Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos. Capítulo IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier
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- Isaac Gusmão Capistrano
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1 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo DISCIPINA Métodos Mteáticos Aplicdos Processos Quíicos e Bioquíicos Cpítulo IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier José uiz de Medeiros e Oféli Q.F. Arújo Egehri Quíic UFRJ jl@eq.ufrj.r, ofeli@eq.ufrj.r Tel
2 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo { φ } p [, ] Q.I. S.F. : : : Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições :Vriável : : Fíli Fução : Itervlo R ssocido Sigl Síolo Série pr de idepedete if peso iit pr d fução Fourier,,,... fíli de fíli de à de fuções Qudrdo ortogol fíli fuções Itegrável de p de de fuções fuções e [, ] { φ } { φ }
3 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Fução F F é é Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições Pr Pr e Ípr Fução F Ípr F : F F E. F E. F 3, F cos, F se 3 F é Ípr e Cotíu F Deostrção : F F ; Co : F F F F F F é Ípr Deostrção : F.d F.d F.d + F.d + F.d F.d F.d F.d F.d F.d
4 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições 4 Fução Q.I. F é Q.I. e [,] so p qudo : p.f Eeplo : d eiste; g / i.e. Não p é.f Q.I. d e [,] < so p : d Eeplo : + g / é Q.I. e [,] so p : d d
5 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições 5 Fíli Ortogol de Fuções { φ } é p. φ. φ d p. φ d K > Fíli Ortogol de Fuções Q.I. e [, ] so p : {ϕ } é
6 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições 6 Fíli Ortogol de Fuções Eeplo { se },,... é Fíli de Fuções Q.I. e [, ] so p se.se d se d K >
7 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições 7 { se },,... é Fíli de Fuções Q.I. e [, ] so p Fíli Ortogol de Fuções Eeplo se cos se.se d se.se d cos se se.se d / se.se d / cos cos d / + + cos cos d / se se d / se.se d
8 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições 8 { se },,... é Fíli de Fuções Q.I. e [, ] so p Fíli Ortogol de Fuções Eeplo cos se se d d > 4 se.se.d se.se.d >
9 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições 9 Fíli Ortoorl de Fuções { ψ } é p. ψ. ψ d Fíli Ortoorl de Fuções p. ψ d Q.I. e [,] so p :
10 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições Coverter Fíli Ortogol de Fuções e Fíli Ortoorl { φ } é p. φ. φ d Fíli Ortogol de Fuções Q. I. p. φ d K > e [, ] so p : Defiido φ se ψ K Tereos { ψ } tl que :
11 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições Coverter Fíli Ortogol de Fuções e Fíli Ortoorl p p. ψ. ψ. ψ d d K p K K. φ d p. φ. φ K K d {ψ } é Ortoorl
12 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Defiições Fíli Ortoorl de Fuções Eeplo { se },,... é Fíli de Fuções Q.I. e [, ] so p Defiido se ψ se se d K se é Fíli Ortoorl de Fuções Q. I. e [, ], so p pois p ψ ψ d se. se d p. ψ d se d
13 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 3 # : Cosidere F Q.I. e [,] so p F p Q.I..F e [, ] d < so p : # : Cosidere Fíli Ortogol {ϕ } e [,] so p { φ } é Fíli p. φ d p. φ. φ d K de > Fuções Q.I. e [,] so p :
14 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 4 # 3: Cosidere Série Ifiit E costruíd co {ϕ } E A φ Note que Série de E poderá ão covergir pr certos ou eso pr ehu. Nturlete, ditios o cotrário... 3 # 4: Cosidere o Resíduo de E co respeito F I F E F A φ # 5: Cosidere Medid d flt de derêci de E F : Ξ p. I.d > 4
15 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 5 # 6: Clculos este Fuciol de Flt de Aderêci F Ξ Ξ p F Aφ p.f.d + A d p F A A φ.d + p φ φ.d 5 # 7: Devido à Ortogolidde d Fíli : Ξ p.f.d A p F φ.d + A p φ.d
16 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 6 # 8: Oteos coeficietes { A } pr iizr derêci d S.F. Mi I édi Mi Ξ Pto. Est. de Ξ { A } { A } { A } Ξ P. E. Ξ,,... A { A }
17 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 7 # 8: Oteos coeficietes { A } pr iizr derêci d S.F. Ξ A,,... Ξ Ξ A p.f.d A p F φ.d + A p F φ.d + A p φ.d p φ.d p F φ.d A p φ.d,,... Coeficietes de Fourier 6
18 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Série de Fourier de F e {ϕ } Resuo 8 E Coeficietes { A } Epsão de F e {ϕ } otidos de odo Miiizr o Fuciol : Ξ p F Aφ A φ d 3 4 p F φ.d A,,... p φ.d Coeficietes de Fourier 6
19 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 9 Fução Nul F é Fução Nul e [, ] so p, qudo : p. F d 7 Note que F é Fução Nul; s ão ecessriete F deve ser ideticete ul pr ser Fução Nul. A fução seguite é u Fução Nul e [,] so p e ão é ideticete ul: F
20 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Fução Nul F Fução Nul e [, ] so p p. F d Oservos té que qulquer fução ultiplicd por u Fução Nul é té u Fução Nul. Sedo F Fução Nul: p. F.. d φ,,... 8 { φ } Fíli e [, ] so p. Isto é, Fução Nul é Ortogol Todos os Meros de u Fíli Ortogol de Fuções.
