ANÁLISE NUMÉRICA. Sistemas Lineares (1) 5º P. ENG. DE Biomédica FUNORTE / Prof. Rodrigo Baleeiro Silva

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1 NÁLISE NUMÉRIC Sistems Lieres () º P. ENG. DE Biomédic FUNORTE / Prof. Rodrigo Beeiro Siv

2 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Mtriz (m ) Eemetos: ij ode i =...m e j =... m m m m

3 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Tipos de mtrizes Co (vetor co): Lih (vetor ih): m N: ij i j Digo: d ij i j Idetidde: e ij i j e e ij i j Trigr iferior: b ij i < j Trigr sperior: c ij i > j Des: mior prte dos eemetos ão os Esprs: mior prte dos eemetos forem zero Simétric: m ij m ji i j (M = M T )

4 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Operções mtriciis Trsposição: troc-se s ihs pes cos dição e sbtrção: c ij ij b ij i j Mtipicção: mtriz ( p) e mtriz B (p m) M c ij p k ik b kj i... e j... m Prodto itero (escr): vetor ( ) e vetor y ( ) k T y y y y... Prodto etero: vetor ( ) e vetor y (m ) T m y comm y i... e j... m ij i i y i i y i

5 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Operções mtriciis Determite: úmero ssocido m mtriz qdrd ( ) de ordem obtido pe fórm de recorrêci det detm detm... M det ode M ij é mtriz de ordem - restte d remoção d ih i e co j de Mtriz sigr: det() = Mtriz ão sigr: det()

6 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Operções mtriciis Posto: úmero máimo de vetores ihs o vetores cos de m mtriz () m qe são iermete idepedetes. Trço: som dos eemetos d digo pricip de m mtriz qdrd () trço Ivers: dd m mtriz qdrd () de ordem s ivers é represetd por - e defiid t qe i ii I 6

7 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Operções com trspost e ivers ( T ) T = ( - ) - = ( - ) T = ( T ) - = -T Se = BCD etão T = D T C T B T e - = D - C - B - ( + B) T = T + B T ( + B) B - 7

8 Sistems Lieres Eecícios: 8 Cce : ) +B; ) *B; ) Det(*B); ) -; ) T ; 6) X*Y T 7)X T *Y

9 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Sej mtriz qe preset propriedde É dito etão qe mtriz possi m tovor = e m correspodete tovetor v = [ ] T 9

10 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores O mesmo tmbém é verdde pr = e v = [ ] T ssim reção fdmet de m mtriz () de ordem com ses tovores e os correspodetes tovetores v é dd por. v = v O probem do tovor cosiste em ecotrr soção ão trivi (o ão ) do sistem homogêeo ( - I )v =

11 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Se mtriz é sigr (determite o) tem-se qe det( - I) = Eempo: e tovores 8 6 det det I

12 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores O determite D () = det( - I) de gr é chmdo poiômio crcterístico de e ses zeros i são tovores de. Coseqetemete tem-se s segites proprieddes trço d d ii i i i det d i d det i

13 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Eempo: e tovores 6 D D I D det det

14 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Eempo (cotição): 6 6 i i i i trço trço det det

15 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Um mtriz simétric () de ordem com tovores i ( i =...) e v m vetor qqer ão o de tmho tem form qdrátic defiid peo escr q = v T v v Depededo d form qdrátic mtriz pode ter diferetes omes Form qdrátic Nome de tovores de v T v > defiid positiv i > v T v semidefiid positiv i v T v < defiid egtiv i < v T v semidefiid egtiv i

16 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Otrs proprieddes dos tovores () = ( T ) Em m mtriz trigr o digo os tovores são igis os eemetos d digo pricip. O posto de m mtriz qdrd é ig o úmero de tovores ão os. Se i são os tovores de etão i - são os tovores de -. 6

17 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Noções sobre tovores e tovetores Eempo: sedo tovores de posto tovores de : ; ; ; :

18 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms mgitde de m vetor o mtriz é epresso por meio de m escr deomido orm. No cso de m vetor de comprimeto s orms são defiids em termos d orm-p p p p i i 8

19 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms Norms vetoriis mis coms Norm de som de mgitdes Norm Ecidi i Norm de máim mgitde i i i p im p i m p i i i 9

20 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms Eempo: orms do vetor =[ - ] T 96 9 m

21 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms Codições ds orms vetoriis e se e somete se y y e k k ode y são vetores e k é m escr.

22 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms Norms mtriciis mis coms Norm de som máim de co Norm de som máim de ih Norm de Frobeis m j m i m m i i ij ij F m i j ij

23 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms Norm espectr m m se se T T ode m é o mior tovor de em módo e o m é o mior vor sigr de sedo m m T

24 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Norms Eempo: orms F e d mtriz ; m m m m m m T F F

25 NÁLISE NUMÉRIC Sistems Lieres () º P. ENG. DE Biomédic FUNORTE / Prof. Rodrigo Beeiro Siv

26 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Cojto de m eqções poiomiis com vriáveis i de gr 6 m m m m m b b b b

27 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Represetdo form mtrici ode é mtriz de coeficietes é o vetor soção e b é o vetor de termos idepedetes. 7 m m m m m b b b b

28 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Pr m mtriz () qdrd ( ) ão sigr b b b O sej o vetor soção pode ser obtido peo prodto d mtriz ivers dos coeficietes peo vetor de termos idepedetes. Resover m sistem de eqções ieres cosiste em ecotrr m vetor ( ) qe stisfç simtemete às eqções. 8

29 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Cssificção de sistems Sobredetermido: qdo (m ) possir m e posto() = Sbdetermido: qdo (m ) possir m < e posto() = m Úic soção: qdo det() Ifiits soções: qdo det() = Sem soção: qdo det() = e 9

30 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr iferior Ddo m sistem trigr iferior de ordem c c c c

31 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr iferior soção do sistem é ccd por sbstitições scessivs c c c c c c c...

32 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr iferior c... s sbstitições scessivs podem ser represetds por c i i j i i... ii ij j

33 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr iferior por sbstitições scessivs

34 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr iferior por sbstitições scessivs

35 INTRODUÇÃO goritmo Sbstitições_Scessivs { Objetivo: Resover m sistem trigr iferior L=c } { pes sbstitições scessivs } prâmetros de etrd L c { ordem mtriz trigr iferior e vetor idepedete } prâmetros de síd { soção do sistem trigr iferior } () c()/l() pr i té fç Som pr j té i- fç Som Som + L(ij)*(j) fimpr (i) (c(i) - Som)/L(ii) fimpr fimgoritmo

36 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr sperior Ddo m sistem trigr sperior de ordem 6 d d d d

37 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr sperior soção do sistem é ccd por sbstitições retrotivs 7 d d d d d d

38 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr sperior s sbstitições retrotivs podem ser represetds por 8 d d i d ii i j j ij i i

39 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr sperior por sbstitições retrotivs

40 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr sperior por sbstitições retrotivs

41 INTRODUÇÃO goritmo Sbstitições_Retrotivs { Objetivo: Resover m sistem trigr sperior U=d } { pes sbstitições retrotivs } prâmetros de etrd U d { ordem mtriz trigr sperior e vetor idepedete } prâmetros de síd { soção do sistem trigr sperior } () d()/u() pr i - té psso - fç Som pr j i+ té fç Som Som + U(ij)*(j) fimpr (i) (d(i) - Som)/U(ii) fimpr fimgoritmo

42 Importte! Este mteri tem como referêci básic os mteriis desevovidos peo professor Mríio J. Iácio ém dos coteúdos dispoíveis os ivros de referêcis d discipi.

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