REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

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1 REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Estudo dos Siis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ord d Cálculo Priiro são rsolvids s oprçõs qu stivr dtro d: PARÊNTESES ( ) COLCHETES [ ] CHAVES { } Ats d sr ftuds diçõs sutrçõs, são rsolvids: DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES Adição c Prcls So Propridds Couttiv 8 Associtiv ( ) c ( c) ( ) ( ) Elto Nutro () Sutrção ( ) c Prcls So Sutrção é Adição d prcls gtivs O rsultdo t o sil d ior prcl: Multiplicção é Adição d prcls iguis: vzso ftor Multiplicção c Ftors Produtos Propridds Couttiv Associtiv ( ) c ( c) ( ) () Elto Nutro () Distriutiv ( c) c ( ) 6 ( c) c ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Divisão c Nurdor Doidor Quocit Rsto Lr-s: Não ist divisão por zro!

2 FRAÇÕES Dfiição : Divid u ojto Prts iguis Dfiição : Divisão d dois úros itiros Frção Dcil: Doidor co Potêcis d ( ) ; ; ; 8 Lr-s: O sil dv ficr frt do trço d frção Adição Sutrção d Frçõs Mso Doidor c ± c ±..c. Doidors Difrts Mor úro qu é últiplo c 7 7 ± d d todos os doidors Multiplicção d Frçõs c d c d ( ) ( ) 9 9 Divisão d Frçõs Mté Priir Frção Ivrt Sgud o c d o c d d c NÚMEROS DECIMAIS Adição Sutrção Vírgul so vírgul Multiplicção Oté-s o produto so-s s css dciis d cd ftor Evit trlhr co úros dciis! S o úro for rciol, é lhor scrvê-lo for d frção! Divisão Nurdor doidor dv tr o so úro d css dciis

3 POTÊNCIA Epot Itiro Bs pot Itiro Pr itiro > Lr-s! Bs gtiv pot pr rsultdo () ( ) ( ) ( ) Bs gtiv pot ípr rsultdo (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Propridds Ms Bs Cosrv s so ou sutri os pots, ( ), ( ) 6 6 Mso Epot Cosrv oprção ds ss ( ou ) té o pot ( ) ( ), 7 ) ( 9 ( ) Prc difrç! 6 8 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Pr itiro 9 9 ) ( Epot Rciol O pot é u Frção Irrdutívl co

4 RADICIAÇÃO Riz -ési d é o úro tl qu, pr > (,, ) (,, ) 6 (,, ) 6 6 Estudo ds Rízs Ídic d Riz Pr Ípr Dus Rízs Ris Siétrics U Riz Rl Positiv Positivo 9 9 Positivo Pr 7 7 Positivo Ípr Rdicdo 9 ( ) 9 ± ( ) 9 Não ist Riz Rl ( ) 7 7 ( ) 7 7 U Riz Rl Ngtiv Ngtivo 9 9 Ngtivo Pr 7 7 Ngtivo Ípr 9 R ( ) 9 9 ( ) ( ) 7 7 ( ) 7 Propridds ( ) 6 6 Pr ( ) p p p p Lr-s: É lhor trsforr Rdicis Potêcis ts d ftur s oprçõs!

5 Trsforr u frção qu possui o doidor riz, ão possívl d siplificção, outr quivlt, liido riz do doidor Rciolizção d doidors Rgr Grl: S frção for co <, ultiplic-s o urdor o doidor por Eplos: Dic! Trsforr Rdicis Potêcis jud visulizr lhor s oprçõs! O so rsultdo é otido trsfordo riz do doidor potêci liido frção dst Pod sr plicdo doidors co difrts rdicis Eplos: ) )

6 PRODUTOS NOTÁVEIS Pr quisqur vlors d t-s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y y y Não Esquç! ( ) ( ) ( ) ( ) Fiqu Atto! ( ) ( ) ( ) ( ) O produto otávl ( ) ( ) é utilizdo pr rciolizr frçõs qu coth o doidor oprçõs d dição ou sutrção co rdicis d ídic dois. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Iportt! 6

