APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

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1 9 APLICAÇÕES DO CÁLCULO INEGRAL Gil d Cost Mrques Fudmetos de Mtemátic I 9. Cálculo de áres 9. Áre d região compreedid etre dus curvs 9. rlho e Eergi potecil 9.4 Vlores médios de grdezs 9.5 Soms 9.6 Propgção de siis 9.7 Siis periódicos Licecitur em Ciêcis USP/ Uivesp

2 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Cálculo de áres O método mis simples e ituitivo de se determir um áre é o que se sei decomposição de um figur pl um úmero de figurs pls cujs áres sejm em cohecids. A áre totl é igul à som ds áre ds prtes. Ess é tmém se do cálculo itegrl. Assim, se f é um fução cotíu em [,] e tl que f(x), pr todo x [,], etão áre d região compreedid etre o eixo x e o gráfico de f, pr x vrido em [,], é por defiição: * A= f ( x) dx = lim f ( x ) x d i = i i 9. ode = x x x... x x = Figur 9.: Prtição do itervlo [, ]. e em cd suitervlo [x i, x i ] tommos um poto x i*, isto é, x i < x i * < x i, pr todo i =,,,...,. Exemplo : Exemplos Determie áre compreedid etre práol y = x² + x + c e o eixo x, cosiderdo-se pes o itervlo [d, e], como idicdo Figur 9.. Figur 9.: A região compreedid etre práol e o eixo x, pr x pertecete o itervlo [d,e]. Fudmetos de Mtemátic I

3 46 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Por defiição, áre solicitd é dd por: Efetudo cd itegrl seprdmete, otemos: e ( ) = + + A= x + x+ c dx x dx xdx c dx e d A x x e cx e d d = + + = + e d + ce cd d e d e = ( d )+ ( e d )+ c e d e d ( ) e d e d 9.i 9.i Exemplo : Determie áre d região compreedid etre práol y = x² + e o eixo x. Cosidere o cso prticulr do itervlo [, 4]. Adote o sistem MKS pr iterpretr s medids de comprimeto e áre ecotrd. A áre solicitd é dd pel itegrl defiid: 4 ( ) = + A= x + dx xdx dx i Efetudo cd um ds dus itegris seprdmete, otemos: 4 A= x + x = 4 + 4= 68 m 4 9.5i Figur 9.: A região compreedid etre práol e o eixo x, pr x pertecete o itervlo [,4]. 9 Aplicções do Cálculo Itegrl

4 Exemplo : Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Determie áre do círculo de rio R dividido-o em qutro qudrtes e clculdo áre do primeiro qudrte. 47 edo em vist que áre do primeiro qudrte é áre d região delimitd pel curv descrit pel fução y = R x e o eixo x, ode coorded x, o cso do primeiro qudrte, vri o itervlo x R, temos que áre d região é dd por: R A= R xdx 9.6i Fzedo mudç d vriável de itegrção tl que: Figur 9.4: A região é qurt prte de um círculo. Assim, áre do primeiro qudrte é dd por: R ( ) x = Rcosθ dx = R se θ dθ os limites de itegrção pssm ser, respectivmete, π x= θ = x= R θ = ( ) A= R xdx= R ( Rcosθ) Rse θ dθ π 9.7i 9.8i 9.9 Utilizdo relção fudmetl etre o qudrdo dos seos e cosseos e o domíio de itegrção, expressão pr áre se reduz um itegrl d form: A= R se θdθ π 9. Utilizdo idetidde cosθ = (cosθ) (seθ), otemos: Assim, se θ= cos θ ( ) R R A= R se θdθ= R ( ) d = d + d cos θ θ θ cosθ θ π π π π Fudmetos de Mtemátic I