21 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Nturlete ce pergutr se relção 8 vleri té pr fuções F que ão fosse Fuções Nuls. Isto é, se hveri F Ortogol tod u Fíli Ortogol de Fuções, ode F ão é u Fução Nul. p. F.. d φ,,... { φ } Fíli e [, ] so p. Neste cso, todos os coeficietes A d S.F. de F vle Zero : p F φ.d A p φ.d,,...
22 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier A Fíli { cos },,,... é Ortogol e [-, ] co p cos. cos. d, cos. d > Ms os coeficietes de Fourier d fução F est Fíli são todos Nulos, eor est fução Não sej u Fução Nul : A p F φ. d p φ. d.cos. d cos. d,,,... Por que?
23 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Coo visto, Não Bst Ortogolidde d Fíli {ϕ } pr grtir que qulquer fução Q.I. teh epsão e S.F. sore os eros d Fíli. O que é Necessário é que Fíli, lé de Ortogol, sej Coplet de cordo co seguite defiição : A é F p. F. φ. d,,... Fíli dit ser de Fução Fuções Coplet Nul : se Ortogois { φ } Relção Segu it e e [, ] Vler so pes peso pr p, 3
24 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Coo visto, Não Bst Ortogolidde d Fíli {ϕ } pr grtir que qulquer fução Q.I. poss teh epsão e S.F. sore os eros d Fíli. 4 O que é Necessário é que Fíli, lé de Ortogol, sej Coplet de cordo co seguite defiição : A é F p. F. φ. d,,... Fíli dit ser de Fução Fuções Coplet Nul : se Ortogois { φ } Relção Segu it e e [, ] Vler so pes peso pr p, i.e. pr Todos os Meros d Fíli!
25 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 5 Teore 4. Sej Epsão E A φ e teros d Fíli COMPETA de e [, ] so peso p. d Fução F Q. I. Fuções Ortogois { φ } Sej Tero Série Tero. A φ Covergete, podedo ser Itegrd Etão So d Série E Difere de F o Máio por u Fução Nul.
26 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 6 Teore 4. Deostrção Sej o Re síduo d S. F. I F E I F A φ Pr deostrr Fução Nul; i. e. o Teore que I é deveos ostrr que I é u todos os eros de { φ }.
27 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 7 Teore 4. Multiplicdo p I Usdo φ Deostrção I por p. φ it e egrdo. d d Ortogolidde p F φ d d Fíli : A : p φ φ d p I φ d p F φ d A p φ φ d
28 8 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Teore 4. Deostrção I d p A d F p d p φ φ φ φ : Fourier de Coeficietes Co os,,..... d p d F p A φ φ,,... I d F p d F p d p φ φ φ
29 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 9 Teore 4. Deostrção p I φ d Por t to F A φ,,... Fução Nul ou I é Fução Ideticete Nul Nul Requisitos : F Q.I. e [,] so p { ϕ } Ortogol e [,] so p e Coplet 3 S.F. Coverge e Itegrável Tero Tero
30 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier Defiição 4. : A Sequêci de Fuções S é dit covergir édi pr F, Q.I. e [,] so p, se : 3 li p F S d 9 Defiição 4. : Se S é -ési So Prcil d S.F. de F, qulquer Q.I. e [,] so p, e teros d Fíli Ortogol {ϕ }, e [,] so p : S Aφ e S Coverge Médi pr F, etão {ϕ } é Fechdo.