7 REGRA DE TRÊS Oprção od s clcul proporçõs volvdo dus ou is grdzs Proporção é iguldd tr dus frçõs s grdzs pod sr dirt ou ivrst proporciois Rgr d três pod sr sipls ou copost Proporção c d stá pr ssi coo c stá pr d Rlção d Proporção Pr Dus Grdzs Vriávis Dirt Qudo utdo ou diiuido u dls dus, três ou vzs, o vlor d outr té ut ou diiui pr dus, três ou vzs, rspctivt. Grrfs d Rfrigrt (uidd) Qutidd (litros) Quijo (kg) Prço (R$) 8, /, Ivrs Qudo utdo ou diiuido u dls dus, três ou vzs, o vlor d outr diiui ou ut pr dus, três ou vzs, rspctivt. Pdriros (º) Ecução do uro (dis) Máqui (º) Produção d vls (hors) 6 Procditos Ecotrr s grdzs Motr o rciocíio Coprr s grdzs Rgr d Três Sipls Evolv ps dus grdzs. Rsolv prols qu volv qutro vlors pr s dus grdzs, od três dsss vlors são cohcidos. O qurto vlor é dtrido prtir dos três já cohcidos Eplo: U Pcot d rção lit 6 cchorros durt dis. Qutos pcots d rção srão cssários pr litá-los por u príodo d 7 dis? Rção (pcots) Príodo (dis) pcots d rção Rgr d Três Copost Evolv is d dus grdzs. Dv-s vlir rlção d proporção d cd grdz sprdt. Eplo: U or é costruíd dis por oprários trlhdo 6 hors por di. Qutos oprários srão cssários pr costruir s or dis trlhdo 8 hors por di? Oprários (º) Príodo d trlho (hors) Durção d Or (dis) Oprários 8 7

8 PORCENTAGEM Porctg ou prctg é u rzão ctsil rprstd plo síolo (%) idic divisão d u úro por c. Eplo: U crro populr vli 99 8 il ris. E 6, u crro siilr cust o quivlt il ris. Qul o uto d prço prctul o o do príodo? O rsultdo pod sr otido trvés d u rgr d três sipls: Ao Vlor do Crro (R$) Vlor corrspodt (%) ,% O uto prctul d prço o príodo foi d 6,7% 8 8 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA Sist Itrciol d Mdids (SI) Cojuto d uidds utilizd pr dir coprr tods s spécis d grdzs, possiilitdo id oprção co sus últiplos suúltiplos. Uidds Fudtis do SI No Síolo Coprito tro [ ] Mss quir [ kg] Tpo sgudos [ s] Itsidd d Corrt Elétric pèr [ A] Tprtur Trodiâic Klvi [ K] Itsidd Luios cdl [ cd] Algus Prfios do SI Ftor Prfio Síolo dci d cti c ili 6 icro μ 9 o kilo k 6 g M Eplos d covrsão d uidds Covrsão d μ,, c, d k μ c d k 6 6 Covrsão μ c d k Vlor. 7 μ..c d,k Outrs Grdzs Mss Tpo Vlocidd Ár Volu Vlor origil kg h 6 k / h Covrtr pr [ g] [ s] [ / s] Covrsão g 6 s 6 6 s Vlor covrtidovv. g.8 s 6,67 / s c [ ] ( ), 7 [ ] 7 ( ), 8

9 REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO Triâgulo Rtâgulo é todo triâgulo qu t u âgulo rto Cttos Hipotus São os ldos qu for o âgulo rto É o ldo oposto o âgulo rto A so dos âgulos itros u triâgulo vl 8 grus o 9 α β 8 o Tor d Pitágors E u triâgulo Rtâgulo, so dos qudrdos ds dids dos cttos é igul o qudrdo d did d hipotus c Eplo: Dtri o Vlor d o triâgulo rtâgulo io: 6 c c ( ) ( 6) ( ) Rlçõs Trigooétrics E U Triâgulo Rtâgulo Ctto Oposto s (âgulo) Hipotus CO H Ctto Adjct cos (âgulo) Hipotus CA H Ctto Oposto tg (âgulo) Ctto Adjct CO CA Dics! Ctto oposto Ctto djct Ldo oposto o âgulo ( ldo frt o âgulo ) Ldo juto o âgulo qu ão é hipotus ( ldo ligdo o âgulo ) Eplo:Dtri os vlors dos cttos pr o triâgulo rtâgulo Cálculo do ctto CO s ( o ) ou o CA cos( 6 ) H H Cálculo do ctto c CO c s (6 o ) ou o CA c cos( ) H H 9

