CURSO DE INVERNO DE MATEMÁTICA BÁSICA 2013

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1 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 CURSO DE INVERNO DE MATEMÁTICA BÁSICA 0 Progrm de Pós-Grdução em Físic Pró-Reitori de Esio de Grdução/UFSC Pró-Reitori de Esio de Pós-Grdução/UFSC Projeto REUNI Reestruturção e Epsão ds Uiversiddes Federis

2 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 CURSO DE INVERNO DE MATEMÁTICA BÁSICA 0 Apostil elord por (Progrm de Pós-Grdução em Físic d UFSC): Giovi Formighieri Edurdo Muller Lu Cri Beetti Re Cuh de Oliveir Adré Felipe Grci Coordeção: Giovi Formighieri Supervisão: Prof. Dr. Mrcelo Herique Romo Trgteerg (Deprtmeto e Progrm de Pós-Grdução em Físic d UFSC) Coteúdo e miistrtes: 0/08/0 - Ftorção, Frções, Potecição e Rdicição (Edurdo Muller) 06/08/0 - Equções, Iequções, Sistems de Eq. e Poliômios (Giovi Formighieri) 07/08/0 - Fuções I (Lu Cri Beetti) 08/08/0 - Fuções II (Re Cuh de Oliveir) 09/08/0 - Trigoometri (Adré Felipe Grci) Progrm de Pós-Grdução em Físic Pró-Reitori de Esio de Grdução/UFSC Pró-Reitori de Esio de Pós-Grdução/UFSC Projeto REUNI Reestruturção e Epsão ds Uiversiddes Federis

3 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Módulo : Ftorção, Frções, Potecição e Rdicição. Ftorção Ftorr umericmete é decompor um úmero em um produto de outros úmeros, chmdos ftores. O úmero pode ser ftordo como sedoo produto etre os úmeros e ( = ); e 8 ( 8 = ); ou té mesmo e 6 e ovmete ( 6 = ). A ftorção complet ocorre qudo um úmero é decomposto o mior úmero possível de ftores. Isto ocorre qudo escrevemos este úmero somete trvés d multiplicção de úmeros primos. Números primos são queles que podem ser divididos somete por um e por ele mesmo. Eemplos : ) ) c) d) e) Ftorção lgéric cosiste em escrever determid epressão lgéric form do produto etre dus ou mis epressões lgérics. Eemplos : ) ) c) Os eemplos cim cotêm epressões cotids detro de prêteses. Evetulmete temos epressões com produtos de mis de um prêtese. Pr multiplicrmos dois prêteses, cd termo do primeiro prêteses deve multiplicr cd termo do segudo prêteses, ssim: Do mesmo modo, podemos oter que: e Este último resultdo é chmdo difereç de dois qudrdos. Eercícios Propostos: Ftore: ) = ) 6 = c) 00 = d) e) = f) g). Frções Número frcioário é o úmero resultte

4 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 d rzão de dois úmeros iteiros. Ddos os úmeros iteiros e, represetção gerl de um frção é dd por, ode temos que o úmero iteiro é chmdo de umerdor, e o úmero iteiro é chmdo de deomidor e é diferete de zero. Est últim cosiderção se deve pois um úmero dividido por 0 é idetermido. Qudo dividimos ou multiplicmos o umerdor e o deomidor de um frção por um mesmo úmero, diferete de zero, sempre otemos um frção equivlete à frção dd. E.:. e Logo e são frções equivletes. Outro eemplo, um pouco mis gerl, seri:. Trsformção de Número Frcioário em Número Deciml Bst dividir o umerdor pelo deomidor. Eemplos : ) : 0, 0 ) 6,66... São frções equivletes, pois represetm mesm prte de um iteiro.. Trsformção de Número Deciml em Número Frcioário Pr trsformr um úmero deciml em úmero frcioário, tom-se o úmero que se otém desprezdo zeros à esquerd e vírgul, e dividir por 0, 00, , ou sej o lgrismo um seguido de um úmero de zeros igul o úmero de css pós virgul. Eemplos : ) ) c) d) 0, 0 0, , , 0 e) 0, % 00 0 Cso o deciml for um dízim pródic, o processo é um pouco mi complicdo. Nesse cso, escrevemos dízim como um som S de úmeros decimis. Feito isso, multiplicmos ess som por um úmero 0 N, ode N correspoderá o úmero de css decimis do primeiro deciml d som S. Em seguid, fz-se sutrção d som multiplicd pel som defiid. Vejmos um eemplo de como isso ocorre. Eemplos : ) Trsforme dízim 0, em deciml. Solução: Escrevemos dízim como um som S S = 0,6+0,06+0, () Multiplicmos som cim por 0 N, ode N

5 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 = é o úmero de css decimis do primeiro deciml d som. O resultdo será 0S = 6+0,6+0,06+0, () Fzemos sutrção de () por (), dode otemos ) 0, ;, ;, ; 0, ; 0,000 ;,07., ; 0 ) ; ; ; ; ;, ) 0, ; 7, ;, ; ; ;.. Adição e Sutrção Assim, ) Ecotre frção correspodete à dízim Solução S = 0,09+0,0009+0, () Multiplicmos () por 0, 00S = 9+0,09+0,0009+0, () Fzedo () meos (), temos Logo, temos Eercícios Propostos:. Trsforme os úmeros decimis io em frções: ), ) 0,80 c) 0,000 d) 7% e),.... Coloque os úmeros io ordem crescete: Podemos somr ou sutrir frções que possum o mesmo deomidor, procededo d seguite form: somdo (ou sutrido) o umerdor d primeir frção com o umerdor d segud frção e ssim, sucessivmete, (se houver mis frções). O deomidor será o mesmo! Eemplos 6: Qudo s frções possuem deomidores diferetes, devemos reduzíls o meor deomidor comum (ou Míimo Múltiplo Comum-MMC) e, em seguid dividir pelo deomidor e o resultdo multiplicr pelo umerdor. Este procedimeto se repete pr cd frção eistete. Por último, podemos somr ou sutrir s frções equivletes às frções dds. Eemplo 7: é o meor deomidor comum ou o míimo múltiplo comum de e. 7 Frções equivletes às frções dds, com o mesmo deomidor.

6 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Cotr Eemplo: ) 0. Divisão Eercícios Propostos:. Clcule e dê respost form frcioári: ) 7 ) c) d) e) 6 f) 8 g) 0,7, 0, 7 h) 0,7 i),. Multiplicção Bst multiplicr umerdor por umerdor e deomidor por deomidor. Eemplos 8: ) Mteh primeir frção e ivert segud pssdo divisão pr multiplicção. Eemplos 9: ) ) c) : 7 : ou 8 : ou 8 7 : 8 : Eercícios Propostos: Clcule os produtos e dê respost form frcioári: 6 ) 8 6 ). ( 0,6) 8 9 c) 9 0,8 0, 0. Clcule s divisões: ) 9 Pr os eemplos e c lemre-se: 6

7 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ) c) 7 d) ) 9 o Número egtivo elevdo epoete ímpr permece egtivo. Eemplo :. Potecição Podemos simplificr multiplicções de ftores iguis. Por eemplo, o produto... pode ser idicdo form. Assim, o símolo, sedo um úmero iteiro e um úmero turl mior que, sigific o produto de ftores iguis : ode: ftores - é se; - é o epoete; - o resultdo é potêci. Por defiição, temos que: 0 = ( 0, pois 0 0 é idetermido) e ¹ =. Eemplos 0: ) ) c) = 8 Pricipis proprieddes: ) m Eemplos : i) ii) 7 7 ) m O sil egtivo o epoete idic que se d potêci deve ser ivertid e simultemete devemos elimir o sil egtivo do epoete. Eemplos : i) ii) 9 iii) iv) Cuiddo com os siis!!! o Número egtivo elevdo epoete pr fic positivo. c) m m Eemplos : )... 6 Eemplos : 7

8 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 8 i) ii) d) m m Eemplos 6: i) 6. ii) e) Eemplos 9: i) ii) 6 iii) 8 f) 0 com, Eemplos 8: i) 9 ii) Eercícios Propostos: 6. Clcule s potêcis: ) 0 ) (-8) 0 c) d) e) f) 7. Qul é form mis simples de escrever: ) (. ).. (. c) ) y y y 8. Clcule o vlor d epressão: A 9. Simplificdo epressão.., otemos qul úmero? 0. Efetue: ) 8 ) c c c) y y d)

9 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 9 e) f). Qul o vlor de, se?. Simplifique s epressões: ) E ) E c) 00 G. Rdicição A rdicição é operção ivers d potecição. De modo gerl podemos escrever: e ) pois ) 8 8 pois N riz, temos: - O úmero é chmdo ídice; - O úmero é chmdo rdicdo. Pricipis proprieddes: ) p p Eemplos 0: i) ii) iii) 6 6 ), pr ímpr. Eemplo : i), pr pr Eemplo : i) c) Eemplo : i) d) Eemplo : i) ou e) m m m m m Eemplo : i) f) m m

10 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Eemplo 6: 6 i) Eercícios Propostos:. Dê o vlor ds epressões e presete o resultdo form frcioári: ) 00 ) 6 c) 9 d) 0, 0 e) 0,8 f),. Clcule riz idicd: ) 9 ) 8 c) 7 t d) t. Escrev form de potêci com epoete frcioário: ) 7 ) c) 6 d) e) f) 6. Escrev form de rdicl: ) ) c) d) 8 7 e) f) g) m h) m 7. De que form escrevemos o úmero rciol 0,00, usdo epoete iteiro egtivo? ) ) c) d) e) Simplifique Determie s soms lgérics: ) 7 ) 6. Regr de Três Simples A Regr de Três Simples é um form de se descorir um vlor idetermido trvés de outros três vlores. Pr tl, relciom-se 0

