Integrais de funções complexas

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Integrais de funções complexas"

Transcrição

1 Cpítulo 4 Itegris de fuções complexs 4 Itrodução Um primeir referêci itegris de fuções complexs e lgums ds sus plicções prece um trlho de L Euler presetdo à Acdemi ds Ciêcis de S Petersurgo em 777, emor sem torr rigoros defiição do itegrl em mecior que se trt de itegris sore cmihos o plo complexo N verdde, idetificção dos úmeros complexos com potos de um plo id ão se ecotrv dispoível ess ltur A primeir meção um oção rigoros de itegris de fuções complexs sore cmihos prece um crt evid por C Guss FW Bessel em 8 A mesm crt refere um resultdo de idepedêci do itegrl em relção cmihos de itegrção com s mesms extremiddes Estes resultdos uc form pulicdos, ms Guss usou itegris complexos em 86 um ds sus demostrções do célere Teorem Fudmetl d Álger que é cosiderdo em detlhe o cpítulo seguite Em 84, AL Cuchy presetou à Acdemi ds Ciêcis de Pris um memóri que referi itegris de fuções complexs de form álog à de L Euler em 777 Est memóri só foi pulicd em 85 e ess ltur icluí um ot, diciod por Cuchy em 8, ode se referi que os itegris sore froteir de um rectâgulo de ldos prlelos os eixos coordedos são ulos pr fuções complexs cotiumete difereciáveis o fecho do rectâgulo Este resultdo, que s codições referids pode ser otido do Teorem de Gree pr fuções reis defiids em coutos de R (ver secção 44), é um cso prticulr do célere Teorem de Cuchy, emor com hipótese excessivmete forte de cotiuidde ds derivds d fução itegrd George Gree (793-84) 47

2 48 Itegris de fuções complexs É de otr que defiição rigoros de itegrl, mesmo o cso de fuções reis cotíus um itervlo limitdo e fechdo, só preceu em 83, tmém pel mão de Cuchy Em 854, B Riem estedeu est oção de itegrl fuções reis limitds um itervlo limitdo e fechdo sem exigêci de cotiuidde e, em 9, H Leesgue estedeu de form gerl o coceito de itegrl de fuções reis su tese de doutormeto com o título Itégrle, Logeur, Aire O Teorem de Cuchy estelece que itegris de fuções holomorfs um couto sore cmihos fechdos esse couto são ulos, so certs codições topológics ou geométrics reltivs o couto e os cmihos cosiderdos Notese que est propriedde é equivlete à iguldde dos itegris etre qulquer pr ordedo de potos d curv fechd * sore os diferetes cmihos que uem os potos o logo d curv * Em cosequêci, vlidde do Teorem de Cuchy pr os cmihos fechdos de um certo couto é equivlete à ivriâci do itegrl em clsses de cmihos com s mesms extremiddes que se otêm us dos outros por deformções cotíus relids sem deixr o couto e, portto, à propriedde referid crt de Guss Bessel cim meciod É, liás, est propriedde que Cuchy estelece Mémoire sur les itégrles défiies prises etre des limites imgiires, tmém pulicd em 85, pr cmihos em mis geris do que s froteirs de rectâgulos ms tmém com hipótese de cotiuidde ds derivds ds fuções itegrds O mesmo trlho tmém icluiu um defiição rigoros de itegris complexos que, emor correspodm os itegris sore cmihos, são í defiidos sem qulquer referêci geométric N verdde, Cuchy cosider-os reltivmete fuções uxilires que se viu forçdo itroduir pr poder torr cosistete defiição de itegrl Aliás, prece clro que Cuchy descoheci ltur própri iterpretção geométric dos úmeros complexos como potos de um plo, que foi estelecid mis trde um rtigo de C Guss pulicdo em 83 Em 9, E Gourst 3 provou um versão do Teorem de Cuchy sem exigir hipótese de cotiuidde d derivd d fução itegrd e riu o cmiho pr estelecer que s derivds de fuções holomorfs um couto erto ritrário são sempre idefiidmete difereciáveis Portto, st existir primeir derivd de um fução complex um tl couto pr existirem esse couto tods s derivds de ordem superior, e, em cosequêci, pr que fução se idefiidmete cotiumete difereciável Um outr cosequêci iteresste é que existêci de primitiv de um fução complex cotíu um couto erto implic que est fução é holomorf e, portto, idefiidmete cotiumete difereciável Neste cpítulo estelece-se o Teorem de Cuchy loclmete em coutos covexos e o cpítulo 7 estelece-se um versão glol deste teorem Com se o Teorem de Cuchy é possível oter Fórmul de Cuchy, qul dá os vlores de um Heri Leesgue (875-94) 3 Édourd Gourst (85-936)

3 4 Itegris sore cmihos 49 fução holomorf um couto de potos for de um curv fechd em termos de itegris que evolvem pes os vlores d fução sore ess curv Pr o cso de circuferêcis, est fórmul foi estelecid em 83 pelo próprio Cuchy, um memóri dedicd à mecâic celeste Um cosequêci d Fórmul de Cuchy é Propriedde de Vlor Médio de fuções holomorfs que estelece iguldde do vlor de um fução o cetro de um círculo fechdo ode é holomorf à médi dos seus vlores froteir do círculo A Fórmul de Cuchy evolve cosiderção do setido e do úmero de volts que um cmiho percorre em toro de um poto, o que é expresso em termos d oção de ídice, ou úmero de rotção, de um cmiho em relção um poto Est oção foi itroduid por L Kroecker 4 em 869 e redescoert mis trde por H Poicré que ão coheci dos trlhos de Kroecker É coveiete ser que estes ídices são ivrites so deformções cotíus dos cmihos região complemetr o poto cosiderdo, idei que é tord rigoros com oção de homotopi etre cmihos itroduid por C Jord 5 em 866 e desevolvid por H Poicré 6, pssdo costituir um dos elemetos de se d Topologi Algéric 4 Itegris sore cmihos As oções de cmiho em C e em R são idêtics, pelo que há pes que clrificr e relemrr termiologi e otção doptds Tl como pr sucoutos de R um cmiho em S C é um fução cotíu de um itervlo limitdo e fechdo de R em S Um curv em S é um sucouto de S que é o cotrdomíio de um cmiho em S, desigdo por * Di-se que represet ou percorre curv * e que est curv correspode o cmiho 3 4 Figur 4: Simétrico de um cmiho Figur 4: Cocteção de cmihos O simétrico de um cmiho : [,] C é o cmiho, defiido em [, ] por ( )( = ( ( t )), que represet mesm curv ms em setido cotrário (Figur 4) Chm-se cocteção dos cmihos,, Κ,, cd um com poto fil igul o poto iicil do seguite, o cmiho = que percorre sucessivmete s curvs correspodetes pel ordem idicd, :, C tl que, Λ [ ] 4 Leopold Kroecker (83-89) 5 Cmille Jord (838-9) 6 Heri Poicré (854-9)

4 5 Itegris de fuções complexs [ k sedo k, ] os domíios dos cmihos k pr k =, Κ,, verific-se = t =, = t, com t = + = ( k k k ) pr =,, Κ,, e restrição de cd um dos itervlos [ t, t ] é o cmiho t α ( t ) pr (Figur 4) t + =,,Κ, Um cmiho regulr é um cmiho C com derivd diferete de ero em todos os potos Di-se que um cmiho é secciolmete regulr se existe um prtição do seu domíio um úmero fiito de suitervlos tl que restrição do cmiho cd um dos suitervlos fechdos defiidos pel prtição é um cmiho regulr Figur 43: Cmihos fechdos [ ] Figur 44: Curv de Jord Um cmiho fechdo é um cmiho :, C com () = () (Figur 43) Di-se que um cmiho que ão é fechdo é um cmiho simples se é um fução iectiv, e di-se que um cmiho fechdo é um cmiho simples se é um fução iectiv o itervlo semifechdo otido excluido um dos extremos do itervlo do domíio de A um cmiho fechdo simples chm-se cmiho de Jord e di-se que curv correspodete é um curv de Jord (Figur 44) π Figur 45: Cmiho poligol iscrito um cmiho Um cmiho poligol é um cocteção π = + Λ + de um úmero fiito de cmihos regulres simples que descrevem segmetos de rect O comprimeto do cmiho poligol π é som dos comprimetos dos segmetos de rect que o compõem, mis precismete, se os domíios dos cmihos k são os itervlos [ k, k ] pr k =, Κ,, o comprimeto de π é L π = π(k ) π( k ) k = Um cmiho poligol iscrito um cmiho é um cmiho poligol π = + Λ + tl que s extremiddes dos cmihos regulres simples k que descrevem segmetos de rect, cosiderds ordem k =,Κ,, são potos d curv *, ordedos de cordo com o setido de percurso do cmiho Um cmiho é rectificável se o couto dos comprimetos de todos os cmihos poligois iscritos o cmiho é mordo e

