TURMA DO M RIO. Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b 0 é a razão x 100 tal que: x

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1 TURM DO M RIO Álger Porcetgem Tx percetul ou porcetgem de um úmero sore um úmero, 0 é rzão x 00 tl que: x = x, e se idic: x% =. plvr porcetgem deriv de por (dividido) e cetgem (00). Qudo se fl x % de x um úmero, sigific multiplicr este úmero por 00. Exemplo: 5 % de 00 = = Potecição Defiições = 0 R = R e N. Proprieddes m m.. = + m m. =, 0 m m.. ( ) = 4. (. ) =. 5. ( : ) = :, 0 6. =, 0 m Not: Em gerl ( ) Em gerl ( ) Rdicição Proprieddes m =.. : = :, 0. ( ) m m = 4. m =. m m m 5. = = 6.. p m. p m -

2 Produtos otáveis (+)( )= - (+) = ++ ( ) = + (+) = ( ) = + (++c) = + +c + ( + c + c) Ftorção + c = (+c) +c+d+dc= (+c)+d(+c)=(+c)(+d) ++ =(+) + =( ) x + x + c =.(x ) (x ), ode e são s rízes de x +x+c= =(+) + =( ) + =(+) ( + ) =( ) ( ++ ) + +c + (+c+c)=(++c) Números turis Números primos: Um úmero turl e mior que é primo se ele tiver pes dois divisores turis distitos: e ele mesmo. Números primos etre si: Dois úmeros turis são primos etre si se o úico divisor turl comum etre eles for. Qutidde de divisores turis de um úmero turl Se= p. q.c r.d s..., etão tem (p+) (q+) (r+)... divisores positivos, sedo um úmero turl e,, c, d,... ftores primos do úmero. Seqüêcis Defiições Seqüêci rel é tod fução f : I R,odeI=N*ouI={,,,......, } Se I = N*, seqüêci é chmd ifiit. Se I = {,,,......, }, seqüêci é chmd fiit.

3 Progressão ritmétic (P) Defiição Progressão ritmétic (P) é tod seqüêci uméric ode, prtir do primeiro termo ecotrmos os demis somdo o terior um vlor fixo r chmdo de rzão d P. Coseqüêci d defiição: r= = = 4 = = + =r Clssificção ds P s Um P de úmeros reis pode ser: I.crescete: (rzão positiv): r >0 + > II.decrescete (rzão egtiv): r<0 + < III. costte (rzão ul): r=0 + = Fórmul do termo gerl de um P Sej P(,,, ). Etão: = +( ) r, N* Coseqüêci: Pr otermos um termo qulquer, prtir de um termo de ordem p ( p ), poderemos utilizr regr: = p +( p) r,,p N* Termos eqüidisttes em P N P geéric: P(,,,......, p-, p, p+,......, ), tem-se: p pk pk com p, k IN * Som dos primeiros termos de um P Sej P(,,,......,,...), som de seus primeiros termos é dd por: S ( )

4 Progressão Geométric (PG) Defiição Progressão geométric (PG) é tod seqüêci em que cd termo, prtir do segudo, é igul o produto do termo terior por um costte q, que é chmd rzão d P.G. Coseqüêci d defiição: Se 0, etão q = ; ou sej, ecotrmos rzão d PG dividido um termo qulquer pelo seu tecessor. Clssificção ds PG s: Um PG pode ser: I.Crescete: qudo + > Exemplo: PG(,, 4, 8, 6,...), q= II.Decrescete: qudo + < Exemplo: PG(8, 7, 9,,,...), q=/ III. Costte: qudo + = Exemplo: PG(,,,,,...), q= IV.lterte: qudo 0eq<0 Exemplo: PG(, 4, 8, 6,,...), =eq= V. Não decrescete: qudo <0eq=0 Exemplo: PG(, 0, 0, 0, 0,...), = eq=0 VI.Não crescete: qudo >0eq=0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0,...), =5eq=0 Fórmul do termo gerl d PG Sej PG geéric: PG(,,, 4,...). ssim: = q, N* Coseqüêci: Pr otermos um termo qulquer, prtir de um termo de ordem p ( p ), poderemos utilizr regr: = p q p,,p N* Termos eqüidisttes em PG N PG geéric: PG(,,,......, p-, p, p+,......, ), etão: ( p ) =( p k) ( p+k ), p,k N* Produto dos primeiros termos de um PG (P) Sej PG(,,,...,,...,... ) idicremos por P o produto de seus primeiros ( ) termos. ssim: P = q ou P =( ) 4

