Fluido Perfeito/Ideal Potencial Complexo Exemplos de aplicação

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Amália Campos
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1 Exmplos d plicção W z com R W x + i y Fução potcil d vlocidd φ ( x, y x, φ costt x costt - Equipotciis são cts vticis Fução d cot ψ ( x, y y, ψ costt y costt - Lihs d cot são cts hoizotis Exmplos d plicção W z com R W x + i y Vlocidd complx dw V dz U, V 0 y φcostt Escomto uifom pllo o ixo x com ψcostt x V

2 Exmplos d plicção W z com i i ctg ( i ( x + i y ( x + y + ( y x W i + ( Fução potcil d vlocidd φ( x, y x + y, φ costt y x + costt - Equipotciis são cts d dcliv Fução d cot ψ ( x, y y x, ψ costt y x + costt - Lihs d cot são cts d dcliv Exmplos d plicção W z com i Vlocidd complx dw V i dz U, V + i ctg ( y φcostt ψcostt α x Escomto uifom qu fz um âgulo α com o ixo x * iα α ctg z z

3 Exmplos d plicção W z com R W ( x + i y ( x y + i( xy Fução potcil d vlocidd φ( x, y ( x y, φ costt y x + costt - Equipotciis são hipébols ctguls com s bissctizs yx y-x como ssímptots Fução d cot costt ψ ( x, y xy, ψ costt y x - Lihs d cot são hipébols ctguls com os ixos como ssímptots Exmplos d plicção Vlocidd complx W z com R φcostt V dw dz z ( x + i y y ψcostt -0.5 U x, V y x Escomto m 4 ctos ctos (âgulo d 90 o

4 Exmplos d plicção W z com R Em fluido pfito, um pd impmávl é um lih d cot, plo qu, um lih d cot pod s substituíd po um pd - Os smi-plos y 0 y 0, pstm o scomto d coto um pd pl d dimsão ifiit - Cd um dos qudts pst o scomto um cto 90 o Exmplos d plicção W z com R - Escomto p y 0 φcostt ψcostt

5 Exmplos d plicção W z com R - Escomto p o pimio qudt, φcostt ψcostt x 0 y 0 Escomto m too d didos W z com R iθ iθ W ( cos( θ + i s( θ Fução potcil d vlocidd φ( θ φ ct θ Fução d cot ψ ( x, y s( θ, ψ ct s( θ ct x, y cos(, cos( ct

6 Escomto m too d didos - Vlocidd complx V dw V dz cos U z ( i θ (( θ + i s( ( θ cos( ( θ s( ( θ V V V W z com R Escomto m too d didos Fução d cot ψ ( θ W z com R x, y s( θ, ψ ct s( - Lih d cot, ψ0 θ kπ s( θ 0 ( k 0,,,... ( 0 θ π θ 0 0, π θ ct

7 Escomto m too d didos > π, θ < φcostt Cto côcvo ψcostt W z com R π 6, θ 4, θ 6 4 π π 3, θ 3 Escomto m too d didos π, θ Cto cto W z com R ψcosttψ 4 3, θ 3π 4 φcostt θ, π Escomto uifom

8 Escomto m too d didos θ <, > π ψcostt Cto covxo φcostt W z com R 4, 7 7π θ 4 4 5, 5π θ 4 3 3π θ Escomto m too d didos W z com R, θ π Plc sm spssu (θ máximo ψcostt φcostt

9 Escomto m too d didos - Âgulo do dido π α W z com R - Pimi pd coicidt com o ixo l positivo - Âgulo do dido é mdido o stido ti-hoáio - Ilustçõs tios p π 0 θ Escomto m too d didos - Vlocidd complx W z com R V dw dz z i( θ - Vlocidd oigm do fcil, cto do dido, 0 V

10 Escomto m too V d didos W z com R > < θ < π V 0 0 θ π V 0 θ > π V Cto côcvo Escomto uifom Cto covxo Escomto m too d um cilido W z +, R z iθ W + cos( θ + + i s( θ iθ Fução potcil d vlocidd φ( x, y cos + θ + Fução d cot ( θ, φ ct cos( ct ψ ( x, y s θ ( θ, ψ ct s( ct

11 Escomto m too d um cilido Lih d cot, ψ0 W z +, R z s ( θ 0 s( θ 0 0 θ 0 θ π Eixo x mis cicufêci d io ctd oigm Escomto m too d um cilido Lih d cot, ψ0 W z +, R z ψcostt φcostt P um cilido d io R R W z +, z R

12 Escomto m too d um cilido Lih d cot, ψ0 W z +, R z ψcostt φcostt P um cilido d io R R W z +, z R Sigulidds Fot/poço é qulqu poto dum scomto plo o qul s ci/dstói fluido - πm é o cudl po uidd d lgu mitido/bsovido pl lih d fots/poços - m é itsidd d fot/poço - m>0 fot,m<0 poço

13 Sigulidds Um lih d fots/poços (-D poduz um scomto dil, V V V φ φ, Vθ 0 θ O potcil d vlocidd é obtido pti d qução d cotiuidd (cosvção d mss φ πv π πm φ ml ( Sigulidds Lih d Fots/poços A vlocidd dil é ivsmt popociol m V Potcil d vlocidd Codiçõs d Rim-Cuchy m coodds pols φ ψ φ ψ, θ θ φ ml(

14 Sigulidds Lih d Fots/poços m ψ ψ, 0 θ Fução d cot ψ mθ Potcil complxo W φ W m + iψ ml( + i mθ iθ ( l( + iθ ml( W ml π ( z l( z Sigulidds Lih d Fots/poços colocd m z W ml( z z l( z z ππ ψcostt φcostt

15 Sigulidds Cosid-s um lih d fots d itsidd m colocd m z um lih d poços colocd m z iα z -m α Qudo α iα +m W 0 W Potcil complxo do cojuto W ml z z ml z + z ml z ( ( ml + z iα iα ml( ε ml( + ε Sigulidds Lih d dipolos ou doblts - Dsvolvdo m séi d Tylo fução logitmo m too do poto 3 ε ε l( + ε ε ε ε l( ε ε P pquos vlos d m W z iα 3 3 m 3 3z i3α...