31 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 3 A Iguldde de Prsevl pr Fíli Ortogol Fechd. Sej {ϕ }, Fíli Ortogol e [,] so p, Fechd; Sej F Q.I. e [,] so p; Etão vle Iguldde de Prsevl io: Teore 4. p F d A p φ d Co Fíli Ortoorl p φ d, te se I. P. clássic : p F d A
32 3 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Deostrção : Teore 4. Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier li li : } { :... } {. ], [ } { d A F p N d S F p N Fechd é Coo A S N Orde de F de F S Aproite o Sej Fechd té é p so e é N N N N φ φ φ φ φ
33 33 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Deostrção : Teore 4. Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier + N N N N d p A A d F p A d F p N d A F p N li li φ φ φ φ
34 34 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Deostrção : Teore 4. Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier + N N d p A d F p A d F p N se tor relção Fíli d Ortogolidde à Devido li :, φ φ d p d F p A Fourier de Coeficietes Co os.. : φ φ + N N d p A d p A d F p N li φ φ
35 35 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Deostrção : Teore 4. Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier + N N d p A d p A d F p N li φ φ N d p A d F p N li φ d p A d F p φ d p A d F p φ
36 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 36 Deostrção : Teore 4. Se, p F d A p φ d diciolete, Fíli é Ortoorl : te se for clássic d Iguldde de Prsevl : p φ d, p. F. d A
37 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 37 Oservção : Teore 4. A Iguldde de Prsevl té poderi ser ostrd pr { φ } e [, ] so p e COMPETA. Sedo { φ } Coplet, I F Pel defiição de Fução Nul : A φ p F é Fução Nul. Aφ d p. F. d A p. F. φ. d + A A p. φ. φ. d
38 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 38 Deostrção : Teore 4. Pel Ortogolidde : p. F. d A Co os Coeficietes de Fourier : p. F. φ. d + A A p φ. d p F φ. d p. φ. d p. F. d A p. φ. d + A p. φ. d p. F. d A p. φ. d
39 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 39 Deostrção : Teore 4. p. F. d A p. φ. d p.f.d A p. φ.d Co Fíli Ortoorl p φ d, te se I.P. Clássic p.f.d A
40 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 4 Sej {ϕ }, Fíli Ortogol e [,] so p, Coplet; Etão {ϕ } é té Fechdo co respeito o espço de fuções Q.I. e [,] so p Teore 4.3 Sej {ϕ }, Fíli Ortogol e [,] so p, Fechd co respeito o espço de fuções Q.I. e [,] so p. Etão {ϕ } é té Coplet. Teore 4.4
41 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 4 A Costruir S.F. de F co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. A Fíli {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. Escreveos B.cos. d cos se F. d. se. d. d, E B,,,... se + cos cos + d cos d A cos cos se + se 4
42 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 4 Costruir S.F. de F co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. A Fíli {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. F, E B se B cos cos cos,,... B.. +,,... B, B, B3, B4, B5, B6, B ,...
43 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 43 Costruir S.F. de F co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. A Fíli {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. F, E B se B.. +,,... Aproite S. F. de O N : S N N B se
44 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 44
45 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 45 Notr Aderêci Restrit o Itervlo [-, ]
46 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 46 Costruir S.F. de F - <, F > [Não-Cotíu] co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. +, F,, E B > < se + A cos
47 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 47 Costruir S.F. de F - <, F > [Não-Cotíu] co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. F +,,, > < Fução Ípr E B se + A cos A.cos. d cos. d,,,...
