção igitl áuio.

6 Comprssão siis vo áuio pr plicçõs m tlfoi igitl, rmmto m CD. Implmtção mom. Eriqucimto imgm comprssão. Síts fl rcohcimto. Prição siis ou sís sistms. Cotrol. Bioghri. Gofísic Est tto tm como objtivo prstr os luos iicits um borgm os tópicos básicos mtéri procssmto igitl siis. Aluos Eghri Elétric têm cssi trr o mrco trblho com lgum cohcimto básico PDS. A itção é prstr um tto itroutório pr sr utilio m cursos grução s árs Eghri Elétric, Eghri Computção árs fis, o ist cssi s trblhr com siis sistms tmpo iscrto. o cpítulo são itrouios os cocitos siis sistms tmpo iscrto como trblhr com sts os omíios o tmpo frquêci. São prstos tmbém os sistms lirs tmpo iscrtos sus frrmts mtmátics ális. o cpítulo são itrouios o cocito mostrgm prióic siis, o torm mostrgm sus fitos. Os cpítulos 4 são rsrvos, rspctivmt, pr prstção trsform trsform iscrt Fourir (TDF) com mplo plicção m ális spctrl. A trsform rápi Fourir, trvés o lgoritmo cimção o tmpo, é prst o pêic A-, pr os itrssos m cohcr tl lgoritmo. E os cpítulos 5 6 são utilios pr o stuo projtos filtros igits. o cpítulo 5 são stuos os projtos clássicos filtros sltivos m frquêci utilio os filtros com rspost o impulso ifiit (IIR) os projtos filtros com rspost o impulso fiit (FIR): projto por jls por mostrgm m frquêci. o cpítulo 6 são prstos lgus projtos otimios filtros, icluio o lgoritmo Prs-McClll pr filtros FIR os métoos proimção Pé, Proy métoo os míimos quros pr filtros IIR. Pr uilir o stuo outros ois pêics são icluíos: um pr jls (A-) um com formuls tbls utilis m PDS (A-). Mrclo Bsilio Joquim

7 - - Cpítulo SIAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO. Itroução Um sil po sr fiio como um quti físic, vrit o tmpo qu trsport iformção rspito o comportmto um sistm. Em grl, l é rprsto mtmticmt como um fução um ou mis vriávis ipts (tmpo, spço, tc.), porém, st stuo, ls srão mitis fuçõs com somt um vriávl ipt, o tmpo. O moo mis comum s clssificr um sil é ivii-lo m us importts clsss. Os trmiísticos os ltórios. Os siis trmiísticos são quls utilios pr propósitos tsts, molgm crctrição sistms. Dtr ls po-s stcr: os siis soiis, o qur, fução gru uitário, fução impulso, tc. Els são bm fiios m grl rprstos ou scritos por um fução mtmátic ou gráfic, o s cohc o su vlor m qulqur istt tmpo, prst, psso ou futuro. Amplitu, frquêci fs são os sus pricipis prâmtros. sgu ctgori rcm os siis iformção proprimt itos quls provits tur, tis como: siis vo, áuio, vío, tmprtur, os igitis tmbém o ruío. Dvio à tur ltóri, ls só pom sr scritos utilio como fumto tori probbilis lgums propris qu prstm, como por mplo, stciori trvés lgums méis tis como: vlor méio, vlor qurático méio, vriâci svio prão, fução utocorrlção spctro si potêci. A vriávl ipt tmbém é um outr quti muito importt pr clssificr os siis. Os siis tmpo cotíuo são clssificos por um vriávl ipt qu po ssumir qulqur vlor tro um fi cotíu qu po s str té o ifiito; sts siis são chmos mis rrmt lógicos. Já os siis tmpo iscrto são fiios m istts tmpos iscrtos, t, Z. A vriávl ipt ssum vlors iscrtos, provvlmt ão umrávl, portto ls são rprstos por um squêci úmros. A mplitu o sil tmbém po sr iscrt ou cotíu. o cso iscrto l é quti, isto é proim pr um vlor prtct um cojuto fiito mplitus m sgui coific igitlmt. st cso têm-s os siis igitis, o tto mplitu quto o tmpo são qutis iscrts. st stuo, miori s vs ão s frá hum rfrêci com rlção à mplitu, form tl qu os siis srão mitios tmpo iscrto, ms cuj mplitu po ssumir qulqur vlor tro um fi cotíu prtct os úmros ris. Um sistm po sr fiio como um ispositivo qu rli um oprção mtmátic m um sil. Como um mplo sistm po s citr um filtro utilio pr ruir ruío ou itrfrêcis m um sil plico m su tr. Os sistms pom sr clssificos o msmo moo qu os siis. Sistms cotíuos ou lógicos são quls m qu s trs sís são siis tmpo cotíuo. Os iscrtos são quls cujs trs sís são siis tmpo iscrto os igitis são quls cujs trs sís são siis igitis. Quo s pss um sil trvés um sistm imos qu l foi procsso, í o om procssmto siis. st cpítulo srão stuos os pricipis cocitos propris pr siis sistms tmpo iscrto.. Siis tmpo iscrto Os siis tmpo iscrto são m grl, origios trvés mostrgm o sil cotíuo, cujo itrvlo mostrgm é costt spcifico plo torm yquist, qu srá stuo o

8 - - cpítulo. Como um mplo um sil cotíuo um tmpo iscrto, cosir o sguit sil pocil, t () t (.) Est sil é fiio pr qulqur istt tmpo o itrvlo - < t <, como mostr figur..., so portto um sil tmpo cotíuo. Amitio gor, qu st sil é fiio somt os istts t :, ±, ±,..., como mostr figur..b, tão st ovo sil pss sr tmpo iscrto. st cso tm-s qu, ( t ) t, ±, ±, L (.).5 ( ) ( b ).5 t Figur.: Rprstção gráfic o sil s quçõs (.) (.). figur..b o sil iscrto é rprsto por rts (ris) prlls o io tmpo iscrto. Obsrv qu s spcific rspito o sil mostro tr ois itrvlos jcts t t pois vriávl é fii somt pr vlors iscrtos. Isto ão implic qu l ão prst vlors sts itrvlos, ms somt qu ão é fiio. Os istts tmpo são rgulrmt spços tis qu t T (T é chmo itrvlo ou príoo mostrgm). A otção comumt utili pr st tipo sil é () (T ) o sil pss sr rprsto por um squêci úmros {()}. Amitio, por mplo, qução (.) T, s, tm-s sguit squêci,. ( ), ±, ±, L (.) Como foi comto cim, um sil tmpo iscrto é ssocio um squêci úmros {()} como quls covciolmt utilis m mtmátic. Assim é itrsst spcificr s oprçõs básics qu s rlim com squêcis. () Som squêcis ( ) ( ) ( ) y Som-s mostr com mostr s squêcis iiviuis. Obsrv qu sts squêcis vm prstr o msmo tmho. o cso squêcis com tmhos ifrts o problm po sr rsolvio crscto-s ros à squêci mor tmho. (b) Prouto squêcis ( ) ( ). ( ) y Multiplic-s mostr por mostr s squêcis iiviuis. Obsrv qu, como triormt, sts squêcis vm prstr o msmo tmho. (c) Multiplicção por um sclr α y ( ) α( )

