Universidade Fernando Pessoa Departamento de Ciência e Tecnologia. Apontamentos ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Maria Alzira Pimenta Dinis

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1 Uiversidde Ferdo Pesso Deprteto de Ciêci e ecologi potetos de ÁLGER LINER E GEOMERI NLÍIC Mri lir Piet Diis

2 99

3 Ídice Ídice Pág. Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres. Mtries. dição de Mtries e Multiplicção por u Esclr. Multiplicção de Mtries. rspost. Mtries e Sistes de Equções Lieres. Mtries Esclods. 9 Equivlêci por Lihs e Operções Eleetres co Lihs. Mtries Qudrds. Mtries Iversíveis. Método de Guss-Jord pr Resolução de Sistes de Equções Lieres. Cpítulo II Espços Vectoriis. 7 Proprieddes Eleetres dos Espços Vectoriis. Produto Crtesio. O Espço Vectoril R. Su-espços Vectoriis. Coição Lier de Vectores. Gerdores de u Espço Vectoril. Depedêci e Idepedêci Lieres. se e Diesão. Costrução de U se. Cpítulo III rsforções Lieres. rsforções ou plicções. rsforção Lier. Proprieddes ds rsforções Lieres. Mtri ssocid U rsforção Lier. i

4 Ídice Mtries Seelhtes. Ige e Núcleo de u rsforção Lier. Mudç de se. 7 Cpítulo IV Deterites. Deterite de ª Orde. Deterite de ª Orde. Regr de Crer. Geerlição do Coceito do Deterite. eore de Lplce. Mtri djut. Mtri Ivers. Proprieddes Fudetis dos Deterites. Vlores Próprios e Vectores Próprios. Digolição de U Mtri Qudrd. Cpítulo V Espços Euclidios. Produto Esclr e Espços Vectoriis. Espço Vectoril Euclidio. Módulo de u Vector e Sus Proprieddes. Âgulo de Dois Vectores. 7 Vectores Ortogois e Cojuto Ortogol de Vectores. Cojuto Ortoorl e se Ortoorl. 9 Copoetes dos Vectores e Produto Esclr. 7 Processo de Ortogolição de Gr-Schidt. 7 For Qudrátic e E. 7 For Qudrátic o Plo. 7 Redução d For Qudrátic o Plo à For Cóic. 7 ii

5 Ídice Cpítulo VI Geoetri lític o Plo. Siste de Coordeds o Plo. Idetificção de E co o Plo Euclidio. Equções Prétrics e Crtesi d Rect. Âgulo de Dus Rects. Prleliso Etre Dus Rects. Ortogolidde Etre Dus Rects. Distâci Etre Dois Potos. Distâci Etre U Poto e U Rect. 7 Cóics. Equção Reduid de U Cóic. 9 Clssificção ds Cóics. 9 Cpítulo VII Geoetri lític o Espço. 9 Siste de Coordeds o Espço. 9 Idetificção de E co o Espço Euclidio. 9 Equções Prétrics e Crtesis d Rect. 9 Equções Prétrics e Crtesi doplo. 99 Prleliso Etre Dois Plos. Perpediculridde Etre Dois Plos. Prleliso Etre Rect e Plo. Perpediculridde Etre Rect e Plo. Itersecção de Dois Plos. Distâci Etre Dois Potos. Distâci de U Poto U Rect. Distâci Etre Dus Rects. Distâci de U Poto U Plo. Quádrics. Equção Reduid de U Quádric. Clssificção ds Quádrics. 7 iii