11 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 qutro vlores divididos em dois pres (pr ídice e ídice ) de mesm grdez e uidde (e.g.: e ), os quis estão relciodos etre si. Eistem dus forms de se relizrem os cálculos pel Regr de Três Simples, depededo d relção etre os pres de grdezs. ) Grdezs diretmete proporciois: ) Grdezs iversmete proporciois: se velocidde utilizd fosse de 80km/h?. Bic comprou cmisets e pgou R$0,00. Quto el pgri se comprsse cmisets do mesmo tipo e preço?. Um equipe de operários, trlhdo 8 hors por di, relizou determid or em 0 dis. Se o úmero de hors de serviço for reduzido pr hors, em que przo ess equipe frá o mesmo trlho? Resposts Módulo Eemplo 7: Um tlet percorre km em hors. Mtedo o mesmo ritmo, em quto tempo ele percorrerá 0 km? As grdezs são diretmete proporciois (quto mior o tempo, mior distâci que ele percorre), portto utilizmos relção dd em : km h 0 km fzedo-se multiplicção cruzd dos termos: = 0 =,9 hors = h + 0,9h. ) 9 0) 0 c) 0 7 d) 00 *********************************** 6. ) 0 ) c) 60 7 d) e) ***********************************. ) ) 0 9 c) 0 *********************************** ) 8 ) c) d). 7 6 ***********************************. ) (,);( 0,);(0,);(0,);(,);(,07);(,). = h + 7mi = h7mi ) 7; ; ; ; ;; Eercícios Propostos: 0. Um trem, deslocdo-se um velocidde médi de 00Km/h, fz um determido percurso em hors. Em quto tempo fri esse mesmo percurso, c) 0 ; (,); (0,); 7 ; ; (7,) 6. ) ) c) 8 d) 6 7 e) f) ***********************************

12 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic ) 6 c ) *********************************** 0. ) 8 ) c) 8 c y d) 8 8 e) 8 6 f) 8 8. R$00,00 pels cmisets ***********************************. dis *********************************** ***********************************. ) ) - c). +. = 6 ***********************************. ) ) c) 0 d) - e) 9 f) *********************************** ) ). 6 c) t t d )t. *********************************** 6. )7 ) c) d ) e) f ) *********************************** 6. ) 7 ) 6 c) d) e) 8 f ) g) h ) m m *********************************** 7. letr c 8. 0 *********************************** ) 9. ) *********************************** 0., hors (h0mi) ***********************************

13 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Módulo : Equções, Iequções, Sistems de Equções e Poliômios verddeir. Resolvedo equção cim: Psso: Dimiuido os dois ldos d equção (ou somdo em mos os ldos d equção): Nesse cpítulo serão orddos coceitos referetes o trtmeto e resolução de equções e iequções de º e º grus, equções iqudrds equções frcioáris e equções irrciois. Serão estuddos tmem os poliômios e os sistems de equções do º. gru. Estes ssutos fzem prte d emet do esio fudmetl e esio médio, sedo su compreesão de fudmetl importâci pr estudos de mtemátic vçd. Psso: Dividido mos os ldos d equção por (ou multiplicdo por mos os ldos):. Equções Assim, o úico vlor de equção é stisfeit é. pr o qul Equção é um seteç mtemátic que epress um relção de iguldde etre vriáveis (tmem chmds de icógits, ou sej, qutiddes descohecids de um equção ou de um prolem), sedo que codição impost pel equção só é verddeir pr determidos vlores triuídos às icógits. Mis simplificdmete, equção cosiste em um epressão mtemátic evolvedo o sil de igul e o meos um termo descohecido (um icógit), como mostrdo io:.. Equções de Gru É tod equção form, sedo e úmeros reis, com. Esss equções possuem pes um icógit e são deomids de Equções de gru, pois é mior potêci d icógit ( ). A solução gerl de um equção do º. gru é dd como. Eemplos: i. Ode é úic icógit d equção (s icógits podem ser represetds por qulquer letr). Como já meciodo teriormete, equção será stisfeit somete pr determidos vlores d icógit (este cso, ). A resolução de um equção cosiste em determir os vlores ds icógits pr os quis equção é Resolução: Iicilmete, se sutrirmos 7 dos dois ldos d equção, poderemos perceer com mis fcilidde que trt-se de um equção do º. gru: y

14 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 y y 9 0 Agor, podemos dicior 9 os dois ldos d equção, o que result: y y 9 Dividido etão, mos os ldos d equção por (ou multiplicdo mos os ldos por ), teremos: y 9 Possíveis soluções de um equção do º gru. Um equção do º pode ter ou ão solução, como mostrdo os eemplos io: Eemplo com solução úic: y Etão, o úico vlor de equção é stisfeit é. ii. pr o qul OBS: Durte resolução de um equção, cso hj situção qul 0 etão 0, por defiição, ão é um equção de º gru. Aio precem lgus erros comus resolução: Eemplo que ão possui solução: iii. 9 Note que ão eiste ehum úmero que multiplicdo por 0 drá 0 (ou qulquer outro úmero diferete de 0). Eemplo com ifiits soluções:

15 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Podemos perceer que qulquer úmero que ssum iguldde será verddeir. Vmos lisr, geometricmete, solução de três equções: ) Resolvedo est equção otemos que (ifiits soluções). Olhdo pr o gráfico: Resolvedo est equção otemos solução (solução úic). Olhdo pr o gráfico: Figur. Rets coicidetes... Equções de Gru É tod equção, com vriável, que pode ser colocd form de, sedo, e úmeros reis cohecidos, com. As equções de gru possuem pes um icógit e são deomids dest form pois o mior epoete d icógit é igul. Figur. Rets cocorretes. Eemplos: ) Resolvedo est equção otemos que (ão tem solução). Olhdo pr o gráfico:.... OBS: qudo e/ou são ulos temos um equção icomplet, pr e ão ulos temos quilo que chmmos de equção complet. Figur. Rets prlels. Equção de Gru Icomplet ( e/ou são ulos) c) Cso: e são ulos: Se,.

16 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Eemplo:. Cso: ulo: Se, e Equção de Gru As equções de gru (tto complets quto icomplets) podem ser resolvids trvés d equção de Bháskr: Eemplo: ode é o discrimite d equção e lemrdo, ovmete,. Repre que se for meor que zero ( ), equção ão tem rízes reis, ms sim dus rízes comples: e e. Cso: ulo: Ode i. Se for ulo ( ), equção de Bháskr terá um riz dupl, dd por: Se c, e Eemplo: Pr o cso em que é mior que zero ( ), fórmul de Bháskr forece dus rízes reis e diferetes, sedo els: e Atrvés d figur io podemos ver o comportmeto de um equção de gru pr os três csos lisdos cim (, e ). 6

17 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Oserve que como é ulo, eiste pes um riz rel dupl que stisfz equção... Equções Biqudrds Figur. Gráfico de um equção de gru. O gráfico é feito pr os csos em que >0 (esquerd), =0 (cetro) e <0 (direit). Além disso, pode-se ver o comportmeto d curv pr os csos em que >0 (superior) <0 (iferior). Eemplo : Determir s rízes d equção. Primeirmete clculmos o discrimite: As rízes são dds por São s equções que podem ser escrits form gerl, ode é vriável e, e são reis com. Pr ecotrr s rízes deste tipo de equção, fz-se seguite sustituição de vriáveis: Resultdo em um equção do tipo ( gru), qul se se resolver trvés d equção de Bháskr. Com este procedimeto trsformmos um equção iqudrátic em um equção qudrátic. Após ecotrr os vlores de y (dus rízes, e ), os vlores de (qutro rízes) são fcilmete otidos fzedo: Dest form, tem-se Eemplo: Dd equção, ecotre sus rízes. e Eemplo : Determir s rízes d equção. Primeirmete clculmos o discrimite: Fzedo, cujs rízes são e. Assim, s os vlores de são: Clculdo s rízes otemos 7

18 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0.. Equções Frcioáris Um equção é frcioári qudo lgum termo possui lgum vriável o deomidor. Por eemplo:. ; com.. ; pr e.. ; pr e. OBS: As restrições os vlores d vriável os eemplos cim são pr que ão ocorr divisão por zero (idetermição). Pr resolver tis equções é ecessário tirr o míimo múltiplo comum (MMC) dos deomidores pr elimirmos vriável dos deomidores. Vejmos lgus eemplos do procedimeto io: Eemplo: N seqüêci, dividimos ovmete todos os termos, dest vez por ( ), o que result:, ( ),, ( ),, ( ), ( ),, O miimo multiplo comum etre estes três termos etão será, ( ),, ( ),, ( ), ( ),, ( ) Psso : O deomidor de cd termo se tor o m.m.c e o umerdo de cd termo será multiplicção do tigo umerdor por m.m.c./d, ode d represet o tigo deomidor do termo em questão: Psso : Cálculo do MMC: Arrjdo os deomidores coforme o dispositivo prático cohecido desde os tempos de colégio, teremos:, ( ), Iicimos divisão, dividido os temos do ldo esquerdo por, o que result:, ( ),, ( ), Após, dividimos por e teremos:, ( ),, ( ),, ( ), Psso : Como todos os deomidores são iguis, multiplicmos mos os ldos d equção pelo MMC fim de elimirmos os deomidores d equção: Dest form, escrevemos equção form que estmos hitudos e sus rízes são otids com o uílio d equção de Bháskr:, 8

