Ánálise de Fourier tempo discreto

Transcrição

1 Fculdd d Eghri Áális d Fourir tpo discrto SS MIEIC 8/9 Progr d SS Fculdd d Eghri Siis Sists uls Sists Lirs Ivrits uls Aális d Fourir (tpo cotíuo) uls Aális d Fourir (tpo discrto) uls Aostrg d Siis Cotíuos uls SS 89 AFD

2 Aális d Fourir tpo discrto ul d ho Fculdd d Eghri Rspost d SLITs discrtos pociis Séri d Fourir d siis priódicos Propridds d séri d Fourir Trsford d Fourir trsford ivrs Propridds d trsford d Fourir Rspost d SLITs discrtos siis priódicos Aális d SLITs o doíio d frquêci SS 89 AFD Rspost d SLITs siis pociis Fculdd d Eghri SLIT discrto co rspost ipulsiol h h h h s h s s( ) s h h s H ( s) s s é fução própri do SLIT discrto, co vlor próprio H ( s) h s s s s s s H ( s ) + H ( s ) + H ( s ) + s liridd itrss dcopor u qulqur u cobição lir d pociis SS 89 AFD 4

3 Epociis igiáris priódics Fculdd d Eghri Ω, Ω rl Ω Ω Ω Ω Ω M Ω ( + ) Ω Ω Ω é u sil priódico s M Ω co M itiros Eplos é u sil priódico, d príodo 4 é u sil priódico, d príodo ão é u sil priódico SS 89 AFD 5 Epociis igiáris priódics Fculdd d Eghri itiro positivo Ω pociis hroict rlciods φ Ω,, ±, ±, siis priódicos, d príodo φ + ( + ) + φ φ + ( + ) + φ φ φ φ φ + φ + φ φ φ φ φ φ φ φ + φ + φ + + φ φ φ + φ + φ + + ps há pociis priódics, d príodo, distits φ φ φ φ φ SS 89 AFD 6

4 Siis priódicos séri d Fourir Fculdd d Eghri itiro positivo φ,, ±, ±, siis priódicos, d príodo b φ sil priódico, d príodo φ + r φ ps itrss cosidrr tros cobição lir b + b + + b + b + + b +,,, φ rprstção d séri d Fourir cobição lir fiit d pociis hroict rlciods { } coficits d séri d Fourir ou spctro d SS 89 AFD Siis priódicos séri d Fourir Fculdd d Eghri φ { } coficits d séri d Fourir φ,, ±, ±, stddo, priodict, os coficits φ + r φ φ + r, + rφ + r φ l + l φ φ < SS 89 AFD 8 4

5 Séri d Fourir plo Fculdd d Eghri sil priódico co príodo,, 4, tl qu SS 89 AFD 9 Coficits d séri d Fourir Fculdd d Eghri sil priódico, d príodo séri d Fourir l ( l) l ( l) ( l) l l l ( l) l ( l) l ( l) ( l) ( l) ( l) ( l) Pr sil coficits é o vlor édio do sil { } < é o vlor édio d é u sucssão d príodo + SS 89 AFD 5

6 6 SS 89 AFD Fculdd d Eghri Propridds d séri d Fourir liridd < z c b b c z β + α + β α ( ) < + β α < < β + α b β + α siis d príodo sil d príodo z β + α SS 89 AFD Fculdd d Eghri Propridds d séri d Fourir trslção rbtito < b < < + ) ( < < b < < < ) ( d príodo b príodo príodo b

7 Propridds d séri d Fourir cougção Fculdd d Eghri d príodo príodo b b < ( ) < < < ots: rl prop. cougção rl pr prop. rbtito rl rl ípr prop. rbtito igiário rl R{ } p i I { } SS 89 AFD Rlção d Prsvl Fculdd d Eghri d príodo < < < potêci édi do hróico d ord d < < ot: A rlção d Prsvl prit firr qu potêci édi d u sil priódico é so ds potêcis édis ds sus copots hróics. SS 89 AFD 4