48 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 48 Costruir S.F. de F - <, F > [Não-Cotíu] co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. F +,,, > < Fução Ípr : Só teros Seo S.F. E B se Aproite S. F. de O N : S N N B se
49 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 49 Costruir S.F. de F - <, F > [Não-Cotíu] co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. B +, F,, se >, < F se. d. d E B se se d + cos d se d cos cos se 4 B cos + cos + B
50 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 5 Costruir S.F. de F - <, F > [Não-Cotíu] co {ϕ } {se,,...} U {cos,,...}. {ϕ } é Ortogol e [-, ], co p e Coplet. Eeplo 4. F +,,, > < E B se Aproite S. F. de O N : S N N B se B
51 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 5
52 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier. Série de Fourier 5 Aderêci Restrit o Itervlo [-, ]
53 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 53 Este Teore justific o surgieto de Fíli {ϕ } Ortogol e [, ], so p, de EDO- ieres Teore 4.5 Sej EDO ier Hoogêe : d d So ode r. + { q +. p } + + Codições,, : r e são são p prâetro de cos t tes cos t tes são Cotoro cotíus uérico ão ão ieres uls uls e [, ]; uscr o o e eso eso tepo; pr Hoogêes : q é tepo; cotíu viilizr o Solução eos e 3 4, Não Trivil
54 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 54 Este Teore justific o surgieto de Fíli {ϕ } Ortogol e [, ], so p, de EDO- ieres Teore 4.5 Sej s Soluções Não Triviis de Eq viilizds pelos respectivos vlores de : :,,,, 3,...,... 3 Etão s Soluções Não Triviis de u Fíli Ortogol de Fuções Eq.3 + 4, { e [, ] so peso p. } defie
55 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 55 Oservções Teore 4.5 Note que resolve trivilete s Eqs. 3 e 4. Ms só quereos soluções ão-triviis. Note que 3 é u EDO- ier e Hoogêe; e que s Codições de Cotoro 4 té são Equções ieres, de Coeficietes Costtes, e Hoogêes. Note que s costtes e ão pode ser uls siulteete; o eso cotecedo co e.
56 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Deostrção Teore 4.5 Sej Soluções Não Triviis de Eq : e viilizds Assi : d r. d d r. d por + q + q respectivos p p vlores diferetes de : c 4d 56,
57 57 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Deostrção Teore 4.5 : 4 4. coo escrits pode ser e Eqs : 4 4. coo escrits pode ser d e c Eqs 5
58 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 58 Deostrção Teore 4.5 Multiplicdo d d d r. r. Itegrdo se d d Co o d d d d 3 por, 3 por, e sutrido s : est d iguldde e p.. d d r. r.. d p d étodo r. ds. d d prtes r. o ldo r.. d r. : esquerdo : r. r. d d
59 59 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Deostrção Teore 4.5 d p r r Oteos... : + d p r r.
60 6 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Deostrção Teore 4.5 : 5 5., e Eqs ds SQHs os usos poto Neste 5 5 : Zero DET sere Sigulres trizes respectivs orig s que triviis ão soluções por stisfeitos deve ser SQHs Estes
61 6 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Deostrção Teore d p r r. coo d p,. SQHs dos Sigulridde Pel. d p Soluções ão-triviis de u Prole Stur-iouville [PS] e, referetes vlores distitos,, são fuções ortogois e [,] co peso p.
62 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 6 Portto, pr estelecer o surgieto de Fíli {ϕ } Ortogol e [, ], so p, e u ddo Prole de Vlor de Cotoro PVC e EDO-, deve-se estudá-lo cuiddosete pr verificr se ele é u Prole de Stur-iouville [PS]. Isto é, pr verificr se estos dite de u Prole de Vlor de Cotoro co EDO- ier Hoogêe e Codições de Cotoro ieres e Hoogêes. Proles PS drão orige, o sere resolvidos, soluções ortogois {ϕ }. Ests soluções deve ser pesquisds triuido-se série de vlores dequdos o prâetro cofore grtido pelo Teore 4.5.