19 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 6 e.. Equções irrciois São equções que presetm icógit com epoete frcioário, como por eemplo: Pr resolver tis equções se isol o termo com epoete frcioário dos outros e se elev todos os termos d equção por um potêci pr qul o epoete d icógit se tore iteiro. Eemplos: D coclusão cim, vemos que respost 6 é dequd.. Psso : Isoldo o termo com epoete frcioário, Psso : Elevdo-se os termos à potêci, Prov rel: Sustituido 7 equção origil, teremos: / ( ). / [(7) ] Psso : Isoldo o termo com epoete frcioário, Psso : Elevdo-se os termos à potêci, Prov rel: Neste tipo de qeução, devemos sempre icluir um prov rel, pois poderá ocorrer o fto de termos um respost, ms que ão é dequd o prolem irrciol iicil. Assim, se sustituiros 6 epressão /, teremos: / (6) / () Mis um vez, respost é dequd.. 7 Lemrdo que Psso : Isoldo o termo com epoete frcioário, 7 Psso : Elevdo-se os termos à potêci, 9

20 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ( 7) ( ) Utilizdo o método de Bhskr, temos que s rízes são e Equções Simples de Dus Vriáveis São equções d form, com, e úmeros reis, sedo e coeficietes ão ulos. Ests equções com dus vriáveis possuem ifiits soluções e podem ser escrits form. Por eemplo: O tipo mis simples de poliômio que podemos ecotrr se chm moômio. Aio, ecotrmos um eemplo de moômio: Neste moômio, podemos idetificr o coeficiete umérico como sedo o úmero, e prte literl, como sedo. Defiimos o gru de um moômio como sedo som dos epoetes d prte literl. Assim, o gru do moômio eemplificdo cim é, pois est é som do epoete do () com o epoete do (). Biômios, Triômios e Poliômios A som de dois moômios é deomid iômio, como eemplificd io:... A resolução de tis equções será vist profuddmete mis dite, o cpítulo referete sistems de equções.. Poliômios Do mesmo modo, um triômio é defiido como som de três moômios e um poliômio, em gerl, como som de qutro ou mis moômios. O gru de um iômio ou poliômio é defiido como o gru de seu moômio de mior gru. Assim, o gru do poliômio mostrdo cim é... Operções com Poliômios Poliômios (ou epressões lgérics) são epressões mtemátics evolvedo úmeros, letrs (que represetm vriáveis) e com soms e produtos etre estes elemetos. Você perceerá que s equções com s quis estávmos trlhdo teriormete são eemplos de poliômios. As operções com moômios são já cohecids do estudte, pois form utilizds o processo de simplificção de epressões lgérics e o processo de resolução de equções, vistos teriormete. Portto, fremos pes um reve revisão: Som de moômios: Moômios 0

21 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ): Oserve que som de iômios e de poliômios, de um meir gerl, cosiste em um etesão turl d operção de som de moômios, ou sej, som de um poliômio d mis é que som de moômios. Por eemplo: Dividir por : Etretto, o cotrário d som, sutrção e multiplicção, divisão de iômios e de poliômios de um meir mis gerl, ão é um simples etesão deste processo, e justmete por este motivo, dá lugr, comumete, um série de resoluções errds. Vmos ver lgus eemplos d divisão de iômios: Dividir por : A operção de sutrção tmém cosiste em um etesão dest mesm idei de som. Multiplicção de moômios: A multiplicção de moômios se resolve fcilmete multiplicdo termo termo, ode são multiplicdos os termos uméricos e os termos literis. É importte lemrr propriedde. Eemplos: Dividir por : Oservem que o deomidor foi simplificdo trvés de ftorção. Dividir por : Divisão de moômios e poliômios: A divisão de moômios, tl como multiplicção, resolve-se de meir simples: dividem-se os coeficietes uméricos etre si, pós, dividem-se s letrs iguis etre si, sutrido os epoetes, como mostrdo o eemplo seguir (É importte lemrr que: Oservem que ovmete o deomidor foi simplificdo trvés de ftorção. Dividir por :

22 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 dividedo, um moômio que ão pode mis ser dividido pelo divisor. Divisão de poliômios: Pr resolvermos s divisões de poliômios, devemos iicilmete motr divisão meir de como fzímos escol ásic. É importte que os poliômios evolvidos divisão (dividedo e divisor) estejm escritos em ordem decrescete de gru de seus moômios, d esquerd pr direit. Após est motgem, dividimos o primeiro moômio do dividedo pelo primeiro moômio do divisor. Disto surgir um moômio o quociete. Devemos etão multiplicr este moômio pelo divisor e sutrir o resultdo dest multiplicção, do dividido, como mostrdo os eemplos seguir: Dividir por : Dividir por : Assim, temos que. Iequções Defiimos como iequções s epressões mtemátics semelhtes às equções, ms que diferem dests por represetrem ão igulddes, ms desigulddes. Assim, são eemplos de iequções s epressões io: Assim, temos que Eemplos:. Determir solução d iequção Isoldo vriável: D operção mostrd, fic óvio que o processo deve ser repetido té que surj o

23 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Pssmos vriável 0 pr esquerd: pr direit e o Pssdo todos os termos pr o ldo esquerdo, otemos epressão Assim, ecotrmos que iequção é stisfeit pr todo. Mis formlmete, epressmos o cojuto solução como. Determir solução d equção Isoldo vriável, Neste cso temos um iequção do gru. Podemos determir s rízes d equção que correspode el (, que são e. Agor olhmos pr o gráfico dest equção do segudo gru, mostrdo io. Oservem que o itervlo de =- =, fução retor vlores egtivos e pr os itervlos de =- =- e de = = fução retor vlores positivos. Dest form, cocluímos que solução pr iequção é Multiplicdo mos os ldos d equção por, Dest form ecotrmos Figur. Gráfico d fução.. Determir solução d equção :. Determir solução d equção Pssdo todos os termos pr o ldo esquerdo d equção otemos epressão Ou sej, procurmos todos os vlores possíveis de de form que sej diferete de zero. As rízes d equção

24 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 são e. Ou sej, os úicos vlores que equção se ul são e, e, portto, todos os outros vlores de é solução pr o prolem, ou sej,. Sistems de Equções Lieres Não podemos determir um úic solução em um equção que possu mis de um vriável simultemete, como por eemplo: Neste cso, o vlor vriável depederá do vlor d vriável y, e vicevers. Qudo isto cotece, pr podermos ecotrr os vlores de tods s vriáveis do prolem, precismos de um úmero de equções (liermete idepedetes) igul o úmero de icógits. Como o eemplo cim temos dus icógits, pr ecotrr o vlor de e de y precisrímos de mis um equção, por eemplo,, dest form terímos que solver o sistem { Qudo tivermos um cojuto de dus ou mis equções do º gru, como mostrdo cim, chmmos de sistem de equções do º gru. Dest form, solução de e y é tl que oedeçm s dus equções do sistem. N sequêci desevolveremos lgus métodos pr solução deste sistem de equções simples que presetmos. Tis técics podem ser utilizds pr sistems com um mior úmero de equções, como tmém poderá ser visto em lgus eemplos seguir. Método d som Este é o método mis utilizdo e tmém um dos mis simples e diretos que pode ser de grde utilidde miori dos prolems de sistems de equções do º gru. O método cosiste em somrmos os coeficietes uméricos ds vriáveis semelhtes etre si, pr formr um ov equção ode um ds vriáveis terá sido elimid o processo e restrá um equção com pes um vriável. Pr tto, podemos multiplicr todos os termos de um equção por um mesmo umero, ou té mesmo, multiplicr váris equções do sistem, cd um por úmeros diferetes como mostrdo os eemplos seguir. Eemplo: Resolver o sistem io pelo método d som. { Multiplicdo primeir equção por -: { Percee-se que se somrmos s dus equções, vriável será elimid, fzedo isto otemos: Agor que ecotrmos o vlor de y, usmos este vlor em um ds equções (pode ser qulquer um ds dus) pr ecotrr o vlor de. Aqui vmos utilizr segud equção:

25 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Dest form ecotrmos como solução { Dest form ecotrmos como solução { Reprem que est solução stisfz ms s equções ( e ). Método d sustituição Este método cosiste em escrever um vriável em fução ds outrs, em um ds equções e depois sustituir est vriável outr equção, como mostrdo o eemplo io. Eemplo: Resolver o sistem pelo método d sustituição: { Isoldo vriável y primeir equção otemos que Reprem que est solução é mesm ecotrd pelo método d som. EXERCÍCIO PROPOSTOS Seção.: Equções de Gru. Determie s rízes ds seguites equções do gru... c. d. e. f. g. h. i. j. k. Agor usmos est relção ecotrd segud equção: l. ( ) m. ( ) ( ). o. Agor que ecotrmos o vlor de, usmos este vlor em um ds equções (pode ser qulquer um ds dus) pr ecotrr o vlor de. Aqui vmos utilizr equção que os motmos pr escrever y em fução de : p. q. r. Seção.: Equções de Gru. Determie s rízes ds seguites equções de gru.