5 4 Itegris sore cmihos 5 chm-se o supremo deste couto comprimeto do cmiho 7, o qul se desig por L Se um cmiho : [,] C é secciolmete regulr, etão é rectificável e o seu comprimeto é L = ( t ) dt, ms há cmihos rectificáveis que ão são secciolmete regulres :, C é um cmiho, * correspodete curv e f um fução complex defiid em *, defie-se o itegrl de f sore o cmiho por Se [ ] ( ( t )) ( dt f = f ( ) d = f = f ( ( dt + i f ( ( qudo os itegris ds fuções reis o ldo direito d fórmul existem 8 Com ( X (, Y ( ) = ( e (u,v) = f, otém-se f ( ) d = [ u( X (, Y ( ) + i v( X (, Y( )] [ X ( + iy ( dt ] = [ u( X ( t Y ( ) X ( v( X (, Y( ) Y ( ] dt ), + i [ v( X (, Y ( ) X ( + u( X (, Y ( ) Y (] dt Portto, o itegrl tem prtes rel e imgiári dds por itegris de lih em R clculdos sore o cmiho α :, R, com α ( t ) = ( X (, Y ( ), [ ] (4) ) d u dx v dy + iv dx + u dy = ( u, v) dα + i Tl como pr cmihos em R, dois cmihos em C, : [, ] C e : [, ] C, diem-se equivletes se diferem pes por um reprmetrição que preserv o setido, isto é, se existe um iecção cotiumete difereciável ϕ : [ ], ] [,, com ϕ > em todos os potos, tl que = οϕ Os itegris de fuções complexs são ivrites so reprmetrições, isto é, os itegris sore cmihos equivletes são iguis ( ) Re ( ( ) ) Im ( ( ) ) dt f ( = ( v, u) dα Otêm-se fcilmete proprieddes geris destes itegris prtir ds proprieddes de itegris de fuções reis de vriável rel Cotudo, covém chmr teção pr s qutro proprieddes seguites: ) Lieridde do itegrl c + ) f ( ) d = c f f + c ( ) d c f ( d, com c,c C ) Simetri do itegrl de cmihos simétricos f ( ) d = f ( ) d, 7 Est oção de comprimeto foi doptd em 866, por Je Mrie Duhmel (797-87), sequêci de um defiição semelhte de Eo Heere Dirkse (788-85) em O leitor pode usr o itegrl de Cuchy, Riem ou Leesgue, coforme prefir Nturlmete, os cmihos que podem ser cosiderdos e s fuções itegráveis são diferetes os três csos, ms tl é, em gerl, idiferete pr os resultdos que vmos cosiderr, visto que, em gerl, s fuções itegrr são cotíus e podem-se usr cmihos regulres, secciolmete regulres ou rectificáveis, coforme oção de itegrl doptd Pr fuções limitds, ou fuções ilimitds sem mudç de sil, o couto ds fuções itegráveis é cosidervelmete mis mplo pr o itegrl de Leesgue do que pr o de Riem O couto ds fuções itegráveis tmém é mis mplo pr este itegrl do que pr o itegrl de Cuchy, pr o qul só são itegráveis s fuções cotíus

6 5 Itegris de fuções complexs 3) Aditividde do itegrl em relção à cocteção de cmihos ( ) d = f ( ) d + f f ( ) d, + 4) Morção do itegrl de fuções limitds ode f ( ) d f t dt = f L ( ), f é o supremo de f em * e L é o comprimeto do cmiho 43 Primitivs de fuções complexs Di-se que um fução F é um primitiv de um fução f um couto erto Ω C se F H (Ω) e F = f em Ω É clro que tods s fuções que se otêm somdo costtes um primitiv de um fução f tmém são primitivs de f Em regiões de C recíproc tmém é verddeir (4) Teorem: Se F é um primitiv de um fução f um região Ω C, etão o couto de tods s primitivs de f é o couto ds fuções que se otêm de F diciodo-lhe costtes Dem Já se viu que qulquer fução otid de F por dição de um costte é um primitiv de f em Ω Supõe-se gor que F e F são primitivs de f em Ω Etão fução G = F F é holomorf e stisf G = em Ω Result do teorem (3) que G é costte em Ω, pelo que difereç de dus primitivs de f em Ω é ecessrimete costte este couto QED Qudo se cohece um primitiv de um fução f um couto erto Ω C, os itegris sore cmihos este couto podem ser simplesmete clculdos pels difereçs dos vlores d primitiv os extremos dos cmihos, como o cso d regr de Brrow 9 pr fuções reis (43) Teorem: Se Ω C, f um fução cotíu em Ω com primitiv F este couto e : [,] C um cmiho secciolmete regulr em Ω Etão Se o cmiho é fechdo, etão f ( ) d = F( ( ) ) F( ( ) ) f ( ) d = Dem Se {, Κ, } um prtição do itervlo [, ] tl que restrição de cd um dos suitervlos [, ], k =,, Κ,, é regulr Como F é um primitiv de f em k k 9 Isc Brrow (63-677) Com itegris de Cuchy o resultdo é válido pr cmihos regulres e com itegris de Leesgue pr cmihos rectificáveis O mesmo cotece pr geerlidde dos resultdos seguites que evolvem itegris de fuções cotíus em cmihos secciolmete regulres

7 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos 53 Ω, verific-se F = f em Ω, e ddo que f é cotíu em Ω result que F é cotiumete difereciável em Ω D regr d derivção d fução compost e d regr de Brrow pr fuções reis otém-se d = F F ( ) ( ( ) ( dt = ) ( F ο = k= ( F ο ) = [ F( ( )) F( ( ))] = F( ( ) ) F( ( ) ) Se é fechdo verific-se () = (), pelo que, s codições idicds, fórmul precedete dá F ( ) d = QED k k k= k k Um ds cosequêcis deste teorem é o resultdo seguite (44) Corolário: Pr todo o cmiho fechdo secciolmete regulr em C \{} e k Z \{ } verific-se k d = Dem Como k = ( k+ /( k + )) e precedete pr oter o resultdo k é cotíu em C \{}, pode-se plicr o teorem QED Como, em codições reltivmete geris, s derivds de itegris idefiidos de fuções reis cotíus coicidem com fução itegrd (Teorem Fudmetl do Cálculo pr fuções reis), um idei turl pr provr existêci de primitiv de um fução um couto é costruir um cdidt primitiv por itegrção d fução dd prtir de um poto fixo e té cd poto do couto No cso de fuções complexs, com itegris sore cmihos, est costrução exige que todos os potos do couto possm ser ligdos etre si por cmihos ele cotidos (o que pr um couto erto correspode o couto ser coexo), e que os itegris sore cmihos diferetes que liguem o mesmo pr ordedo de potos sem iguis (o que é equivlete à ulção dos itegris d fução sore todos os cmihos secciolmete regulres fechdos) O resultdo seguite cocreti ests ideis (45) Teorem: Se f um fução complex cotíu um região Ω C As seguites firmções são equivletes: ) f tem um primitiv em Ω ) f ( ) d = pr todo o cmiho fechdo secciolmete regulr em Ω 3) Itegris de f sore cmihos secciolmete regulres em Ω com o mesmo pr ordedo de potos iicil e fil são iguis Dem A equivlêci etre ) e 3) é imedit N verdde, se e são cmihos secciolmete regulres em Ω com o mesmo pr ordedo de potos iicil e fil, etão cocteção + ( ) é um cmiho fechdo secciolmete regulr (Figur

8 54 Itegris de fuções complexs 46) O itegrl sore cocteção cosiderd é som dos itegris sore os cmihos e e, como o itegrl sore é o simétrico do itegrl sore, é igul à difereç etre os itegris sore os cmihos e Portto, os itegris sore e são iguis se e só se o itegrl sore o cmiho fechdo que é cocteção referid é ero Do teorem (43) se-se que existêci de primitiv de um fução cotíu um couto Ω implic ulção dos itegris sore cmihos secciolmete regulres fechdos em Ω Rest provr o recíproco Ddo que os itegris de f sore cmihos secciolmete regulres fechdos em Ω são ulos, os itegris dest fução sore cmihos secciolmete regulres em Ω com o mesmo poto iicil e o mesmo poto fil são iguis Tom-se um poto ritrário Ω e defie-se fução F( ) = f (ς ) dς, pr Ω, ode α é um cmiho secciolmete regulr em Ω que lig Como Ω é um couto erto coexo, existem cmihos com s proprieddes idicds pr todo Ω, pelo que fução F fic defiid em Ω Como Ω é erto, pr cd Ω existe r > tl que o círculo erto B r ( ) Ω Com fixo, como os círculos são coutos covexos, otém-se pr qulquer B r ( ) que β : [, ] C, com β ( = ( + t, é um cmiho regulr em Br ( ) Ω que percorre o segmeto de rect de pr A cocteção de cmihos α + β + ( α ) é um cmiho secciolmete regulr fechdo em Ω (Figur 47), pelo que o itegrl de f sore este cmiho é ulo e, em cosequêci, difereç dos itegris de f sore α e α é igul o itegrl de f sore β Assim, o vlor de F() F( ) é o itegrl de f sore o segmeto de rect de pr e otém-se F( ) F( [ f ( ) f ( )] A cotiuidde de f grte, etão, que qulquer que se ε > existe δ > tl que f ( ) f ( ) < ε desde que < δ Portto, F( ) F( ) α ) f ( f ( ) ) = pelo que f = F e F H (Ω), o que mostr que F é um primitiv de f em Ω QED β ς dς ε = ε, pr < δ, Ω α α α β Figur 46 Figur 47

