Geometria Analítica e Álgebra Linear

Transcrição

1 NOTS E U Geoetri lític e Álger ier Cpítulo - Prte Professor: ui Ferdo Nues

2 Geoetri lític e Álger ier ii Ídice Sistes de Equções ieres efiições Geris Iterpretção Geoétric de Sistes de Equções Iterpretção Geoétric de Sistes de Equções O Método do Escloeto O Método de Crer Coprção etre o Método do Escloeto e o Método de Crer Sistes Hoogêeos 8 Motdo u diet lietr co sistes lieres Referêcis Biliográfics

3 Geoetri lític e Álger ier Sistes de Equções ieres efiições Geris For lgéric de u Siste de Equções ieres co equções e icógits For Mtricil: Ode: tri dos coeficietes; vetor ds icógits (ou vetor solução); vetor dos teros idepees Mtri uetd ou Mtri Coplet do Siste B [ ] efiições i-se que u siste de equções lieres é icoptível (ou siste ipossível SI), se ão dite ehu solução U siste de equções lieres que dite u úic solução é chdo de coptível erido (ou siste possível erido SP) Se u siste de equções lieres te is de u solução (ifiits soluções) ele recee o oe de coptível ierido (ou siste possível ierido SPI) iscutir u siste de equções lieres S sigific efetur u estudo visdo clssificá-lo de cordo co s defiições teriores Resolver u siste de equções lieres sigific erir tods s sus soluções O cojuto desss soluções recee o oe de cojuto solução do siste

4 Geoetri lític e Álger ier Iterpretção Geoétric de Sistes de Equções Nest seção são presetdos três eeplos que ilustr iterpretção geoétric pr solução de sistes de equções lieres de dus equções co dus icógits: Eeplos Resolver e iterpretr geoetricete solução do siste: Solução: = e = - Coo o siste te solução úic, est é represetd pel itersecção ds rets cujs equções geris são: e Resolver e iterpretr geoetricete solução do siste: Solução: SPI Coo o siste te ifiits soluções, ests são represetds pel itersecção ds rets cujs equções geris são: e (rets coicies)

5 Geoetri lític e Álger ier Resolver e iterpretr geoetricete solução do siste: Solução: SI (Siste Ipossível) O siste ão te solução e fto, s rets cujs equções geris são: e são prlels (ão coicies)

6 Geoetri lític e Álger ier Iterpretção Geoétric de Sistes de Equções do u siste de equções co três equções co três icógits: cd equção represet u plo o espço tridiesiol est for os plos, e são os plos defiidos pels equções do siste ssi, s soluções do referido siste pertece à iterseção desses plos Se pelo eos dois desses plos são prlelos, ou se dois deles itersect o terceiro segudo rets prlels, iterseção é vi e o siste é ipossível Se os três plos se itersect e u ret r, isto é, se r, o siste é ierido e qulquer poto d ret r é u solução do siste O siste é erido (solução úic), qudo os três plos se ecotr e u úico poto Eiste o todo, oito posições reltivs possíveis pr os plos, e Qutro desss posições correspode os sistes ipossíveis e s outrs qutro, o siste te solução N seqüêci são descrits ests oito posições reltivs de, e : º Cso: Os três plos coicide Neste cso o siste é ierido e qulquer poto dos plos é u solução do siste Eeplo: º Cso: ois plos coicide e o terceiro é prlelo eles Neste cso o siste é ipossível Eeplo: 8 º Cso: ois dos plos coicide e o terceiro os itersect segudo u ret r Neste cso o siste é ierido e qulquer poto d ret r é u solução do siste Eeplo:

7 Geoetri lític e Álger ier º Cso: Os três plos são prlelos dois dois Neste cso o siste é ipossível Eeplo: º Cso: Os plos e são prlelos e o plo os itersect segudo dus rets prlels Neste cso o siste é ipossível Eeplo: 8 º Cso: Os três plos são distitos e te u ret r e cou, isto é r Neste cso o siste é ierido e qulquer poto d ret r é u solução do siste Eeplo: º Cso: Os três plos se itersect, dois dois, segudo rets r, s e t, prlels us às outrs Neste cso o siste é ipossível Eeplo: 8 8º Cso: Os três plos se itersect e pes u poto Neste cso, o siste é possível e erido (solução úic) Eeplo:

8 O Método do Escloeto Geoetri lític e Álger ier efiição i-se que u tri é esclod qudo o prieiro eleeto ão-ulo de cd u ds sus lihs situ-se à esquerd do prieiro eleeto ão-ulo d lih seguite lé disso, s lihs que tivere todos os seus eleetos iguis ero deve estr io ds deis efiição i-se que u siste de equções lieres é u siste esclodo, qudo tri uetd ssocid este siste é u tri esclod O Método do Escloeto pr resolver ou discutir u siste de equções lieres S cosiste e se oter u siste de equções lieres esclodo equivlete S (equivlete o setido de possuir s ess soluções que este) Prtido do siste S pode-se chegr este siste esclodo equivlete por eio de u seqüêci de operções eleetres, que são s seguites: ) Trocr orde ds equções do siste; ) Multiplicr u equção por u costte diferete de ero; ) Sustituir u equção do siste por su so co outr equção ultiplicd por u costte diferete de ero est for, se u siste de equções foi esclodo e, retirds s equções do tipo =, etão rest p equções co icógits Se últi ds equções resttes é do tipo: p p, etão o siste de equções é ipossível SI (ão dite soluções); Cso cotrário, sor dus ltertivs: (i) Se p = o siste é possível erido SP (dite solução úic); (ii) Se p <, etão o siste é possível ierido SPI (dite ifiits soluções) Oservção: Pr se esclor u siste S é is prático efetur o escloeto d tri uetd ssocid o siste U ve cocluído o escloeto dess tri uetd, ssocios el o ovo siste que é equivlete o siste origil S Eeplo iscutir e resolver o siste:

