Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião. Operadores

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1 Operdores Curso de ligugem mtemátic Professor Reto Tião No uiverso dos úmeros reis, há sete operções ritmétics defiids, sedo que seis dels são idicds por síolos específicos: +,,,,,, e outr é idicd pel sigl log. A dição é mis ituitiv ds operções ritmétics. Não é ecessário o uso de lgrismos ou de plvrs pr compreedermos que \\\ + \\ \\\\\. A iterpretção geométric d dição tmém tem este cráter ituitivo: Se A, B e C são potos colieres e B pertece o segmeto AC etão AB + BC AC. Os vlores operdos pel dição são chmdos de prcels, e seu resultdo é chmdo de som. A multiplicção etre os úmeros iteiros positivos pode ser defiid como um dição de sucessivs prcels iguis. O umerl que idic qutidde de prcels e o vlor dests prcels são mos, chmdos de ftores. O resultdo ds multiplicções é chmdo de produto. Dizemos tmém que todo produto é múltiplo de seus ftores. Plvrs como doro e triplo, idicm multipliciddes de um determido vlor: O doro de é + ou id 2. O triplo de é ++ ou id 3. Depois o coceito dest operção é estedido, com o uílio d regr de siis, pr os úmeros egtivos e, o estudo d geometri, o coceito pode rir mão do termo que idic qutidde de ftores pr defiir o produto de dimesões como sedo o vlor d áre de um retâgulo ou do volume de um prlelepípedo, por eemplo. O retâgulo de ldos cogruetes é chmdo de qudrdo e o prlelepípedo reto-retâgulo regulr é chmdo de cuo e, tto áre do primeiro como o volume do segudo são otidos multiplicdo-se vlores iguis. A multiplicção de ftores iguis pode ser epress pel operção de potecição. Eis s primeirs potêcis de um úmero : O qudrdo de é ou id 2. O cuo de é ou id 3. Oserve que potecição é estruturd prtir d multiplicção ssim como multiplicção é estruturd prtir d dição. Isto os sugere cert relção de hierrqui etre ests três operções ritmétics. O símolo + represet o operdor de dição. O símolo represetd o operdor de multiplicção, ms pr ão ser cofudido com vriável is o estudo d álger, este símolo é freqüetemete sustituído por um simples poto ou té completmete omitido como epressão 2, que idic o doro de um úmero. O símolo ^ represet o operdor d potecição, que emor sej rrmete usdo, idic quit potêci do úmero 2 por 2^5. (Lê-se: dois elevdo à quit potêci). Um mifestção d hierrqui etre esss operções pode ser oservd seteç ritmétic: ^ Note que s operções ritmétics dest seteç form efetuds seguite ordem: primeiro potecição, depois multiplicção e por fim dição. Pr lterr ordem estelecid por est relção de hierrqui, utilizm-se prêteses ou colchetes: (1 + 3) ^ 2 4 ^

2 Curso de ligugem mtemátic Professor Reto Tião Adição Multiplicção Potecição + c prcels ftores Associtiv Associtiv Não ssocitiv (+)+c +(+c) ++c ( ) c ( c) c c ( ) ( ) Comuttiv Comuttiv Não comuttiv + + A potecição ão é um operção ssocitiv em comuttiv, e Isto tor um operção em mis delicd que, por ão comprtilhr ds proprieddes d dição e d multiplicção, preset um vst coleção de proprieddes prticulres em mis sofisticds do que ssocitiv e comuttiv. Proprieddes ds potêcis Pr potêcis de mesm se e epoetes diferetes temos três regrs válids em todos os csos cuj se é positiv e ão uitári (se > 0 e se 1): I. O epoete do produto é igul à som dos epoetes dos ftores: r s r+ s r II. O epoete d rzão é difereç etre os epoetes do umerdor e do deomidor: r s s s II. Os epoetes d potêci de outr potêci comutm etre si: ( r ) r s s r s ( ) III A potecição é um operção distriutiv em relção à multiplicção e à divisão, ms ão é distriutiv em relção à dição ou à sutrção. Assim, sedo > 0 e > 0 temos: IV. ( ) V. VI. + + Eis s pricipis coseqüêcis dests proprieddes: ( ) eceto qudo 1. 