9 - - Multiplic-s c lmto squêci por α. () Atrso m um squêci y ( ) ( ) Em qu, é um úmro itiro positivo qulqur. Obsrv qu o istt, y() (- ), ssim, y() stá trs por mostrs m rlção à (). S for um úmro gtivo tão s i qu y() stá vç por mostrs m rlção ().. Siis tmpo iscrto básicos Eistm lgus siis iscrtos qu são muito utilios o svolvimto tori procssmto igitl siis o stuo, molgm tst sistms. Algus sts siis são fiios sguir... Squêci mostr uitári, δ( ) (.4), Est tipo sil ou squêci smph o msmo ppl qu fução impulso uitário δ(t) smph os sistms cotíuos o tmpo. El tmbém é chmo, sm istição com os sistms cotíuos, fução impulso, impulso uitário ou pulso uitário. Qulqur squêci () po sr rprst por um squêci por fuçõs mostrs uitáris tis qu: ( ) L δ( ) δ( ) δ( ) δ( ) δ ( ) L (.5) m qu: ()... Squêci gru uitário, u ( ) (.6), < Est squêci é muito útil quo s prt istiguir íics positivos (tmpo positivo) os gtivos. Itificmos ssim, os siis cusis, isto é, siis qu são ulos pr <, ou sj, qu prstm vlors somt pr íics positivos. Pr st squêci s sguits rlçõs são vális:.. Squêci pocil ( ) δ( ) δ( ) u (.7) ( ) u( ) u( ) δ (.8)

10 - 4 - ( ) α (.9) Est squêci é muito utili m procssmto igitl siis. El prc com frquêci o stuo sistms lirs tmpo iscrto. Um sistm lir primir orm prst como rspost o impulso um fução pocil, como srá visto mis it. Um squêci pocil cusl é rprst como bio, ( ) α u( ) (.) ssim, l prst toos os sus vlors ulos pr <. o cso α < l tom form um pocil mortci com mostr figur Squêci soil Figur.: Sil pocil. Um sil soil tmpo iscrto é um oscilção hrmôic qu po sr prss por um s forms mostrs bio, ( ) A cos( πf φ) A cos( w φ) (.) ( ) As( πf φ) As( w φ) (.) j ( ) ( πfφ) j( w φ) A A (.) A qução (.) rprst form compl sói s outrs us triors rprstm s forms ris. Est sil possui três prâmtros qu o crctrim compltmt: mplitu A, frquêci w o âgulo fs φ Figur.: Sil soil tmpo iscrto. É cssário fr um obsrvção importt com rlção à frquêci os siis cotíuos os iscrtos. As ltrs miúsculs Ω F srão utilis pr rprstr s frquêcis lógics s miúsculs w f srão utilis pr rprstr s frquêcis igitis. st cso w tm ui rios por mostr f ui ciclos por mostr stão rlcios por: w πf (.4)

11 - 5 - As frquêcis lógics igitis stão rlcios plo príoo ou pl frquêci mostrgm o sil como sgu, F f FT (.5) F m qu, T é o príoo mostrgm o sil. Obsrv qu quo for cssário trmir frquêci um sil lógico qu grou o mostro bst multiplicr frquêci igitl pl mostrgm. Pr mostrr st rsulto, cosir o sguit sil soil tmpo cotíuo, ( t) A cos( πft φ) Amitio qu s colh um mostr st sil c T sguos tão o sil mostro srá o por: ( T ) A cos( πft φ) Cosiro f FT, como iico pl qução (.5), tm-s qu: ( ) A cos( πf φ) Propris um sil soil tmpo iscrto ) Siis soiis cujs frquêcis são sprs por múltiplos itiros π são iêticos. [( w πm ) φ] cos[ w πm φ] cos[ w φ] cos b) A t mis lt oscilção pr siis tmpo iscrto é obti quo w π ou f.5. Pr provr st propri, cosir um squêci () tl qu: ( ) A cos( w ), m qu : < < π w Sj um outr squêci (), com frquêci mior qu π, tl qu: ( ) A cos[ ( w π) ] Assim, pricípio, frquêci () sri w π, ms st firmção ão é vrir pois: ( ) A cos[ ( w π) ] A cos[ ( w π π) ] Pl propri trior, propri () i rlmbro qu fução cosso é pr tm-s qu: ( ) A cos[ ( w π) ] A cos[ ( π w ) ] Assim, frquêci st sil srá π - w, logo l prtc o itrvlo (,π). Portto frquêci oscilção mis lt é obti quo w π. c) Um sil soil iscrto é prióico s somt s frquêci for um úmro rciol.

12 - 6 - Dfiição: S um squêci () é prióic, com príoo, tão () srá igul (), m qu é o mor itiro qu stisf rlção () (). Sj: S () é prióic tão: ( ) A cos( πf ) ( ) A cos( πf ) A cos[ πf ( )] A cos( πf πf ) Obsrv qu pl propri () rlção cim é vrir s istir um úmro M, itiro tl qu: f πm f π Portto f v sr um úmro rciol pr squêci sr prióic. ) Um sil soil po sr obtio pls rlçõs Eulr: j θ jθ M cos ( θ) (.6.) j θ jθ s( θ ) (.6.b) j θ ( θ) j s( θ) j cos (.7).4 Algums fiiçõs sobr siis tmpo iscrto.4. Ergi A rgi um sil tmpo iscrto é fii pl sguit qução: E ( ) (.8) S o sil () prstr rgi fiit l é chmo sil rgi. Os siis urção fiit, isto é, quls qu prstm somt mostrs ão uls, têm smpr rgi fiit. Os siis urção ifiit qu prstm rgi fiit são crctrios por vlors mostrs qu tm ro coform t ifiito..4. Potêci ( ), coform E < (.9) Em grl, os siis prióicos os procssos ltórios prstm rgi ifiit. Pr sts csos é propri fiição potêci méi qu é pl sguit qução:

13 - 7 - P lim ( ) (.) S o sil é prióico, com príoo fumtl, tão potêci méi é fii por: ( ) P (.) α Emplo : Dtrmi rgi o sguit sil: ( ) A u( ), : α < α A ( ) α α α A A A E Emplo : Dtrmi potêci squêci gru uitário u(). P lim u ( ) lim lim / lim / Emplo : Dtrmi potêci um sil complo, composto pl som us compots soiis, com frquêcis w w ifrts, tis qu: ( ) A A m qu, A A são costts ris positivs. - Cálculo () ( A A )( A A ) * ( ) ( ) ( ) A A A A - Cálculo Potêci P lim A A j( w w ) j( w w ) ( ) j( w w ) j( w w ) [ A A A A ( )] A A lim j( w w ) j( w w ) ( ) j( w w ) lim j( w w ) j( w w Emio o limit: ( ) ) L lim Portto: P A A Po-s mostrr tmbém qu pr M sóis compls istits potêci méi srá:

14 - 8 - P M A (.) st mplo form cosiros siis soiis complos. Pr situção m qu s tm M siis soiis ris com frquêcis istits, potêci méi srá por: P M A (.).4.. Squêcis simétrics ti-simétrics Sj () um squêci compl * () o su cojugo. Um squêci é chm simétric (pr) s: ( ) * ( ) Um squêci é omi ti-simétric (impr) s: ( ) * ( ) É possívl tmbém obtr um squêci simétric () ou um ti-simétric o () prtir um squêci qulqur () trvés s sguits prssõs: [ ] * ( ) ( ) ( ) (.4) o [ ] * ( ) ( ) ( ) (.5).5 Sistms tmpo iscrto Os sistms tmpo iscrto são fiios o msmo moo qu os sistms cotíuos. Els são fiios mtmticmt como um trsformção qu s opr m um squêci tr () prouio um squêci sí y() chm rspost o sistm à citção (). Est trsformção é rprst pl sguit rlção: [ ( )] y ( ) T (.6) m qu o opror T[.] rprst trsformção su rprstção gráfic é fit plo igrm blocos mostro figur bio. () T[()] y() Figur.4: Rprstção um sistm tmpo iscrto. Emplo 4: Sgu sguir lgus mplos sistms tmpo iscrto qu são muito utilios m procssmto igitl siis: ) Sistm trso y ( ) ( ) (.7)

