Tópicos sobre Sinais 1D

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1 ópicos sore Siis D Processmeto Digitl de Sil II Artur Ferreir e Pulo Mrques ( Dezemro 00 ) PDS II Siis D ópicos orddos DF Discrete Fourier rsform Cálculo mtricil FF Fst Fourier rsform Algoritmo de Cooleyukey SF Short ime Fourier rsform Espectrogrm DC Discrete Cosie rsform Cálculo mtricil PDS II Siis D DF Discrete Fourier rsform Assume que o sil é periódico com mostrs por período Reliz mostrgem do espectro s frequêcis dds por Amostr/discretiz, de form equiespçd, o espectro cotíuo otido pel DF (Discreteime Fourier rsform) Sil discreto c DF x[] DF X(w) X[k] Por exemplo, com =4 lismse s frequêcis Espectro cotíuo Amostrgem w k Espectro discreto PDS II Siis D Amostrgem do espectro A mostrgem frequêci cus réplics o tempo (espectro discreto implic sil periódico o tempo) Sil periódico (réplics) c c c A mostrgem o tempo cus réplics frequêci X s (f)=x(f)*p(f) 0 x(t) X(f) f x p(t) x s (t) Fs Fs 0 Fs P(f) Fs Fs 0 Fs Fs Fs f Fs PDS II Siis D 4 f

2 DF Discreteime Fourier rsform rsformd direct (DF) DF e IDF: defiição Cosiderdo que o sil x[] é periódico com mostrs por período, temos um espectro discreto: rsformd ivers (IDF) com Exemplos: Equção de álise ou trsformd direct (DF): tempo pr frequêci Equção de sítese ou trsformd ivers (IDF): frequêci pr o tempo PDS II Siis D PDS II Siis D 6 DF: frequêcis lisds Aálise gráfic ds frequêcis mostrds, em fução do úmero de potos Cálculo d DF 4 potos Os coeficietes d DF 4 do sil x[] são otidos por: = = =4 =8 4 8 Frequêcis Frequêcis lisds: PDS II Siis D 7 PDS II Siis D 8

3 Cálculo d DF 4 potos Cálculo mtricil d DF Alisdo os coeficietes e os vectores de se temse: Agrupdo os vectores se em mtriz, temse: Simplificdo, temse o cálculo mtricil d DF: 9 PDS II Siis D DF: cálculo mtricil IDF: cálculo mtricil Geericmete, colocdo o vector x em evidêci, estelecese mtriz F (operdor DF) 0... Cálculo mtricil d DF 0 F= x é o sil o tempo y são os coeficietes d DF k... De form álog estelecese o operdor que clcul IDF Verificse que este é ddo por Por su vez emse ssim o cálculo mtricil d IDF: Por exemplo, pr =, e 4 temse, respectivmete: F PDS II Siis D 0 PDS II Siis D = k... Cálculo mtricil d IDF x é o sil o tempo y são os coeficietes d DF PDS II Siis D

4 FF: Fst Fourier rsform É um lgoritmo com complexidde logrítmic pr o cálculo d DF; ão é outr trsformd Pr vlores elevdos de é muito mis eficiete do que DF Existem lgoritmos de decimção o tempo e frequêci úmero de multiplicções complexs pr vectores com potos: DF FF PDS II Siis D FF: Exemplos de plicções Covolução circulr (e lier trvés d circulr) Métodos de covolução rápid: overlp d dd; overlp d sve; Detecção de compoetes de frequêci Filtrgem PDS II Siis D 4 FF: Algoritmo Cooleyukey Decimção o tempo A DF de potos é sucessivmete dividid em dus DF DF DF de / potos / potos potos x[] Sequêci com potos g[] Susequêci com / potos h[] DF DF Susequêci com / potos G[k] Susequêci com / potos H[k] Susequêci com / potos g[], susequêci com s mostrs de x[] que estão em ídice pr G[k] H[k] DF / potos h[], susequêci com s mostrs de x[] que estão em ídice ímpr PDS II Siis D W k X[k] FF: Algoritmo Cooleyukey A demostrção deste lgoritmo pode ser ecotrd em [] e [] As orolets: cálculo d FF e 4 potos c cd c c cj(d) d d d c(d) j cj(d) PDS II Siis D 6 4