10 VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS Estudo dos Siis Máios Míios ds Fuçõs so cosso Fução So Cosso Tgt o Vlors Notávis o 8 π π o π 6 6 o π

11 VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (º) Rts prlls (/ /) fz o so âgulo (º) co s rts horizotis trcjds, ssi, tgt do triâgulo suprior é igul à rzão tr - y!

12 VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (º) Âgulo d º idic digol d u qudrdo, portto dv sr igul y!

13 VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (6º) Rts prlls (/ /) fz o so âgulo (6º) co s rts horizotis trcjds, fordo u triâgulo quilátro, o, é igul /!

14 ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Triâgulo Equilátro Três Ldos Três Âgulos Iguis Triâgulo Isóscls Dois Ldos Cogruts (Dois Ldos Dois Âgulos Iguis) Trpézio Isóscls Dois Ldos Cogruts (Dois Ldos Iguis) Trpézio Rtâgulo Dois Âgulos Rtos

15 REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES Cojutos Nuéricos Cojutos dos Núros Nturis: Surgir d cssidd d cotr ojtos IN {,,,,... } Cojutos dos Núros Itiros: Iclui úros itiros gtivos Z {..., -, -, -,,,,,... } Cojutos dos Núros Rciois: Todo úro qu pod sr scrito for d frção Q {..., -,..., -/,..., -,..., -/,..., -/9,...,... /...,,..., 7/,... } Cojutos dos Irrciois: É dízi ão priódic I {..., COS º,..., π,... } COS º, π,96... Cojutos dos Ris: Uião dos úros Rciois Irrciois R Q I Rt oritd qu rprst os Ris Rt Rl U poto qulqur rc Orig outro poto. À dirit d orig stão os úros positivos à squrd, os gtivos. Cd poto dst rt ch-s sciss do poto: Itrvlos Idic Iclusão Idic Eclusão Fchdo:Iclui todos os úros ris do itrvlo, icluido os tros { R / 7} Arto:Iclui todos os úros ris do itrvlo, cluido os tros { R / 6 < < } Si-Artos:Iclui todos os úros ris do itrvlo, cluido u dos tros { R / < 9} Dfiição: Ddos dois cojutos A B, ão vzios, u rlção d A B é fução s cd lto d A possui sot u úico corrspodt y. Est rlção dv tdr dus codiçõs: Fução Todo lto d A dv tr corrspodt y B Cd lto d A dv tr u úico corrspodt y B Não fução Fução Não Fução

16 Sist Crtsio Ortogol O sist crtsio pod sr utilizdo pr rprstr os prs orddos d u rlção. Est sist divid o plo qutro qudrts: O poto d itrsção dos ios é orig do sist O poto (, y) são úros ris rprst s ordds do poto Od é sciss y ordd dss poto Gráfico d U Rlção Crscito Dcrscito d U Fução ut y ut: fução é crsct [, ] [7, ] ut y diiui: fução é dcrsct [, 7] Riz ou Zro d Fução São os potos od o gráfico cort o io. São chdos rízs ou zro d fução, st últio plo fto d sus ordds sr uls São rízs ou zros d fução, Sil d U Fução S o gráfico stivr ci do io : fução é positiv ], [ S o gráfico stivr io do io : fução é gtiv ], [ 6