15 - 9 - Amitio um úmro itiro positivo, st sistm trs (sloc) o sil tr por mostrs. o cso sr gtivo l vç pl msm quti mostrs. b) Acumulor O sistm cumulor clcul som toos os vlors pssos tr té o istt prst (tul). El é fiio pl sguit qução: ( ) ( ) y (.8) Isolo o trmo orm prssão cim s tm qu: y ( ) ( ) ( ) Obsrv qu o sguo trmo qução cim rprst sí trs mostr. Assim: ( ) ( ) y( ) y (.9) A qução (.9) justific o trmo cumulor, pois sí p o vlor prst tr o vlor trior y(-) sí. Além isso, su rspost ão é uicmt trmi pl tr, ms p s coiçõs iiciis o sistm, isto é, o sto o sistm ts s plicr citção. Cosiro, por mplo, qu o sistm qu é plico fução u(), po-s obsrvr qu sí p y(-). - mitio y(-) tm-s: y ( ) u( ) y( ) - mitio y(-) tm-s: ( ) y ( ) u( ) y( ) ( ) Obsrv qu os rsultos triors mostrm qu sí p y(-). Frqutmt, quo s coiçõs iiciis são uls, isto é, y(-) y(-)..., o sistm é ito str m rpouso (ou rlo). c) Sistm sm mmóri Um sistm sm mmóri é qul cuj sí p somt tr o istt. Por mplo, o sistm fiio pl qução (.) ão tm mmóri..5. Sistms lirs tmpo iscrto ( ) [ ( ) ] y (.) Um sistm lir tmpo iscrto (qu srá brvio pl sigl (LTD) é qul qu obc o pricípio suprposição, isto é: Amitio y (), y (),..., y M () s rsposts o sistm corrspots, rspctivmt, às citçõs (), (),..., m (), tão o sistm é lir s somt s :

16 - - T T [ ( ) ( ) ( ) ] T[ ( ) ] T[ ( ) ] L T[ ( ) ] L M M [ ( ) ( ) ( ) ] y ( ) y ( ) L y ( ) L M M M M (.) m qu, M é um úmro itiro qulqur,,..., M são costts. Emplo 5: Emplos ois sistms lirs: ) O sistm y() () é lir pois: [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) y ( ) y ( ) T b) O cumulor fiio pl qução (.8) é um sistm lir pois: y ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) y ( ) y ( ).5. Sistms lirs ivrits o slocmto Um sistm LTD ivrit o slocmto é qul cuj crctrístic ão vri com o slocmto provoco tr. Assim, um sistm LTD é ivrit o slocmto s somt s: T [ ( )] y( ). (.) M M Emplo 6: Emplos sistms ivrits vrits o slocmto: Sj y (, ) sí o sistm quo s plico m su tr um squêci ( ) ) O ifrcior, y() () (-) é ivrit o slocmto pois: y (, ) ( ) ( ) y( ). b) O sistm y() () é vrit o slocmto pois quo é plico (- ) tm-s: y (, ) ( ) y( ) ( ) ( ) c) O sistm y() (-) é vrit o slocmto pois: Sj: ( ) ( ), tão: y ( ) ( ) ( ) y( ) ) O comprssor y() (M) é vrit o slocmto ão sr qu M. Sj: ( ) ( ), tão:.5. Sistms cusis y ( ) ( M) ( M ) y( )

17 - - Um sistm é chmo cusl s o sil prst su sí y(), m qulqur istt, p somt os vlors os istts pssos sí os istts prst pssos tr {(), (-), (-),...}, ão p os vlors futuros {(), (),..., y(),...}. Um outr fiição muito usul pr os sistms cusis é qu sgu: Um sistm é chmo cusl s pr qulqur istt su sí o istt p os vlors tr pr. Emplo 7: Emplos sistms cusis: ) y ( ) ( ) ( ) ) y ( ) ( ) ) y ( ) ( ) by( ) Emplo 8: Emplos sistms ão cusis: ) y ( ) ( ) ( 4) ) y ( ) ( ) ) y( ) ( ) 4) y( ) ( ).5.4 Sistms stávis Um sistm m rpouso, é stávl s somt s pr um squêci tr limit tm-s um sí limit, isto é: m qu B B y são costts fiits. Emplo 9: Emplos sistms stávis ) y( ( ) ( ) ) y ( ) [ ( ) ] ) y ( ) ( M) Emplo : O cumulor é um sistm istávl. ( ) B < y( ) B <, (.) y ( ) ( ) Sj () u() qu é limit, pois o vlor máimo fução gru uitário é. Etão: y

18 - - y ( ) u( ), <, Obsrv qu mbor sj fiito, ão ist um vlor fio pr B y, como fiição m (.), tl qu: ( ) B y <..5.5 Rprstção m igrm blocos os sistms tmpo iscrto Srá útil st prt fr um pqu itroução à rprstção por igrm blocos os sistms LDT, pois l fcilit o stuo su implmtção. As pricipis oprçõs m sistms tmpo iscrto são mostrs plos blocos bio. ) Bloco somor () y() () () () b) Bloco multiplicor () y() (). () () c) Bloco multiplicor por costt () () y() () ) Bloco slocor mostrs () - y() ( ) Em qu - é um opror trso qu sloc () por mostrs o sil. Est rsulto ficrá prt o stuo trsform, o cpítulo. Emplo : Rprst trvés igrm blocos o sguit sistm: y ( ) y( ). 5( ). 5( ) Rrrjo qução cim moo s coomir um bloco multiplicor tm-s qu: y ( ) y( ). 5[ ( ) ( ) ]

19 - - ().5 y() - - (-) y(-) Figur.5: Digrm m blocos o sistm..5.6 Sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto As fiiçõs s triormt clssificm os sistms quto às su propris ctgoris tis como: liri, ivriâci o slocmto ou o tmpo, cusli stbili. Os sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto qu srão brvios por LID São os mis importts sts sistms. Els são crctrios o omíio o tmpo por su rspost à fução mostr (ou impulso) uitári como srá visto sguir, prssão grl qu rlcio tr sí tis sistms é pl som covolução. Pr s trmir rspost o sistm um citção tr () qulqur, srá mitio qu h() é rspost o sistm LID à fução mostr uitári. Como foi visto triormt, vj qução (.5), um squêci () po sr scrit como um som por fuçõs mostrs uitáris, tl qu: ( ) ( ) δ( ) (.4) Assim, por fiição, rspost um sistm vio à citção tr () srá por: ( ) [ ( )] y T T ( ) δ( ) (.5) Como por hipóts, o sistm é lir, tão, plico o pricípio suprposição tm-s qu: y ( ) ( ) T[ δ( ) ] Como, tmbém por hipóts, o sistm é mitio sr ivrit o slocmto, tão rspost á citção δ(-) srá h(-), logo, ( ) ( ) h( ) y (.6) Obsrv qu tr sí stão rlcios trvés h(), como cosquêci, um sistm LID é crctrio compltmt pl su rspost á fução mostr uitári, h(). Assim, um v qu é fução h(), po-s trmir squêci sí y() vio à citção tr () trvés qução (.6). A qução (.5) é cohci plo om som covolução ou simplsmt covolução tr () h(), so rprst plo opror *, isto é,.5.7 A som covolução y( ( ) h( ) ( ).\ (.7)

20 - 4 - Supoh qu s qur clculr sí o sistm m um istt qulqur,. Utilio qução (.6) tm-s qu: y ( ) ( ) h( ) (.8) Obsrv st qução qu som é rli os íics ão os íics, lém isso, st íic é ivrtio rspost o impulso o sistm. Dss moo po-s rsumir como sgu s oprçõs volvis som covolução: i. Rbt-s h() m toro pr s obtr h(-), ii. Dsloc-s h(-) por mostrs á irit, s for um úmro positivo (ou à squr s for gtivo), iii. Multiplic-s c lmto () por h( ) pr s obtr squêci ()h( ), iv. Somm-s toos os vlors squêci prouto pr s obtr y( ), v. Rptm-s os pssos cim pr toos os vlors possívis moo obtr-s y(). Emplo : Dtrmi som covolução tr s sguits squêcis: h() {,,, -} () {,,, }. O úmro m grito iic o vlor squêci pr o íic. - Rbtimto h(): h(-) {-,,, } - Cálculo y(): h ( ) ( ) y ( ) 4 - Cálculo y() h ( ) ( ) 4 y () 8 - o fil, clculo covolução pr -,,,..., 5, obtmos y(). Pr os outros vlors os rsultos são ulos. y() {, 4, 8, 8,, -, -} ot st mplo qu o tmho squêci () é M 4, o tmho h() é 4 o y() é L 7. Como rgr grl tm-s qu pr squêci tmho fiito covolução prou um squêci fiit tmho: L M. (.9) Um outr obsrvção importt é qu pr os sistms cotíuos, lirs ivrits o tmpo, rlção tr tr sí é rgi pl itgrl covolução, st cso é possívl somt stur