26 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0.. c. d. e. f. g. h. i. j.. Assile qul ltertiv dá vlores de k (rel) pr que equção sej um equção de gru?.. c. d. e.. Resolv s seguites equções:.. c.. As rízes d equção são.. c. d. e.. Clcule o vlor de k equção de modo que uidde sej su riz... c. d.. 6. A equção terá rízes reis se:.. c. d. e. 7. Quis são s rízes d equção.. c. d. e. 8. Resolv s seguites equções:.. c. d.? 9. Qul o vlor de k pr que equção teh sus rízes simétrics:.. c. d. e. 0. Resolv s seguites equções:.. c.. A meor riz d equção é.. 6

27 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 c. d. e.. Determir k equção modo que um ds rízes sej :.. c. d. e.. Resolv equção... c. d. de. Determie s rízes ds seguites equções irrciois:.. c. d. e. f. g. h. Seção.: Equções Biqudrds. A equção dmite:. Um solução rel.. Dus soluções irrciois. c. Dus soluções rciois. d. Seis soluções reis. e. Um solução rciol e um irrciol.. Pr que equção teh o discrimite ulo, c deve ser igul :.. c. d.. Ecotre s rízes ds seguites equções frcioáris:.. c. d. e. f. Seção.: Frcioáris. Dd equção se tem que:. Admite qutro rízes irrciois.. Admite oito rízes reis. c. Não dmite rízes reis. d. Admite qutro rízes iteirs. e. N.D.A.. A som ds rízes d equção iqudrd vle:. Zero, pr qulquer vlor de p.. Depede do vlor de p. c. Pr p=, el é. d. Pr p=-, el é. e. Sempre p.. Forme equção de rízes e.. c. d. 7

28 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0. Determie s soluções ds seguites equções:.. Seção : Poliômios. Dê o coeficiete, prte literl e o gru dos seguites moômios:.. c. d. e. f.. Efetue s seguites operções com poliômios:.. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. Seção : Iequções. Resolv s seguites iequções:.. c. d. e. f. g. h. i. j. k. Seção : Iequções. Resolv os seguites sistems de equções de gru:. {. { c. { d. { e. { f. { g. { h. {. Resolv s seguites situções:. N geldeir de A há litros de refrigerte, dispostos tto em grrfs de um litro e meio, quto de 600 ml. Qul é qutidde de grrfs de cd 8

29 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 cpcidde, sedo-se que são grrfs o totl?. Pedriho comprou dus coihs e um refrigerte pelos quis pgou R$7,00. Seu irmão Joãoziho comprou um coih e um refrigerte mis, pgdo R$,0. Qul é o preço do refrigerte e d coih? c. Em um geldeir há produtos em emlges de 00 g e de 00 g, um totl de 8,kg. Quts emlges de 00 g precism ser retirds pr que o úmero de emlges de 00 g sej o mesmo que o úmero de emlges de 00 g? d. Certo jogo possui fichs com dus ou qutro figurs cd um. Um jogdor possui fichs com um totl de figurs. Quts fichs de cd tipo possui este jogdor? e. Em um psto há ois e cvlos, um totl de 0 imis. Somdo-se o umero de pts de ois o umero de pts de cvlos, otemos um totl de 80 pts. Qutos cvlos temos o psto, sedo-se que todos os imis são ormis? f. Têm-se vários qudrdos iguis e tmém vários triâgulos iguis. Se destes tomrmos dois triâgulos e qutro qudrdos, som ds sus áres será igul 78 cm², já se tomrmos pes um triâgulo e dois qudrdos, som ds sus áres será igul 9 cm². Qul é áre de cd um destes triâgulos e qudrdos? g. A som de dois úmeros é 0 e difereç etre eles é 78. Quis são estes úmeros? Resposts do Módulo Seção.. Eercício : ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) o) p) q) r) Seção. Eercício : ) ) c) d) { } e) { } f) g) h) { } i) j), trt-se de um equção de gru Seção.. Eercício Letr Seção.. Eercício : 9

30 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ) ) { } c) Seção.. Eercício Letr e Seção.. Eercício Letr c Seção.. Eercício 6 Letr d Seção.. Eercício 7 Letr Seção.. Eercício 8: ) ) c) d) Seção.. Eercício 9 Letr e Seção.. Eercício 0: ) ) c) Seção.. Eercício Letr d Seção.. Eercício Letr Seção.. Eercício Letr Seção.. Eercício Letr d Seção.. Eercício : ) ) c) d) e) f) Seção.. Eercício Letr c Seção.. Eercício Letr Seção.. Eercício Letr Seção.. Eercício Letr e Seção.. Eercício : ) { } ) { } c) { } Seção.. Eercício : ) ) c) d) e) { ( ) ( )} f) g) h) Seção. Eercício : ) Coef ) Coef c) Coef d) Coef e) Coef f) Coef Seção. Eercício : ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) Seção. Eercício : 0

31 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ) ) c) g) Os úmeros são e 76. d) ( ) e) f) g) h) i) j) ( ) k) ( ) Seção. Eercício : ) ) c) d) e) f) g) h) Seção. Eercício : ) N geldeir de A há 8 grrfs de e 00 ml e grrfs de 600 ml. ) O vlor uitário do refrigerte é R$,00 e o d coih é R$,0. c) 8 emlges de 00 g precism ser retirds pr que o úmero dests emlges sej o mesmo que o úmero ds emlges de 00 g. d) Este jogdor possui fichs com dus figurs e fichs com qutro figurs. e) Não é possível clculr o úmero de cvlos, pois estmos dite de um sistem impossível. f) Os ddos forecidos os levm um sistem idetermido que possui um ifiidde de soluções.

32 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Módulo : Fuções Ates de dr um defiição forml de fução mostrm-se ecessáris outrs dus defiições, ser, de produto crtesio e de relção etre dois cojutos. De cordo com [], temos defiição de produto crtesio: Produto Crtesio: Sejm A e B cojutos diferetes do vzio. Chm-se produto crtesio de A por B, e idic-se por A B, o cojuto cujos elemetos são todos os pres ordedos (, y), tis que A e y B, ou sej: A B {(, y) Ae y B} Tmém mesm referêci, ecotrmos um o defiição de relção etre dois cojutos: Relção etre dois cojutos: Ddos dois cojutos A e B, chm-se relção R de A em B todo sucojuto do produto crtesio A B. Filmete estmos ptos defiir de meir precis o que é um fução, segudo s plvrs ecotrds referêci []: Fução: Sejm A e B cojutos diferetes do vzio. Um relção f de A em B é fução se, e somete se, todo elemeto de A estiver ssocido, trvés de f, um úico elemeto de B. Vmos eplorr um pouco ests defiições trvés de eemplos. Eemplo - produto crtesio: Sejm os cojutos A={,,} e B={,,6}, etão o produto crtesio A B é ddo por: A B {(,),(,),(,6),(,),(,),(,6), (,),(,),(,6)} Eemplo relção etre dois cojutos: Sejm os mesmos cojutos A e B do eemplo. Sej relção R dd por: R {(, y) A B y }. Neste cso, o sucojuto ddo pel relção R é formdo pelos elemetos: R {(,),(,6)} Aqui cem mis qutro defiições: ) Domíio []: o cojuto formdo pelos primeiros elemetos dos pres ordedos de um relção R etre dois cojutos. Represetmos este cojuto por Dom (R) No eemplo temos Dom ( R) {,}. ) Imgem []: o cojuto formdo pelos segudos elemetos dos pres ordedos de um relção R etre dois cojutos. Represetmos este cojuto por Im(R ). No eemplo temos Im( R ) {,6}. c) Cojuto de prtid: o cojuto que cotém ou é igul o Domíio de um relção R etre dois cojutos. No eemplo temos A sedo o cojuto de prtid d relção R. d) Cojuto de chegd (cotrdomíio): o cojuto que cotém ou é igul imgem de um relção R etre dois cojutos. No eemplo temos B sedo o cojuto de chegd, ou cotrdomíio, d relção R. Note que R do eemplo ão é um fução de A em B pois o elemeto do cojuto de prtid A ão possui imgem o cojuto de chegd B. Eemplo fução: Sejm os cojutos A={,,,} e B={,,9,6,} e relção R dd por: R {(, y) A B y }

33 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Neste cso relção R de fto é um fução, pois todo elemeto de A possui um úic imgem em B. O cojuto R é ddo por: R={(,),(,),(,9),(,6)} Note que ele é pes um sucojuto de A B, como especific defiição de relção. Aid, devemos perceer que o domíio coicide com o cojuto de prtid e que imgem está cotid o cotrdomíio, sedo, portto, meor que este em qutidde de elemetos. Eemplo : Sejm os cojutos: A={,,9} e B={-, -,-,,,}. Sej tmém relção R dd por: R {(, y) A B y } Neste cso R ão é um fução de A em B, porque cd elemeto de A, o cojuto de prtid, está ssocido por meio de R dois elemetos de B. Em gerl trlh-se com fuções cujo domíio e cotrdomíio são compostos pelo iteiro corpo dos úmeros reis. A imgem c sedo um cojuto meor ou igul o cotrdomíio. Eemplo : Sej A=B= (o cojuto dos úmeros reis). Sej relção R dd por: R {(, y) A B y Vemos que relção dd de fto é um fução, pois todo elemeto de A possui um úic imgem em B. Notmos tmém que, emor o domíio e o cojuto de prtid coicidm (e sempre devem coicidir pr que relção R sej um fução) imgem está cotid o cotrdomíio. Isto cotece freqüetemete. } Vejmos o comportmeto do domíio de lgums fuções que os judrão iterpretr tmém s equções d Físic.. Qul o domíio d fução dd por y 0? O domíio é o cojuto de todos os úmeros reis pr os quis é possível relizr s operções idicds. No cso, potêci ( ), produto (0), som e sutrção podem ser relizds pr quisquer úmeros reis. Assim, o domíio d fução dd por y 0 é o cojuto dos úmeros reis D=.. Qul o domíio fução dd por 0 y? 8 O domíio é o cojuto de todos os úmeros reis pr os quis é possível relizr s operções idicds. No cso, úic restrição é divisão, que ão está defiid qudo o divisor é zero. Devemos ter etão: 8 0 ou. Assim, o domíio d fução, dd por 0 y, é o cojuto dos úmeros reis 8 meos o úmero ou podemos id escrever D =. -. Qul o domíio fução dd por y? Neste cso, devemos ter: 0, pr que eist, ou sej, devemos ter. 0, pr que eist. Etão, devemos ter 0. Ds dus codições cim vemos que solução é válid pr >.