5 48 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Efetudo s dus itegris explicitmete, otemos: R R seθ R R A = + = + ( )= R π π θ ( ) se se π π π A áre do círculo é o resultdo cim multiplicdo por 4. emos ssim: A = círculo A = πr Áre d região compreedid etre dus curvs Cosideremos áre d região delimitd por dus curvs o plo. Admitmos que esss curvs sejm descrits pels fuções y = f(x) e y = h(x), ms ão egtivs. Cosideremos áre ssocid o itervlo [,] (vej Figur 9.5). As áres A e A compreedids etre o gráfico ds fuções e o eixo x, o itervlo cosiderdo, são dds respectivmete por: A f xdx A = ( ) h xdx = ( ) c Figur 9.5: ) e ) s dus regiões cosiderds, vists seprdmete, e c) região delimitd pels dus curvs. 9 Aplicções do Cálculo Itegrl

6 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo 49 Cosequetemete, de cordo com s Figurs 9.5 e 9.5, áre A delimitd pels curvs, o itervlo [,], é dd pel difereç etre s áres: A A A f xdx h xdx = = ( ) ( ) 9.7 É preciso oservr que se f e h ão forem ms positivs, pr clculr áre d região delimitd por els o itervlo [,], st cosiderr s dus fuções crescids de um mesm costte, de meir que ms deem origem gráficos situdos cim do eixo x. c Figur 9.6: ) e ) As dus regiões cosiderds, vists seprdmete, e c) região delimitd pelo gráfico ds dus fuções dds, crescids de um mesm costte. Agor, áre d região é dd por ( f ( x)+ kdx ) ( h( x)+ k) dx = ( ) + ( ) f x dx kdx h xdx kdx = ( ) ( ) f x dx h x dx 9.8 Fudmetos de Mtemátic I

7 4 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Exemplo 4: Cosidere o cso em que se queir determir áre etre s curvs yx ( ) = x + hx ( ) = xe x o itervlo [,] e uidde metro. Vide Figur 9.7. Figur 9.7: A região cosiderd, delimitd pels curvs que são os gráficos ds fuções dds. A áre que se quer determir pode ser escrit como: ( ) x A= A A = x+ dx xe dx 9.9 Assim, otemos: x 4 A= ( x + x) + e = +. + e = ( + e ) 9 m 9. 9 Aplicções do Cálculo Itegrl

8 Exemplo 5: Determie áre d região delimitd por: Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo 4 yx ( ) = x + 9 hx ( ) = x + defiids o itervlo [, ] e cosiderdo o metro como uidde de comprimeto. Vej Figur 9.8. Figur 9.8: A região cosiderd, delimitd pels curvs que são os gráficos ds fuções dds. A áre que se pretede determir é dd pel difereç de itegris: ( ) A= x+ 9dx x+ dx 9. Dode otemos, uidde m : x A= x+ 9 ( + ) 4 9 = ( ) + ( ) ( ) + x = Fudmetos de Mtemátic I

9 4 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Exemplo 6: Dds s fuções: yx ( ) = hx ( ) cosidere um itervlo [, ] ritrário e determie áre d região delimitd por cd um dos gráficos ds fuções dds e o eixo x, pr x [, ]. Em seguid, determie áre d região delimitd pels dus curvs pr x [, ]. x = x c Figur 9.9: As regiões solicitds. As áres o itervlo [, ] são dds, respectivmete, pels itegris: x A = x dx = = A x = x dx = = A áre etre esss curvs o itervlo [,] é, de cordo com s expressões cim: A A A = = ( ) ( ) + = = Aplicções do Cálculo Itegrl