9 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos 55 Cosidermos gor questão d existêci de primitivs de fuções holomorfs Viu-se o resultdo terior que um idei turl pr provr existêci de primitiv de um fução um couto é costruir um cdidt primitiv por itegrção d fução prtir de um poto fixo e té cd poto do couto, o que exige que todos os potos do couto possm ser ligdos etre si por cmihos secciolmete regulres esse couto e que os itegris sore cmihos secciolmete regulres fechdos sem ulos N verdde, pr oter um cdidt primitiv st que s dus proprieddes meciods se verifiquem pr um clsse prticulr de cmihos pr os quis os cálculos sem simples Os cmihos mis simples que ligm pres de potos correspodem segmetos de rect, pelo que é mis fácil trtr s questões levtds em coutos covexos e com cmihos que percorrem segmetos de rect Em coutos covexos fic utomticmete grtid primeir propriedde meciod de qulquer pr de potos poder ser ligdo por segmetos de rect Cotudo, é id ecessário ssegurr vlidde d segud propriedde que, este cso, é iguldde dos itegris sore cmihos poligois resulttes d cocteção de segmetos de rect que liguem o mesmo pr ordedo de potos Est últim propriedde é equivlete à ulção dos itegris sore s froteirs de triâgulos fechdos cotidos o couto cosiderdo O resultdo seguite, que é um peque vrição de um resultdo de E Gourst pulicdo em 9, estelece est propriedde pr fuções holomorfs um couto erto covexo, excepto possivelmete um dos seus potos (46) Teorem: Se Ω C um couto erto, Ω um triâgulo fechdo, p Ω, f cotíu em Ω e f H ( Ω \{ p}) Etão f ( ) d =, ode desig froteir de e o itegrl é sore um cmiho secciolmete regulr simples que percorre Dem Desigm-se por,, c os vértices ordedos de Supõe-se primeiro que p Desig-se por ', ', c' os potos meio dos ldos c, c,, respectivmete Cosiderm-se os qutro triâgulos, =,,3, 4, com vértices ordedos (, c', '), (, ', c '), ( c, ', ' ), ( ', ', c' ) (Figur 48) Verific-se def 4 = f ( ) d = = J f ( ) d O vlor soluto de pelo meos um dos itegris direit é mior ou igul J/4 Se um dos qutro triâgulos com est propriedde Repetido o rgumeto com o lugr de, e ssim sucessivmete, otém-se um sucessão de triâgulos tl que Κ, existe um úico poto =, o comprimeto de é L, ode L é o comprimeto de, e verific-se J 4 f ( ) d, pr N Ver-se-á mis trde que ests fuções são ecessrimete holomorfs em todo o couto Ω, ms demostrção s presetes codições é usd prov d Fórmul de Cuchy que se preset este cpítulo

10 56 Itegris de fuções complexs Como f é holomorf em, qulquer que se ε > existe r > tl que f ) f ( ) f ( )( ) ε, pr B ) ( r ( Pr suficietemete grde tem-se B r ) e < L, pr todo Como ( [ ( ) f ( ) f ( ] d = f d f d f d+ f )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f d, com o corolário (44) otém-se f ) d = [ f ( ) f ( ) f ( )( )]d Portto, pr ( N suficietemete grde verific-se ( L ) J 4 f ( ) d 4 ε = ε L Como ε > é ritrário, segue-se que J = se p, como se pretedi provr Supõe-se gor que p é um vértice de, sem perd de geerlidde p = Oserve-se que o itegrl sore é som dos itegris sore s froteirs dos triâgulos de vértices ordedos (, x, y), ( x,, y), (, c, y), ode x e y são, respectivmete, potos dos ldos e c do triâgulo (Figur 49) Os itegris sore s froteirs dos dois últimos triâgulos são ulos em resultdo d plicção do cso á demostrdo, em que p ão pertece o triâgulo sore o qul se cosider itegrção Portto, o itegrl sore é igul o itegrl sore o triâgulo de vértices (, x, y) Como o perímetro deste triâgulo pode ser tomdo ritrrimete pequeo à cust de tomr os potos x e y suficietemete próximos do poto, e fução f é cotíu este poto, logo limitd um su viihç, tmém se otém pr este cso f ( ) d = Filmete, se p é um poto ritrário o triâgulo, pode-se plicr o resultdo precedete os triâgulos de vértices ordedos (,, p), (, c, p), ( c,, p) (Figur 4), pelo que tmém este cso se otém f ( ) d = QED p c x p c c y p= Figur 48 Figur 49 Figur 4 O resultdo seguite estelece existêci de primitivs (locis) de fuções cotíus em coutos covexos ode são holomorfs excepto possivelmete um poto c (47) Teorem: Se Ω C é um couto erto covexo e p Ω, etão tod fução f cotíu em Ω com f H ( Ω \{ p}) tem primitiv em Ω

11 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos 57 Dem Se Ω um poto ritrário Como Ω é covexo, pr cd Ω o segmeto de rect está cotido em Ω O cmiho α : [,] C, α ( = ( t ) + t, percorre este segmeto de rect Defie-se F( ) = f (ς ) dς, pr Ω α Pr cd Ω, o triâgulo fechdo de vértices,, está cotido em Ω Do teorem terior, result que F( ) F( ) é o itegrl de f sore o segmeto de rect de pr (Figur 4) Agor procede-se exctmete como prte fil d demostrção do teorem (45) pr oter f = F em Ω QED α Ω β α Figur 4: Ilustrção pr costrução de primitivs de fuções holomorfs em coutos covexos 44 Teorem de Cuchy locl Os resultdos teriores permitem estelecer seguite versão locl do Teorem de Cuchy em coutos covexos Este resultdo é utilido o cpítulo 6 pr provr que s fuções holomorfs são sempre idefiidmete difereciáveis e represetáveis por séries de potêcis Como cosequêci destes resultdos é estelecid o cpítulo 7 um versão glol do Teorem de Cuchy (48) Teorem de Cuchy locl em coutos covexos: Se Ω C um couto erto covexo, um cmiho fechdo secciolmete regulr em Ω, p Ω, cotíu em Ω e f H ( Ω \{ p}) Etão f ( ) d = Dem O teorem terior grte que itegrl result do teorem (43) f tem um primitiv F em Ω A ulção do QED f Como se referiu itrodução este cpítulo, o Teorem de Cuchy começou por ser otido por este mtemático em rectâgulos, com hipótese excessivmete forte d fução itegrd ser C, situção em que o resultdo é cosequêci direct do Teorem de Gree pr fuções reis defiids em coutos de R N verdde, mesmo cosiderdo um domíio regulr com ctos D R ritrário, e ão pes rectâgulos, o Teorem de Gree estelece ( P, Q) dα = ( Q / x P / y) dx dy, D pr um cmpo vectoril (P,Q) C o fecho de D, ode α = (X,Y ) é um cmiho

12 58 Itegris de fuções complexs secciolmete regulr fechdo simples que descreve froteir Se-se d fórmul (4) que, pr um fução f H (D), com ( u, v) = f e = X + iy, é f ( ) d =, pelo que, supodo diciolmete que é C ( u, v) dα + i ( v, u) dα f em D, plicção d fórmul terior do Teorem de Gree os dois itegris o ldo direito e s equções de Cuchy-Riem pr f dão v u u v f () d = dx dy + = dx + dx dy = y D D dx dy dy D x y D x Est situção eglo coutos que ão são covexos, ms o fcto de exigir que f é C é excessivmete forte, pelo que se prefere geerlir pr um resultdo glol formulção locl em coutos covexos terior, como é feito o cpítulo 7 De qulquer modo, este resultdo estelecido com se o Teorem de Gree tem vtgem de torr directmete visível ligção etre ulção dos itegris sore cmihos fechdos e s equções de Cuchy-Riem e, portto, evideci que ulção dos itegris sore cmihos fechdos é um expressão itegrl ds restrições imposts pel difereciilidde de fuções complexs Do poto de vist histórico, é de ssilr que tods s versões do Teorem de Cuchy cosiderds desde primeir propost em 8 té 9 cosidervm hipótese diciol de f ser C Só em 9, com cotriuição de Gourst, é que est hipótese pôde ser dispesd Com se o Teorem de Cuchy locl em coutos covexos é possível estelecer Fórmul de Cuchy, qul dá os vlores de um fução holomorf um couto de potos for de um curv fechd secciolmete regulr em termos de itegris que evolvem pes os vlores d fução sore ess curv Como os vlores destes itegris depedem do setido e do úmero de volts em que o cmiho percorre curv, é ecessário torr precis e qutificr est depedêci Pr isso, itrodu-se secção seguite o ídice ou úmero de rotção de um cmiho fechdo secciolmete regulr em relção um poto for d curv que ele descreve 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos O resultdo seguite permite defiir o ídice ou úmero de rotção de um cmiho fechdo secciolmete regulr em relção um poto for d curv * que represet Este ídice, que se desig por Id () é um úmero iteiro que dá iformção sore o setido e o úmero de volts que o cmiho dá curv * em toro do poto Um domíio regulr com ctos D R é um couto erto que é o iterior do seu fecho cu froteir é um curv secciolmete regulr fechd O Teorem d Curv de Jord ssegur que tod curv de Jord sepr o plo em dois coutos coexos ertos, um ilimitdo e outro limitdo, e podese mostrr que este couto limitdo é um domíio regulr cu froteir é curv de Jord cosiderd A existêci de pelo meos dus compoetes coexs o complemetr de um curv de Jord secciolmete regulr em que um e só um dels é ilimitd é um cosequêci dos resultdos d secção seguite, ms prte mis difícil é que só há um compoete coex limitd Emor o Teorem d Curv de Jord ão se explicitmete usdo os vários cpítulos deste texto, dá-se um demostrção deste importte resultdo o pêdice III