34 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Logo, o domíio d fução dd por D R. y é o cojuto. Gráficos Se desehrmos dus rets perpediculres etre si e dermos els um escl proprid costruímos um sistem de coordeds crtesio ortogol. Por comodidde oriet-se um ds rets horizotlmete o ppel e outr, como coseqüêci d ortogolidde à primeir, estrá orietd verticlmete. Chmremos o eio horizotl de sciss e o verticl de orded. Se represetrmos cd pr ordedo (,y) de um relção etre dois cojutos o plo crtesio estremos costruido o gráfico d relção em questão. Eemplo 6: Sejm os cojutos A e B e relção R={(,y) A B y= }. A represetção gráfic de R é dd pel figur io, ode restrigimos o domíio o itervlo [-,] e o cotrdomíio o itervlo [0,9]:. Fução Costte É tod fução do tipo que ssoci qulquer úmero rel um mesmo úmero rel. A presetção gráfic será sempre um ret prlel o eio do, pssdo por. O domíio d fução é O cojuto imgem é o cojuto uitário. Eemplo 7: ) ). Fução do primeiro gru Fução do primeiro gru é tod fução que ssoci cd úmero rel o úmero rel, 0. Os úmeros reis e são chmdos, respectivmete, de coeficiete gulr e coeficiete lier. O pr (0,), é itersecção d ret y = + com o eio y, ou sej, idic distâci do poto (0,) à origem do sistem de coordeds. Qudo fução é crescete, isto é, à medid que cresce tmém cresce. Qudo fução é decrescete: à medid que cresce decresce. O gráfico d fução é um ret ão prlel os eios coordedos se. O domíio de é

35 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 cteto oposto y tg, pois cteto djcete y y y A imgem de f é Se = 0 etão fução f() = é um fução costte. Se = 0 etão temos f() =. Trt-se de um cojuto de rets com iclição, tods pssdo origem (0,0). Cosiderdo figur io com iclição : ) f() = + 0, é um fução de primeiro gru crescete porque. c) y = - é um fução de primeiro gru decrescete porque. d) f() = - é um fução de primeiro gru decrescete porque.. Aplicção em Físic O Movimeto Retilíeo Uiforme É o movimeto mis simples d ciemátic. Recee o ome retilíeo por cosiderr pes trjetóris sore lihs rets. É dito uiforme por possuir velocidde costte, ou sej, distâcis iguis são percorrids em itervlos de tempo iguis. Oserve que: se 90 < < 80 ou 70 < < 60 etão tg é egtiv e, portto é egtivo. se 0 < < 90 ou 80 < < 70 etão tg é positiv e portto é positivo. Eemplo 8: ) é um fução de primeiro gru crescete porque. Dizer que velocidde é costte sigific dizer que el ão vri com o tempo, ão mud em um itervlo de tempo cosiderável. Um vez que velocidde é costte, celerção, que trt d vrição d velocidde é ul. Como velocidde é costte, velocidde isttâe é igul à velocidde médi (v m = v). Se o móvel prtir de um posição iicil e se movimetr com um velocidde v durte um tempo t, tem-se, equção horári do movimeto retilíeo uiforme:

36 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Digrm Horário Ds Posições Movimeto retilíeo uiforme: o gráfico io preset rets (equções do º gru). Este gráfico mostr como vri posição de um móvel durte o seu movimeto. Rets iclids scedetes idicm um movimeto progressivo. Rets iclids descedetes idicm um movimeto retrógrdo. Rets horizotis idicm que o corpo está em repouso. Propriedde: iclição ds rets deste gráfico represet velocidde do móvel. Velocidde versus tempo. Fução Qudrátic A fução defiid por, é chmd fução de gru ou fução qudrátic. Seu domíio é. O gráfico de um fução qudrátic é um práol com eio de simetri prlelo o eio dos. Se o coeficiete de for positivo, práol tem cocvidde voltd pr cim. Se, práol tem cocvidde voltd pr io. A iterseção do eio de simetri com práol é um poto chmdo vértice. A iterseção d práol com o eio dos defie os zeros d fução.. Zeros (ou rízes) de um fução do Gru Deomim-se zeros ou rízes de um fução qudrátic os vlores de que ulm fução, ou sej, que torm f() = 0. Em termos de represetção gráfic, são s scisss dos potos ode práol cort o eio. Deomi-se equção do º gru com um vriável tod equção d form + + c = 0, ode é vriável e,, c reis com 0. Oservção: c é orded do poto (0, c), ode práol cort o eio y. Resolver um equção sigific determir o cojuto solução (ou cojuto verdde) dess equção. Pr resolução ds equções do º gru, utilizmos Fórmul Resolutiv ou Fórmul de Bháskr dd io:, ode c Se 0 temos rízes reis; Se Δ< 0, ão temos rízes reis, ms sim rízes comples. Eemplo 9:. Dd fução f() = ² - 6 +, clculr os zeros dest fução. º psso: Primeirmete devemos idetificr os coeficietes: = = -6 c = 6

37 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 º psso: Clculr Δ: c ( 6) 6 º psso: Como o resultdo foi positivo, vmos oter os vlores solução: ( 6) 6 º psso: Cojuto Solução S={,}.. Determie s soluções de: ² = 0 Novmete idetificm-se os coeficietes: Etão otemos Δ: = = -8 c= 6 ( 8) c 0 E filmete s soluções: 6 ( 8) Logo, solução será S={} 0. Determie (se eistirem) s rízes d fução f()= ² - +0 Idetificr os coeficietes: Clculr Δ: = = - c= 0 c Logo, qudo o Δ (discrimite) é um úmero egtivo, ão eiste solução o cojuto dos úmeros reis. Vej: Ops!? Riz qudrd de úmero egtivo ão é rel! A solução é vzi ou ul. S, chmd solução Dd um fução qudrátic qulquer, com, usdo técic de completr os qudrdos, podemos fcilmete escrevê-l form ode, e sedo ( v, y v ) o vértice d práol. Neste cso o eio de simetri é ddo por = v. Dedução Sej ² + +c, isoldo temos: c c. Ode, Eemplo 0:. c c c ( v ) y v A práol dd por pode ser escrit como: e y ( ) O vértice d práol é e o eio de simetri é. 76 7

38 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0. Vlor máimo e vlor míimo d fução do Gru Emido os gráficos io, oservse que: Se 0 etão míimo d fução; Se 0 etão máimo d fução. y v y v é o vlor é o vlor Resolução: A equção do movimeto é do segudo gru, etão el descreve um práol côcv ( =, > 0). A mudç de setido de movimetção do móvel se drá o mometo em que ele tigir o poto míimo d práol. Oserve ilustrção do movimeto do móvel io (gráfico de S versus t): Devemos clculr o poto míimo d práol (míimo vlor d posição), ddo por: Podemos ecotrr os máimos e míimos dest meir pr um fução de segudo gru.. Aplicção em Físic A fução do º gru está presete em iúmers situções cotidis. N Físic el possui um ppel importte álise dos movimetos uiformemete vridos (MUV), pois em rzão d celerção, os corpos vrim tto su posição quto su velocidde em fução do tempo. A epressão que relcio o espço em fução do tempo é dd pel epressão: S S 0 v 0 t t ode é celerção, S 0 é posição iicil e V 0 é velocidde iicil. Eemplo : ) Um móvel reliz um MUV oedecedo à fução S = t - 8t + 6, sedo S medido em metros e t em segudos. Em que istte o móvel mud o setido de seu movimeto? ) Um chão tir um projétil, descrevedo fução s = -9t + 0t, sedo s em metros e t em segudos. Clcule o poto máimo de ltur tigid pelo projétil. (Vej o gráfico de S versus t pr este cso). Resolução: A fução do movimeto do projétil descreve um práol cove ( = -9, < 0). O poto máimo d práol será ltur máim tigid pelo projétil. Poto máimo:. Fução Módulo O módulo, ou vlor soluto (represetdo mtemticmete como ) de um úmero rel é o vlor umérico de descosiderdo seu sil. Está ssocido à idei de distâci de um poto té su origem (o zero), ou sej, su mgitude. 8

39 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 A fução defiid por chm-se fução módulo. O seu domíio é o cojuto e o cojuto imgem é Etão, d defiição de módulo, ddo um úmero rel, o módulo (ou vlor soluto) de, que se idic por, é defiido por:, se 0, se 0 O sigificdo dests seteçs é: i. o módulo de um úmero rel ão egtivo é o próprio úmero. ii. ii) o módulo de um úmero rel egtivo é o oposto do úmero. Etão, se é positivo ou zero, é igul. = se é egtivo, é igul -. Eemplo : - = -(-) =. Dd fução f() = 8, clculr: ) f() =. 8 = 0 8 = = ) f(-) =.(-) 8 = = -6 = 6. Resolver equção - = 6. Resolução: Temos que lisr dois csos: Resolvedo o cso : cso : - = 6 cso : - = = 0 => =6 e =-. Resolvedo o cso : -+6 = 0 => = e =. Resolvedo o cso : cso : -6 = - cso : -6 = -(-) -6 = - + = +6 =9 = Resolvedo o cso : -6 = -(-) - = -+6 -= =- Respost: S={-,} Gráfico O gráfico de f() = é semelhte o gráfico de f() =, sedo que prte egtiv do gráfico será refletid em relção o eio horizotl, pr vlores positivos de f(). Um outro eemplo pr fução modulr, seri fução modulr do segudo gru, sedo f() =, ssim: f, se ), se ( Assim temos o gráfico: Respost: S={-,,,6}. Resolver equção -6 = -. Resolução: Temos que lisr dois csos: 9