5 Som dos primeiros termos de um PG (S) Sej (,,,...,,...) um PG de rzão q e idiquemos por S som de seus primeiros termos. ssim: (q ) Se PG ão for costte, ou sej q teremos: S = q Se PG for costte, ou sej q = teremos: S = Som dos termos de um PG ifiit (S) Sej P.G. = (,,,...,,...)derzão qesom de seus ifiitos termos S= (série) Qudo lim S = S existe e é fiito, dizemos que série coverge pr S. Qudo esse limite ão existe ou ão é fiito dizemos que série diverge (ão se pode determir tl som). Se < q <, pode-se demostrr que: lim S = S = q Fução Expoecil f(x) = x ; >0 e Im f =IR * D f =IR y y > fução crescete 0<< fução decrescete 0 x 0 x Proprieddes de potêci. m. = m+. m : = m,0. ( m ) = m. 4. m = m,in/> 5. =,0 5

6 Equção expoecil f(x) = g(x) f(x) = g(x) Iequção expoecil f(x) > g(x) f(x) > g(x), se > f(x) > g(x) f(x) < g(x), se 0<< Logritmo Defiição log =x = x com >0,0< Propriedde de logritmo. log c (.) = log c + log c ;>0,>0,0<c. log c = log c log c ;>0,>0,0<c. log c m =m.log c ;>0,0<c e m IR 4. log c m = m. log c;>0,0<c e m IR* Fução Logrítmic f(x) = log x, > 0 e y Im f =IR D f =IR * y 0 x 0 > fução crescete x 0<< fução decrescete 6

7 Geometri Pl Relções métrics o triâgulo retâgulo h =m c= h h c = m = +c (Pitágors). m c = Relções métrics o círculo P P D C C D T P P = PC PD P P = PC PD (PT) =P P P Lei dos c R se se se Lei dos cosseos = +c c cos = +c c cos c = + cos 7

8 Teorem de Tles // // //... '' C CD C ' C' C'D' 'C' D 'D' Teorem d issetriz iter c x S y x c y Teorem d issetriz exter c c C x y S x c y Semelhç de triâgulos H c h z P y C Q x R x c H k y z h Áre C Áre PQR k 8

9 rcos e âgulos = + Rzões trigoométrics se c cos tg c c se cos c tg Comprimeto d circuferêci R C R se médi de triâgulo MN // C MN = C 9

10 se médi de trpézio MN // MN = +CD ricetro de triâgulo Polígoos covexos Sedo = úmero de ldos; d = úmero de digois; S i = som dos âgulos iteros e S e = som dos âgulos exteros, temos: d= ( ) S i =( ) 80ºe S e = 60º Áres Retâgulo Qudrdo Prlelogrmo Triâgulo Trpézio 0

11 Losgo Losgo Los (C) (D) C Fórmuls especiis pr áre do triâgulo c p(p ) (p )(p c) 4 em que p c se c =rp 4R p c Círculo R R Setor circulr 60º R em rdios R R

12 álise Comitóri / Proiliddes Número iomil: p =! p!( p)! =C, p comição de ojetos distitos = grupdos de p em p Teorem iomil: (+) = = io i rrjo:, p =! ojetos distitos seqüecidos (efileirdos) de p em p ( p)! i i Permutção de ojetos distitos: P =!,, Permutção de elemetos repetidos: P =!!!!, ojetos iguis etre si ojetos iguis etre si ojetos iguis etre si Proilidde de ocorrer um eveto = proilidde de ocorrer eemse oeveto guid ocorrer o eveto.o de elemetos do cojuto eveto.o de elemetos do espço mostrl = () (E) =P() proilidde de proilidde de = ocorrer o eveto x ocorrer o eveto Teorem d multiplicção sedo que ocorreu Exemplo: = ols zuis 5 ols verdes tirr um ol zul e em P seguid um ol zul = 7 6 chce de retirr um ol zul sedo que já siu um zul Cojutos, Fuções e Iequções Relção Cosiderdo dois cojutos e, ão-vzios, chmmos relção (iári) de e qulquer sucojuto do produto crtesio (x={(x; y) / x x }). Defiição Um relção f de em é um fução de em, se, pr todo x, existe um úico y tl que (x; y) f. (Idic-se: f: ).