63 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 63 Recpituldo for de u Prole Stur-iouville [PS] EDO ier Hoogêe : r. + { q +. p } d d Codições de Cotoro ieres e Hoogêes : ode :, potos ddos pr plicção de Codições de Cotoro,, r cost., e cost., p dds, dds, dds e ão ão uls uls cotíus o o eso tepo; eso tepo; e [, ]; q dd e cotíu e, prâetro uscr pr viilizr Solução Não Trivil
64 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 64 Eeplo 4.3 : Oter Solução do Prole de Vlor de Cotoro io: +.,
65 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Eeplo 4.3, Resolução # : Recoheceos este PVC u PS pós colocção for: d d +. r p q {,, {,,
66 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 66 # : Resolvedo PVC pr EDO- i. Ho. co Coef. Cost. : ep θ. Sustituido se e +. Eq. Crcterístic : θ + Rízes d E.C. : θ ±. A Sol. Coplet d EDO Hoogêe preset 3 csos e : Cso : < Cso : Cso 3 : >
67 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 67 # 3: Cso : < rízes reis distits θ ± - / θ ± Sol. Copl. Ho. CCs pr H : C C + C ep H + C C ep + C ep ep CCs coo SQH : ep ep C C [ M ] C C DET M ep ep pr < M ão si gulr SQH só dite Sol. Trivil C C H Cso se
68 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 68 # 4: Cso : rízes reis iguis riz dupl θ θ CCs pr Sol. Copl. H C H : + C C C Ho.. +.C +.C H C ep + C..ep CCs coo SQH : C C [ M ] C C DET M M ão si gulr SQH só dite Sol. Trivil C C H Cso se
69 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 69 # 5: Cso 3 : > rízes coples coj. θ ± - / ± i / θ ± i CCs CCs pr coo DET M H Sol. Copl. SQH : se C C cos : cos Ho. +.C + C C se cos + C se [ M ] C C se C C DET M se ±., ±., ± 3.,... H ±..,.,3.,...,,3,... C +.C SQH te Sols. Não Triv.: C, C C cos ± + Cse ±
70 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 7 # 5: Cso 3 : > rízes coples coj. θ ± - / ± i / H ±. C se., H.,3 C.,... se ± H,,3,... C se Por q? se,,... Cso 3 co
71 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 7 # 5: Cso 3 : > rízes coples coj. θ ± - / ± i / H ±. C se., H.,3 C.,... se ± H,,3,... C se Por q? se,,... Idetific-se Fíli { } se C Cso 3 co
72 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 7 # 6: Surge, portto, deste PVC, Fíli Ortogol de Soluções : se { } { se },,...,,... Fíli e [, ] so peso p se se.se.d.d
73 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 73 Eeplo 4.4 : Oter Solução do Prole de Vlor de Cotoro io: +.,
74 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville Eeplo 4.4, Resolução # : Recoheceos este PVC u PS pós colocção for : d d +. r p q {,, {,,
75 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 75 # : Resolvedo PVC pr EDO- i. Ho. co Coef. Cost. : ep θ. Sustituido se e +. Eq. Crcterístic : θ + Rízes d E.C. : θ ±. A Sol. Coplet d EDO Hoogêe preset 3 csos e : Cso : < Cso : Cso 3 : >
76 76 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville [ ] C C Trivil Sol. dite só SQH pr ep ep M DET C C M C C ep ep : SQH coo CCs ep C ep C C C ep C ep C pr CCs ep C ep C Ho. Copl. Sol. H H H < + ± θ # 3: Cso : < rízes reis distits θ ± - / Cso se
77 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 77 # 4: Cso : rízes reis iguis riz dupl θ θ Sol. Copl. Ho. CCs pr C + C.C.C.C. + C + C + C C ep + C [ M ] C C CCs coo SQH : C C SQH dite Sol. Não Trivil C,C H H H..ep H DET M C Cso co
78 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 78 # 5: Cso 3 : > rízes coples coj. θ ± - / ± i / θ ± i CCs CCs DET M SQH pr coo SQH se ±. Sol. Copl. H C C : se.c. Ho. se + C se,. te Sols. Não Triv.: C C + C cos DET M H,3 + C cos.,....c + C se ± + C cos cos + C se [ M ] C C C C se ±., ±., ± 3.,...,,3,... C cos ±, C
79 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 79 # 5: Cso 3 : > rízes coples coj. θ ± - / ± i / H C cos H C cos ± H C cos cos,,... Cso 3 co
80 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 8 # 5: Cso 3 : > rízes coples coj. θ ± - / ± i / H C cos H C cos ± H C cos cos,,... Idetific-se Fíli { } se C Cso 3 co
81 8 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville # 6: Reuido Csos e 3 co Soluções Não-Triviis do PS,,... cos Csos e 3 co,,,... cos
82 J.. de Medeiros & Oféli Q.F. Arújo Cp. IV : Fuções Ortogois e Séries de Fourier 3. Teore de Stur-iouville 8 # 7: Surge deste PVC, Fíli Ortogol de Soluções : cos,,,... { } {cos },,,... Fíli e [, ] so peso p cos cos.cos.d.d >,.d
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