10 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo 4 9. rlho e Eergi potecil Um dos coceitos mis importtes d ciêci é o coceito de eergi. A eergi potecil, um ds forms mis comus de eergi, pode ser etedid como solução do prolem d determição d tiderivd d forç. Pr etedermos isso, cosiderremos seguir o cso de um forç que depede pes de um ds coordeds, qul tomremos como sedo coorded x. Escrevemos esse cso: F = F( x) 9.6 Determiremos seguir o trlho relizdo por ess forç qudo os deslocmos de um poto x A té um poto x B. Por ser um movimeto uidimesiol, cosiderremos, pr tto, pes deslocmetos, etre esses dois potos, o logo de um lih ret. omremos ess lih ret como o eixo x. Lemrmos primeirmete que o trlho relizdo por um forç costte o os deslocrmos o logo de um itervlo de comprimeto Δx é ddo por: W = F x 9.7 Pr um forç depedete d posição, como esse cso, devemos dividir o deslocmeto etre s posições x A e x B em pequeos itervlos, ou sej itervlos ifiitesimis de comprimeto δx. Pr cd um desses itervlos plicmos fórmul pr forç costte, pois ess divisão procur justmete isso, isto é, usc itervlos tão pequeos que, pr cd um deles possmos utilizr expressão pr forç costte. Dí otemos, pr o i-ésimo itervlo, o trlho que é ddo pel expressão: i i i W = F δx 9.8 Assim, form precis de determirmos o trlho implic um sudivisão um úmero de itervlos e o fim, tomrmos esse úmero tededo ifiito. Ou sej, i i W = lim W = lim F δx i 9.9 Fudmetos de Mtemátic I

11 44 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo o trlho d mis é do que o limite de um som de Riem e como tl podemos escrever: W xb = ( ) xa F xdx 9. Defiimos eergi potecil ssocid à forç, prtir d itegrl: ( ) ( )= () U x U x F t dt A x xa 9. Assim, de cordo com o teorem fudmetl do cálculo, eergi potecil d mis é do que tiderivd d forç, precedid do sil meos. Escrevemos: du ( x) = F ( x ) dx 9. Exemplo 7: Determie eergi potecil ssocid à forç elástic. No cso d forç elástic, que depede liermete do deslocmeto (x), F( x)= kx 9.i O gráfico d fução é ddo pel ret mostrd Figur 9.. O trlho relizdo pel forç é ddo, sicmete, pel áre do triâgulo trcejdo. Depededo de relizrmos o trlho um ou outr direção o trlho será ddo ou pel áre ou pel áre precedido pelo sil meos. De cordo com defiição, o trlho relizdo pel forç, qudo do deslocmeto d prtícul etre os potos x A e x B, é ddo pel itegrl Figur 9.: Gráfico d forç como fução do deslocmeto. A últim itegrl pode ser relizd de dus forms equivletes. xb W = kx dx k xdx xa xb ( ) = ( ) xa Aplicções do Cálculo Itegrl

12 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo N primeir itegrmos fução lier, cuj primitiv é um fução qudrátic. Otemos, ssim, 45 W = k x B x ( A) 9.5 Figur 9.: Gráfico d eergi potecil elástic como fução d coorded ssocid o deslocmeto. N segud form, st oservr que itegrl evolve áres de triâgulos. Deve-se tomr cuiddo, o etto, em relção os siis. A eergi potecil elástic esse cso é dd, por U( x)= kx 9.6i Exemplo 8: Determie eergi potecil ssocid à forç grvitciol dotd como costte. Nesse cso, escrevemos: xb W = mgdx mg dx mg x x xa xb ( ) = = ( ) xa B A 9.7 Assim, eergi potecil grvitciol é dd por: U( x)= mgx Vlores médios de grdezs Muits vezes estmos iteressdos em determir o vlor médio de um grdez. l médi é sempre determid tomdo-se como se um determido itervlo de vlores. Assim, se G(x) é um grdez que é um fução d vriável x, defiimos o vlor médio dess grdez Fudmetos de Mtemátic I