1 VII. Pr todo rel temos que: VII -1 1 VIII. Se 0 etão IX. Sedo 0 e 0 temos que: e se > 0 temos que:., e comido VIII e IX podemos firmr que: r X. Sedo > 0 e d 0 temos que: d d d Devido o fto ds potêcis pres dos úmeros egtivos serem positivs, um cuiddo especil deve ser tomdo, o uiverso dos úmeros reis, em relção às equções do tipo qudo é pr diferete de zero. Assim, se for positivo teremos: ±. Ms se for egtivo, equção ão possui solução rel e, os csos em que é ímpr, temos que implic ão importdo qul sej o sil de S {-3, 3} -9 S 8 S {2} -8 S {-2} 2

3 Operções iverss Curso de ligugem mtemátic Professor Reto Tião Pr descrever os processos de resolução lgéric ds equções crids prtir d dição, d multiplicção ou d potecição, usmos outros operdores como ( ) e ( ) que idicm sutrção e divisão, respectivs operções iverss d dição, d multiplicção. A potecição ão é comuttiv como dição ou multiplicção, com rrs eceções: Tete ecotrr outro pr de úmeros iteiros distitos que comutm potecição como 2 e 4. Por isso, são ecessáris dus operções distits pr iverter potecição: um pr isolr se ivertedo o epoete rdicição e outr pr isolr o epoete ivertedo se, o logritmo S {2} S {4} S {9} log S {6} Pr idicr s distits iversões d potecição escrevemos dois operdores diferetes: um deles é represetdo pelo o símolo rdicl e o outro é sigl log d plvr logritmo. Logritmo sigific epoete e operção logrítmic clcul os vlores dos epoetes ds equções epoeciis. Clculr é etrir riz cúic do úmero 729 e d mesm form dizemos que etrir o logritmo de 729 se 3 é clculr log3729. Sedo E, B e P úmeros reis positivos, respectivmete epoete, se e potêci d mesm operção de potecição etão, com eceção do cso em que B 1, temos que: E logbp B E P B E P A terceir potêci de 2 é o umero 8, etão, 2 é riz cúic de 8, e 8 é o logritmo de 8 se 2: log Etrir um logritmo é em mis precido com efetur um divisão do que etrir um riz. Pr começr, podemos etrir um logritmo iteiro positivo usdo chve de divisão sucessiv que decompõe um úmero iteiro em ftores primos. D mesm form que otemos o resultdo d divisão de um úmero N por um úmero D ão ulo, cotdo o úmero de prcels D que totlizm N, podemos oter o logritmo de um úmero positivo P um se B, positiv e ão uitári, cotdo qutos são os ftores iguis B que produzem P. Eemplos: D + D + D + D + D N N D 5 B B B B B P logbp 5 A operção logrítmic pode ser comprd à divisão. Como se fosse divisão de um úmero em ftores iguis, ão em prcels iguis como divisão trdiciol. O quociete de 8 por 2 é qutro, pois o úmero 8 pode ser seprdo em qutro prcels iguis 2. O logritmo de 8 se 2 é três, pois o úmero 8 pode ser seprdo em três ftores iguis 2. Os termos mtemáticos logritmo e epoete são siôimos. Isto sigific que podemos trocr plvr epoete por logritmo em qulquer teto e oter mesm idéi eucid gor em termos logrítmicos. As orções serão mesmo muito precids, ms qudo posts em otção lgéric ão se precem tto ssim. 3