40 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Pssos Pr costruir o gráfico d fução modulr procedemos ssim: º psso: costruímos o gráfico d fução ode f()> 0 º psso: ode fução é egtiv, costruímos o gráfico de f() ( rete pr o outro ldo verticl). º psso: ue-se os gráficos Eemplo :. f() =. f() = (desloc o gráfico cim uiddes pr direit) 6. Iequções modulres Um iequção será idetificd como modulr se detro do módulo tiver um epressão com um ou mis icógits, vej lgus eemplos de iequções modulres: > < Ao resolvermos um iequção modulr uscmos ecotrr os possíveis vlores que icógit deverá ssumir, que torm verddeir iequção, e s codições de eistêci de um módulo. Codição de eistêci de um módulo, cosiderdo k um úmero rel positivo: Se < k etão, k < < k Se > k etão, < k ou > k Pr compreeder melhor resolução de iequções modulres vej os eemplos io: Eemplo : 6 Utilizdo seguite defiição: se < k etão, k < < k, temos que: 6 6. f() = S = { Є R / 6 6} Eemplo : 7 < Utilizdo seguite defiição: se < k etão, k < < k, temos que: 0

41 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Eemplo 6: < 7 < + 7 < < + 7 < < 9 S = { Є R / < < 9} ² > 6 Precismos verificr s dus codições: > k etão, < k ou > k < k etão, k < < k Fzedo > k etão, < k ou > k ² > 6 ² 6 > 0 Aplicdo Bháskr temos: = 6 = > 6 ou < Fzedo < k etão, k < < k ² < 6 ² + 6 < 0 Aplicdo Bháskr temos: Pel propriedde = = > < S = { Є R / < ou < < ou > 6}. É fução 7. Fução Poliomil defiid por em que o,,..., são úmeros reis chmdos coeficietes e, iteiro ão egtivo, determim o gru d fução. O gráfico de um fução poliomil é um curv que pode presetr potos de máimos e de míimos. Seu domíio é sempre o cojuto dos Reis. Eemplo 7:. A fução costte é um fução poliomil de gru zero.. A fução, é um fução poliomil de primeiro gru.. A fução qudrátic, é um fução poliomil de segudo gru.. A fução é um fução poliomil cúic.. A fução f é um fução poliomil de quito gru. 8. Fução Epoecil As fuções que chmmos de epoeciis são d form f ( ), ests fuções possuem este ome, pois vriável está o epoete[]. Oservção: ão devemos cofudir fuções f ( ) epoeciis com fução potêci g( ), pois s fuções tipo potêci vriável está se. N fução f ( ), é à se d fução epoecil e é um úmero rel ( 0 ). Oservção: por coveiêci em muitos livros mtemáticos e cietíficos us-se Epoecil Nturl (epoecil de se e ) pr represetr o fução epoecil, isso se deve su vst plicção esss áres. Já

42 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 represetção de se serve pr represetr os Logritmos Comus. Este tipo de fução possui como domíio D ( f ) (, ) e respectiv imgem Im( f ) (0, ) * Leis d Fução Epoecil: se e forem úmeros positivos e e y, úmeros reis quisquer, etão: ( y y y ) ( y) 0 y ( y) ( ) A fução será crescete se. A fução cort o eio ds ordeds o poto (0,). Possui domíio D ( f ) e imgem Im( f ). * () Fução epoecil costte Eemplo: ) ) c) d) e) f) g) h) i) 8 (8) e e e () e 9 (9) e e 6 6 e 7 (6) 9 6 e 6 6 (6) ( ) ( ) 6 ( ) e e e () e ( e) (e) (79) 6 A fução será costte se. A fução cort o eio ds ordeds o poto (0,). Possui domíio D ( f ) e Imgem Im( f ). Gráficos d Fução Epoecil (c) Fução epoecil decrescete Os gráficos ds fuções epoeciis podem ser do tipo crescete, costte ou decrescete, isso depederá eclusivmete do vlor d se. Oserve s figurs seguir: () Fução epoecil crescete A fução será decrescete se 0.

43 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 A fução cort o eio ds ordeds o poto (0,). Possui domíio D ( f ) e Imgem Im( f ). A prtir dos gráficos d fução visto cim podemos firmr: f ( ). A curv que o represet est todo cim do eio ds cisss, pois f ( ) 0 pr todo.. A fução cort o eio ds ordeds o poto (0,).. A fução será crescete se, costte se e decrescete se 0. Gráfico d fução ses: f ( ) em váris Oservção: Repre ertur ds curvs em relção o eio ds ordeds de cordo com o vlor d se. Eemplos de gráficos: ) f ( ) Fuções epoeciis e sus plicções: ) f ( ) O estudo ds fuções epoeciis se fz ecessários, pois ests fuções ocorrem frequetemete em modelos mtemáticos que descrevem turez, ecoomi e sociedde[]. c) f ( ) Composição de Fuções Composição de fuções é um meir de comir fuções pr que ests gerem um ov fução[], deotdo por ( f g)( ) ou f ( g( )), o procedimeto se chm de composição, pois ov fução gerd é compost por outrs dus ou mis fuções. Defiição: dd dus fuções f e g,

44 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 composição de f com g é defiid por: ( f g)( ) f ( g( )) Oservção: o iverso tmém vle, dd dus fuções g e f é possível eistir um composição de g com f. Nos dois csos composição deve respeitr o domíio e imgem ds dus fuções que germ. O domíio d fução compost compreede o cojuto de todos os potos o domíio de g tl que su imgem g () está o domíio de f []. Simolicmete isto sigific: D( f g)( ) D( g) / g( ) D( f Eemplo: ) Se ) f ( ) e ( ) f, ecotre fução compost ( f g)( ) e ( g f )( ). ( f ( g g)( ) f ( g( )) ( ) f )( ) g( f ( )) ( ) Note que o resultdo de ( f g)( ) e ( g f )( ) são diferetes, logo ( f g)( ) e ( g f )( ) ão é mesm operção. ) Se f ( ) e g( ), ecotre composição ( f g)( ), ( f f )( ) e seus respectivos domíios. ( f g)( ) f ( g( )) O domíio de D( f g)( ) (,]. ( f f )( ) f ( f ( )) O domíio de D( f f )( ) [0, ). 0 ) Se f ( ), g( ) e h ( ), fç composição ( f g h)( ). 0 ( ) ( f g h)( ) f ( g( h( ))) 0 ( ) 0. Fução Ivers Em muits ocsiões qudo estudmos um fução do tipo y f (), os deprmos com ecessidde de estud-l como sedo um fução do seguite tipo f (y). Ess fução é chmd de fução ivers de f, deotd por Eemplo: Fução f. Ivers ) f ( ) f ( ) ) f ( ) f ( ) ) y 9 y 9 ) y ( y ) Oservção: Não são tods s fuções que possuem iverss. Pr que um fução y f () dmit um ivers, fução f uc poderá ssumir dus vezes o mesmo vlor pr dois vlores diferetes de [], ou sej:

45 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Eemplo: f ( ) f ( ) um fução f em mis de um poto isso sigific que eistem úmeros e tis que f ) f ( ), ou sej, ão é um um. ( Pr um fução qulquer se f ( ) f ( ) (pr e reis e ) está fução ão dmitirá um ivers. Já pr um outr fução qulquer se f ( ) f ( ) (pr e reis e ivers. ) está fução dmitirá um Oservção: Um fução f é chmd de fução um um se el uc ssume o mesmo vlor dus vezes[], isto é: f ( pr ) f ( ) Gráfico: Oservção: Repre que eistem vários vlores de e que resultm em um mesmo vlor de f. Outro método pr ser se um fução é um um é trvés do Teste d Ret Horizotl. Teste d Ret Horizotl. Eemplo: ) A fução um? g( ) é um fução um Um fução é um um se e somete e se tod ret horizot itercept seu gráfico em pes um poto[], ou sej: Gráfico: Ess Fução ão é um fução um um, pois: g ( ) e g() g( ) g() Oservção: Repre que pr qulquer que sejm os vlores de e ão hverá um mesmo vlor de f Se um ret horizotl itercept o gráfico de Oservção: fução g( ) com domíio D ( f ) ão possui ivers, pois ão é um fução um um, porém se seu

46 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 domíio for restrigido pr pes D( f ) ou D( f ) ssim fução g( ) dmitirá um ivers, pois el se tor um fução um um. g ( ), 0. Fução Logrítmic A fução logrítmic é fução ivers d fução epoecil e é deotd por log. N fução f ( ) log, é à se d fução logrítmic e é um úmero rel ( 0 ). ) A fução um? f ( ) é um fução um Oservção: por coveiêci em muitos livros mtemáticos e cietíficos us-se o Logritmo Nturl (logritmo de se e, log e l ) pr represetr fução logrítmic, isso se deve su vst plicção esss áres. Já represetção de log serve pr represetr os Logritmos Comus[]. Est fução é um um, pois: f ) f ( ( ) A fução epoecil permite um fução ivers se su se estiver o itervlo 0 e, pois esse itervlo fução epoecil será crescete ou decrescete e usdo o Teste d Ret Horizotl otmos que fução será um um. Demostrção do Teste d Ret Horizotl fução epoecil. () Fução epoecil crescete: Domíio e Imgem de um Fução Ivers Um fução qulquer f um um com domíio D( f ) A e imgem Im( f ) B, logo su fução ivers terá com domíio D( f ) B e imgem Im( f ) A. domíio de f = imgem de imgem de f = domíio de f f () Fução epoecil decrescete: 6