21 - 5 - o comportmto tórico sts sistms. Já os sistms LID são rgios pl som covolução m qu é possívl, ão somt stur o comportmto tórico, ms tmbém rliá-lo utilio procssors igitis trvés implmtção um lgoritmo qu rsolv qução (.6) Propris covolução sistms LID ) A som covolução é comuttiv, isto é, b) A covolução é ssocitiv, isto é, ( ) ( ) * h( ) h( ) * ( ) h( ) ( ) y (.4) ( ) [ ( ) * h ( ) ]* h ( ) ( )* [ h ( ) * h ( ) ] y (.4) Est propri é itrprt o sguit moo: Dois sistms itrcoctos m csct corrspom um sistm quivlt cuj rspost o impulso é covolução s rsposts o impulso iiviuis os ois sistms. () h () h () y() () h ()*h () y() c) A covolução é istributiv, isto é, Figur.6: Itrprtção li ssocitiv. ( ) ( ) * h ( ) ( ) * h ( ) ( ) * [ h ( ) h ( ) ] y (.4) Dois sistms m prllo corrspom um sistm cuj rspost o impulso é som s rsposts iiviuis os sistms. h () () y() h ()h () () y() h () Figur.7: Itrprtção li istributiv..5.8 Cusli stbili m sistms LID Pr os sistms lirs iscrtos ivrits o slocmto, s propris cusli stbili pom sr protmt vrifics trvés ális rspost o impulso o sistm. ) Cusli Cosir sí um sistm LID m um o istt. Dss moo: y ( ) h( ) ( ) Dsobro qução cim m us quçõs tm-s qu:

22 - 6 - y y ( ) h( ) ( ) h( ) ( ) ( ) [ L h( ) ( ) h( ) ( ) ] [ h( ) ( ) h( ) ( ) L] O primiro trmo tr colchts volv os vlors futuros (): ( ), ( ),... Como o sistm é cusl su rspost ão po pr sts vlors (futuros), ssim, o primiro trmo v sr ulo. Pr qu ls sjm ulos v-s tr portto: h(-) h(-)..., ou sj rspost o impulso v stisfr sguit coição: ( ), < h (.4) Amitio qu s stj trblho com um sistm cusl, os limits somtóri covolução pom sr moificos moo rfltir coição stblci pl qução (.4). ( ) ( ) h( ) h( ) ( ) y (.44) lém isso, s squêci tr () tmbém for cusl, tão: y ( ) ( ) h( ) h( ) ( ) (.44) b) Estbili A stbili é tmbém um propri muito importt sr vrific implmtção um sistm. Como posto triormt, um sistm é stávl s pr um tr limit sí tmbém srá limit. ovmt, utilio qução covolução mitio qu () B <, tão móulo squêci sí é, ms, por hipóts () B, tão: ( ) h( ) ( ) y (.45) y ( ) h( ) ( ) ( ) B h( ) y. Assim, pr qu o sil sí sj limito v-s tr qu: ( ) B < h. (.46) h Portto, pr qu um sistm LID sj stávl, rspost o impulso v sr bsolutmt somávl. Est é um coição cssári suficit, lém isso l iic qu h() v sr mortci, isto é, cir pr ro coform s proim o ifiito.

23 - 7 - A rspost o impulso um sistm tmpo iscrto srv tmbém pr clssificá-los m rlção à su urção: - Os sistms FIR (brvição o iglês fiit impuls rspos) são quls cuj rspost o impulso é fiit, isto é têm urção limit. - Os sistms IIR (brvição o iglês ifiit impuls rspos), isto é, quls cuj rspost o impulso é ifiit. Est omcltur srá muito utili m projto filtros igitis. Obsrv qu os sistms FIR são smpr stávis, pois h() prst urção fiit..6 Equção lir ifrçs com coficits costts Um s forms s scrvr um sistm LID é trvés su rspost o impulso cosqutmt trvés som covolução, cotuo, miori os csos é cssário ou sjávl prssr o comportmto o sistm m trmos os vlors prst pssos o sil tr, tmbém os vlors pssos o sil sí. Pomos rprstr os sistms iscrtos trvés qução lir ifrçs. st cso o sistm é protmt implmto trvés blocos somors, multiplicors trso. Além isso, l srv como bs pr obtção rspost m frquêci o sistm, como srá visto mis it. A form grl pr um sistm LID scrito trvés um qução lir ifrçs é por: y ( ) y( ) b ( ) M (.47) m qu os coficits b são prâmtros costts o sistm. Um form quivlt scrvr st sistm é trvés qução bio: y M ( ) b ( ) (.48) m qu é mitio sr igul, o limit somtóri é chmo orm o sistm. Obsrv qu qução (.47) prss rspost o sistm LID como um som por os vlors pssos y(), y(-), y(-),..., y(-), os vlors prst pssos, (), (-),..., (-M), por isso st qução tmbém é chm rcursiv pois sí p vlors triors tr sí. Além isso pr s trmir y() é cssário o cohcimto s coiçõs iiciis o sistm, isto é, y(-), y(-),..., y(-). A qução (.47) é form grl um qução lir ifrçs rprst um sistm cuj rspost o impulso é ifiit (sistm IIR). o cso sistms com rspost o impulso fiit (sistms FIR), sí p somt os vlors prsts pssos tr. Dss moo, :,,..., fic fácil mostrr qu rspost o impulso h() é plos próprios coficits b, ou sj: h ( ) b,,, L, M, cso cotrário (.49) Emplo : Dtrmi qução ifrçs pr o sistm cumulor: y ( ) ( )

24 - 8 - y ( ) ( ) ( ) y( ) ( ) Assim, st sistm é rprsto por um qução lir ifrçs tl qu compro com qução (.48) tmos:,, M b. () y() y(-) - Figur.8: Digrm m blocos o cumulor..6. Solução qução ifrçs A solução qução ifrçs, qução (.47), é compost us prts: A rspost turl (ou homogê), y (), qu é vi um tr ul, (), rspost prticulr (ou forç) y p (), vi um tr ão ul. A rspost totl o sistm é o rsulto s us rsposts triors. y ( ) y ( ) y ( ) (.5) Pr s trmir y() é cssário o cohcimto s coiçõs iiciis o sistm, isto é, o cohcimto y(-), y(-),..., y(-). S s coiçõs iiciis são uls o sistm stá m rpouso, pois ão há rmmto rgi s mmóris o sistm. p A rspost turl A rspost turl é solução qução homogê, El prst sguit form: ( ) y (.5) y ( ) i c iri (.5) Em qu r i são s rís o poliômio crctrístico o sistm: i i r (.5) Rsolvo qução cim clculmos r i os coficits c i são trmios moo stisfr s coiçõs iiciis. Pr o cso m qu um ri é rpti M vs, vm-s crsctr os trmos: r j, r j M j, L, r (.54) A rspost prticulr (forç)