17 Clssificção d U Fução O cojuto A é chdo d doíio d f: D {,,} Cd lto do doíio é rprstdo pl ltr é vriávl idpdt d fução O cojuto B é chdo d cotrdoíio d f: B {,,,,} Cd lto do cotrdoíio é rprstdo pl ltr y ou f(), qu é vriávl dpdt d fução O sucojuto d B qu possui os ltos d y qu stão ssocidos co é chdo d cojuto ig d fução idicdo por I: I {,,} A fução f possui doíio A co igs B, ou sj, f:a B (lê-s f d A B) prssão d corrspodêci do pl é: y f() Fução Pr Fução Ípr U fução f: A B é Pr s, pr cd A, t-s f () f ( ) Eplo: f () f ( ) ( ) f () f ( ) Fução Pr U fução f: A B é Ípr s, pr cd A, t-s f ( ) f () Eplo: f () f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f () Fução Ípr 7

18 REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU Fução d Priiro Gru Dfiição: U Fução cuj prssão é d for co, ch-s fução d priiro gru. y f () od são úros ris, Eplos: f () f () Gráfico d U Fução d Priiro Gru Eplo: y f () y f () Pr (, y) - - (-, -) - - (-, -) (, ) (, ) (, ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f () () f () () f () () O gráfico d fução y f () é u rt Coo o gráfico d u fução d º gru é u rt são, cssários sot dois potos pr rprstá-lo! Fução Lir Dfiição: S fução y f () é doid d fução lir su gráfico é u rt qu pss pl orig. Eplo: y f () S, fução é lir su gráfico pss pl orig! y f () Pr (, y) - (-, ) (, ) - (, -) f ( ) ( ) f () () f () () 8

19 Fução Costt Dfiição: S, fução y f () é doid d fução costt su gráfico é u rt prll o io. Eplo: y f () y f () Pr (, y) - (-, ) (, ) (, ) S, fução é costt su gráfico é prllo o io f ( ) f () f () Fução costt ão é u fução d priiro gru! T d Vrição Médi (TVM) Pr fução y f () t-s: y f () Pr (, y) - - (-, -) - - (-, -) (, ) (, ) (, ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f () () f () () f () () Qudo ut d uidd, y ut d uidds. Assi, rzão tr difrç d dois vlors quisqur é costt: ( ) ( ) Δy ( ) ( ) Δ A st rzão ch-s t d vrição édi. Sdo ltos do doíio d f () >, t-s: Δy f ( ) f ( TVM Δ ) y y Pr u fução do tipo y f () TVM é: TVM Δy Δ f ( ) f () ( ) ( ) TVM ( ) A costt é chd d coficit gulr Pr u fução d º gru, t d vrição édi (TVM) é igul! 9

20 Coficit Agulr d Rt Notr qu: Δy tg α TVM Δ A tgt do âgulo qu rt fz co o io forc t d vrição édi d fução ou Coficit Agulr d rt! Coficit Lir d Rt A costt é chd d coficit lir idic o vlor od rt cort o io y,. E igul zro ( ), o gráfico cort o io y. A costt idic o Coficit Lir d rt! Estudo do Sil d U Fução d Priiro Gru Pr lisr o sil d u fução dv-s otr riz ou zro d fução, ou sj, o vlor d sciss do poto od o gráfico cort o io, y. Assi:

21 Crscito d Dcrscito d U Fução d Priiro Gru A fução f () é crsct s utdo os vlors d, os vlors corrspodts d y ut. Assi, pr Δ Δ y iors qu zro: Δy Δ > A fução é crsct s > A fução f () é dcrsct s utdo os vlors d, os vlors corrspodts d y diiu. Assi, pr Δ ou Δ y ors qu zro: Δy Δ < A fução é dcrsct s < Eplo: ) y f () ) y f () y f () Pr (, y) - - (-, -) - (-, ) (, ) (, ) (, ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f () () f () () f () () y f () Pr (, y) - (-, ) - (-, ) (, ) (, ) - (, -) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f () () f () () f () () > f () é crsct < f () é dcrsct