13 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos 59 É útil eteder geometricmete como se pode clculr um úmero com o oectivo idicdo por itegrção de um fução proprid sore o cmiho É clro que defiido rgumetos de potos o logo do cmiho em relção um sistem de eixos coordedos cetrdo o poto, com os rgumetos vrirem cotiumete o logo do cmiho, difereç etre o vlor dos rgumetos o fil e o iício de um cmiho fechdo é um múltiplo iteiro de π, π com Z, em que é difereç etre o úmero de volts que o cmiho percorre em toro de o setido positivo e o setido egtivo (Figur 4) Assim, pr oter π por itegrção sore o cmiho covém usr um fução itegrd cuo itegrl dê vrição totl do rgumeto Recorddo que prte imgiári do logritmo complexo de um úmero é um rgumeto do úmero, otém-se um rgumeto w * reltivmete como prte imgiári de um l( w ) Se-se que ehum logritmo pode ser defiido como fução cotíu em todo o plo complexo, ms é possível defiir cotiumete t α l( ( ) à cust de cosiderr pssgem etre rmos propridos do logritmo de form ssegurr cotiuidde Como d(l( w ))/ dw=/( w ), é turl cosiderr como fução itegrd sore o cmiho fução w α /( w ) A rgumetção terior idic que prte imgiári do itegrl dá π como se pretedi Por outro ldo, prte rel dá difereç etre o logritmo do módulo dos potos iicil e fil do cmiho e, como estes coicidem, est difereç é ero Cocluiu-se que covém defiir Id ( ) = (/( π i)) /( w ) dw Figur 4: Ilustrção geométric d idei de ídice ou úmero de rotção de um cmiho em relção um poto C \ * (49) Teorem: Se um cmiho fechdo secciolmete regulr em C e Ω = C \ * Etão dw Id ( ) = π i, w defie um fução de Ω em Z que é costte em cd compoete coex de Ω e é ul compoete coex ilimitd de Ω

14 6 Itegris de fuções complexs Dem Se : [,] C e fixe-se Ω Etão ( Id ( ) = dt π i ( ς Como, pr ς C, se verific ς /( π i) Z se e só se e =, codição Id () Z é equivlete ϕ () =, ode ϕ : [,] C é defiid por = t ( s) ϕ ( exp ds ( s) Note-se que ϕ ( = ϕ( ( /( ( ), excepto possivelmete um couto fiito de potos S [,] ode ão é regulr Pr t [, ] \ S verific-se ϕ( ϕ ( ϕ( ( = ( ) ( ) ( ( ) ) =, t t t pelo que fução t α ϕ( /( ( ) é cotíu em [,] e tem derivd ul em [, ] \ S Em cosequêci, est fução é costte em cd suitervlo de [, ] \ S e su cotiuidde o úmero fiito de potos de S implic que é costte em todo o itervlo [, ] Como ϕ ( ) =, verific-se ϕ ( = ( ( ) /( ( ) ) Como é fechdo, é () = () e, portto, ϕ ( ) =, o que prov que Id : Ω Z A fução Id : Ω Z é cotíu N verdde, w Id () Id ( w) = dς = dς π i ς ς w π ( ς )( ς w) w L mx{ / ( ς )( ς w) : ς * }, π ode L desig o comprimeto do cmiho, pelo que Id () Id ( w) qudo w A imgem de um couto coexo por um fução cotíu é um couto coexo Como Id (Ω) Z, coclui-se que fução Id tem de ser costte em cd compoete coex de Ω Filmete, pr suficietemete grde, tem-se ( ) Id ( ) = < t dt π i ( Portto, Id ( ) = pr pertecete à compoete coex ilimitd de Ω QED O sil de Id () e o seu vlor soluto dão, respectivmete, o setido e o úmero de volts que o cmiho dá curv * em toro de como se ilustr o resultdo seguite pr o cso prticulr em que * é um circuferêci (4) Proposição: Se o cmiho regulr que dá volts com setido positivo circuferêci de rio r > e cetro o poto C defiido por : [, π ] C com iθ ( θ ) = + r e Etão, se Br ( ) Id ( ) =, se Br ( )

15 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos 6 Dem Result do teorem terior que st clculr Id iθ dw π r i e π ( ) = = dθ = dθ = QED iθ π i w π i r e π É útil oservr que os ídices de dois cmihos fechdos secciolmete regulres que podem ser cotiumete deformdos de um pr o outro um couto Ω C são ecessrimete iguis em potos de C \ Ω Tl como em R, o coceito proprido pr trduir oção de deformção cotíu de cmihos um couto Ω C é homotopi Di-se que dois cmihos, : [,] Ω fechdos (respectivmete, ão fechdos ms com o mesmo pr ordedo de potos iicil e fil, ( ) = ( ) = A e ( ) = ( ) = B) são homotópicos em Ω se existe um fução cotíu, que se chm homotopi etre e, H : [, ] [, ] Ω tl que H ( t, ) = (, H ( t, ) = ( pr todo t [, ], e H (, s) = H (, s) (respectivmete, H (, s) = A, H (, s) = B ) pr todo s [, ] (ver Figur 4) É fácil verificr que homotopi é um relção de equivlêci 3, pelo que estelece o couto de todos os cmihos secciolmete regulres fechdos em Ω, ou ão fechdos ms com o mesmo pr ordedo de potos iicil e fil em Ω, clsses de equivlêci, chmds clsses de homotopi Ω σ σ Figur 43: Cmihos homotópicos um couto Ω C O resultdo seguite mostr que o ídice em relção um poto o complemetr de Ω é ivrite em cd um desss clsses de homotopi de cmihos fechdos, e que, pr dois cmihos ão fechdos homotópicos em Ω, o ídice do cmiho fechdo que é cocteção de um dos cmihos com o simétrico do outro, em relção potos o complemetr de Ω, é ulo (4) Proposição: Se Ω C, C \ Ω e, cmihos secciolmete regulres em Ω ) Se, são cmihos fechdos homotópicos em Ω, etão Id ( ) = Id ( ) ) Se, são cmihos ão fechdos (com o mesmo pr ordedo de potos iicil e fil) homotópicos, etão o cmiho = + ( ) é fechdo e Id ( ) = 3 Tl como é usul, cosider-se um relção de equivlêci um couto um relção iári esse couto com s três proprieddes: reflexividde, simetri e trsitividde

16 6 Itegris de fuções complexs [ ] Ω Dem Se, :, Se-se que os itegris de fuções complexs ( u, v) = f sore cmihos têm prtes rel e imgiári dds por itegris de lih em R, form f ( w) dw = ( u, v) dα + i ( v, u) dα, ode α desig os cmihos em R correspodetes os cmihos em C, com =, Verific-se Id () = f ( w) dw, com f ( w) = / ( π i ( w )) Est fução é holomorf em C \ { }, pelo que se verificm s equções de Cuchy-Riem em Ω, u / x = v / y e v / x = u / y É fácil ver que ests derivds prciis são cotíus em Ω As equções de Cuchy-Riem teriores grtem que os cmpos vectoriis em R (u, v), ( v, u) são fechdos o couto Ω Os cmihos em R α,α são cmihos secciolmete regulres homotópicos em Ω D ivriâci de itegris de lih de cmpos vectoriis fechdos sore cmihos secciolmete regulres homotópicos (qudo ão fechdos têm ecessrimete o mesmo pr ordedo de potos iicil e fil) um couto ode os cmpos são cotiumete difereciáveis, que pode ser estelecid como cosequêci do Teorem de Gree 4 em R, otém-se ( u, v) dα = ( u, v) dα e, u) dα = ( v, u) v d, pelo que f ( w) dw= f ( w) dw ( ) ( ) ( α Se, são cmihos fechdos últim iguldde é Id = Id Se ão são fechdos, o cmiho = ( ) + é fechdo e mesm iguldde dá Id () = QED 46 Fórmul de Cuchy locl em coutos covexos A Fórmul de Cuchy dá os vlores que um fução holomorf um couto ssume em potos for de um curv fechd secciolmete regulr esse couto, em termos de itegris que evolvem pes os vlores d fução sore curv A demostrção dest fórmul sei-se o Teorem de Cuchy, pelo que se estelece gor pr coutos covexos, situção em que ficou estelecid cim vlidde deste teorem No cpítulo 7, utmete com o Teorem de Cuchy Glol, estelecese Fórmul de Cuchy em codições geris (4) Teorem (Fórmul de Cuchy locl em coutos covexos): Se Ω C um couto erto covexo, um cmiho fechdo secciolmete regulr em Ω, Ω \ * e f H (Ω) Etão f () Id f w dw i ( ) ( ) = π w 4 Pr detlhes pode ser cosultdo, por exemplo, o livro do utor com título Itegris em Vrieddes e Aplicções, referido iliogrfi fil