25 - 9 - A rspost forç é solução qução ifrçs mitio um tr ifrt ro. Como stmos mitio um sistm lir, rspost é obti supoo qu sí th msm form tr, por mplo, pr um tr soil sí tmbém srá soil provvlmt moific m mplitu fs plo sistm. A tbl bio rsum s soluçõs pr s trs mis comus utilis os sistms. Tbl : Solução prticulr pr lgums trs. Etr Solução prticulr (costt) c (costt) c w φ cos w c s w cos( ) ( ) ( ) c Emplo 4: Dtrmi rspost totl o sistm LID rprsto pl qução ifrçs: y ( ) 4y( ) ( ) quo plicmos tr fução gru uitário. Amit s sguits coiçõs iiciis: y(-) y(-). Obsrv qu -4 - Rspost turl: r 4 r ± portto: y ( ) c ( ) c ( ) - Rspost prticulr: obsrv qu tr vl pr, logo y p ( ) c. Substituio qução ifrçs tm-s: 4c c y c p ( ), - Rspost totl: y( ) y ( ) y ( ) c ( ) c ( ) p As costts c c são trmis utilio s coiçõs iiciis. Assim, y y 4 4 ( ) c ( ) c ( ) c c ( I ) ( ) c ( ) c ( ) c c ( II ) Combio s quçõs (i) (II) tm-s qu: c c 8 Portto rspost totl srá: y 4 4 / ( ) 4( ) ( ) 8.6. Rspost o impulso

26 - - A rspost o impulso um sistm po sr cotr trvés rspost o gru uitário, supoo qu o sistm stj m rpouso, isto é, com coiçõs iiciis uls. Amitio s() como rspost m rpouso à fução gru, tão, pl qução (.8), rspost o impulso srá h() s() s(-). Emplo 5: Dtrmi rspost o impulso o sistm o o mplo 4. Pr trmir rspost o impulso mitimos y(-) y(-), logo, y y 4 4 ( ) c ( ) c ( ) c c ( I ) ( ) c ( ) c ( ) c c ( II ) Combio s quçõs (i) (II) tm-s qu: c c / Assim, rspost totl srá: s( ) ( ) ( ) E rspost o impulso srá h() s() s(-): h ( ) ( ) ( ).7 Rprstção siis sistms iscrtos o omíio frquêci Dvio o fto qu quo o sil tr é soil sí um sistm lir é tmbém um sil soil com msm frquêci tr, mplitu fs trmis plo sistm, rprstção siis trvés compots soiis ou tão pociis compls é muito usul tori prátic sistms lirs. Cosir um sistm LDI, com rspost o impulso h(), m cuj tr é plic um squêci pocil compl form: ( ), : < < (.55) A sí o sistm srá pl som covolução tr tr () rspost o impulso o sistm h() tl qu: Como o íic ão tr somtóri, ( ) ( ) ( h ) y (.56) Vmos fiir sguit fução: ( ) h( ) y (.57)

27 - - ( ) h( ) H (.58) Est fução é chm Rspost m Frquêci o sistm. Obsrv qu l scrv ltrção mplitu pocil compl,, m fução su frquêci. A qução (.58) mis é qu trsform Fourir squêci h(). Assim, pomos scrvr qu sí o sistm srá: ( ) H ( ) y (.59) A sí, y(), é um pocil compl msm form qu tr, ms moific pl mplitu fs H( ). Fic ssim prt qu H( ) crctri compltmt um sistm lir. Em grl, rprst-s rspost o sistm por um rspost mplitu (móulo H( )) um rspost fs tl qu: H j H ( ) H ( ) ( ) (.6) O trmo H( ) trmi mplificção (s H( ) > ) ou tução (s H( ) < ) qu o sistm impõ o sil tr o trmo H( ) trmi quti slocmto fs impost o sil soil tr. Assim o móulo rspost m frquêci, H( ) é chmo rspost mplitu o sistm o trmo H( ) é chmo rspost fs Emplo 6: Cosir o sistm trso: y() ( ). Aplico squêci pocil compl () tr st sistm tm-s qu: y ( ) ( ) Compro qução cim com (.59), cocluímos qu rspost m frquêci o sistm srá por: H ( ) H H ( ) ( ) w O cocito rspost m frquêci pr os sistms lirs ivrits o tmpo é o msmo, tto pr os sistms cotíuos como pr os iscrtos. Cotuo, rspost m frquêci pr os iscrtos tm um ifrç fumtl, l é smpr prióic, com príoo igul π. Pr obsrvr st crctrístic cosir um frquêci w w π qução (.6). Assim: j ( ( w π) j ) ( ) ( w π ) H h h( ) como -jπ cos(π) js(π), tão: jπ j ( ( wπ) H ) h( ) H ( ) (.6) Portto H( ) é prióic, com príoo π. Dss moo, por coviêci simplici l srá smpr prss m um os itrvlos bio:

28 - - w < π π < w π ou f <.5 < f.5 Emplo 7: Dtrmi rspost m frquêci o sistm cuj rspost o impulso é bio, tmbém squêci sí, quo squêci tr é por: () A jπ/. h ( ) u( ) - Cálculo rspost m frquêci o sistm, qução (.58): H ( ) h( ) - Dtrmição squêci sí, qução (.59): y jπ / jπ / jπ / j ( ) ( ). jπ / j( π / H A A A A ). j Est mplo mostr qu sí cotiu so um pocil compl com msm frquêci tr, com um slocmto fs provoco plo sistm igul. rios um ltrção mplitu plo ftor /. As msms coclusõs srim vlis s tr foss um squêci soil rl. S tr o sistm cosistir mis qu um sil soil plic-s o pricípio suprposição..8 Trsform Fourir pr squêcis O pr trsforms Fourir pr um squêci ou sil iscrto () é fiio pls sguits quçõs: ( ) ( ) X (.6) π π ( ) X ( ) w. (.6) π A qução (.6) é trsform Fourir irt pr squêcis ou siis iscrtos, tmbém chm qução ális, qução (.6) é trsform Fourir ivrs ou qução síts pois rprou () prtir su spctro frquêci. A trsform X( ) é um fução compl portto é usul scrvê-l form polr, isto é, X j X ( ) X ( ) ( ). (.64) O móulo trsform é cohcio como spctro mplitu, fs como spctro fs. O spctro fs ão é trmio uicmt, s qu qulqur itiro múltiplo π po sr somo à fs sm ftr o rsulto fil. Em grl, trmi-s o vlor pricipl, itifico por

29 - - ARG[X( )] com vlors tr ± π. Como iscutio sção trior, tto o spctro fs como o mplitu são prióicos com príoo π. Um prgut qu s origi urt o cálculo trsform é: Qul clss siis tmpo iscrto qu po sr rprst pl trsform Fourir? st cso v-s lisr covrgêci trsform. Pr qu trsform ist, qução (.6) v covrgir, isto é, coição bio v sr stisfit: Obsrv qu: ( ) < : w < π X (.65) ( ) ( ) ( ) X, ( ) ( ) < X. (.66) Portto, coição suficit pr qu trsform Fourir ist é qu () sj bsolutmt somávl. Emplo 8: Dtrmi trsform Fourir squêci () u(). X ( ) ( ) Obsrv qu séri cim é um progrssão gométric com rão -. Amitio qu - <, o qu é quivlt mitir qu <, tm-s qu: X ( ) (.67) A coição trior < implic squêci () é bsolutmt somávl, grtio covrgêci uiform séri Um obsrvção importt s fr é qu istm lgums squêcis qu ão grtm coição qução (.66), ms msmo ssim é possívl cotrr su trsform Fourir. Em prticulr, é possívl rlr st coição clculr trsform Fourir squêcis cuj rgi é ifiit. Eistm outros csos o s squêcis ão são m bsolutmt somávis, m têm rgi fiit, ms é possívl clculr trsform fo uso fução impulso uitário. (Vj Ophim, 989, mplo pp 49)..8. Espctro si rgi Foi fiio sção.. qu rgi um sil é por: E * ( ) ( ) ( )