16 Sigulidds Lih d dipolos ou doblts iα - No limit qudo 0 m W W µ cos i µ α z µ m µ ( θ α + i s( θ α Sigulidds Lih d dipolos ou doblts - Fução potcil d vlocidd φ µ ( x, y cos( θ α, φ ct, cos( θ α ct - Fução d cot ψ µ µ µ ( x, y s( θ α, ψ ct, s( θ α ct

17 Lih d dipolos ou doblts - Vlocidd complx Sigulidds iα iα dw µ µ V iθ dz z µ µ U cos µ i θ ( α ( α θ, V s( θ α Sigulidds Lih d dipolos ou doblts y α φcostt x ψcostt

18 Sigulidds Escomto com lihs d cot ciculs m qu ciculção, Γ, m too d qulqu cicufêci é costt. O stido positivo d Γ é o stido dicto (cotáio os potios do lógio. φ Γ V ds Vθ π π θ φ Γ θ π Sigulidds Um lih d vótics poduz um scomto cicufcil, V V θ φ θ V Γ, π θ φ V θ 0 O potcil d vlocidd é obtido pti d ciculção φ πv θ π Γ θ Γ φ θ π

19 Lih d vótics Sigulidds A vlocidd tgcil é ivsmt popociol Γ Vθ π Potcil d vlocidd Γ φ θ π Codiçõs d Rim-Cuchy m coodds pols φ ψ φ ψ, θ θ Lih d vótics Sigulidds ψ Γ 0, θ π Fução d cot Γ ψ Potcil complxo W φ + iψ W Γ i π ( π l ψ ( Γ iθ ( l( + iθ i l( W Γ Γ θ i l π π Γ i l π ( z π

20 Sigulidds Lih d vótics colocd m z Γ W i l( z z ππ ψcostt φcostt Combição d Sigulidds Combido os potciis complxos ds sigulidds com um scomto uifom cosgu-s obt o scomto m too d divsos copos sólidos, cuj supfíci é pstd po um ds lihs d cot do scomto

21 Combição d Sigulidds Lih d fots m z0 mis scomto uifom W U z + l( z π dw U + dz π z dw 0 z dz πu - Fução d cot ψ s( θ + θ, θ ± π ψ ± π πu Combição d Sigulidds Lih d fots m z0 mis scomto uifom

22 Combição d Sigulidds Lih d fots m z-, lih d poços m z mis scomto uifom W U z + l( z + l( z π π dw U dz π z dw 0 z ± + dz πu - Fução d cot y y ψ y + ctg ctg, x ± + π x + π x πu, y 0 ψ 0 Combição d Sigulidds Lih d fots m z-, lih d poços m z mis scomto uifom U

23 Combição d Sigulidds Dipolo d oitção π itsidd U R m z0 mis scomto uifom R W U z + z dw R U dz z dw 0 z ± R dz - Fução d cot R ψ U s θ, z ± R ψ ( 0 Combição d Sigulidds Dipolo d oitção π itsidd U R m z0 mis scomto uifom

24 Combição d Sigulidds Nos xmplos tios lih d cot qu pst supfíci do copo (lih d cot divisói é qul qu pss plos potos d stgção Um poto d stgção é qul m qu vlocidd é ul dw V 0 dz Substituido s coodds dos potos d stgção fução d cot ψ, obtm-s o vlo d ψ ds lihs d cot divisóis Lih d cot divisói Lih d fots m z0 mis scomto uifom W U z + l π W U cos θ + l + i U π - Vlocidd complx dw dz ( z ( ( ( dw dz U 0 z πu + πz πu s θ + θ π, θ ± π

25 Lih d cot divisói Lih d fots m z0 mis scomto uifom - Fução d cot ψ U s( ( θ + θ π, θ ± π ψ s( ± π ± π ± πu π π - Lihs d cot divisóis U ( θ π s ( θ p 0 < θ π, U ( θ π s ( θ p π θ < π étodo ds imgs O método ds imgs gt qu um dtmid lih cuv é um lih d cot do scomto. O método é fcilmt plicávl lihs cts Q V P y V Q V Q + V P P x P um lih d fots d itsidd m colocd o poto π P(,0, lih x0 sá um lih d cot s colocmos um lih d fots d igul itsidd o poto Q(-,0 (fot imgm

26 étodo ds imgs P um scomto gdo po sigulidds, um pd ct pod s substituíd pls imgs ds sigulidds uitlizdo pd como splho Q V Q y V P V Q + V P P x P um lih d vótic d itsidd Γ π colocd o poto P(,0, imgm tm Γ itsidd stá π colocd o poto Q(-,0 étodo ds imgs P um scomto gdo po sigulidds, um pd ct pod s substituíd pls imgs ds sigulidds uitlizdo pd como splho π α Q y P α x P um lih d dipolos d itsidd µ dicção α colocd o poto P(,0, imgm tm itsidd µ, dicção π α stá colocd o poto Q(-,0

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