22 REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU Fução d sgudo Gru Dfiição: U Fução cuj prssão é d for y f () c od, c são úros ris, co, ch-s fução d sgudo gru ou fução qudrátic. Eplos: f () f (), c f (), c, c f (), c Gráfico d U Fução d Priiro Gru Eplo: y f () 6, 6 y f () Pr (, y) - (-, ) - (-, ) - (-, ) 6 (, 6) (, ) (, ) (, ) O gráfico d fução y f () c é u práol f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) 6 6 f ( ) ( ) ( ) 6 6 f () () () f () () () 6 6 f () () () 6 6 f () () () Coo o gráfico d u fução d º gru é u práol é cssário dtrir s rízs su vértic pr rprstá-lo! Cocvidd d Práol S > Práol co cocvidd voltd pr ci S > Práol co cocvidd voltd pr io

23 Rízs ou Zros d Fução d Sgudo Gru Dfiição: Os potos od o gráfico y f () c cort o io ( y ) são chdos rízs ou zros d fução. Pr dtrir s rízs us-s fórul d Bháskr ou o étodo d so produto d rízs. Fórul d Bháskr So Produto d Rízs y f () ± Δ c Atrvés d so produto ds rízs é possívl dtrir s rízs (grlt itirs) d lgus prssõs. Δ c So Δ Δ Δ Δ S Δ Δ Eplo: y f () 6 c 6 Produto. Δ. Δ Δ c ( ) Δ () (6) Produto c P c ( c) c ± ± As rízs são y y f () f () y f () y f () Δ ( ) ±. y f () 6 () 6 () 6 Eplo: y f () 6 c 6 ( ) S c 6 P 6 Quis são os úros cuj so é igul o produto igul 6? Os úros são, pois: So Produto 6 Assi:

24 Vértic d Práol O vértic d práol é o poto d íio, s >, ou o poto d áio, s <, d fução. Pr, t-s qu y c c, isto é, práol cort o io y o poto d ordd c. Por sitri, ist outro vlor d qu rsult y c : Pr y c : c ( ) c Coo o poto od é siétrico rlção o vértic: v v Pr v y v c c c ( c) Δ y v Δ

25 Estudo do Sil d U Fução d Sgudo Gru Pr Δ > Δ Δ < Dus rízs ris distits Dus rízs ris iguis (riz dupl) Não possui riz rl (rízs igiáris) > < Crscito d Dcrscito d U Fução d Sgudo Gru A fução f () c é crsct s utdo os vlors d, os vlors corrspodts d y ut. Cso cotrário, fução é dcrsct. O poto od práol pss d dcrsct pr crsct ou vic-vrs é o vértic. Eplo: y f () 6 c 6 y f () Pr (, y) 6 (, 6) Cort o io y (, ) (, ) / -/ (/, -/) Vértic (, ) 6 (, 6) f () f () f () f ( / ) f () f () () () 6 6 () () 6 () () 6 ( / ) ( / ) 6 / () () 6 () () 6 6

26 REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Fuçõs Epociis Dfiição: U fução pocil é dfiid coo f (), od >. Eplos: f () f () f () Gráfico d U Fução Epocil Eplo : > f () y f () Pr (, y) - /8 (-, /8) - / (-, /) - / (-, /) (, ) (, ) (, ) 8 (, 8) f () f ( ) () /8 f ( ) () / f ( ) () / f () f () f () f () () () () () 8 Fução pocil crsct E, o gráfico cort o io y o poto (,) Alisdo tdêci dos vlors d y co rlção à t-s qu: y y Eplo : f () /, < < y f () Pr (, y) - 8 (-, 8) - (-, ) - (-, ) (, ) / (, /) / (, /) /8 (, /8) f () (/ ) f ( ) (/ ) 8 f ( ) (/ ) f ( ) (/ ) f () f () f () f () (/ ) (/ ) / (/ ) / (/ ) / 8 Fução pocil dcrsct E, o gráfico cort o io y o poto (,) Alisdo tdêci dos vlors d y co rlção à t-s qu: y y 6

