Matrizes - revisão. No caso da multiplicação ser possível, é associativa e distributiva Não é, em geral, comutativa 2013/03/12 MN 1

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1 Mtrizes - revisão No cso d multiplicção ser possível, é ssocitiv e distributiv A ( BC) ( AB) C A( B C) AB AC Não é, em gerl, comuttiv AB BA 03/03/ MN

2 Mtrizes - revisão A divisão de mtrizes ão é um operção defiid, ms podemos defiir, pr um mtriz qudrd e ão sigulr (*), um outr, chmd mtriz ivers, tl que AA - =A - A=I Podemos etão ssimilr o produto de um mtriz pelo iverso de outr como um divisão AB - =A/B 03/03/ MN

3 Mtrizes - revisão Trsposição A=A T se ij = ji pr todo o i e todo o j é mtriz A umetd de I 03/03/ MN ] [ m m m D

4 Mtrizes Pode empregr-se o M/O pr crir um mtriz A=[ 5 6 ; 7 4 ; ] A = A ; octve-3..4.ee:56> =[8 6 9]; octve-3..4.ee:57> y=[-5 8 ]; octve-3..4.ee:58> z=[4 8 ]; octve-3..4.ee:59> B=[;y;z] B = /03/ MN 4

5 Mtrizes octve-3..4.ee:6> A*B s = octve-3..4.ee:6> A.*B s = /03/ MN 5

6 Mtrizes octve-3..4.ee:63> D=[ 4 3;5 8 ] D = octve-3..4.ee:64> D*A s = octve-3..4.ee:65> A*D error: opertor *: ocoformt rgumets (op is 33, op is 3) octve-3..4.ee:65> 03/03/ MN 6

7 Sistems de equções 3 3 b 3 3 b b b b b 3 [A]{} {b} 03/03/ MN 7

8 Sistems de equções Pr resolver um sistem represetdo por mtrizes podemos fzer: = A\b = iv(a)*b 03/03/ MN 8

9 Método de Guss Vmos ver como se obtêm os métodos = A\b = iv(a)*b estuddo diversos csos prticulres de sistems de equções. 03/03/ MN 9

10 Sistems com pequeo úmero de equções Método gráfico Se tivermos dus equções lieres, cd um dels é represetável por um rect: Como podemos ver figur 03/03/ MN

11 O poto de itercepção ds dus rects correspode à solução do sistem. 03/03/ MN

12 Se o sistem tiver três equções três icógits, cd um é represetd por um plo o espço três dimesões e solução é o poto de itercepção dos três plos. Acim de três equções este método ão é prático ms pode permitir vislumbrr s proprieddes do sistem. 03/03/ MN

13 Csos prticulres ) sistem isolúvel b) sistem idetermido c) sistem ml codiciodo (solução difícil)s 03/03/ MN 3

14 Determites Pr mtrizes de peques dimesões temos: No terceiro cso os determites são os meores. 03/03/ MN 4

15 Eemplos Figurs teriores (slide 5-4) (slide 5-) ) D 3 D 3. ( ) 8. ( ) 0 b) D. ( ) 0 03/03/ MN 5

16 Regr de Crmer Divide-se o determite d mtriz do sistem com colu correspodete à icógit clculr substituíd pelos termos idepedetes, pelo determite d mtriz. Vejmos um eemplo pr um sistem três equções: 03/03/ MN 6

17 Regr de Crmer b 3 b 3 b /03/ MN 7

18 Regr de Crmer Determir Determi-se D Clcul-se D substituido segud colu de D por b D Divide-se D D D /03/ MN 8

19 Regr de Crmer Mtlb/Octve >> A=[ ;0.5.9; ]; >> D=det(A) D = >> A(:,)=[-0.0;0.67;-0.44] A = >> =det(a)/d = /03/ MN 9

20 Regr de Crmer Pr um úmero elevdo de equções >3, regr de Crmer é pouco prátic, porque os determites levm bstte tempo ser clculdos. Neste eemplo já é perceptível que há um cert demor em os clculr. 03/03/ MN 0

21 Regr de Crmer Pr efectur est operção ecessitmos de (+)! operções ou sej se = 5 velocidde do processdor fôr Gflop, result um tempo de cerc de hors. se = os se = os 03/03/ MN

22 Método de Guss. Elimim-se sucessivmete os coeficietes ds icógits té mtriz ser trigulr superior. Substitui-se, por ordem ivers, cd um dos vlores ds icógits s equções imeditmete superiores 03/03/ MN

23 Método de Guss A primeir fse desti-se elimir primeir icógit desde segud equção té à últim. 03/03/ MN 3

24 03/03/ MN subtri - se d segud... - se por multiplic b b b b b

25 O processo é repetido pr s outrs equções, com por eemplo: multiplic-se primeir por 3 / e o resultdo é subtrído d terceir equção, repetido-se o processo té equção. O esquem repete-se pr terceir equção e ssim sucessivmete, té se obter o sistem que correspode um mtriz trigulr superior. 03/03/ MN 5

26 Em seguid plicm- -se s epressões b ( ) ( ) i b ( i) i ji ( i) ii ( i) ij j pr i -, -,..., 03/03/ MN 6

27 fuctio = GussNive(A,b) % GussNive: ive Guss elimitio porquê Nive? % = GussNive(A,b): Guss elimitio without pivotig. % iput: % A = coefficiet mtri % b = right hd side vector % output: % = solutio vector [m,] = size(a); if m~=, error('mtri A must be squre'); ed b = +; Aug = [A b]; % forwrd elimitio for k = :- for i = k+: fctor = Aug(i,k)/Aug(k,k); Aug(i,k:b) = Aug(i,k:b)-fctor*Aug(k,k:b); ed ed % bck substitutio = zeros(,); () = Aug(,b)/Aug(,); for i = -:-: (i) = (Aug(i,b)-Aug(i,i+:)*(i+:))/Aug(i,i); ed 03/03/ MN 7

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