8 Siis d durção liitd Fculdd d Eghri sil d durção liitd rptição priódic d ( ) ~ Ω ~ Ω < (séri d Fourir) Ω ~ Ω < Ω Ω X ( Ω ) Ω X ( Ω ) < ~ X ( Ω ) Ω Ω ut ~ proi-s d trsford d Fourir d Ω X Ω diiui X ( Ω ) Ω Ω Ω Ω SS 89 AFD 5 Pr sil trsford d Fourir Fculdd d Eghri sil trsford X(Ω) { } Ω X(Ω) é tbé dsigd por spctro d X(Ω) t príodo ( Ω+ ) Ω Ω X ( Ω + ) X (Ω) - X { } Ω cobição lir cotíu d pociis hróics é plitud d Ω trsford ivrs d Fourir qulqur itrvlo d lrgur Codiçõs d covrgêci < < X (Ω) stá b dfiid SS 89 AFD 6 8

9 Eplos Fculdd d Eghri δ { } δ Ω Ω u, < { } Ω u Ω Ω ( ) SS 89 AFD Trsford d Fourir siis priódicos Fculdd d Eghri Ω 4 Ω Ω Ω + Ω + 4 Ω δ( Ω Ω l l) fução d Ω, d príodo δ Ω Ω l ( - l) l δ( Ω Ω l) Ω Ω priódico, príodo X (Ω) < (/ ) + r Ω δ Ω SS 89 AFD 8 9

10 Propridds d trsford d Fourir liridd Fculdd d Eghri siis co trsf. Fourir z α + β z α + β Z( Ω) αx + βy Z z Ω Ω Ω α + ( α + β ) Ω β αx + βy SS 89 AFD 9 Propridds d séri d Fourir trslção rbtito Fculdd d Eghri Ω Ω Ω Ω( + ) Ω Ω Ω X Ω Ω Ω ( Ω) X SS 89 AFD

11 Propridds d trsford d Fourir cougção Fculdd d Eghri X Ω Ω + Ω + ( ) Ω X ots: rl cougção Ω X X X ( ) rl pr rbtito X X (Ω) rl rl ípr rbtito X X X X (Ω) igiário rl R{ } p { X ( )} I Ω i SS 89 AFD Propridds d trsf. d Fourir difrç cuulção Fculdd d Eghri Ω ( ) X ( ) Ω z Z + X () δ( Ω l) Ω l rsultt d SS 89 AFD

12 Propridds d trsford d Fourir Fculdd d Eghri Modulção Ω Y Ω) X ( Ω Ω ) ( Ω Ω Ω ( ΩΩ ) X ( Ω Ω) Drivção s frquêcis dx ( Ω ) Ω Ω d d Ω SS 89 AFD Rlção d Prsvl Fculdd d Eghri Ω Ω Ω ot: A rlção d Prsvl prit firr qu rgi totl d u sil pod sr obtid prtir d dsidd spctrl d rgi X (Ω) SS 89 AFD 4

13 Trsford d Fourir covolução Fculdd d Eghri siis co trsf. d Fourir z z Z( Ω) Z z Ω Ω Ω Ω ( ) Ω Ω Y ot: A trsford d Fourir covrt covolução d siis ultiplicção dos sus spctros. SS 89 AFD 5 Trsford d Fourir ultiplicção d siis Fculdd d Eghri siis co trsf. d Fourir z z Z( Ω) X ( β) Y ( Ω β) dβ Z z Ω Ω β X ( β) dβ Ω β X ( β) Ω dβ ( Ωβ) X ( β) dβ X ( β) Y ( Ω β) dβ ot: A trsford d Fourir covrt ultiplicção d siis covolução dos sus spctros. SS 89 AFD 6

14 Trsford d Fourir propridds ltrs Fculdd d Eghri co trsford d Fourir liridd α + β αx + βy trslção rbtito difrç cuulção Ω cougção X Ω ( ) X ( ) Ω odulção Ω X ( Ω Ω ) drivção s frq. X d ( Ω) + X () δ( Ω l) Ω covolução l Ω rl : X X ( ) R p { } { X ( )} I Ω i rlção d Prsvl SS 89 AFD Ercícios Fculdd d Eghri. Dtri os coficits d séri d Fourir dos siis:. si 5 b. δ c SS 89 AFD 8 4

15 Ercícios Fculdd d Eghri. Dtri o sil qu vrific siultt s sguits codiçõs. é u sil priódico, d príodo 6, rl pr b. c. d. 5 ( ) 5. SS 89 AFD 9 Ercícios Fculdd d Eghri. Dtri trsford d Fourir dos sguits siis., < b., M, M c. z cos 5 d. v δ δ l l 4. Dtri rprst grfict trsford d Fourir do sil d figur SS 89 AFD 5