13 Exemplo Cotr-exemplo 5 f f é fução 4 6 g g ão é fução Domíio de f=d(f)=={,,5} Cojuto Imgem de f = Im(f) = {, 4} Cotrdomíio = CD(f) =={,4,6} 4 é imgem de 5, isto é, 4 = f(5) 4 é imgem de, isto é, 4 = f() Tipos de fução Fução crescete e decrescete Um fução f é crescete em D f (x <x f(x ) < f(x ), x,x ). Um fução f é decrescete em D f (x <x f(x ) > f(x ), x,x ). Fução ijetor, sorejetor e ijetor Umf: é ijetor se todos os elemetos distitos em têm imges distits em ( x,x, x x f(x ) f(x )). Umf: é sorejetor se todos os elemetos de são imges de elemetos de (Im(f) = CD(f) ou y, x / f(x) = y) Um fução de f: é ijetor se é ijetor e sorejetor. Exemplos: f f f f f é sorejetor e ão é ijetor f é ijetor e ão é sorejetor f é ijetor f ão é ijetor e em sorejetor Fução pr e ímpr Um fução f : é pr x, f(x) = f( x). Um fução f : é ímpr x,f(x)= f( x). Fução periódic Um fução f : é periódic de período p x, f(x + p) = f(x), p>0. Fução compost Dds dus fuções feg,podemos oter um outr fução fog, tl que fog(x) = f(g(x)), chmd fução compost de f com g.

14 Fução ivers Deomi-se ivers d fução ijetor y = f(x), f: fução f :, tl que f (y)=x. Oservção: Pr se oter ivers de um fução f (ijetor) defiid por um seteç mtemátic y=f(x). troc-se x por y e y por x;. coloc-se o ovo y em fução do ovo x. Mtrizes, Determites e Sistems Lieres Proprieddes dos determites. det( t ) = det().. Se um lih (ou colu) é formd só de zeros, o determite é igul zero. c. Qudo trocmos de lugr dus lihs (ou colus) prlels, o determite fic multiplicdo por. d. Se dus lihs (ou colus) prlels são iguis (ou proporciois), o determite é igul zero. e. Se os elemetos de um lih (ou colu) presetm um ftor comum k, este pode ser colocdo em evidêci. f. Se é um mtriz qudrd de ordem, etão det(k.) = k.det() g. Teorem de iet: det(.) = det().det() teção: em gerl, det(+) det() + det() h. Teorem de Jcoi (importte pr oteção de zeros). O determite de um mtriz ão se lter qudo sommos um lih (ou colu) outr lih (ou colu) prlel multiplicd por um costte i. Mtriz Trigulr: det() 4( 5) Multiplicção de mtrizes c x y d z w x+z y+w = cx +dz cy+dw. Todo sistem de equções lieres preset pes um solução, ou sej, é um sistem possível e determido (s. p. d.), qudo D 0,odeDéodetermite d mtriz dos coeficietes de tl sistem.. Pr os csos ode D=0,pr lisr o sistem, ou sej, dizer se o mesmo é impossível (s. i.) ou idetermido (s. p. i.), deve-se esclor tl sistem, elimido ordedmete s icógits ds equções. equção, icógit x, x = tem pes um solução pr 0; tem ifiits soluções pr =0e=0eãotemsolução pr =0e 0. 4

15 Trigoometri Relções Fudmetis Coseqüêcis x se x + cos x=,xr cotgx tgx sex tgx x cosx k cosx cotgx sex secx x cosx k +tg x = sec x ( x k + cotg x = cossec x cos x + tg x k cossecx sex ( x k) tg x se x + tg x Fórmuls de dição cos( + ) = cos. cos se. se cos( ) = cos. cos + se. se se( + ) = se. cos + se. cos se( ) = se. cos se. cos tg tg tg( ) tg tg tg tg tg( ) + tg tg Fórmuls de multiplicção rcos duplos se = se cos cos se ou cos = cos ou se tg = tg tg rcos Triplos se = se 4 se cos = 4 cos cos tg tg tg = tg 5

16 Fórmuls de divisão se x = cos x cos x = + cos x tg x = cos x + cos x Fórmuls de trsformção em produto cos p+cos q= cos p+q cos p q cos p cos q= se p+q se p q se p+ se q = se p+q cos p q se p se q = se p q cos p+q se(p+ q) tg p+ tg q= cos pcos q se(p q) tg p tgq= cos pcos q Equções trigoométrics fudmetis se = se = + k ou =( ) +k cos = cos = +k tg =tg = + k Fuções circulres iverss y = rc sex sey =xe y y = rc cosx cosy =xe0 y y = rc tgx tgy=xe <y< 6

