Função potencial de velocidade. - Equipotenciais são rectas verticais Função de corrente

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1 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção W z com R W x + i y Fução potecil de velocidde φ ( x, y) x, φ costte x costte - Equipoteciis são rects verticis Fução de correte ψ ( x, y) y, ψ costte y costte - Lihs de correte são rects horizotis

2 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção W z com R W x + i y Velocidde complex dw V dz U, V 0 Escometo uiforme prlelo o eixo x com y φcostte ψcostte x r V

3 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção W z com Fução potecil de velocidde φ( x, y) x + y, φ costte y x + costte - Equipoteciis são rects de declive Fução de correte ψ ( x, y) y x, ψ costte y x + costte - Lihs de correte são rects de declive i i rctg ( i )( x + i y) ( x + y) + ( y x) W i + e ( )

4 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção W z com i Velocidde complex V U dw i dz, V + e i rctg ( ) y φcostte ψcostte α x Escometo uiforme que fz um âgulo α com o eixo x * iα α rctg z ze

5 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção W z com R W ( x i y) ( + x y ) + i( xy) Fução potecil de velocidde x y ( x y ) φ(, ), φ costte y x + costte - Equipoteciis são hipérboles rectgulres com s bissectrizes yx e y-x como ssímptots Fução de correte costte ψ ( x, y) xy, ψ costte y x - Lihs de correte são hipérboles rectgulres com os eixos como ssímptots

6 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção Velocidde complex W z com R φcostte V dw dz z ( x + i y) y ψcostte -0.5 U x, V y x Escometo em 4 ctos rectos (âgulo de 90 o)

7 Exemplos de plicção Aerodiâmic Potecil Complexo z com R Em fluido perfeito, um prede impermeável é um lih de correte, pelo que, um lih de correte pode ser substituíd por um prede - Os semi-plos y 0 e y 0, represetm o escometo de ecotro um prede pl de dimesão ifiit - Cd um dos qudrtes represet o escometo um cto 90 o W

8 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção - Escometo pr y 0 W z com R φcostte ψcostte

9 Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção z com R - Escometo pr o primeiro qudrte, W φcostte ψcostte x 0 y 0

10 Aerodiâmic Fução potecil de velocidde Fução de correte Potecil Complexo Escometo em toro de diedros W z com R ( iθ ) iθ W re r e r cos( θ ) + i r se( θ ) φ( r θ φ ct r θ e x, y) cos( ), cos( ) ψ ( r θ ψ ct r θ e x, y) se( ), se( ) ct ct e e

11 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros - Velocidde complex V V r dw dz cos U V ( ) W (( ) θ ) + i r se( ( ) θ ) r cos( ( ) θ ) r se( ( ) θ ) r V z V r r e i θ z com R

12 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros Fução de correte ψ ( θ ψ θ W z com R e x, y) r se( ), ct r se( ) - Lih de correte, ψ0 se( θ ) 0 kπ θ ( k 0,,,... ) ( 0 θ π ) θ0 0, π θ ct e

13 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros > π, θ < φcostte Cto côcvo ψcostte W z com R 6, θ π 6 4, θ π 4 3, θ π 3

14 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros π, θ Cto recto W z com R ψcostte 4 3, θ 3π 4 φcostte, π θ Escometo uiforme

15 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros W <, > π θ Cto covexo ψcostte φcostte z com R 4 7, θ 7π 4 4 5, θ 5π 4 3 3π θ

16 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros W z com R, θ π Plc sem espessur (θ máximo) ψcostte φcostte

17 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros - Âgulo do diedro α - Primeir prede coicidete com o eixo rel positivo π z com R - Âgulo do diedro é medido o setido ti-horário W - Ilustrções teriores pr π 0 θ

18 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de diedros - Velocidde complex W z com R V dw dz z i( )θ r e - Velocidde origem do referecil, cto do diedro, r0 V r r

19 Aerodiâmic Potecil Complexo r V r > < < > r r r V V V r r r π θ π θ π θ Escometo uiforme Cto côcvo Cto covexo Escometo em toro de diedros R z W com

20 Aerodiâmic Fução potecil de velocidde Fução de correte Potecil Complexo Escometo em toro de um cilidro W z +, R z iθ W re + cos( θ ) r + + i se( θ ) r iθ re r r φ( x, y) cos + θ + r r e e ( θ ) r, φ ct cos( ) r ct ψ ( x, y) se θ r r e e ( θ ) r, ψ ct se( ) r ct

21 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de um cilidro Lih de correte, ψ0 W z +, R z se θ se ( θ ) 0 ( θ ) r r 0 0 r 0 r θ π r Eixo x mis circuferêci de rio cetrd origem

22 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de um cilidro Lih de correte, ψ0 W z +, R z ψcostte φcostte Pr um cilidro de rio R R W z +, z R

23 Aerodiâmic Potecil Complexo Escometo em toro de um cilidro Lih de correte, ψ0 W z +, R z r ψcostte φcostte Pr um cilidro de rio R R W z +, z R