30 - 4 - Utilio fiição trsform ivrs Fourir, qução (.6), trsform Fourir ivrs o cojugo um squêci é, π π * ( ) X ( ) w π substituio qução cim s tm qu: E * π * ( ) X ( ) π π Troco orm s oprçõs somtóri com itgrl, π * E X π π w ( ) ( ) w Obsrv qu quti tr prêtsis é trsform Fourir (). Assim, rgi () po sr trmi utilio su trsform Fourir, ou sj, π π π ( ) X ( ) w X ( ) * E X w π π π (.68) A quti: ( ) X ( ) S (.69) rprst istribuição rgi squêci () m fução frquêci por isso msmo l é chm Espctro Dsi Ergi () Emplo 9: Dtrmi trsform Fourir o spctro si rgi squêci, ( ) A,, < M c. c. Amitio qu M sj um úmro fiito, () é bsolutmt somávl portto prst trsform Fourir, pois, Cálculo X( ): X M ( ) A M A < M M ( ) ( M A A A ) / sw / O móulo fs o spctro são: swm /

31 - 5 - X swm / A, π w < π ( ) X ( ) w( m ) / sw / M A, w O spctro si rgi é o plo quro o móulo X( ), ssim: S ( ) swm / A sw / 5 4 -π -4π/M -π/m π/m 4 π/m w π - w -π -4π/M -π/m π/m 4π/M π Figur.9: Espctro mplitu fs pr o mplo 7, mitio A M Propris trsform Fourir pr siis iscrtos o cálculo trsform Fourir, o cohcimto utilição crts propris fcilitm o uso itrprtção os rsultos. ) Simtri Quo o sil stisf crts propris simtri o omíio o tmpo, sts impom crts propris trsform. Ats listr sts propris cosir s sguits fiiçõs: [ ] * Squêci cojug simétric: ( ) ( ) ( ) ( ) * Squêci cojug ti-simétric: ( ) ( ) ( ) ( ) o * * o Propris simtri. * ( ) * X ( ) {( ( ) } X ( ). Im{ ( ) } X o ( ) 4. ( ) X ( ) [ ] (.7) (.7) (.7) R (.7) j (.74) (.75) R

32 ( ) jx ( ) Amitio () um squêci rl tm-s X( ) é: (.76) * 6. Cojug simétric: X ( ) X ( ) 7. A su prt rl é pr: X R ( ) X R( ( ) 8. A su prt imgiári é ímpr: X ( ) X ( ) 9. O su móulo é pr: X ( ) X ( ). A su fs é ímpr: X ( ) X ( ) b) Propris torms gris o I I (.77) (.78) (.79) I (.8) (.8) Além s propris simtri, têm-s tmbém outrs propris muito importts qu rlciom oprçõs com squêcis fcilitm o uso obtção rsultos tóricos com siis sistms. Ests propris são lists bio sm procupção m prová-ls. Ds qu ls são similrs o cso trsform Fourir pr siis cotíuos rcom-s como rcício prov sts propris.. Liri ( ) by( ) X ( ) by ( ) (.8). Dslocmto o omíio o tmpo ( ) X ( ). Dslocmto o omíio frquêci (.8) ( ) j ( ) ( w ) X w (.84) 4. Rvrsão o tmpo ( ) X ( ) (.85) 5. Difrcição o omíio frquêci 6. Torm Prsvl ( ) j X ( ) (.86) w Est torm rlcio o cálculo rgi o sil o omíio o tmpo com o cálculo o omíio frquêci (vr spctro si rgi sção.7.) π ( ) X ( ) E w π π (.87)

33 - 7 - π * * ( ) y ( ) X ( ) Y ( ) π π w (.88) 7. Torm covolução ( ) * y( ) X ( ) Y ( ) (.89) 8. Torm moulção ou jlmto jθ * j ( ) ( ) ( ) ( ( wθ X Y )) w π π θ π (.9) Emplo : Dtrmi trsform Fourir sguit squêci, ( ) : < Pr rsolvr st mplo vmos prssr () como som us squêcis, () (),,, ( ) ( ) <,, < A trsform Fourir squêci () já foi clcul o mplo 6 vl: X ( ) - Cálculo X ( ): X ( ) ( ) Aplico o torm liri tm-s qu: X ( ) X( ) X ( ) Como <, o spctro fs é ulo pois X( ) é rl smpr positiv. cos w.5 () (b) - -π - - π (c) w w Figur.: () squêci (), (b) spctro mplitu; (c) spctro fs pr o mplo 9.

34 - 8 - Emplo : Dtrmi o móulo fs fução o sistm o filtro méi móvl, o pl qução ifrçs bio: y ( ) { ( ) ( ) ( ) } Obsrv qu st é um filtro FIR (rspost o impulso fiit), sí p somt vlors prsts ou pssos tr. Assim, Clculo trsform Fourir: Portto: h ( ) δ( ) δ( ) δ( ) { } cos w H ( ) H ( ) cos w φ ( ), π, w π / π / < w < π.5.5 -π -π / -π / π / π / π π -π -π -π / -π / π / π / π Figur.: Espctro mplitu fs pr o mplo. os ois mplos cim s po obsrvr qu rspost mplitu é um fução pr frquêci fs é um fução ímpr. A rprstção um sil o omíio frquêci é importt pr s obsrvr lisr o cotúo frquêcis um sil ou um sistm. Em procssmto siis st iformção é muito importt usul. Por mplo, ális fitos filtrgm, v-s mir cohcr o comportmto o sil sr filtro o omíio frquêci, quli smpho os filtros tmbém é stblci liso rspost m frquêci sts. Quo s sj trsmitir siis m um cl tlcomuicçõs v-s cohcr su rspost m frquêci pr qu, bso-s st

35 - 9 - iformção, sj possívl ciir qu fi ou grupo frquêcis pom sr trsmitis trvés o cl com pouc istorção. A tbl, mostr bio, rlcio lgums squêcis básics frqutmt utilis m procssmto siis, jutmt com sus rspctivs trsforms Fourir. Tbl : Prs trsforms Fourir. Squêci. δ (). ) δ (. u( ) : < Trsform Fourir 4. ( ) π δ( w π) 5. r s w ( ) u( ) : r < s w r cos w r 6. s w, w < w π, w < w π 7. 8., < M ( ), cso cotrário s wm / s w / ( M ) / π δ( w w π)

36 - - Ercícios. Cosir squêci () (5-)[u() u(-5)]. Dsh: ) () b) y () (-) c) y () (-) ) y () (-). Um sil iscrto é fiio por:, ( ), c. c. () Dtrmi squêci () sh o sil. (b) Dsh o sil (-). (c) Dsh o sil (). () Dsh o sil ().u().. Dsh s sguits squêcis: () () cos[(π/)] (b) () cos[(π/6)] (c) () u() u(-5) () () (.5) u() () () u() 4. Pr os its () (b) o rcício trior, mitio T., trmi os siis cotíuos o tmpo qu grrm s squêcis. 5. Eprss os siis bio m trmos fuçõs prõs. (miti qu ls sjm soiis). () () (b) (){,,,,,,,...} 6. Eprss squêci bio m fução fuçõs gru uitário pors. ( ),,,, c. c. 7. Pr c um os siis bio, sboc () trmi E ou P M.