9 Geoetri lític e Álger ier cujo siste equivlete é Coo o úero de equções resttes é igul o úero de icógits, o siste é possível e erido (SP) Resolvedo este siste de io pr ci, oteos, e filete est for, solução pode ser dd pel úic tripl orded,,,, Eeplo iscutir e resolver o siste: cujo siste equivlete é Coo o úero de equções resttes é eor que o úero de icógits, o siste é possível s ierido (SPI) est for, pr cd vlor de, pode-se ecotrr e ssi, solução pode ser dd por u tripl orded,,,,, sedo Eeplo iscutir e resolver o siste:

10 Geoetri lític e Álger ier 8 cujo siste equivlete é Coo est últi equção ão possui solução, o siste é ipossível (SI) Eeplo eterir o vlor de pr que o siste lier S dit u úic solução e eriá-l: S que é u tri plid de u siste que soete será possível se = ssi, o siste equivlete é est for, solução pode ser dd pelo úico pr ordedo,, Eeplo iscutir o siste de cordo co os prâetros e : 8 8 cujo siste equivlete é: P S P I S I S qulquer e Se e Se e Se

11 Geoetri lític e Álger ier O Método de Crer O étodo de Crer se plic pr sistes de equções lieres ode tri dos coeficietes ds icógits é qudrd For lgéric de u Siste de Equções ieres co equções e icógits For Mtricil: Ode: tri dos coeficietes; vetor ds icógits (ou vetor solução); vetor dos teros idepees Chos de o erite de, isto é e i o erite d tri otid de, sustituido i-ési colu de pel colu dos teros idepees ssi, se, etão i i Neste cso ( ) solução será úic, pois e I Eeplo Utilido o Método de Crer, resolver o seguite siste de equções lieres: i i i

12 Geoetri lític e Álger ier 8 Oservção Iportte: Se o siste ão é ecessriete SPI!!! ssi, plicr o Método de Crer pes pr os csos e que Eeplo 8 Utilido o Método de Crer, resolver o seguite siste de equções lieres: isto é: Ms esclodo o siste oteos: cujo siste equivlete é: que é ipossível (SI)!!!

13 Geoetri lític e Álger ier Coprção etre o Método do Escloeto e o Método de Crer Supoh u coputdor cp de efetur de operções de ultiplicção e divisão por segudo Etão seri eigidos os seguites tepos pr resolução de sistes de equções lieres cujs tries dos coeficietes ds icógits tê o forto:, e, respectivete Escloeto Crer,8 ilésios de seg i e 8 seg, ilésios de seg o, ês e dis ilésios de seg ilhões, il, os Fote: Revist do Professor de Mteátic,

14 Geoetri lític e Álger ier Sistes Hoogêeos Sistes Hoogêeos de Equções ieres co equções e icógits são sistes de equções lieres ode os teros idepees são todos ulos Este tipo de siste é sepre possível, pois dite solução est for, se u siste hoogêeo de equções foi esclodo e, retirds s equções do tipo =, etão rest p equções co icógits (i) Se p = o siste é possível erido SP (dite solução úic), e est solução é, cohecid por solução trivil; (ii) Se p <, etão o siste é possível ierido SPI (dite ifiits soluções) 8 Motdo u diet lietr co sistes lieres Neste eeplo, presetdo por FIHO,, teos u iteresste plicção dos sistes lieres tel que segue tr os pricipis utrietes presetes e lgus lietos: rro Feijão Frgo Suco Pão Mrgri VR (g) (g) (8g) (l) (g) (g) Eergi(Kcl) Croidrtos(g) 8 8 Proteís(g) Gordurs Totis(g), 8 Siste ier Pr otr u diet é ecessário erir s qutiddes,,,, e (e porções) de cd lieto, ecessáris pr copor os VR (Vlores iários de Referêci) Isto correspode resolver o siste lier: 8 8, Esclodo este siste, podeos oter o seguite siste equivlete:,,,,,,8,8,, 8,,,

15 Geoetri lític e Álger ier ssi, este siste é do tipo possível ierido SPI (dite ifiits soluções) Os vlores de,, e pode ser colocdos e fução de e Teos etão:,,, 8,,,8,,,8,,, ssi, se fieros, por eeplo: e, podeos oter:,8;, ;, e,, O que correspode, proidete, g de rro, g de feijão, g de frgo, l de suco, g de pão e 8g de rgri Oservção: Evieete diet qui propost te cráter didático; pes édicos ou utricioists pode prescrever diets lietres Referêcis Biliográfics BORINI, José ui et l Álger ier Edição São Pulo: Hrper & Row do Brsil, 8 CIOI, Crlos et l Álger ier e plicções Edição São Pulo: tul, FIHO, dlerto Motdo u diet lietr co sistes lieres Revist do Professor de Mteátic, Sociedde Brsileir de Mteátic, IM, Elo, et l Mteátic do Esio Médio Edição Rio de Jeiro: Coleção do Professor de Mteátic Sociedde Brsileir de Mteátic, POOE, vid Álger ier São Pulo: Thoso erig,