17 45 Ídice de um cmiho fechdo e homotopi de cmihos 63 Dem Fix-se Ω \ * e defie-se fução f ( w) f ( ), se w Ω \ {} g ( w) = w f ( ), se w = Etão g stisf s hipóteses do Teorem de Cuchy em coutos covexos (48), pelo que g(w) dw =, ou se, f ( w) f ( ) = dw dw, π i w π i w de ode π i f ( w) dw = w f ( ) Id () QED A Fórmul de Cuchy é um outr expressão itegrl ds fortes restrições imposts pel difereciilidde de fuções complexs, ddo que, s codições do teorem terior, se otêm os vlores de f em todos os potos de um couto ode é holomorf for de um cmiho fechdo secciolmete regulr e Id ( ) pes em fução dos vlores de f curv * e dos vlores de Id Em prticulr, os vlores de um fução complex f um curv * (um couto de medid ul o plo) um couto covexo Ω ode é holomorf determim os vlores de f em tods s compoetes coexs de Ω \ * ode Id Um cosequêci útil do teorem terior é que o vlor de um fução o cetro de um círculo fechdo ode é holomorf é igul à médi dos seus vlores froteir do círculo (43) Propriedde de Vlor Médio de Fuções Holomorfs: Se f é um fução holomorf um círculo fechdo B r () C, etão o seu vlor f () o cetro do círculo é igul à médi dos vlores circuferêci que o delimit, isto é π iθ f () = f ( + re ) dθ π Dem Como f é holomorf o círculo fechdo B r (), é holomorf um couto erto que o cotém, pelo que existe ε > tl que o círculo erto Ω = B r+ ε () está cotido o couto erto referido Se o cmiho regulr simples que percorre circuferêci iθ que delimit B r () tl que : [,π ] C com (θ ) = + re Verificm-se s codições d hipótese do teorem terior, pelo que Fórmul de Cuchy dá iθ f ( w) π f ( + re ) π iθ iθ f () Id ( ) = dw = i r e dθ = f ( + re ) dθ, θ π i w π i i re π D Proposição (4) otém-se Id ( ) =, o que termi demostrção QED

18 64 Itegris de fuções complexs Mis um ve, verific-se d propriedde de vlor médio que os vlores de fuções holomorfs stisfem fortes restrições de iterligção Veremos o cpítulo 9 que s fuções complexs cotíus que stisfem propriedde de vlor médio em todos os círculos fechdos cotidos um couto erto Ω C são ecessrimete holomorfs, pelo que est propriedde pr fuções complexs cotíus crcteri s fuções holomorfs Exercícios 4 Com ( x, y) = C, clcule x d, ode é um cmiho regulr simples que percorre: ) o segmeto de rect orietdo de + i, ) circuferêci de rio r > e cetro origem o setido positivo (clcule de dus forms: directmete e oservdo que x = ( + ) / = ( + r / ) / circuferêci) 4 Com ( x, y) = C, clcule x d, ode circuferêci de rio r > e cetro origem o setido positivo 43 Clcule d /( ), ode é um cmiho regulr simples que percorre circuferêci de cetro origem e rio r [, + [\ { } 44 Clcule um primitiv d fução complex f ( x + iy) = x( y) + i ( x + y y ), com x, y R 45 Mostre que f ( ) f ( ) d é um imgiário puro, pr todo o cmiho fechdo secciolmete regulr e tod fução f C um região que cotém * 46 Mostre que f ( ) / f ( ) d =, pr todo o cmiho fechdo secciolmete regulr um região ode fução f é C e stisf f < 47 Descrev codições em que se verific l d = 48 Clcule os itegris seguites, ode r é um cmiho regulr simples que percorre circuferêci de rio r > e cetro origem: ) e / d, ) /( + ) d, c) e /, d) si 3 d / d, e) si / d

Integrais Duplos. Definição de integral duplo

Integrais Duplos. Definição de integral duplo Itegris uplos Recorde-se defiição de itegrl de Riem em : Um fução f :,, limitd em,, é itegrável à Riem em, se eiste e é fiito lim m j 0 j1 ft j j j1. ode P 0,, um qulquer prtição de, e t 1,,t um sequêci

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. INTEGRAIS DEFINIDAS

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. INTEGRAIS DEFINIDAS FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO II INTEGRAIS DEFINIDAS. NOTAÇÃO DE SOMAÇÃO

Leia mais

... Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva.

... Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN 7.- Notção Sigm pr Soms A defiição forml d itegrl defiid evolve som de muitos termos, pr isso itroduzimos o coceito de somtório ( ). Eemplos: ( + ) + + + +

Leia mais

Considere uma função contínua arbitrária f(x) definida em um intervalo fechado [a, b].

Considere uma função contínua arbitrária f(x) definida em um intervalo fechado [a, b]. Mtemátic II 9. Prof.: Luiz Gozg Dmsceo E-mils: dmsceo@yhoo.com.r dmsceo@uol.com.r dmsceo@hotmil.com http://www.dmsceo.ifo www.dmsceo.ifo dmsceo.ifo Itegris defiids Cosidere um fução cotíu ritrári f() defiid

Leia mais

Exemplo: As funções seno e cosseno são funções de período 2π.

Exemplo: As funções seno e cosseno são funções de período 2π. 4. Séries de Fourier 38 As séries de Fourier têm váris plicções, como por eemplo resolução de prolems de vlor de cotoro. 4.. Fuções periódics Defiição: Um fução f() é periódic se eistir um costte T> tl

Leia mais

CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição.

CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição. CÁLCULO I Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho Aul o : A Itegrl de Riem Objetivos d Aul Deir itegrl de Riem; Exibir o cálculo de lgums itegris utilizdo deição

Leia mais

CAPÍTULO VIII APROXIMAÇÃO POLINOMIAL DE FUNÇÕES

CAPÍTULO VIII APROXIMAÇÃO POLINOMIAL DE FUNÇÕES CAPÍTULO VIII APROXIMAÇÃO POLINOMIAL DE FUNÇÕES 1. Poliómios de Tylor Sej (x) um ução rel de vriável rel com domíio o cojuto A R e cosidere- -se um poto iterior do domíio. Supoh-se que ução dmite derivds

Leia mais

As funções exponencial e logarítmica

As funções exponencial e logarítmica As fuções epoecil e logrítmic. Potêcis em Sej um úmero rel positivo, isto é, * +. Pr todo, potêci, de bse e epoete é defiid como o produto de ftores iguis o úmero rel :...... vezes Pr, estbelece-se 0,

Leia mais

DESIGUALDADES Onofre Campos

DESIGUALDADES Onofre Campos OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL II SEMANA OLÍMPICA Slvdor, 9 6 de jeiro de 00 DESIGUALDADES Oofre Cmpos oofrecmpos@olcomr Vmos estudr lgums desigulddes clássics, como s desigulddes etre s médis

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL

BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL Itrodução Biômio de Newto: O iômio de Newto desevolvido elo célere Isc Newto serve r o cálculo de um úmero iomil do tio ( ) Se for, fic simles é es decorr que ()²

Leia mais

M M N. Logo: MN = DC = DP + PC DC = AB + AB DC = 2 AB S ABCD = (AB + DC). = (AB + 2 AB). = 3 AB S M N CD = Assim temos que: M'N'CD h

M M N. Logo: MN = DC = DP + PC DC = AB + AB DC = 2 AB S ABCD = (AB + DC). = (AB + 2 AB). = 3 AB S M N CD = Assim temos que: M'N'CD h QUESTÃO Sejm i, r + si e + (r s) + (r + s)i ( > ) termos de um seqüêci. etermie, em fução de, os vlores de r e s que torm est seqüêci um progressão ritmétic, sbedo que r e s são úmeros reis e i. Sbemos

Leia mais

Métodos Numéricos Integração Numérica Regra dos Trapézio. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina

Métodos Numéricos Integração Numérica Regra dos Trapézio. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina Métodos Numéricos Itegrção Numéric Regr dos Trpézio Professor Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei Itegrção Defiid Itegrção Numéric Itegrção Numéric Itegrção Defiid Há dus situções em que é impossível

Leia mais

f(x + 2P ) = f ( (x + P ) + P ) = f(x + P ) = f(x)

f(x + 2P ) = f ( (x + P ) + P ) = f(x + P ) = f(x) Seção 17: Séries de Fourier Fuções Periódics Defiição Dizemos que um fução f : R R é periódic de período P, ou id, mis resumidmete, P periódic se f(x + P ) = f(x) pr todo x Note que só defiimos fução periódic

Leia mais

Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.

Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais. Trsformd A TFTD de um sequêci é: Pr covergir série deve ser solutmete somável. Ifelimete muitos siis ão podem ser trtdos: A trsformd é um geerlição d TFTD que permite o trtmeto desses siis: Ζ Defiição:

Leia mais

VA L O R M É D I O D E U M A F U N Ç Ã O. Prof. Benito Frazão Pires

VA L O R M É D I O D E U M A F U N Ç Ã O. Prof. Benito Frazão Pires 3 VA L O R M É D I O D E U M A F U N Ç Ã O Prof. Beito Frzão Pires 3. médi ritmétic A médi ritmétic (ou simplesmete médi) de vlores y, y 2,..., y é defiid como sedo o úmero y = y + y 2 + + y. () A médi

Leia mais

Somas de Riemann e Integração Numérica. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga

Somas de Riemann e Integração Numérica. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga Soms de Riem e Itegrção Numéric Cálculo 2 Prof. Alie Plig Itrodução Problems de tgete e de velocidde Problems de áre e distâci Derivd Itegrl Defiid 1.1 Áres e distâcis 1.2 Itegrl Defiid 1.1 Áres e distâcis

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão.4

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão.4 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 5º Teste º Ao de escolridde Versão4 Nome: Nº Turm: Professor: José Tioco /4/8 Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods

Leia mais

TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Integração Numérica Regra dos Trapézio

TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Integração Numérica Regra dos Trapézio TP6-Métodos Numéricos pr Egehri de Produção Itegrção Numéric Regr dos Trpézio Prof. Volmir Wilhelm Curiti, 5 Itegrção Defiid Itegrção Numéric Prof. Volmir - UFPR - TP6 Itegrção Numéric Itegrção Defiid

Leia mais

Á R E A, S O M A D E R I E M A N N E A I N T E G R A L D E F I N I D A

Á R E A, S O M A D E R I E M A N N E A I N T E G R A L D E F I N I D A Á R E A, S O M A D E R I E M A N N E A I N T E G R A L D E F I N I D A Prof. Beito Frzão Pires - hors. áre A oção de áre de um polígoo ou região poligol) é um coceito bem cohecido. Começmos defiido áre