17 Geometri Espcil O volume de um prism eodeumcilidro (retos ou olíquos) é igul o produto d áre d se () pel ltur (H). E o volume de um pirâmide eodeumcoe reto (ou olíquo) é igul / do produto d áre d se pel ltur. R H H H H g R V=H V= H Plificdo superfície lterl de um cilidro reto de rio R e ltur H otemos um retâgulo de ldos R e H. Etão áre lterl ( L ) do cilidro reto é: Plificdo superfície lterl de um coe reto de rio R e gertriz g otemos um setor circulr de rio g e rco R. Etão áre lterl do coe reto é. L = setor L = Rg L = Rg Sedo medid, em grus, do setor, temos: setor = Rg = 60º g R= 60º g O volume V e áre de um esfer de rio R são ddos por: R =4R e V = 4 R 7

18 Números Complexos Form lgéric Nomecltur z=+i(,ir) i = uidde imgiári = Re (z) = prte rel de z = Im (z) = coeficiete d prte imgiári de z Exemplos de úmeros complexos z = i = 0 + i = úmero imgiário puro. z = 6 = 6 + 0i = úmero rel. z=+i(0) = úmero imgiário ou úmero complexo ão rel. Potêcis iteirs de i (i k,k ZZ ) i 0 = e i 4k = i =i e i 4k+ =i 4k.i =i i = e i 4k+ =i 4k.i = i i = i e i 4k+ =i 4k.i = i Cojugdo de z=+i(, IR) z = i Proprieddes.z+w=z+w.z.w=z.w z. w = z w 4. z = ( z ) ( ZZ ) 5. (z)=z Produtos e divisões otáveis. ( + i) =i. ( i) = i. (+ i)( i) = 4. + i i =i 5. i + i = i 8

19 Iguldde form lgéric +i=c+di = c e = d (,, c, d IR) Represetção o plo de rgd-guss z=+i=(,)=p(, IR) 0 P = fixo de z d op = z = + = módulo de z +k. = rg(z) = rgumeto de z (0 <) = rgumeto pricipl de z Proprieddes. z =z.z. z.w = z. w. z w = z w (w 0) 4. z = z, ZZ 5. z+w z + w 6. z = z Form trigoométric de z C* z=+i= z (cos ise ) z = e cos = z se = z Iguldde form trigoométric z ( cos + i se z = w ( cos + i se w z=w z = w e = +k. k ZZ 9

20 Operções form trigoométric Sejm z = z (cos ise ) z = z (cos ise ) z = z (cos ise ) Multiplicção z.z = z. z. [cos ( + ) + ise ( + )] Divisão z = z z z [cos ( ) + ise ( )] Potecição z = z. [cos ( ) + ise ()] Rdicição C z = w = z cos k +k +i se +k, Proprieddes. w 0 +w +w +...+w =0. riz eésim de z divide circuferêci em prtes iguis.. O rio dess circuferêci é z. (k=0,,,..., ) 4. O poto de prtid (w o ) é o rco e o pulo de um riz pr outr é de. Equção iômi em C x +=0 ( 0) x = x = C x= =w k, (k=0,,,..., ) Geometri lític Distâcis De dois potos e d (x x ) (y y ) Do poto P à ret (r) x + y +c=0 x P + y P + c d + 0

21 Potos especiis. M divide rzão M M =r r= x M x = y M y x xm y ym x +x y +y Se M é poto médio de, M =,. Poto do eixo x: = (, 0) Poto do eixo y: = (0, ) Poto d issetriz dos qudrtes pres: C = (k, k) Poto d issetriz dos qudrtes ímpres: D =(k, k) ricetro do C: G = x x xc y y y C, Áre do C S= D ode D = x y x y x y C Oservção: Se, e C são colieres, D = 0. C Equção de circuferêci (x x C ) +(y y C ) =r Cetro C e rio r, equção reduzid. Equção de ret Gerl: x + y +c=0 (r) Cohecedo potos eder: Reduzid: y = mx + k x y x y =0 x y m... coeficiete gulr de r k... coeficiete lier de r m=tg (ão existe, se m é verticl) Cohecedo potos edret, m y y x x

22 Prlels / perpediculres r//s m r =m s Exemplos: Prlel y = x é y = x + k Prlel x + 5y é x + 5y +k=0 r s m r.m s = Exemplos: Perpediculr y = x é y= x+k Perpediculr x + 5y 6=0 é 5x y+k=0 Oservção: Se P pertece x + y +c=0,etão x P +y P +c=0.