13 46 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo (e o represetmos por G ) um determido itervlo delimitdo pelos vlores x A e x B como o vlor ddo pel itegrl: B G = G x dx x x x B x A xa xb ( ) = ( ) xa G x dx ode Δx = x B x A qudo I(ν) represet um distriuição de proiliddes, ou sej, se proilidde de ecotrmos o sistem com vlores etre ν e ν + dν é dd por: 9.9 dp( ν)= I( ν) dν 9.4 de tl modo que ( )= ( ) = dp ν I ν dν 9.4 Etão, o vlor médio d grdez ν (represetdo por ν ) é ddo por: = ( ) ν ν I ν d ν 9.4 No cso de um grdez periódic, sedo o seu período desigdo por, podemos escrever pr grdez G: G( t+ )= G() t 9.4 Defiimos médi um período como que é dd pel itegrl d grdez o logo de um período, dividid pelo mesmo. Ou sej: G G t dt = () Aplicções do Cálculo Itegrl

14 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo 47 Exemplo 9: Determie eergi ciétic médi do oscildor hrmôico, o logo de um período. A eergi ciétic médi é dd pel itegrl: E c E t dt = c() = m v () t dt Assim, cosiderdo-se um oscildor hrmôico simples, su velocidde em fução do tempo é dd por: 9.45i Figur 9.: Qul é eergi ciétic médi de um oscildor hrmôico em movimeto? v()= t v cos( ωt+ ϕ)= Aωcos( ωt+ ϕ) M ode v M é velocidde máxim, A é mplitude do MHS, ω é frequêci do oscildor e φ é um fse ritrári. Portto, eergi ciétic médi do oscildor hrmôico é dd por: E c ( ) m m v v t dt M = = cos ( t+ ) dt () ω ϕ 9.46i 9.47 Efetudo mudç de vriável de itegrção eergi ciétic médi é dd pel itegrl: dx ωt = x dt = ω ode utilizmos relção ω = π. Lemrdo que: π sustituido-se o resultdo 9.5 em 9.49, otemos E c ( ) m v = M ω π ϕ ϕ ω cos ( x+ ) dx= cos x+ dx π π E c ( ) = ( ) cos ( x+ ϕ) dx m vm M = = ( ) π + cos x + ϕ = π ou sej, eergi ciétic médi é igul à metde d eergi ciétic máxim. Fudmetos de Mtemátic I

15 48 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo 9.5 Soms De um modo gerl, o coceito de itegrl está ssocido à idei de som. Muits vezes, strido rigor, vle idetificção: 9.5 A som, como o cso d som de elemetos de um série, se plic elemetos que sejm cotáveis, isto é, qudo cd elemeto pertece um cojuto que pode ser colocdo em correspodêci com os úmeros iteiros, ou um sucojuto deles. A itegrl se refere um tipo prticulr de som. El se refere à som de grdezs que vrim cotiumete. A título de exemplo, cosidere o cso de um hste de comprimeto L em que desprezmos sus dimesões trsversis. Admitmos que mss sej distriuíd o logo del de tl sorte que su distriuição deped d coorded x, ode origem ds coordeds se situ um de sus extremiddes. Nesse cso, grdez físic relevte é desidde ρ(x), defiid como mss por uidde de comprimeto: dm( x) = ρ( x ) dx 9.5 Assim, mss totl d rr será dd pel itegrl: L M dmx ( ) ρ x dx = = ( ) L 9.54 Qudo dividimos hste em dimiutos pedços, ess mss pode ser pesd como um som de pequeos elemetos de mss. Cd pedço, correspodete um ds sudivisões d hste, terá comprimeto x i. O i-ésimo pedço, loclizdo o poto de coorded x i, tem mss dd por: m ρ x x = ( ) i i i 9.55 Assim, som ds msss, pr ess divisão d hste, será dd por: m ρ x x i i= i= = ( ) i i Aplicções do Cálculo Itegrl