6 Ídice iliogrfi. iv

7 Cpítulo I MRIZES E SISEMS DE EQUÇÕES LINERES

8 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Cpítulo I o trlhr co u siste de equções lieres, soete os coeficietes e sus respectivs posições são iporttes. o reduir o siste à for esclod, é essecil ter s equções cuiddosete lihds. ssi, esses coeficietes pode ser eficieteete rrudos u disposição rectgulr chd tri. eos que se dig o cotrário, todos os eleetos ds tries pertece lgu corpo K, ritrário s fio. os eleetos de K chos esclres. Podeos supor, por eeplo, que K é o corpo rel R ou o corpo copleo C. Os eleetos de R ou C são represetdos por vectores lih ou vectores colu, que são csos especiis de tries. Mtries. Sej K u corpo ritrário. U disposição regulr d for ode os ij são esclres e K, é chd tri sore K, ou siplesete tri, se K está iplícito. tri ci é té otd por ( ) ij, i,,, j,,, ou siplesete por ( ) (,, ), (,,, ),, (,,, ), ij. s -upls horiotis são s lihs d tri, e s -upls verticis eleeto,,, são s sus colus. De otr que o ij, chdo eleeto ij ou copoete ij prece i -ési lih e j -ési colu. tri co lihs e colus é chd u tri do tipo por, ( ) ; o pr de úeros ( ), é chdo o tho ou for. Prof. lir Diis

9 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Eeplo tri (,, ) e (,, ). s colus são, e. é u tri por. s sus lihs são s tries represet-se orlete por ísculs,, e os eleetos do corpo K por iúsculs,,. Dus tries e são iguis, es for e se os eleetos correspodetes são iguis., se tê Eeplo iguldde w w é equivlete o seguite siste de equções:. solução do siste é,, e w. w w U tri co u lih é té chd u vector lih, e co u colu, u vector colu. U eleeto o corpo K pode ser cosiderdo coo u tri por. dição de Mtries e Multiplicção por u Esclr. Sej e dus tries co o eso tipo, isto é, o eso úero de lihs e colus, digos, tries : e. so de e,, é tri otid diciodo Prof. lir Diis

10 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis os teros correspodetes:. O produto de u esclr k pel tri, k, ou siplesete k, é tri otid ultiplicdo cd eleeto de por k : k k k k k k k k k k. Oserv-se que e k são té tries. é se defie e ( ). so de tries co tipos diferetes ão é defiid. Eeplo Sej e 7. Etão, 7, ( ) ( ) 9, Eeplo tri cujos eleetos são todos ero, é chd tri ul, sedo represetd por. É seelhte o esclr o setido de que pr qulquer tri ( ) ij do tipo, ( ) ( ) ij ij. s proprieddes ásics ds operções de dição e ultiplicção por u esclr são s seguites:

11 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres eore Sej V o cojuto de tods s tries sore u corpo K. Etão, pr quisquer tries,, C V e quisquer esclres k, k K, (i) ( ) C ( C) (ii) (iii) ( ) (iv) (v) k ( ) k k (vi) ( k k ) k k (vii) ( k ) k ( ) (viii) k Usdo (vi) e (viii), té se te que k e,, Multiplicção de Mtries. O produto ds tries e,, é u pouco is coplicdo. Vejos o seguite: (i) Sej ( ) e ( ) i pertecetes i R, represetdo por u vector (ii) lih e por u vector colu. Etão o produto itero pode ser ecotrdo coido s tries coo se segue: (,,, ) defiido tri produto de u vector lih por u vector colu. Cosidereos s equções. O siste é equivlete à equção tricil ou siplesete X X X ode e são Prof. lir Diis

12 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres (iii) s lihs de. De otr que o produto de u tri por u vector colu produ outro vector colu. Cosidereos gor s equções que já seos poder represetr por ( ), ( ) ij i Y e ( ) equções de (iii), te-se: i ou siplesete Y Z, ode Z. Sustituido os vlores de e de (ii) s ( ) ( ) ( ) ( ) teros, ou, regrupdo os ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Por outro ldo, usdo equção tricil X Y e sustituido Y e Y Z, oté-se X Z, que represetrá o siste otido se defiiros o produto de e coo se segue: ode e são s lihs de e, e são s colus de. O pricipl requisito é que o úero de colus de sej igul o úero de lihs de. Defiição Supohos que ( ) e ( ) ij são tries tis que o úero de colus de é igul o úero de lihs de, é u tri ij p e u tri p. Etão o produto é u tri cujo eleeto ij é otido ultiplicdo i -ési lih i pel j -ési colu j de : Prof. lir Diis

13 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis 7 p pj p j p ip i p ij c c c c c ode p k kj ik pj ip j i ij i ij c. cetue-se que se é u tri p e u tri q, ode q p, o produto ão é defiido. Eeplo - u t u t u t s r s r s r u t s r. Eeplo - e. Este eeplo ostr que ultiplicção de tries ão é couttiv, isto é, os produtos e ão são ecessriete iguis. ultiplicção de tries stisf s seguites proprieddes: eore (i) ( ) ( ) C C, (lei ssocitiv) (ii) ( ) C C, (lei distriutiv à esquerd) (iii) ( ) C C, (lei distriutiv à direit) (iv) ( ) ( ) ( ) k k k, ode k é u esclr Oserve-se que e, ode é tri ul.