4 Curso de ligugem mtemátic Professor Reto Tião Logritmos Sedo e úmeros reis positivos tis que 1 1, etão eiste um úico úmero rel tl que e, este cso, diremos que é o logritmo de se. log é se. N potecição: é o epoete. é potêci. é o Logritimdo ou ti-logritmo. Ms, ov omecltur: cotiu sedo se. é o logritmo. Como eucido, s codições de eistêci do logritmo de se são três: 1, 1 > 0 e > 0. 0 I. 1, pois se 1 terímos 1 1 pr todo rel, e ssim o logritmo fic idetermido. II. > 0, pois se 2 e ½,por eemplo, terímos ( 2) ½ -2 R. III. > 0 é coseqüêci d últim codições pois se > 0 temos que > 0, R. Stisfeits s codições de eistêci, s qutro proprieddes seguir são coseqüêcis direts d defiição: log 1 0 log 1 log log Como operção logrítmic é um ds iversões d potecição, eiste lei do ccelmeto ds ses descrit pels dus últims ds proprieddes cim. Perce que cd um dels preset, em ordes diferetes, um poteci e um logritmo, de mesm se, plicdos cosecutivmete um mesmo úmero rel. Nestes csos, podem-se ccelr s ses otedo-se como resultdo o próprio úmero. Logritmo deciml Chmmos de logritmo deciml de um úmero positivo, o vlor de seu logritmo se 10 e, d mesm form que omitimos o ídice 2 d riz qudrd, tmém podemos omitir se 10 dos logritmos decimis: log 0,1-1 log 1 0 log 10 1 log log log10 log 10 Logritmo turl Logritmo turl de um úmero positivo é o vlor de seu logritmo se irrciol e 2, , que emor sej cohecid como costte de Euler, foi o mtemático Npier que cosgrou como se pr logritmos. Atulmete usmos sigl l pr idicr o logritmo turl (ou eperio) de um úmero positivo: 2 l (1/e ) -2 l (1/e) -1 l 1 0 l e 1 2 l e 2 3 l e 3 l 10 l e Táus de logritmos Como já foi citdo, o logritmo do produto é igul à som dos logritmos dos ftores. Est propriedde operciol fz dos logritmos eceletes simplificdores de cálculos. Imgiem que pr efetur o produto de três úmeros miores que mil são ecessáris, o míimo, 128 cosults à tud e dus dições de úmeros com ove dígitos. Iferl! Hoje temos computdores pr isso, ms ão foi sempre ssim. Ates tíhmos que otr tudo e cosultr s táus de logritmos, imess tels de vlores dos logritmos. As táus logrítmics, livros de olso que precederm osss clculdors, ão presetm pes logritmos iteiros. Algums dels presetm, um mesm se, os logritmos de milhres de úmeros, iteiros e decimis. Ms como grde prte dos logritmos são úmeros irrciois, seus vlores erm gerlmete proimdos com qutro css decimis. 4

5 Curso de ligugem mtemátic Professor Reto Tião A tel seguir preset os vlores dos logrítmos de lgus úmeros N em qutro ses distits: Logritmo Logritmo N se 2 se 0,5 se 10 turl N se 2 se 0,5 se 10 turl ,3010 0, ,9614 9,9614 2,9987 6, ,5850 1,5850 0,4771 1, ,9629 9,9629 2,9991 6, ,6030 1, ,9643 9,9643 2,9996 6, ,3219 2,3219 0,6990 1, ,9658 9, , ,5850 2,5850 0,7782 1, ,9672 9,9672 3,0004 6, ,8074 2,8074 0,8471 1, ,9687 9,9687 3,0009 6, ,9030 2, ,9701 9,9701 3,0013 6, ,1699 3,1699 0,9542 2, ,3219 3, , ,9944 9,9944 3,0086 6, ,4594 3,4594 1,0414 2, ,9958 9,9958 3,0090 6, ,5850 3,5850 1,0792 2, ,9972 9,9972 3,0095 6, ,7004 3,7004 1,1139 2, ,9986 9,9986 3,0099 6, ,8074 3,8074 1,1461 2, ,0103 6, ,9069 3,9069 1,1761 2, , ,0014 3,0107 6, ,2041 2, , ,0028 3,0111 6,9334 Oserve est tel, que som dos logritmos decimis dos úmeros 3 e 5 é igul o logritmo deciml do úmero 15, ou sej, que: 0,4771+0,6990 1,1761. Em termos epoeciis, isso se deve o fto de que o produto etre os úmeros 3 e 5 é igul 15: , , , , , N prátic ão se recorre os logritmos pr efetur o produto 3 vezes 5, ms por eemplo, pr efetur o produto etre os úmeros 756, e 6.743, s táus logrítmics são de grde utilidde reduzido o trlho d multiplicção pes qutro cosults e um dição. Vej o que cotece se 10: O resultdo eto deste produto é , ms o erro cometido ess proimção é de 0,01%. Atulmete ão procedemos dest form, pois temos prelhos eletrôicos cpzes de efetur esses cálculos em meos de um segudo. Ms depois de coceidos os logritmos, outrs plicções form descoerts, e ovs escls form crids. O tempo que lev um plicção ficeir pr duplicr um cpitl, é epresso por um logritmo, em como os tempos que levm colôis de ctéris pr duplicr ou triplicr su populção. N químic, o potecil hidrogeiôico de um mistur (P.H.), é o cologritmo deciml de su cocetrção molr. N físic, escl de itesidde soor medid em deciéis é logrítmic d mesm form que escl Richter pr medir o poder de um lo sísmico. A t de vrição uitári de um escl logrítmic ão é lier e depede d se em que os logritmos form clculdos. Assim, qudo ouvirmos s otícis de dois terremotos que tigirm respectivmete 5 e 6 potos escl Richter, que é de se dez, devemos compreeder que perteci do segudo ão é pes 20% superior à do primeiro e sim dez vezes mis poderoso. Se um terceiro terremoto tigir 7 potos ess escl su potêci será 100 vezes potêci do primeiro, de pes 5 potos. Outrs sigls ssocids os logritmos O cologritmo de um úmero positivo é o oposto de seu logritmo: O tilogritmo de se é o mesmo que potêci de epoete e se : Mudç de se colog log tilog Vimos um propriedde dos logritmos que os permite cotorr multiplicções efetudo-se lgums cosults e dições, ms lém del, há outrs proprieddes operciois que os permitem cotorr divisões, potecições e té rdicições, efetudo-se operções mis simples e lgums cosults. E como tods ests proprieddes são eucids pr logritmos com mesm se, deve-se primeiro domir técic d mudç de se dos logritmos. Est técic deve ser usd pr resolver questões que forecem ddos logritmos em ses diferetes. 5

6 Curso de ligugem mtemátic Professor Reto Tião Eistem dus meirs de se mudr se de um logritmo. A primeir dels é gerl, pois permite escrever logritmos se que quisermos. Vej como deduzi-l: D defiição temos que: se, etão log. D mesm form, sedo e c reis positivos e ão uitários tis que c, etão: log. Sustituido por c epressão, otemos potêci de outr potêci: ( ) ser escrit, coservdo-se se e multiplicdo-se os epoetes, ssim: Etão, ovmete d defiição temos que: c. c c, que pode c log, epressão em que os ftores e são respectivmete os logritmos de se e de se c. Portto, temos que: c log log log c c log log c log c Assim, pr mudr de se, um logritmo como A mudç de se pode ser usd pr verificr, por eemplo, que o iverso do logritmo de se é o logritmo de se : log 1 log log log A outr meir de mudr se de um logritmo é restrit às ses que sejm potêcis um d outr, e prte do fto de que pr todo 0, temos que log log. Assim, temos, por eemplo, que: log23 log49 log827 log1/21/3 log Proprieddes operciois log, deve-se escolher um ov se c e depois, reescrevê-lo como o quociete etre os logritmos dos úmeros e, mos se escolhid c. Sedo X e Y úmeros reis positivos, um rel ão ulo, e um rel positivo e ão uitário, temos que: Oserve que plicção de um logritmo trsform multiplicções em dições, divisões em sutrções, potêcis em produtos e rdicições em divisões. É como se o logritmo fosse cpz de reir clsse de um operção sustituido- pel operção represetd logo io del pirâmide que represet hierrqui ds operções. Um vez stisfeits s codições de eistêci etão, mtedo-se ordem iicil ds operções o logritimdo, s proprieddes operciois dos logritmos podem ser plicds simultemete. Eemplo: X Y log Z log log X + log Y - m Z m 6