Leia mais

SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA

SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA ( ( x( Coeficiete costte. ( ( x ( Coeficiete vriável (depedete do tempo. Aplicmos x( pr e cosidermos codição iicil ( ( ( M ( ( ( ( x( x( ( x(

Leia mais

SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA

SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA Coeficiete costte. SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES Sistems descritos por equções difereç com coeficiete

Leia mais

0.2 Exercícios Objetivo. (c) (V)[ ](F)[ ] A segunda derivada de f é (4) x 0 2

0.2 Exercícios Objetivo. (c) (V)[ ](F)[ ] A segunda derivada de f é (4) x 0 2 A segud derivd de f é f() = { < 0 0 0 (4) Cálculo I List úmero 07 Logritmo e epoecil trcisio.prcio@gmil.com T. Prcio-Pereir Dep. de Computção lu@: Uiv. Estdul Vle do Acrú 3 de outubro de 00 pági d discipli

Leia mais

1. (6,0 val.) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. (considere a mudança de variável u = tan 2

1. (6,0 val.) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. (considere a mudança de variável u = tan 2 Istituto Superior Técico Deprtmeto de Mtemátic Secção de Álgebr e Aálise o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBiom e MEFT o Sem. 00/ 5/J/0 - v. Durção: h30m RESOLUÇÃO. 6,0 vl. Determie um

Leia mais

Este capítulo tem por objetivo apresentar métodos para resolver numericamente uma integral.

Este capítulo tem por objetivo apresentar métodos para resolver numericamente uma integral. Nots de ul de Métodos Numéricos. c Deprtmeto de Computção/ICEB/UFOP. Itegrção Numéric Mrcoe Jmilso Freits Souz, Deprtmeto de Computção, Istituto de Ciêcis Exts e Biológics, Uiversidde Federl de Ouro Preto,

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 2

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 2 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 4º Teste º Ao de escolridde Versão Nome: Nº Turm: Professor: José Tioco 09/0/08 Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods

Leia mais

SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE 2 A ORDEM NA FORMA INFINITA

SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE 2 A ORDEM NA FORMA INFINITA SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE A ORDEM NA FORMA INFINITA Coforme foi visto é muito simples se obter solução gerl de um EDO lier de ordem coeficietes costtes y by cy em termos ds fuções lgébrics e trscedetes

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 1

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 4º Teste º Ao de escolridde Versão Nome: Nº Turm: Professor: José Tioco 09/0/08 Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão.1

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão.1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 5º Teste º Ao de escolridde Versão Nome: Nº Turm: Proessor: José Tioco 3/4/8 Apresete o seu rciocíio de orm clr, idicdo todos os cálculos que tiver de eetur e tods s

Leia mais

Novo Espaço Matemática A, 12.º ano Proposta de teste de avaliação [março 2019]

Novo Espaço Matemática A, 12.º ano Proposta de teste de avaliação [março 2019] Propost de teste de vlição [mrço 09] Nome: Ao / Turm: N.º: Dt: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscr quilo que pretedes que ão sej clssificdo. A prov iclui um formulário. As cotções dos ites

Leia mais

1 Integral Indefinida

1 Integral Indefinida Itegrl Idefiid. Método d Sustituição (ou Mudç de Vriável) pr Itegrção As fórmuls de primitivção ão mostrm omo lulr s itegris Idefiids do tipo 5x + 7 Ms lgums vezes, é possível determir itegrl de um dd

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Uiversidde Slvdor UNIFACS Cursos de Egehri Métodos Mtemáticos Aplicdos / Cálculo Avçdo / Cálculo IV Prof: Ilk Rebouçs Freire Série de Fourier Texto : Itrodução. Algus Pré-requisitos No curso de Cálculo

Leia mais

AULAS 7 A 9 MÉDIAS LOGARITMO. Para n números reais positivos dados a 1, a 2,..., a n, temos as seguintes definições:

AULAS 7 A 9 MÉDIAS LOGARITMO.  Para n números reais positivos dados a 1, a 2,..., a n, temos as seguintes definições: 009 www.cursoglo.com.br Treimeto pr Olimpíds de Mtemátic N Í V E L AULAS 7 A 9 MÉDIAS Coceitos Relciodos Pr úmeros reis positivos ddos,,...,, temos s seguites defiições: Médi Aritmétic é eésim prte d som

Leia mais

Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Métodos Quantitativos Aplicados I Professora: Marina Sequeiros

Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Métodos Quantitativos Aplicados I Professora: Marina Sequeiros Uiversidde Federl Flumiese ICE Volt Redod Métodos Qutittivos Aplicdos I Professor: Mri Sequeiros. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomil P, vriável, é tod epressão do tipo: P)=... 0, ode IN,

Leia mais

Matrizes e Sistemas de equações lineares. D.I.C. Mendes 1

Matrizes e Sistemas de equações lineares. D.I.C. Mendes 1 Mtrizes e Sistems de equções lieres D.I.C. Medes s mtrizes são um ferrmet básic formulção de problems de mtemátic e de outrs áres. Podem ser usds: resolução de sistems de equções lieres; resolução de sistems

Leia mais

(fg) (x + T ) = f (x + T ) g (x + T ) = f (x) g (x) = (fg) (x). = lim. f (t) dt independe de a. f(s)ds. f(s)ds =

(fg) (x + T ) = f (x + T ) g (x + T ) = f (x) g (x) = (fg) (x). = lim. f (t) dt independe de a. f(s)ds. f(s)ds = LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/TMA Os eercícios seguir form seleciodos dos livros dos utores G Folld (F, Djiro Figueiredo (D e E

Leia mais

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof Jorge Cvlcti jorgecvlcti@uivsfedubr MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - wwwdscufcgedubr/~cum/ Sistems

Leia mais

Quando o polinômio divisor é da forma x + a, devemos substituir no polinômio P(x), x por a, visto que: x + a = x ( a).

Quando o polinômio divisor é da forma x + a, devemos substituir no polinômio P(x), x por a, visto que: x + a = x ( a). POLINÔMIOS II. TEOREMA DE D ALEMBERT O resto d divisão de um poliômio P(x) por x é igul P(). m m Sej, com efeito, P x x x..., um poliômio de x, ordedo segudo s potecis m m decrescetes de x. Desigemos o

Leia mais

Artur Miguel Cruz. Escola Superior de Tecnologia Instituto Politécnico de Setúbal 2015/2016 1

Artur Miguel Cruz. Escola Superior de Tecnologia Instituto Politécnico de Setúbal 2015/2016 1 Itegrção Numéric Aálise Numéric Artur Miguel Cruz Escol Superior de Tecologi Istituto Politécico de Setúbl 015/016 1 1 versão 13 de Juho de 017 1 Itrodução Clculr itegris é muito mis difícil do que clculr

Leia mais

7 Solução aproximada Exemplo de solução aproximada. k critérios que o avaliador leva em consideração.

7 Solução aproximada Exemplo de solução aproximada. k critérios que o avaliador leva em consideração. 7 olução proximd Neste cpítulo é feit elborção de um ov formulção simplificd prtir de um estudo de Lel (008), demostrd por dus forms á cohecids de proximção do cálculo do vetor w de prioriddes retirds

Leia mais

3 Integral Indefinida

3 Integral Indefinida 3 Itegrl Idefiid 3. Método d Sustituição (ou Mudç de Vriável) pr Itegrção As fórmuls de primitivção ão mostrm omo lulr s itegris Idefiids do tipo 5x + 7 Ms lgums vezes, é possível determir itegrl de um

Leia mais

Olimpíada Brasileira de Matemática X semana olímpica 21 a 28 de janeiro de Eduardo Poço. Integrais discretas Níveis III e U

Olimpíada Brasileira de Matemática X semana olímpica 21 a 28 de janeiro de Eduardo Poço. Integrais discretas Níveis III e U Olipíd Brsileir de Mteátic X se olípic 8 de jeiro de 007 Edurdo Poço Itegris discrets Níveis III e U Itegrl discret: dizeos que F é itegrl discret de F F f f se e soete se:, pr iteiro pricípio D es for,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 1

Cálculo Diferencial e Integral 1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierecil e Itegrl Limites Proessor: Luiz Ferdo Nues, Dr. 8/Sem_ Cálculo ii Ídice Limites.... Noção ituitiv de ite.... Deiição orml de ite.... Proprieddes dos ites.... Limites lteris...