24 Aerodiâmic Sigulriddes Fote/poço é qulquer poto dum escometo plo o qul se cri/destrói fluido - πm é o cudl por uidde de lrgur emitido/bsorvido pel lih de fotes/poços - m é itesidde d fote/poço - m>0 fote,m<0 poço

25 Aerodiâmic Sigulriddes Um lih de fotes/poços r (-D) produz um r escometo rdil, V V r e r V r φ φ, rv 0 r θ θ O potecil de velocidde é obtido prtir d equção d cotiuidde (coservção d mss) φ πrv r πr r φ ml ( r) πm

26 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de Fotes/poços A velocidde rdil é iversmete proporciol r m V r r Potecil de velocidde Codições de Riem-Cuchy em coordeds polres φ ψ φ ψ, r r θ r θ r φ ml( r)

27 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de Fotes/poços m ψ, 0 r r θ Fução de correte ψ mθ Potecil complexo W W φ m W + iψ ml( r) + i mθ ( l( r) i ) ml( iθ + θ re ) ml M π ψ r ( z) l( z)

28 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de Fotes/poços colocd em z M W ml( z z ) l( z z ) π ψcostte φcostte

29 Aerodiâmic Sigulriddes Cosidere-se um lih de fotes de itesidde m colocd em z e um lih de poços colocd em z iα z e -m α Qudo +m α e iα 0 W W Potecil complexo do cojuto W ml z z ml z + z ml ( ) ( ) z e ml + iα iα ml( ε ) ml( + ε ) z e

30 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de dipolos ou dobletes - Desevolvedo em série de Tylor fução logritmo em toro do poto 3 ε ε l( + ε ) ε ε ε l( ε ) ε Pr pequeos vlores de W me z iα 3 3 m e 3 3z i3α...

31 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de dipolos ou dobletes - No limite qudo iα e 0 m W W µ cos r e z i µ α µ m µ r ( θ α ) + i se( θ α )

32 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de dipolos ou dobletes - Fução potecil de velocidde φ µ r e e ( x, y) cos( θ α ), φ ct, cos( θ α ) ct - Fução de correte ψ µ r e e ( x, y) se( θ α ), ψ ct, se( θ α ) ct µ r µ r

33 Aerodiâmic Lih de dipolos ou dobletes - Velocidde complex Sigulriddes U V iα iα dw e µ e µ e iθ dz z r e r µ µ cos r r µ i θ ( α ) ( α θ ), V se( θ α )

34 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de dipolos ou dobletes y α x φcostte ψcostte

35 Aerodiâmic Sigulriddes Escometo com lihs de correte circulres em que circulção, Γ, em toro de qulquer circuferêci é costte. O setido positivo de Γ é o setido directo (cotrário os poteiros do relógio). r φ Γ V ds r Vθ πr πr r θ φ Γ θ π

36 Aerodiâmic Sigulriddes Um lih de vórtices produz um escometo circuferecil, V r V e r θ θ V θ φ Γ φ, Vr r θ πr r O potecil de velocidde é obtido prtir d circulção φ πrv θ π Γ θ Γ φ θ π 0

37 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de vórtices A velocidde tgecil é iversmete proporciol r Γ Vθ πr Potecil de velocidde Γ φ θ π Codições de Riem-Cuchy em coordeds polres φ ψ, r r θ r φ ψ θ r

38 Lih de vórtices ψ 0, r θ Fução de correte ψ Aerodiâmic Sigulriddes Γ Γ πr ( r) πr l ψ r Potecil complexo Γ Γ W φ + iψ θ i l π π Γ Γ W i π π Γ W i l( z) π ( r) ( ( ) ) ( iθ l r + iθ i l re )

39 Aerodiâmic Sigulriddes Lih de vórtices colocd em z Γ W i l( z z ) π ψcostte φcostte

40 Aerodiâmic Combição de Sigulriddes Combido os poteciis complexos ds sigulriddes com um escometo uiforme cosegue-se obter o escometo em toro de diversos corpos sólidos, cuj superfície é represetd por um ds lihs de correte do escometo

41 Aerodiâmic Combição de Sigulriddes Lih de fotes em z0 mis escometo uiforme M W U z + l( z) π dw M U + dz π z dw M 0 z dz πu - Fução de correte M M ψ r se( θ ) + θ r, θ ± π ψ ± π πu M

42 Aerodiâmic Combição de Sigulriddes Lih de fotes em z0 mis escometo uiforme

43 Aerodiâmic Lih de fotes em z-, lih de poços em z mis escometo uiforme - Fução de correte Combição de Sigulriddes ( ) ( ) + ± + + U M z dz dw z M U dz dw z M z M z U W π π π π 0 l l 0 0,, rctg rctg + ± + + ψ π π π ψ y U M x x y M x y M y

44 Aerodiâmic Combição de Sigulriddes Lih de fotes em z-, lih de poços em z mis escometo uiforme M U

45 Aerodiâmic Combição de Sigulriddes Dipolo de orietção π e itesidde U R em z0 mis escometo uiforme R W U z + z dw R U dz z dw 0 z ± R dz - Fução de correte R ψ U se θ r, z ± R ψ r ( ) 0

46 Aerodiâmic Combição de Sigulriddes Dipolo de orietção π e itesidde U R em z0 mis escometo uiforme