47 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ) log ( y) log log y ) log log log y y r ) log ( ) r log ) log () 0 Eemplo: Após esse teste oservmos que fução epoecil é um um pelo Teste d Ret Horizotl, logo est fução dmite um ivers. Agor usdo formulção d fução ivers temos: f ( ) y f ( y) log y y Este tipo de fução possui como domíio D e respectiv imgem * ( f ) (0, ) Im( f ) (, ). Oservção: Vej que o domíio d fução logrítmic ão está defiido o poto 0 e os *. Proprieddes d Fução Logrítmic: log ( ) pr todo log pr todo 0 Oservção: Repre que qudo temos o logritmo de um epoecil e mos possuem mesm se o resultdo é o epoete. Repre tmém que epoecil de um logritmo o resultdo é. Leis d Fução Logrítmic: pr vlores de e y positivos e r qulquer úmero rel. Usdo s leis e proprieddes cim vmos reescrever s fuções io de outr meir. ) Descople s fuções io: ) log () ( ) log ( ) log( ) ) log log log log c) log log log y y d) log0 log0( ) log0( ) log ( ) log0( ) log0( log 0 ( ) 0 e e) l l( ) l() l( ) l() e e l() 0 0 f) l(e ) l() l( e ) l() 0l( e) l( ) 0 e 6 g) l l( 6) l( ) e e e l( e l( e ) ) l( e ) Comie s fuções io: ) l( e ) 6 ) log ( 6) log ( ) log ) log 0 log0( ) log 0( ( )) ) 7

48 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 c) l l l l l( ) d) log ( ) log ( y) log ( ) log ( ) y log 0( y ) Ecotre o vlor de s equções: ) log log log log ) l( ) l( ) l e l e ( e e e e ) ) Mudç de se s Fuções Logrítmics: Sej um fução epoecil do tipo etão: Assim k log k log log k log k k log k Sustituido respectivmete o vlor de k temos: log ( ) log ( ) log ( ) Eemplo: ) Clculr o log 8 0 em relção o logritmo turl e o de se 0: l(0) log 8 (0) l(8) log 8(0) log0(0) log (8) Gráficos d Fução Logrítmic Com relção os gráficos d fução logrítmic f ( ) log temos: () Pr 0 Em lgums situções os deprmos com ecessidde de clculr o logritmo em lgums ses específics, for do comum, que ão se ecotrm ormlmete em clculdors. Ess técic permite você mipulr su fução logrítmic pr deil em fução de um se desejd. Pr ecotrr um logritmo com um se desejd usdo qulquer outr se temos: Demostrção: log ( ) log ( ) log ( ) A fução é crescete pr. O gráfico está à direit do eio ds ordeds. Cort o eio ds scisss o poto (,0). 8

49 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Possui imgem domíio () Pr 0 Im( f ). D e * ( f ) Simetri etre f ( ) log ( ) e pr. g( ) A fução é decrescete pr 0. O gráfico está á direit do eio ds ordeds. Cort o eio ds scisss o poto (,0). Possui imgem domíio Im( f ). D e * ( f ) Simetri etre e g ( ) pr 0. A prtir dos gráficos d fução logrítmic f ( ) log vistos cim podemos firmr:. A curv que represet fução logrítmic crescete e decrescete está tod à direit do eio ds ordeds.. O domíio e imgem de mos os gráficos d fução logrítmic crescete e decrescete são respectivmete Im( f ). D e * ( f ). Amos os gráficos cortm o eio ds scisss o poto (,0).. Os gráficos d fução f ( ) log ( ) são simétricos os gráficos d fução epoecil g y como pode ser oservdo ( ) em relção um ret io. Fmíli de Gráfico d fução logritmo ) Pr diverss ses de. ) Pr diverss ses de 0. 9

50 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 d) e) f) g). Determir o domíio d fução dd por: ) y 0 Eercícios Propostos. O gráfico io idic posição de um móvel o decorrer do tempo, sore um trjetóri retilíe. Determie: ) velocidde do móvel. ) fução horári s(t) do móvel. ) y 0 c) y 9 d) e) f) y 6 y y 0 9 g) y h) y. O gráfico io idic posição de um móvel o decorrer do tempo, sore um trjetóri retilíe. Determie: ) velocidde do móvel. ) fução horári s(t) do móvel. i) j) k) y 6 8 y y. Represetr grficmete s fuções dds por: ) y 0 ) y 0 c) y. Dd fução f, clcule os zeros dest fução, sedo: ) ) c) d) y e) y f) y g) 9 0

51 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 6. Ecotre s rízes ds seguites fuções io: ) y 0 ) y c) y d) y e) f) g) y 0 y y 7. Represete geometricmete um ret que: ) psse pelo poto (, 0) e que teh coeficiete gulr igul -. ) psse pelo poto (0, ) e que teh coeficiete gulr igul -. c) psse pelo poto (0, ) e que teh coeficiete gulr igul. d) psse pelo poto (, ) e que teh coeficiete gulr igul -. e) psse pelo poto (, ) e que teh coeficiete gulr igul /. f) psse pelo poto (, 0) e que teh coeficiete gulr igul -/. 8. Oteh s fuções de º gru que pssm pelos pres de potos io: ) (-, ) e (, -) ) (-, 0) e (, ) c) (,) e (-,0) 9. Determie equção d ret cujo gráfico está represetdo io: 0. Determie fução do º gru cujo gráfico pss pelo poto (, ) e cujo coeficiete lier vle.. Dd fução y =, ecotre o vlor de em que orded y é o seu doro.. Dd fução y = +, ecotre os vlores ode ret itercept os eios e y.. Dd fução y = / + 0. Ecotre os vlores ode ret itercept os eios e y.. Determie equção d ret que pss por (,) e tem coeficiete gulr igul 0.. Sej ret dd por y = - +. Determie o vlor de pr que ret corte o eio s ordeds o poto (0,). 6. Dds s fuções f ( ) e g ( ), ecotre os vlores de pr os quis g( ) f ( ). 7. Com o ojetivo de treir s proprieddes de epoeciis já vists, reescrev s fuções io usdo s proprieddes. ) c) e) g) f ( ) ) f ( ) 7 7 f ( ) (7 6 ) 7 f) 7 f ( ) 6 6 h) f ( ) e d) f ( ) 7 e f ( ) 7 6 f ( ) e 7

52 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic i) f ( ) 6 9 j) f ( ) ( e ) 8. Em um mesmo gráfico represete s fuções epoeciis seguir. ) ) f ( ), f f ( ), f ( ) 0. f ( ) 0. ( ) e, f 7 ( ). f ( ) 0. 7 f ( )., f ( ) Sej f ( ) e g( ), ecotre; ) ( f f )( ) ) ( f g)( ) c) ( g f )( ) d) ( g g)( ). 0. Ecotre ( h g f )( ), sedo h ( ) e, g( ), f ( ). Se f ( ) e g( ), ecotre composição ( g f )( ), ( g g)( ) e seus respectivos domíios.. Ecotre formul d fução ivers ds fuções io: ) y ) y c) y d) y, 0 e) y, f) y, g) y, 0 h) y, 0. Fç o gráfico ds fuções io e vej se os mesmo são um um. ) ) c) f ( ) e f ( ) 6 f ( ) d) f ( ). Atrvés ds tels de vlores io gerds por um fução qulquer descur se fução é um um ou ão. ) 6 f () ) f () Usdo s proprieddes e leis ds fuções logrítmics, reescrev s fuções io.descople s fuções io: ) log 7 ) l c) log d) l( ) e) log 0 Comie s fuções io: f) log e log g) log0 log0 y h) l( ) l( ) i) l( ) l l( ) 6. Ecotre o vlor de :

53 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ) Sedo l ) Sedo log 0 ode e são costtes reis () c) Sedo 0 j) S={ / k) S={ / ***********************************. ) d) ( ) e e) log 7 ( ) f) l l( ) 7. Em um mesmo gráfico represete s fuções logrítmics seguir: ) ) ( ) log ( ) log f h( ) log0 g ) f ( ) log 0. g( ) log 0. h( ) log Clculr os logritmos io se turl e se 0 c) ) log () ) log 7 (9) c) () log 9 Resposts do Módulo d). ) v= 0 m/s ) S(t) = 0 + 0t ************************************. ) v= 0 m/s ) S(t) = 0 + 0t ************************************. ) = e = 6 ) c) = - e = - d) = e) = f) = e = g) = - 9 e = - 9 ************************************. ) ) c) d) S = { / e) S = { / f) g)s = { / h) i) S = { / e) f)

54 y Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 d) Ret y = - + g) 8 6 e) ret y = 0 - ************************************ 6. ) = ) = 0 c) Não tem d) = e) Não tem f) Não tem g) Não tem ************************************ 7. ) ret y = - + ) ret y = -+ c) Ret y = 7, 8,0 8, 9,0 9, 0,0 0, f) ret y = 8. ) y = - + )y = c) y = ************************************ 9. y = 0. y = - + ************************************. =. ( ) e (0,) ************************************. ( ) cort o eio e ão itercept o eio y. ************************************. y = 0. = ************************************ 6. Não eiste (rets prlels). ************************************

55 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 7. ) g) 6 ) 6 h) c) d) ( 7e) i) 9 j) e e) 6 e 7 f) ************************************ 8. ) ) ) ( ) f ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ), 0 e) f ( ), 0 f) f ( ), 0 g) f ( ), 0 h) f ( ), ************************************. ) É um fução um um. ) Não é um fução um um. 9. ( f f )( ) ( ) ) ( f g)( ) ( ) ) ( g f )( ) c) ( g g)( ) ************************************ 0. ( h g f )( ) e ************************************. ( g f )( ) D( g f )( ) [0,] c) É um fução um um. ) ( g g)( ) D( g f )( ) [,] ************************************.