37 - - π / () ( ) u( ) (b) ( ) cos[ π( 6) / 6]{ u( 6) u( 6 )} 8. Dtrmi covolução pr os sguits prs siis: ) ( ) {, } h( ) {,, } b) ( ) δ( ) h( ) {,, } c) ( ) α u( ) h( ) β u( ) α β ) ( ) h( ) α u( ) 9. Dtrmi rspost o impulso os sistms os bio. (cosir coiçõs iiciis uls) () y ( ) ( ) ( ) 4( ) ( 4) (b) y ( ).5( ) ( ).5( ).5( ) (c) y ( ) ( ) y( ) () y ( ) ( ) y( ) () y ( ) ( ) ( ) y( ) (f) y ( ) ( ) y( ) y( ) 4 (g) y ( ) ( ) ( ) y( ) y( ) 4. Pr c sistm bio trmi s ls são ou ão: lirs, ivrits o slocmto, cusis, stávis, com ou sm mmóri. Prov s propris ou forç um cotr mplo cotr rspost o impulso. () y ( ) ( ) y( ) (b) ( ), pr y( ) ( ), ímpr (c) y ( ) ( ) (), ( ) > y ( ) ( ), ( ), ( ) < () y ( ) (). Pr os sistms bio cotr rspost o impulso, rspost m frquêci (simplifiqu o máimo possívl qução), sboc o spctro mplitu scrv m trmos gris o fito filtrgm m um sil. () y ( ) ( ) y( ) (b) y ( ) ( ) ( ) y( ) (c) y ( ) { ( ) ( ) ( ) } 4 () y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4)

38 - -. Cosir o sistm LID scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) ( ) ( ) ( ) () Dtrmi h(), (b) Dtrmi H( ), (c) Ecotr rspost st sistm à tr {,.5,.5 }. Cosir o sistm SLI scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) ( ) ( ).5y( ) () Dtrmi h(), (b) Dtrmi H( ), (c) Ecotr rspost st sistm à tr () u() () Digrm m blocos o sistm. 4. Cosir o sistm cusl LID scrito pl sguit qução ifrçs: y ( ) y( ) ( ) b( ) Ecotr o vlor b pr qu su rspost m mplitu sj costt pr qulqur frquêci. Est tipo filtro é chmo pss tuo. 5. Clcul trsform Fourir s sguits squêcis:, 5 () (), cso cotrário (b) ( ) ( ) { u( ) u( 8)} (c), ( ),, c. c. () π π ( ) cos 5 () y( ) j ( ) (f) y( ) ( )* ( ) 6. Dtrmi qução ifrçs qu crctri o sistm cuj rspost m frquêci é por: () (b) (c) H ( H ( H ( ) ) ) 4

39 S rspost o gru uitário um sistm lir ivrit o slocmto é: s ( ) u( ), > δ. Dtrmi rspost o impulso h() st sistm. ot qu: ( ) u( ) u( ) h( ) s( ) s( ) 8. Cosir o filtro igitl bio. Amitio um frquêci mostrgm igul 8 H, trmi s frquêcis cort ifrior suprior lrgur b o filtro lógico quivlt. Ercícios o computor: 9. Utilio o Mtlb gr sh os siis bio: () () cos[(π/)]u() :, 5 (b) () u() u(-5) (c) () δ() () () (.5) u() () () u() (f) ruío brco gussio com vlor méio ro svio prão igul. (g) Ruío brco com istribuição uiform tr, tr.5.5. Cosir o sguit sistm LID: y( ) ( ) ( ) L ( ) { } () Dtrmi H( ) tmbém o móulo fs, (b) Utili o Mtlb pr shr o móulo fs ( w π ) mitio 4, 5,. (c) Comt os rsultos.. Cosir o sguit sistm LID: y ( ) { ( ) ( ) ( ) } Utili o Mtlb pr shr (utili fução gráfic stm) sí y() mitio: (), ( ), c. c. π (b) ( ) s u( ) 4

40 - 4 -

41 - 5 - Cpítulo AMOSTRAGEM DE SIAIS.. Siis tmpo iscrto Os siis tmpo iscrto prstm vlors fiios somt m trmios istts o tmpo. Grlmt ls provêm siis (ou fuçõs) o tmpo cotíuo qu são mios ou grvos m itrvlos tmpo rgulrmt spços. s últims écs sts siis ssumirm gr importâci vio o svolvimto ltrôic igitl os computors pssois. Por sr impossívl itrouir os cotíuos os computors igitis, qulqur sil ou o cssit sr rprsto por um cojuto úmros pr procssmto postrior. S prtrmos trblhr com siis tmpo iscrto, primirmt vmos mostrr o su quivlt tmpo cotíuo. prátic oprção mostrgm é cut por um covrsor AD (covrsor lógico-igitl) qu iclui tmbém qutição s mplitus s mostrs igitlição. Assim, sí o covrsor AD é um séri vlors igitis. A oprção rvrs pr rcostrução um sil cotíuo prtir sus mostrs é cohci como covrsão igitl lógic (DA). A tori mostrgm tm um ppl muito importt o smpho qulqur sistm procssmto igitl siis. st cpítulo srá prst um brv iscussão sobr tori mostrgm siis, qu stblc s coiçõs básics pr qu um sil tmpo cotíuo sj rprsto uicmt por sus mostrs toms m istts tmpo rgulrmt spços... A mostrgm siis A tori mostrgm é bs mtmátic pr s obtr um sil () tmpo iscrto prtir um sil (t) tmpo cotíuo. A obtção um squêci mostrs () prtir um sil (t) cotíuo o tmpo po sr rprst pl sguit rlção: ( ) ( t) ( T ) t T. m qu T é chmo príoo mostrgm, é um úmro prtct o cojuto os úmros itiros. O ivrso st príoo, F /T, é chmo frquêci mostrgm, com ui m mostrs por sguo ou m H. A squêci úmros () é lgums vs ot por vtor {()}, - < <, m qu () é o -ésimo lmto squêci. Um mplo um sil tmpo iscrto é mostro figur., m qu s mostrs são toms m itrvlos rgulrmt spços por T sguos s ris prpiculrs o io o tmpo rprstm o sil tmpo iscrto. ot qu tr ois itrvlos tmpo sucssivos é fiio sobr o sil. T () (t) t Figur.: Sil mostro. Um mir s visulir o procsso mostrgm é ilustro plo igrm blocos figur.. O sil tmpo cotíuo (t) é plico um multiplicor. Est sil é multiplico por um squêci prióic impulsos rgulrmt spços por T sguos p(t), chmo trm impulsos, tl qu:

42 - 6 - () t δ( t ) sí o multiplicor tmos o sguit sil: p T. () t () t p() t ( T ) ( t T ) ( T ) δ. (t) (T ) p(t) Figur.: Rprstção o procsso mostrgm. A multiplicção o sil plos impulsos covrt (t) m um sil tmpo iscrto, form um squêci úmros () m qu os vlors s mostrs são ios pl vriávl itir, ou sj, ( ) ( ) T T.4 Assim, como visto o cpítulo, mitio, squêci () po sr scrit como um som impulsos uitários poros tl qu: ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) L.5 ou sj, () po sr cosir um squêci úmros (um vtor), qu m últim ális rprst o sil origil. Est squêci úmros po sr trsmiti ou tão rm m um computor pr o procssmto (trtmto) igitl o sil. Tbl : Vlors tblos ou rmos rltivos o sil rl. sil o istt () () () () 4 (4) M M Obsrv qu o sil, ou squêci (), é iscrto o tmpo, ms os sus vlors ou mplitus pr c íic tmpo prtcm o cmpo os úmros ris... O torm mostrgm O fito mostrgm m um sil é mlhor liso o omíio frquêci utilio trsform Fourir (Joquim Srtori, ). Sb-s tori Fourir qu trsform fução trm impulsos m (.) é por:

43 - 7 - δ π ( t T ) δ( Ω Ω ) T m qu Ω π/t. A trsform Fourir o sil qução (.), qu é o prouto us fuçõs, srá pl covolução tr s trsforms (t) p(t):, ssim: X ( Ω) X ( Ω) * P( Ω).6 π m qu X (Ω) é trsform Fourir o sil mostro. Assim, X π ( Ω) X ( Ω) * δ( Ω Ω ) π troco orm somtóri com covolução tm-s, portto, X T ( Ω) X ( Ω) * δ( Ω Ω ) T,, X ( Ω) X ( Ω Ω ) T.7 ot qu o spctro o sil mostro é prióico, com príoo Ω, pois stmos o omíio frquêci. El cosist um úmro ifiito cópis o spctro X(Ω), o sil tmpo cotíuo. Ests cópis são rgulrmt spçs pl frquêci mostrgm Ω. A figur., mostr um mplo mostrgm siis cosiro o omíio frquêci. Aliso qução (.7) com o uílio figur.., pomos obsrvr qu s cópis rptis o spctro (t) pom s sobrpor. Primirmt vmos obsrvr qu pr qu sts cópis ão itrfirm ums com s outrs, o spctro (t) v sr limito m um frquêci máim. Sj Ω M frquêci máim o sil sr mostro. Obsrvo figur..c ot-s clrmt qu pr ão hvr suprposição spctrl v-s tr qu: Ω Ω Ω.8 M Dss moo, pr qu ão hj suprposição, frquêci mostrgm v sr o míimo o obro frquêci máim o sil, isto é, M Ω Ω M.9 S coição cim ão é stisfit, ou sj, Ω < Ω M, s cópis o spctro (t) s suprpõm, cuso pr o formto o spctro origil. Obsrv ilustrção figur... Est fômo é cohcio litrtur como lisig (suprposição spctrl). st cso o spctro origil é prio ão po mis sr rcupro prtir o sil mostro.