16 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo 49 A determição d mss será tto mis curd quto mior for o úmero de sudivisões d hste. Assim, itegrl 9.54 é som ds msss, ou sej, é mss d hste, o limite em que o úmero de pedcihos, otidos pel sudivisão d hste, tede ifiito. Ou sej: M lim m lim ρ x x ρ x dx i i i i = i = = = ( ) = ( ) L Propgção de siis N er d comuicção e d iformção, o coceito de sil é de fudmetl importâci. Ele é defiido como um cojuto de ddos (ou de iformções). Os siis se propgm, por exemplo, em redes de ddos ou circuitos elétricos. Sistems processm siis de etrd covertedo-os em siis de síd. Eles podem ser implemetdos por meio do uso de compoetes físicos (implemetção em hrdwre) ou de por meio de lgoritmos que ssocim siis de síd um determido sil de etrd (implemetção em hrdwre). Um sil x será qui cosiderdo como fução do tempo. Represetmos tis siis por meio de um fução do tempo: x() t 9.58 Siis cotíuos são queles pr os quis fução x(t) vri cotiumete com o tempo. Se referid fução ssumir vlores discretos, como fução do tempo, dizemos que o sil é discreto o tempo. Um sil é dito lógico qudo su mplitude (o eixo ds ordeds) vri cotiumete. Se el vrir de tl modo ssumir pes um cojuto fiito de vlores, dizemos que o sil é digitl. Siis digitis um computdor podem ssumir pes dois vlores, os ditos siis iários. Siis são crcterizdos por meio de dus grdezs físics: eergi e potêci do sil. Defie-se eergi de um sil como itegrl: + E x t dt s = () 9.59 Fudmetos de Mtemátic I

17 4 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo El ão dá um medid d eergi do sil, ms d cpcidde de eergi do sil, equto su potêci é dd por meio do processo limite: P s + = () lim x t dt 9.6 A rigor, eergi dá o tmho do sil se mesm for fiit. Se ão for esse o cso, potêci se costitui um melhor defiição do tmho do sil. Pr siis periódicos, potêci é, ssim, um vlor médio do qudrdo d mplitude do sil. Exemplo : Determie eergi e poteci do sil ddo por: se t< xt () αt Ae se t Amos os prâmetros podem ser otidos prtir d itegrl: t t A t A I( )= ( A α ) dt = A α e e dt = e α = e α ( ) α α 9.6 Assim, eergi do sil é dd por: equto su potêci é ul: E s = A I ( )= α 9.6 P I A s = lim ( )= lim = α Aplicções do Cálculo Itegrl

18 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Siis periódicos Defiimos siis periódicos como queles que se repetem itervlos regulres o tempo. Assim, um sil periódico de período é defiido como quele pr o qul vle seguite relção: Figur 9.: Sil periódico do tipo dete de serr. Siis que se propgm, por exemplo, um fir óptic são siis periódicos. x( t+ )= x() t 9.64 A Figur 9. preset um exemplo de um sil periódico do tipo dete de serr. Lemrdo que s fuções d form: π π se t cos t 9.65 são fuções periódics de período, um sil periódico pode sempre ser expresso so form de um série de Fourier. l série é crcterizd pelo fto de que cd termo d série evolve um fução periódic de período d form seo ou cosseo. Escrevemos: x t ()= π t t + π se cos = = 9.66 ode os coeficietes e são ddos em fução d forç F como itegris o itervlo de um período pels expressões: dt x t = π ( ) t dt x t = se ( π ) cos t =,,, Os vários termos são deomidos hrmôicos. Fudmetos de Mtemátic I

19 4 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Módulo Exemplo : Cosidere um sil de um yte (oito its) d form. Determie série de Fourier e lise o comportmeto dos primeiros 4 hrmôicos. Como fução do tempo o sil pode ser escrito so form: x t ()= pr t< 8 pr 8 t< 8 pr 8 t< 6 8 pr t< 7 8 pr 7 8 t< 9.68 E, portto, os termos d série são ddos por: 8 = dt t dt t π π se + se = dt t + dt π π cos cos t Aplicções do Cálculo Itegrl