14 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis rspost. trspost de u tri,, é tri otid escrevedo s lihs de, ordedete coo colus:. Oserve-se que, se é u tri, etão é. Eeplo -. operção trsposição de tries stisf s proprieddes seguites: eore - (i) ( ) (ii) ( ) (iii) ( ) k k, ode k é u esclr (iv) ( ) Mtries e Sistes de Equções Lieres. O siste de equções lieres é equivlete à equção tricil ou siplesete X, ode ( ) ij, ( ) i X e ( ) i. O siste hoogéeo ssocido é equivlete X. tri é chd tri dos coeficietes do siste, e tri

15 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis 9 seguite é chd tri coplet ou tri uetd do siste. tri uetd perite deterir copletete o siste. Eeplo tri dos coeficietes e tri uetd do siste 7 são s seguites tries, e 7, sedo o siste equivlete à equção tricil 7. Mtries Esclods. U tri ( ) ij é u tri esclod, ou di-se que está for esclod, se o úero de eros precededo o prieiro eleeto ão ulo de u lih uet lih por lih té que sore soete lihs uls, isto é, se eiste eleetos ão ulos r rj j j,,,, ode r j j j < < < co propriedde ij pr r i, i j j, e pr r i >. Ch-se r j rj,, os eleetos distitos d tri. Eeplo Ns tries esclods seguites, os eleetos distitos for circuddos: 7,,. U tri esclod é chd tri esclod reduid por lihs. Se os eleetos distitos são: (i) os úicos eleetos ão ulos s sus respectivs colus. (ii) iguis.

16 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis terceir tri do eeplo terior é u eeplo de u tri esclod reduid por lihs, s outrs ão. tri ero,, é sepre u tri esclod reduid por lihs. Equivlêci por Lihs e Operções Eleetres co Lihs. Di-se que u tri é equivlete por lihs u tri se pode ser otid de por u sequêci fiit ds seguites operções chds operções eleetres co lihs: [E] roc ds ési i e j -ési lihs etre si: j i R R ; [E] Multiplicção d i -ési lih por u esclr k ão ulo: j i kr R, k ; [E] Sustituição d i -ési lih por k vees j -ési lih is i -ési lih: i j i k R R R. Eeplo tri seguite é reduid por lihs à for esclod plicdo s operções: pr pr. Pr ulr o, ultiplicou-se prieir lih por e soou-se co ª. Fe-se o eso pr ª, s gor ultiplicou-se ª por. Pr ulr o ultiplicou-se ª lih por diciodo à ª, ultiplicd por. Eeplo N tri seguite for plicds s operções: 7, ssi otedo-se for cóic por lihs de.

17 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Mtries Qudrds. U tri co o eso úero de lihs e colus é chd tri qudrd. Di-se que u tri qudrd co lihs e colus é de orde. digol - ou digol pricipl d tri qudrd de orde ( ) ij cosiste os eleetos,,,. Eeplo tri seguite é qudrd de orde : 7. Os eleetos d 9 digol pricipl são,, 9. U tri trigulr superior ou siplesete u tri trigulr é u tri qudrd cujos eleetos io d digol pricipl são todos ulos: ou. Seelhteete, u tri trigulr iferior é u tri qudrd cujos eleetos ci d digol pricipl são todos ulos. U tri digol é u tri qudrd cujos eleetos ão digois são todos ulos: E prticulr, tri qudrd ou. co s digol e s o restte, represetd por I, ou siplesete por I, é chd tri uidde ou idetidde; por eeplo I. tri I é seelhte o esclr, o setido de que, pr qulquer tri qudrd, de orde, tri k I, pr u esclr k K I I., é chd tri esclr; é u tri digol Prof. lir Diis