56 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ************************************ 7. ) d) É um fução um um. c) e) log 0 d) log e 7 e f) e ************************************. ) A fução é um um. ) A fução ão é um um. ************************************. ) ) log ) l( ) c) log ( ) log ( ) d) l l( ) e) log0 log0 f) e log g) log 0 y h) l( ) i) ( ) l ************************************ 6. ) e ) 0 8. l() ) log (), log () l() l(9) ) log 7(9), log () l(7) l() c) log 9(), log 9() l(9) log log log log (9) (7) () () log0() log (9) 0 6

57 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 Módulo : Trigoometri Trigoometri é o rmo d Mtemátic que trt ds relções etre os ldos e âgulos de triâgulos (polígoos com três ldos). Ao lidr com determição de potos e distâcis em três dimesões, trigoometri mpliou su plicção à Físic, à Químic e quse todos os rmos d Egehri, em especil o estudo de feômeos periódicos como virção do som e o fluo de correte lterd.. Arcos e âgulos Medido rcos de circuferêci: A medid do comprimeto de um rco de circuferêci pode ser feit utilizdo-se qulquer ds uiddes usds pr medir seu rio, como o metro, o cetímetro, etc. No etto, medir o âgulo suetedido por um ddo rco ão requer o uso de uiddes, ou sej, um âgulo é dimesiol. Usm-se diferetes medids pdrão pr qutificr um dd ertur suetedid por um rco. Por eemplo, o que se covecioou chmr de gru de ertur foi o rco resultte d sudivisão de um circuferêci em 60 prtes iguis; já o que se covecioou chmr de rdio foi o rco suetedido por um comprimeto etmete igul o rio d circuferêci; chm-se de grdo um prte em 00 d circuferêci. Sedo ssim, eistem diferetes meirs de qutificr um determido âgulo. Adot-se s áres de Mtemátic e Físic uidde rdio e s Egehris o gru é mis difudido. Um vez esclrecids s defiições ds diferetes escls de medids de âgulos (rcos de circuferêcis) podemos estelecer equivlêcis etre els. Pr este fim, vmos defiir um úmero especil: π. É fto que tod circuferêci têm um determido comprimeto (C). É fto tmém que els possuem um diâmetro (D). Emor ão sej de óvi visulizção, um terceiro fto é que rzão etre circuferêci e o diâmetro (C/D) é um úmero costte e irrciol. (Fç eperiêci de medir o diâmetro de váris circuferêcis distits e seu comprimeto use um rte pr est últim medid e verifique se firmção respeito d rzão C/D é verddeir). Covecioou-se chmr este úmero irrciol de π. Assim, defiese: () Um vez que D=R, ode R é o rio d circuferêci, otemos fórmul: () que forece o comprimeto totl de um circuferêci. Precismos flr de π pr estelecer relção etre s medids de âgulos grus e rdios. Ms id flt um cois: descorir relção etre um dd ertur suetedid por um rco de circuferêci e o comprimeto deste rco. Pode-se otr que dd um ertur qulquer θ, el correspoderá um comprimeto S. Ao dorrmos o âgulo de ertur, tomdo θ o ivés de θ, e medirmos o comprimeto correspodete est ov ertur, oteremos medid S, o ivés do S que tíhmos tes. Triplicdo ou qudruplicdo ertur, correspodetemete triplicmos ou qudruplicmos o comprimeto do rco. Cocluímos ssim que o comprimeto de um rco é diretmete proporciol o âgulo suetedido por este. Aotmos isso por: () e iguldde é estelecid com o uso de um costte k, ser determid: () 7

58 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 N equção () vimos que o comprimeto de um circuferêci é ddo por πr, sedo R o rio d circuferêci. Se coveciormos chmr de π o âgulo que compreede um volt iteir circuferêci, sustituido em () iremos oter: () que irá forecer diretmete o vlor de k: (6) Isso se o âgulo foi medido em rdios. De modo justo o leitor irá pergutr: porque em rdios? Note que, cso k sej o próprio rio d circuferêci teremos seguite relção etre comprimeto de um rco qulquer e o âgulo que o mesmo suetede: (7) e otmos que, qudo, o comprimeto S será o próprio rio R d circuferêci. Ms est é própri defiição d escl de rcos rdio. Coclui-se disso que escl turl pr medid de rcos é escl rdio, sedo o âgulo suetedido pel iteir circuferêci de π rdios. Cso o âgulo θ tivesse sido ddo em grus, costte de proporciolidde k teri um vlor diferete. Note que este cso terímos o âgulo totl compreedido por um volt complet circuferêci ddo por 60 grus. Cosequetemete epressão do comprimeto de um rco é: (8) que qudo comprd com equção () forece: (9) que tor evidete o fto de que um gru correspode etmete do comprimeto totl d circuferêci, stdo fzer epressão (7). Vmos estelecer um equivlêci etre escls de âgulos. Ateriormete determimos dus costtes de proporciolidde distits pr medid do comprimeto de um rco em fução de um âgulo de ertur qulquer: um costte pr o âgulo de medid ddo em grus e outr pr o mesmo âgulo ddo em rdios. Ovimete que o comprimeto do rco ão deve depeder d costte de proporciolidde. Ess é oservção crucil o estelecimeto d relção etre escls desejd, pois: (0) A relção cim pode ser usd pr coverter um escl outr, rdios em grus e vice-vers. Note que: ou, equivletemete: Pr filizr descrição de rcos e âgulos ce otr que escl gru é sudividid em miutos e segudos de cordo com seguite correspodêci: ode usmos otção =miuto =segudo.. Rzões Trigoométrics O triâgulo é retâgulo qudo um de seus âgulos iteros é reto (âgulo reto= 90 ). Oserve o triâgulo retâgulo ABC d figur io, ele possui dois âgulos gudos e. Not: Âgulo gudo é todo âgulo meor que 90. Âgulo otuso é todo âgulo mior que 90. e 8

59 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 ) O produto dos ctetos é igul o produto d hipoteus pel ltur reltiv à hipoteus: É importte ser que: ) Em relção o âgulo : c é cteto oposto (CO); é cteto djcete (CA). ) Em relção o âgulo : é CO; c é CA. c) O ldo do triâgulo oposto o âgulo reto é chmdo de hipoteus (HIP) do triâgulo retâgulo. São defiids s seguites rzões trigoométrics: c) O qudrdo d ltur é igul o produto ds projeções dos ctetos sore hipoteus: d) O qudrdo d hipoteus é igul som dos qudrdos dos ctetos: Ess relção é cohecid pelo ome de Teorem de Pitágors.. Circuferêci Trigoométric Cosideremos um circuferêci de rio uitário ( ), cujo cetro coicide com origem de um sistem crtesio ortogol: ode oposto e djcete referem-se o âgulo α.. Relções Métrics Pr um triâgulo retâgulo ABC, podemos estelecer lgums relções etre s medids de seus elemetos: ) O qudrdo de um cteto é igul o produto d hipoteus pel projeção desse cteto sore hipoteus: e Est estrutur, jutmete com s coveções seguir, é chmd de circuferêci trigoométric. Coveções: I. O poto A=(,0) é origem de todos os rcos serem medidos circuferêci. II. Se um rco for medido o setido horário, etão ess medid será triuído o sil egtivo (-). III. Se um rco for medido o setido tihorário, etão ess medid será triuído o sil positivo (+). IV. Os eios coordedos dividem o plo crtesio em qutro regiões chmds qudrtes; esses qudrtes são 9

60 Progrm de Pós-Grdução em Físic Curso de Ivero de Mtemátic Básic 0 cotdos o setido ti-horário, prtir do poto A. Como circuferêci tem 60º ou π rd, cd um desses rcos medem 90º ou π/ rd. primeiro qudrte, este poto determi um rco M que correspode o âgulo cetrl. OBS: Se temos um rco de origem A e etremidde E, ele pode ssumir ifiitos vlores, depededo do úmero de volts que sejm dds pr medi-lo, tto o setido ti-horário (+) quto o setido horário (-). Relemrdo, chmmos de se à rzão etre o CO α, cujo tmho é ddo pel própri orded y do poto M, e HIP, cujo tmho é própri distâci r=; isto é: Com isso etesão é feit de modo que o sil do seo depederá do sil d orded do poto, ou sej, do qudrte que perteç o âgulo. Será positivo pr o primeiro e o segudo qudrtes (ordeds positivs), e egtivo pr o terceiro e o qurto qudrtes (ordeds egtivs). Usremos circuferêci trigoométric pr defiir s fuções trigoométrics, mis dite. Por gor vmos trlhr pes com um triâgulo retâgulo. Etesão do cosseo de um âgulo: Coforme defiimos pr o triâgulo retâgulo, rzão etre o CA α, sciss do poto M usdo teriormete, e HIP, distâci r, será o cosseo do âgulo :. A geerlizção ds rzões trigoométrics Como vimos teriormete, s rzões trigoométrics seo (se), cosseo (cos) e tgete (tg), referem-se âgulos gudos de um triâgulo retâgulo. No etto, pode-se esteder defiição dests rzões âgulos otusos, coforme veremos seguir. Etesão do seo de um âgulo: No plo crtesio, cosideremos um circuferêci trigoométric, de cetro em (0,0) e rio uitário. Sej um poto dest circuferêci, loclizdo o O sil do cosseo de um âgulo depede do sil d sciss do poto. Sedo ssim, cos α será positivo o primeiro e o qurto qudrtes e egtivo os segudo e terceiro qudrtes. 60