Leia mais

FICHA DE TRABALHO N.º 3 MATEMÁTICA A - 10.º ANO RADICAIS E POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL

FICHA DE TRABALHO N.º 3 MATEMÁTICA A - 10.º ANO RADICAIS E POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL Rdicis e Potêcis de Expoete Rciol Site: http://recursos-pr-mtemtic.webode.pt/ FIH E TRLHO N.º MTEMÁTI - 0.º NO RIIS E POTÊNIS E EXPOENTE RIONL ohece Mtemátic e domirás o Mudo. Glileu Glilei GRUPO I ITENS

Leia mais

Módulo 01. Matrizes. [Poole 134 a 178]

Módulo 01. Matrizes. [Poole 134 a 178] ódulo Note em, leitur destes potmetos ão dispes de modo lgum leitur tet d iliogrfi pricipl d cdeir hm-se à teção pr importâci do trlho pessol relizr pelo luo resolvedo os prolems presetdos iliogrfi, sem

Leia mais

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n

Leia mais

Lista 5. Funções de Uma Variável. Antiderivadas e Integral. e 4x dx. 1 + x 2 dx. 3 x dx

Lista 5. Funções de Uma Variável. Antiderivadas e Integral. e 4x dx. 1 + x 2 dx. 3 x dx List 5 Fuções de Um Vriável Atiderivds e Itegrl O gráfico d fução f é presetdo bio. Idetifique o gráfico d tiderivd de f. i j k l m o p q e cos + e 5 + cos cos + se 7 + sec se Clcule s seguites tiderivds:

Leia mais

Capítulo 5.1: Revisão de Série de Potência

Capítulo 5.1: Revisão de Série de Potência Cpítulo 5.: Revisão de Série de Potêci Ecotrr solução gerl de um equção diferecil lier depede de determir um cojuto fudmetl ds soluções d equção homogêe. Já cohecemos um procedimeto pr costruir soluções

Leia mais

CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES. 1. Convergência ponto a ponto e convergência uniforme

CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES. 1. Convergência ponto a ponto e convergência uniforme CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES Covergêci oto oto e covergêci uiforme Cosiderem-se s fuções f 3 tods de A R em R Pr cd A f é um sucessão de termos reis e oderá ou ão eistir lim f Sedo B A um

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear NOTS E U Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres Professor: ui Ferdo Nues, r Geometri lític e Álger ier ii Ídice Sistems de Equções ieres efiições Geris Iterpretção Geométric de Sistems de

Leia mais

; determine a matriz inversa A -1

; determine a matriz inversa A -1 - REVISÃO MATEMÁTICA Neste cpítulo recordrão-se lgus coceitos de Álger Lier e Aálise Mtemátic que serão ecessários pr o estudo d teori do Método Simple - Mtrizes Iversíveis Defiição Um mtriz A de ordem

Leia mais

3. Admitindo SOLUÇÃO: dy para x 1 é: dx. dy 3t. t na expressão da derivada, resulta: Questão (10 pontos): Seja f uma função derivável e seja g x f x

3. Admitindo SOLUÇÃO: dy para x 1 é: dx. dy 3t. t na expressão da derivada, resulta: Questão (10 pontos): Seja f uma função derivável e seja g x f x UIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ CALCULO e PROVA DE TRASFERÊCIA ITERA, EXTERA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 9/6/ CADIDATO: CURSO PRETEDIDO: OBSERVAÇÕES: Prov sem cosult. A prov pode ser feit

Leia mais

5- Método de Elementos Finitos Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.

5- Método de Elementos Finitos Aplicado às Equações Diferenciais Parciais. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 5- Método de Elemetos Fiitos Aplicdo às Equções Difereciis Prciis. 5.1- Breve Itrodução Históric. 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem

Leia mais

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS - ITA. Equações Exponenciais

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS - ITA. Equações Exponenciais FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS - ITA Equções Epoeciis... Fução Epoecil..4 Logritmos: Proprieddes 6 Fução Logrítmic. Equções Logrítmics...5 Iequções Epoeciis e Logrítmics.8 Equções Epoeciis 0. (ITA/74)

Leia mais

Função potencial de velocidade. - Equipotenciais são rectas verticais Função de corrente

Função potencial de velocidade. - Equipotenciais são rectas verticais Função de corrente Aerodiâmic Potecil Complexo Exemplos de plicção W z com R W x + i y Fução potecil de velocidde φ ( x, y) x, φ costte x costte - Equipoteciis são rects verticis Fução de correte ψ ( x, y) y, ψ costte y

Leia mais

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO. As fórmulas de primitivação não mostram como calcular as integrais Indefinidas do tipo

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO. As fórmulas de primitivação não mostram como calcular as integrais Indefinidas do tipo MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO As fórmuls de primitivção ão mostrm omo lulr s itegris Idefiids do tipo 5x + 7 ou os(4x) Ms lgums vezes, é possível determir itegrl de um dd

Leia mais

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEORICAS 1. Sistema de equações Lineares

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEORICAS 1. Sistema de equações Lineares LGUMS CONSIDERÇÕES TEORICS. Siste de equções Lieres De fo gerl, podeos dier que u siste de equções lieres ou siste lier é u cojuto coposto por dus ou is equções lieres. U siste lier pode ser represetdo

Leia mais

séries de termos positivos e a n b n, n (div.) (conv.)

séries de termos positivos e a n b n, n (div.) (conv.) Teorem.9 Sej e b i) (div.) ii) b º Critério de Comprção séries de termos positivos e b, N b (div.) (cov.) (cov.) Estude turez d série = sbedo que,! Ν! Teorem.0 º Critério de Comprção Sejm 0, b > 0 e lim

Leia mais

SISTEMAS LINEARES. Sendo x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas:

SISTEMAS LINEARES. Sendo x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas: SISTEMAS LINEARES Do grego system ( Sy sigific juto e st, permecer, sistem, em mtemátic,é o cojuto de equções que devem ser resolvids juts,ou sej, os resultdos devem stisfzêlos simultemete. Já há muito

Leia mais

APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL

APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 9 APLICAÇÕES DO CÁLCULO INEGRAL Gil d Cost Mrques Fudmetos de Mtemátic I 9. Cálculo de áres 9. Áre d região compreedid etre dus curvs 9. rlho e Eergi potecil 9.4 Vlores médios de grdezs 9.5 Soms 9.6 Propgção

Leia mais

Unidade 2 Progressão Geométrica

Unidade 2 Progressão Geométrica Uidde Progressão Geométric Seuêci e defiição de PG Fórmul do termo gerl Fução expoecil e PG Juros compostos e PG Iterpolção geométric Som dos termos de um PG Seuêci e defiição de PG Imgie ue você tem dus

Leia mais

Uma figura plana bem conhecida e que não possui lados é o círculo. Como determinar o perímetro de um círculo?

Uma figura plana bem conhecida e que não possui lados é o círculo. Como determinar o perímetro de um círculo? erímetro A defiição de erímetro de um figur l muits vezes ode ser ecotrd do seguite modo: é som ds medids dos ldos d figur. Ms será que ess defiição é bo? or exemlo, um figur como que segue bixo ossui

Leia mais

6.1: Séries de potências e a sua convergência

6.1: Séries de potências e a sua convergência 6 SÉRIES DE FUNÇÕES 6: Séries de potêcis e su covergêci Deiição : Um série de potêcis de orm é um série d ( ) ( ) ( ) ( ) () Um série de potêcis de é sempre covergete pr De cto, qudo, otemos série uméric,

Leia mais

EXERCÍCIOS: d) 1.1 = e) = f) = g) 45.45= Potenciação de um número é o produto de fatores iguais a esse número; h)

EXERCÍCIOS: d) 1.1 = e) = f) = g) 45.45= Potenciação de um número é o produto de fatores iguais a esse número; h) d). = e).. = f).. = Potecição de um úmero é o produto de ftores iguis esse úmero; ) =. = 9 ) =.. = (OBS.: os úmeros:. são ditos ftores, ou ses) g).= h) 8.8.8= i) 89.89.89 = EXERCÍCIOS: 0. Sedo =, respod:

Leia mais

3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES . Itrodução SISTEAS DE EQUAÇÕES INEARES A solução de sistems lieres é um ferrmet mtemátic muito importte egehri. Normlmete os prolems ão-lieres são soluciodos por ferrmets lieres. As fotes mis comus de

Leia mais

o quociente C representa a quantidade de A por unidade de B. Exemplo Se um objecto custar 2, então 10 objectos custam 20. Neste caso temos 20 :10 2.

o quociente C representa a quantidade de A por unidade de B. Exemplo Se um objecto custar 2, então 10 objectos custam 20. Neste caso temos 20 :10 2. Mtemátic I - Gestão ESTG/IPB Resolução. (i).0 : r 0.000.0 00.0 00 0 0.0 00 0 00.000 00 000.008 90 0.000.000 00 000 008 90.00 00 00 00 9 Dividedo = Divisor x Quociete + Resto.0 = x.008 + 0.000. Num divisão

Leia mais

Somatórios e Recorrências

Somatórios e Recorrências Somtórios e Recorrêcis Uiversidde Federl do Amzos Deprtmeto de Eletrôic e Computção Exemplo: MxMi () Problem: Ddo um vetor de iteiros A, ecotrr o mior e o meor elemetos de A O úmero de comprções etre elemetos

Leia mais

1- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES

1- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES - SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES.- Métodos etos pr solução de sistems lieres Métodos pr solução de sistems de equções lieres são divididos priciplmete em dois grupos: ) Métodos Etos:

Leia mais

FUNÇÃO EXPONENCIAL. P potência. Se na potência a n a e n Q, temos: 1- Um número, não-nulo elevado a 0 (zero) é igual a 1 (um).

FUNÇÃO EXPONENCIAL. P potência. Se na potência a n a e n Q, temos: 1- Um número, não-nulo elevado a 0 (zero) é igual a 1 (um). FUNÇÃO EXPONENCIAL - Iicilmete, pr estudr fução epoecil e, coseqüetemete, s equções epoeciis, devemos rever os coceitos sore Potecição. - POTENCIAÇÃO Oserve o produto io.... = 6 Este produto pode ser revido

Leia mais

MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS MÉTODO ITRATIVO PARA ROLUÇÃO D ITMA ) NORMA D UMA MATRIZ: ej A=[ ij ] um mtriz de ordem m: Norm lih: A má i m j ij Norm colu: A má jm i ij emplos: I) A 0 A A má má ; 0 má{4 ; } 4 0 ; má{; 5} 5 Os.: por

Leia mais

QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA.

QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA. 006 PROVA CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS MATEMÁTICA QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA UEM Comissão Cetrl do Vestibulr Uificdo GABARITO

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ao Versão Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods s justificções ecessáris. Qudo, pr um resultdo, ão é pedid um proimção,

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA. a c ad bc. b d bd EXERCÍCIOS DE AULA. 01) Calcule o valor de x em: FRAÇÕES

MATEMÁTICA BÁSICA. a c ad bc. b d bd EXERCÍCIOS DE AULA. 01) Calcule o valor de x em: FRAÇÕES MATEMÁTICA BÁSICA FRAÇÕES EXERCÍCIOS DE AULA ) Clcule o vlor de x em: A som e sutrção de frções são efetuds prtir d oteção do míimo múltiplo comum dos deomidores. É difícil respoder de imedito o resultdo

Leia mais

QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA.

QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA. 006 PROVA CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS MATEMÁTICA QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA UEM Comissão Cetrl do Vestibulr Uificdo GABARITO

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

AS INTEGRAÇÕES DAS FUNÇÕES ESCADA 1

AS INTEGRAÇÕES DAS FUNÇÕES ESCADA 1 Disciplirum Scieti Série: Ciêcis Exts, S Mri, v2, 1, p107-132, 2001 107 AS INTEGRAÇÕES DAS FUNÇÕES ESCADA 1 STEP INTEGRATION FUNCTIONS Michele dos Stos Zeilm 2 Adilção Beust 3 RESUMO No presete trlho,

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

UNIDADE 12 FUNÇÕES POLINOMIAIS

UNIDADE 12 FUNÇÕES POLINOMIAIS REVISÃO DA TEORIA MA UNIDADE 2 FUNÇÕES POLINOMIAIS Fuções Polioiis vs Poliôios Diz-se que p: IRIR é u fução polioil qudo eiste úeros 0,,..., tis que, pr todo R, te-se p() = + +... + + 0 Se 0, dizeos que

Leia mais

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES SISTEM DE EQUÇÕES LINERES Defiição Ddos os úmeros reis b com equção b ode são vriáveis ou icógits é deomid equção lier s vriáveis Os úmeros reis são deomidos coeficietes ds vriáveis respectivmete e b é

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER Prof. Me. Ayrton Barboni

SÉRIES DE FOURIER Prof. Me. Ayrton Barboni SUMÁRIO SÉRIES DE FOURIER Prof. Me. Arto Brboi. INTRODUÇÃO.... SÉRIES DE FOURIER..... Fuções Periódics..... Fuções secciolmete difereciáveis..... Fuções de rcos múltiplos..... Coeficietes de Fourier...

Leia mais

Aula 9 Limite de Funções

Aula 9 Limite de Funções Alise Mtemátic I Aul 9 Limite de Fuções Ao cdémico 017 Tem 1. Cálculo Dierecil Noção ituitiv e deiição de ite. Eemplos de ites. Limites lteris. Proprieddes. Bibliogri Básic Autor Título Editoril Dt Stewrt,

Leia mais

PARTE 1: INTEGRAIS IMEDIATAS. Propriedades da integral indefinida: Ex)Encontre as seguintes integrais:

PARTE 1: INTEGRAIS IMEDIATAS. Propriedades da integral indefinida: Ex)Encontre as seguintes integrais: Deprtmeto de Mtemátic, Físic, Químic e Egehri de Alimetos Projeto Clcule! Prof s : Rosimr Fchi Pelá Vd Domigos Vieir Cdero Itegris e Aplicções PARTE : INTEGRAIS IMEDIATAS Defiimos: f ( ) d F( ) k k IR

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cmpus Uiversitário - Viços, MG 657- Telefoe: () 899-9 E-mil: dm@ufv.br 6ª LISTA DE MAT 4 /II SÉRIES NUMÉRICAS.

Leia mais

,,,,,,,,, A Integral Definida como Limite de uma Soma. A Integral Definida como Limite de uma Soma

,,,,,,,,, A Integral Definida como Limite de uma Soma. A Integral Definida como Limite de uma Soma UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Exemplo : Utilize

Leia mais

POTENCIAÇÃO. pcdamatematica. a 1. 5 f) ( 5) 5 h) ( 3) a. b (5,2).(10,3) (9,9) 26 a. a a. Definição. Ex: a) Seja a, n e n 2. Definimos: n vezes

POTENCIAÇÃO. pcdamatematica. a 1. 5 f) ( 5) 5 h) ( 3) a. b (5,2).(10,3) (9,9) 26 a. a a. Definição. Ex: a) Seja a, n e n 2. Definimos: n vezes Sej, e. Defiimos: E0: Clcule: d) e) Defiição.... vezes 0 f) ( ) g) h) 0 6 ( ) i) ( ) j) E0: Dos úmeros bio, o que está mis próimo de (,).(0,) é: (9,9) 0,6 6, 6, d) 6 e) 60 E0: O vlor de 0, (0,6) é: 0,06

Leia mais

QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA.

QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA. 006 PROVA CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS MATEMÁTICA QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA UEM Comissão Cetrl do Vestibulr Uificdo Trigoometri

Leia mais

A Integral Definida. e discutimos detalhadamente as suas propriedades básicas. 7 CEDERJ

A Integral Definida. e discutimos detalhadamente as suas propriedades básicas. 7 CEDERJ Módulo A Itegrl Defiid O pricipl objetivo deste módulo é o estudo d itegrl defiid de fuções reis defiids em itervlos fechdos e itdos, com êfse o cso em que s fuções cosiderds são cotíus. O resultdo cetrl

Leia mais

SISTEMAS LINEARES. Cristianeguedes.pro.br/cefet

SISTEMAS LINEARES. Cristianeguedes.pro.br/cefet SISTEMAS LINEARES Cristieguedes.pro.r/cefet Itrodução Notção B A X Mtricil Form. : m m m m m m m A es Mtri dos Coeficiet : X Mtri dsvriáveis : m B Termos Idepede tes : Número de soluções Ddo um sistem

Leia mais

Capítulo IV INTEGRAIS MÚLTIPLOS

Capítulo IV INTEGRAIS MÚLTIPLOS Cpítulo IV INTEAIS MÚLTIPLOS Cpítulo IV A oção de um itegrl defiido pode ser etedid fuções de dus ou mis vriáveis. Lembremos que o itegrl é fução ivers d derivd isto é o itegrl de um fução é um outr fução

Leia mais

Vamos supor um quadrado com este, divididos em 9 quadradinhos iguais.

Vamos supor um quadrado com este, divididos em 9 quadradinhos iguais. Rdicição O que é, fil, riz qudrd de um úmero? Vmos supor um qudrdo com este, divididos em 9 qudrdihos iguis. Pegdo cd qudrdiho como uidde de áre, podemos dizer que áre do qudrdo é 9 qudrdihos, ou sej,

Leia mais

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas UNIERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de olumes por

Leia mais

Progressões Geométricas. Progressões. Aritméticas. A razão é... somada multiplicada. Condição para 3 termos Termo geral. b) 20 c) 40 3.

Progressões Geométricas. Progressões. Aritméticas. A razão é... somada multiplicada. Condição para 3 termos Termo geral. b) 20 c) 40 3. Aritmétics Geométrics A rzão é... somd multiplicd Codição pr termos Termo gerl om dos termos p r p p p q q q q 0) (UNIFEP) e os primeiros qutro termos de um progressão ritmétic são, b, 5, d, o quociete

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear Geometri Alític e Álgebr Lier 8. Sistems Lieres Muitos problems ds ciêcis turis e sociis, como tmbém ds egehris e ds ciêcis físics, trtm de equções que relciom dois cojutos de vriáveis. Um equção do tipo,

Leia mais

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS EXPONENCIAIS REVISÃO DE POTÊNCIAS Represetos por, potêci de bse rel e epoete iteiro. Defiios potêci os csos bio: 0) Gráfico d fução f( ) 0 Crescete I ]0, [.....,, ftores 0, se 0 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

Leia mais

Cálculo Numérico Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II

Cálculo Numérico Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof: Reildo Hs Métodos Itertivos Motivção I Ocorrêci em lrg escl de sistems lieres em cálculos de Egehri e modelgem cietífic Eemplos: Simulções

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. TESTE Nº 4 Grupo I

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. TESTE Nº 4 Grupo I ESOLA SEUNDÁRIA OM º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A TESTE Nº Grupo I As seis questões deste grupo são de escolh múltipl. Pr cd um dels são idicds qutro ltertivs, ds quis só um está correct.

Leia mais

21.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas

21.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas Cpítulo Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids. Itrodução Os dois coceitos pricipis do cálculo são desevolvidos prtir de idéis geométrics reltivs curvs. A derivd provém d costrução ds tgetes

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

Métodos Numéricos Interpolação Métodos de Newton. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina

Métodos Numéricos Interpolação Métodos de Newton. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina Métodos Numéricos Métodos de Newto Professor Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei Poliomil Revisão No eemplo só se cohece fução pr 5 vlores de - ós de iterpolção Desej-se cohecer o vlor d fução em

Leia mais

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 =

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 = MÓDULO IV. Defiição POTENCIACÃO Qudo um úmero é multiplicdo por ele mesmo, dizemos que ele está elevdo o qudrdo, e escrevemos:. Se um úmero é multiplicdo por ele mesmo váris vezes, temos um potêci:.. (

Leia mais