5 FF: Algoritmo Cooleyukey A IFF: cálculo vi FF O shufflig relizdo trvés de itreversl sepr sequêci s dus susequêcis com s mostrs de ídice pr e ímpr, desigds por g[] e h[], respectivmete. A estrutur de cálculo d FF (que clcul DF) tmém pode ser utilizd pr determir IDF DF 4 (..) shufflig (it reversl) c c c. Clculr FF de X[k]* (relizdo o respectivo shufflig) (..) 0 d. Cojugr o espectro X[k] e oter X[k]* (ídice pr) 0 0 Pr clculr IDF, vi IFF: d. Cojugr o resultdo d FF e dividilo por d (ídice ímpr) 7 PDS II Siis D Exemplos de cálculo d FF e IFF SF Short ime Fourier rsform 0 j A idei se é efectur o cálculo d trsformd de Fourier (FF) em tempos loclizdos (jels) Motivção: s compoetes de frequêci domites vrim com o tempo, tl como cotece por exemplo um sil de udio (voz) j j Resolução Short im e Fourier r sform. Cojugr. Dividir e cojugr j 0 0 j j4 j 8 PDS II Siis D fre qu ê ci tempofrequêci ix frequêci médi frequêci lt frequêci. Clculr FF PDS II Siis D 9 tempo PDS II Siis D 0

6 Espectrogrm: tempofrequêci Cálculo d SF e represetção tempofrequêci do sil Sil de fl Sil de músic Espectrogrm: tempofrequêci Siusóide de frequêci khz, com DC offset Sil de ruído PDS II Siis D PDS II Siis D DC Discrete Cosie rsform ão é prte rel d DF Bse ortormd de fuções coseo rsformd rel O cálculo pode ser relizdo trvés d FF DC D potos DC: IDC: X [ k] = A[ k] x[ ] = ( ) kπ x[ ]cos = 0 ( ) kπ A[ k] X[ k]cos k= 0 A[ k ] =,, k = 0 k 0 DC D 4 potos DC: IDC: X [ k] = A[ k] x[ ] = ( ) kπ x[ ]cos = 0 8 ( ) kπ A[ k] X[ k]cos k= 0 8 Pr cd vlor de k, existe um vector se ssocido (tl como DF) Pr k=0: Pr k=: C0, ( )0π = cos =,,, 8 ( ) π cos 8 C, = =, k = 0 A[ k ] =, k 0 { 0.6, 0.706, 0.706, 0.6} PDS II Siis D PDS II Siis D 4 6

7 Cálculo mtricil d DC e IDC C é o operdor que clcul DC 4 potos Cd lih de C é um vector se (coseo): c k, C = Cálculo mtricil d DC: x e y são vectores colu; x é o sil o tempo e y são os coeficietes d DC. A IDC é clculd trvés de A mtriz C é ortogol PDS II Siis D Vectores se d DCD 4 potos São s lihs d mtriz C Costituem se ortoormd o espço de dimesão 4 Compoete DC Alt frequêci PDS II Siis D 6 x = Cálculo d DC e IDC [ 9 ] y = DC[ x ] = Cx = z = w = [ ] [ ] y IDC[ z] = C z = [ ] x Sil de ix frequêci Coeficietes sigifictivos Sil o tempo e coeficietes d DC Eergi dispers o tempo (vector x) x = y = z = w = [ 9 ] DC[ x ] = Cx = [ ] [ ] y IDC[ z] = C z = [ ] x Sil de lt frequêci Siis próximos dos origiis Eergi cocetrd um úmero reduzido de coeficietes d trsformd (vector y) predomim s ixs frequêcis) PDS II Siis D 7 PDS II Siis D 8 7

8 Percetgem de eergi cumuld Domíio do tempo (x) Domíio d trsformd (y) roço de código d fução dct A fução MALAB dct clcul DCD, trvés d fft (D) fuctio =dct(,) %DC Discrete cosie trsform. % % Y = DC(X) returs the discrete cosie trsform of X. % he vector Y is the sme size s X d cotis the % discrete cosie trsform coefficiets. (...) % Compute weights to multiply DF coefficiets ww = (exp(i*(0:)*pi/(*))/sqrt(*)).'; ww() = ww() / sqrt(); if rem(,)== ~isrel(), % odd cse % Form itermedite evesymmetric mtrix y = zeros(*,m); y(:,:) = ; y(:*,:) = flipud(); % Compute the FF d keep the pproprite portio: yy = fft(y); yy = yy(:,:); else % eve cse % Reorder the elemets of the colums of x y = [ (::,:); (::,:) ]; yy = fft(y); ww = *ww; % Doule the weights for evelegth cse ed % Multiply FF y weights: = ww(:,oes(,m)).* yy; if isrel(), = rel(); ed if do_trs, =.'; ed PDS II Siis D 9 PDS II Siis D 0 Codificção udio: plicção de trsformds Referêcis e liks. A. Oppeheim, R. Schfer, J. Buck, Discretetime Sigl Processig, secod editio, PreticeHll, S. Kuo, B. Lee, Relime Digitl Sigl Processig Implemettios Applictios d Experimets with the MS0Cx, Wiley, 00. Curso olie sore DF: Curso olie sore FF: PDS II Siis D PDS II Siis D 8