44 - 8 - X(Ω) () -Ω M Ω M P(Ω) (b) -Ω -Ω Ω Ω Ω > Ω M X (Ω) (c) -Ω -Ω M Ω M Ω Ω < Ω M X (Ω) Ω -Ω M () -Ω Figur.: Efito mostrgm o omíio frquêci. st cso X(Ω) é o spctro o sil cotíuo o tmpo, X (Ω) é o spctro o sil mostro. Por outro lo s coição m (.9) é stisfit o spctro origil b básic (m toro frquêci ro) é mtio iltro po sr rcupro trvés um filtrgm por um filtro pssbis il com frquêci cort Ω /. Ω X(Ω) () -Ω M Ω M Ω > Ω M X (Ω) (b) -Ω -Ω M Ω M Ω Ω / Ω -Ω M Figur.4: Espctro o sil origil sil mostro sm lisig. Com s cosirçõs cim, pomos gor ucir fcilmt o torm mostrgm como sgu: S (t) é um sil stritmt b limit, isto é, X ( ), Ω > Ω M Ω, tão st sil (t) po sr rcupro prtir sus mostrs (T ) s: π Ω Ω T M.

45 - 9 - A frquêci Ω M é chm frquêci yquist, frquêci míim mostrgm, Ω M, é chm t yquist. Toos os siis cotros os sistms físicos uc são, stritmt flo, b limit, ssim, ts o procsso mostrgm é comum filtrr o sil (filtro ti-lisig) fim s miimir rgi o sil cim frquêci yquist (limitr o sil m b), pr, ss moo, miimir o fito o lisig qu ocorr urt covrsão lógico-igitl. X (Ω) X(Ω) -Ω -Ω M Ω M Ω (T A ) H(Ω) (t) -Ω M Ω M H(Ω) Ω Ω c Ω M ou Ω c Ω / -Ω C C Figur.5: Rcostrução o sil: filtrgm o sil mostro rcuprção o sil origil. Algums cosirçõs prátics rli impulsos com urção ul ão istm. prátic mostrgm é rli trvés um circuito mostror-sguror. O sil mostro é proimo por um proimção m grus tr ois istts jcts mostrgm, m sgui qutio. st cso o filtro rcostrução v sr lvmt moifico pr compsr proimção m grus (opphim 979, Joquim, ). Como ito triormt, pr ssgurr qu ão hj ocorrêci suprposição spctrl (lisig), o sil ts sr mostro é filtro fim limitá-lo m b, m um frquêci máim, por mplo, Ω M. Est filtro é chmo filtro ti-lisig, srv tmbém pr limitr o ruío prst o sil tmpo cotíuo, ts o procsso covrsão lógico-igitl. El srv tmbém pr fcilitr o projto prático o filtro rcostrução, qu ão prst um trsição brupt tr b pssgm tução, t mostrgm é fit lvmt suprior à yquist. figur.5 H(Ω) rprst um filtro rcostrução il. O ouvio humo é cp itificr frquêcis tr H H. Pr siis áuio frquêci mostrgm é proi m 44. H m v 4 H. Em tlfoi 9% rgi o sil fl stá prst m frquêcis té.4 H, qu é suficit pr prsrvr quli s covrsçõs, t mostrgm é proi m 8 H m v 6.8 H, prmitio um b gur. H qu fcilit o projto prático o filtro rcostrução. Em psquis t mostrgm é muits vs lv pr H..4. Covrsão t mostrgm Em lgums plicçõs spciis, como por mplo lgus tipos coificção b, ist cssi moificção t mostrgm um squêci (). Pomos ruir ou umtr t mostrgm por um trmio ftor itiro, ou tão moificá-l por um ftor rciol. Est procsso é cohcio como covrsão t mostrgm po sr rlio irtmt o sil tmpo iscrto Rução t mostrgm por um ftor itiro

46 - 4 - A rução t mostrgm por um ftor itiro, M, é fit tomo tos s mostrs o sil múltipls M, isto é, ( ) ( t) ( MT ) ( M ) t MT. Obsrv qu, pr o sil r-mostro, o ovo príoo mostrgm é MT. Fic clro qu st oprção po rsultr m lisig (suprposição spctrl). Clculo trsform o sil r-mostro ( t) ( ) MT tm-s qu: X ( ) Ω MT Ω X Ω M. st cso ov frquêci mostrgm é Ω /M, qu é mor o qu Ω. Assim, pr s prvir suprposição spctrl o sil () vri sr filtro ts covrsão mostrgm. o omíio frquêci igitl trsform Fourir ( ) ( M ) Ω w / MT,pós lgum mipulção mtmátic po sr mostr qu: ( ) M j ( ( wπ )/ M X ), mitio qu X. M o cso cotíuo, pr s vitr suprposição spctrl, o sil (t) vri sr filtro por um filtro pss-bis com frquêci cort igul à mt ov frquêci mostrgm, Ω /M. Como, m grl, já stmos trblho o tmpo iscrto, tão filtrmos o sil iscrto () por um filtro igitl pss-bis com gho uitário frquêci cort igitl, tl qu, w c Ω T M π M.4 O procsso filtrgm igitl sguio rução mostrgm é chmo um cimor é ilustro plo igrm blocos figur.6. Assim, o procsso rução t mostrgm por um ftor M, primirmt squêci é filtr por um filtro igitl com gho uitário frquêci cort igul π/m m sgui f-s oprção scrit pl qução (.). () FPB π/m M r () Figur.6: Dcimor. Aumto t mostrgm por um ftor itiro Supoh qu s qur umtr t mostrgm um squêci (), mostr com um príoo T sguos, por um ftor L, m qu L é um úmro itiro. A ov squêci, i (), po sr obti prtir () trvés sguit trsformção: ( ) T i.5 L L

47 - 4 - por: Obsrv qu s mostrs i (m), com íics múltiplos itiros tis qu m L (m), são s ( L) ( ) i.6 Pomos cocluir tão qu qução (.6) p () crscto ~ L - ros tr c tl qu: i us mostrs jcts (), ou sj, tmos um ov squêci ( ) ( / L), ~, ± L, ± L, L i ( )..7, cso cotrário A figur.7., mostr bio, ilustr st oprção. T (t) ~ i ( ) () t (b) i ( ) t T /L Figur.7: Itrpolção o omíio o tmpo. portto, Clculo trsform Fourir squêci ( ) X ~ i ( ) ~ i ( ) ( ) ~ jlw X i ( ) X ( ) Obsrv qu X~ ( ) é um vrsão X ( ) i ~ i qução (.7) tm-s qu, jlw.8, comprimi por um ftor scl L. Ests us trsforms stão ilustrs figur.8b.8c. Obsrvo st figur pomos cocluir qu pr s obtr i () bst crir um squêci como qução (.7) m sgui filtrá-l com um filtro pssbis igitl com gho L cort m w c π/l. O uso o gho L po sr justifico oto qu, como stmos comprimio o sil o omíio frquêci por um ftor L limio s compots frquêci tr π/l π - π/l, rgi o sil imiuirá por um ftor igul L. Assim, stblco o gho o filtro itrpolor igul L rgi o sil itrpolo é mti igul à o origil. O sil itrpolo o omíio o tmpo é mostro figur.7.b.