18 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis cujos eleetos digois são iguis k. U tri siétric é do tipo. Mtries Iversíveis. Di-se que u tri qudrd é iversível se eiste u tri co propriedde I ode I é tri idetidde. l tri é úic; porque s igulddes I e I iplic que I ( ) ( ) I. Ch-se tl tri ivers de e ot-se. Se é ivers de, té é ivers de. Eeplo -. ssi, e são iversíveis e são iverss u d outr, stdo verificr pes u dos produtos. Eeplo -. O cálculo d ivers pode ser feito de dus fors is cous. prieir cosiste e justpor à tri dos coeficietes tri idetidde ou uidde, por for oter prieiro tri idetidde e seguir tri ivers. Isto é, ( ) ( ) I I trvés ds operções oris.

19 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis Eeplo -. Etão ssi, O outro odo de clculr ivers du tri copreede vários pssos. Prieiro clcul-se trspost d tri. E seguid for-se tri dos cofctores d tri. U cofctor clcul-se escolhedo u eleeto de u tri e ultiplicdo, elevdo o úero d lih is o úero d colu do eleeto escolhido, pelo deterite que result sutrido lih e colu e que esse eleeto se isere. Oté-se ssi tri djut de. De seguid ultiplic-se det pel dj, otedo-se.

20 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Eeplo -, C,, ( ) ( ) C, C, C, C, C, C, C 7, C. dj, det e portto 7 dj Not O deterite ( ) pricipl pelo siétrico d outr digol., ultiplicdo digol O étodo que vios este últio eeplo será elhor copreedido qudo estudros os deterites. Método de Guss-Jord pr Resolução de Sistes de Equções Lieres. resolução de sistes de equções lieres é u prole cetrl e Álger Lier. O étodo de eliição de Guss é u étodo de resolução siples que plic o étodo de sustituição prte fil. Vejos u eeplo: Eeplo Cosidere-se o siste. Pretede-se plicr o étodo de eliição de Guss pr oter os vlores ds icógits, e. Coeç-se por sutrir últiplos d prieir equção às resttes por for eliir icógit desss equções. Pr isso ultiplic-se prieir equção por e sutri-se o resultdo à segud, e ultiplic-se prieir equção por e Prof. lir Diis

21 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres sutri-se o resultdo à terceir:. Ch-se pivot deste prieiro psso de eliição o coeficiete d icógit prieir equção. No segudo psso de eliição sutri-se à terceir equção u últiplo d segud de for eliir icógit d terceir equção. Pr isso ultiplic-se segud equção por e sutri-se o resultdo à terceir. O pivot este segudo psso de eliição é o coeficiete d icógit segud equção:. edo coseguido eliir tudo o que está pr io d digol pricipl, teri qui o processo de eliição. O étodo prossegue co resolução do siste d últi pr prieir equção sustituido os vlores etretto deteridos:. É fácil ver coo se pode tetr plicr o étodo outros sistes de equções lieres icógits. Prieiro elii-se prieir icógit de tods s equções ecepto d prieir, uldo todos os coeficietes deio do prieiro pivot. Depois ul-se os coeficietes por io do segudo pivot de for eliir segud icógit de tods s equções ecepto ds dus prieirs. Procede-se logete e pssos seguites todo-se pr pivot d equção k o coeficiete que ultiplic icógit k, té chegr à últi equção, ltur e que o processo de eliição teri. Iici-se etão deterição dos vlores ds icógits, por sustituição. É clro que tudo se tor is fácil se usros tries:, e que últi colu represet os teros idepedetes. Se e ve do étodo de eliição de Guss quiseros usr o étodo de eliição de Guss-Jord o processo é seelhte o terior s pretede-se ulr té Prof. lir Diis

22 Cpítulo I Mtries e Sistes de Equções Lieres Prof. lir Diis o que se ecotr ci d digol pricipl, reduido tri do siste à tri uidde e sedo deterição ds icógits iedit. Eeplo Guss-Jord:,,. Eiste u terceiro étodo, o étodo de sustituição, que é u o étodo pr sistes de dus equções dus icógits ou três equções três icógits s coplic-se pr sistes de ior diesão. Cosiste e oter u icógit e fução ds resttes e ir sustituido. Eeplo - ( ). Por vees, é coselhável trocr s lihs, e qulquer dos étodos ci pr siplificr os cálculos.