27 Gráfico d U Fução Epocil S > Fução pocil crsct S < < Fução pocil dcrsct Pr f () Pr f () Eplo : Fç o gráfico d fução f () A s qu t o pot vl > Outros Eplos fução crsct E, o gráfico cort o io y o poto (, ) Eplo : Fç o gráfico d fução f () y f () y f () E, o gráfico cort o io y o poto (, ) y f () y f () Eplo : Fç o gráfico d fução f () Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: A s qu t o pot vl y y > fução crsct y Vrificdo o poto od fução cort o io y ( ) Pr : y y y f () y f () 6 Pr : y y Eplo : Fç o gráfico d fução f () A s qu t o pot vl > fução crsct Vrificdo o poto od fução cort o io y ( ) y f () y f () 9 7

28 Gráfico d U Fução Epocil Eplo : Fç o gráfico d fução () f E, o gráfico cort o io y o poto ), ( () f y f () y Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y y : Pr y y : Pr y ) ( ) ( Eplo : Fç o gráfico d fução () f E, o gráfico cort o io y o poto ),6 ( 6 f () y f () y Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y y : Pr y y : Pr y 8

29 Gráfico d U Fução Epocil Eplo : Fç o gráfico d fução f () E, o gráfico cort o io y o poto (, ) y f () y f () Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y ( ) Pr : y ( ) Pr : y y y Eplo : Fç o gráfico d fução f () E, o gráfico cort o io y o poto (,) y f () y f () 9 Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y Pr : y y Pr : y y y 9

30 O Núro Nprio (ou d Npir) ou Núro pocil Té chdo d úro d Eulr ou d Népr, costt tátic t grd iportâci, pois stá prst forulção d vários fôos turis (dsitgrção rdiotiv, crscito populciol, tc.). É u úro irrciol t vlor:, Associd o úro prio, fução pocil d s é u ds is iportts fuçõs d tátic: f() Equçõs Epociis Dfiição: U qução pocil possui pots coo icógit. São quçõs pociis: 8 Ats: Lrts d Potcição Rdicição, ( ), ( ), Pr rsolvr quçõs pociis utiliz-s sguit propridd: S dus potêcis tê s s, tão os pots são iguis. Assi, pr > :

31 Eplo : Rsolv qução Equçõs Epociis Rduzido os dois ros d iguldd s s t-s: S qução pocil t s s, é possívl igulr os pots: Eplo : Rsolv qução Rduzido s s: Iguldo os pots: Eplo : Rsolv qução Rduzido s s: Iguldo os pots: Eplo : Rsolv qução 7 Rduzido s s: 7 Iguldo os pots: Rsolvdo qução d º gru : c So Produto c Eplo : Rsolv qução Rduzido s s: ( ) ( ) 9 9 Iguldo os pots: ( ) ( 9) 9 8

32 Equçõs Epociis Eplo 6: Rsolv qução 9 Priirt, rduzir qução u ro cd ldo d iguldd: Colocdo vidêci : Co s s, é possívl igulr os pots: Eplo 7: Rsolv qução ( ) ( ) Fzdo u udç d vriávl do tipo sustituido qução: ( ) c Pr oduto So c Fzdo ovt troc d vriávl : Pr Pr Eplo 8: Rsolv qução ( ) Fzdo u udç d vriávl do tipo sustituido qução: ( ) c Produto So c ou ou ) ( Fzdo ovt troc d vriávl : IR Pr {} R sp Pr

33 Logritos Dfiição: O rito d u úro s, co >, >, é u úro tl qu: Od: idic o ritdo idic s idic o rito Eplo : Clcul o rito 8 O rito d 8 s é: 8 8 Eplo : Clcul o rito O rito d s é: / Eplo : Clcul o rito 6 6 O rito d 6 s 6 é: 6 6 ( 6 ) 6 ( 6 ) 6 / Eplo : Clcul o rito O rito d s é: Logritos dciis são quls cuj s é. Nos ritos dciis orlt s é oitid: Eplo : Clcul o rito O rito dcil d é: Logritos prios ou turis são quls cuj s é. Os ritos turis são rprstdos d sguit for: l

34 Pr >, > : Propridds dos Logritos Rsultts d Dfiição Eplo : Clcul o rito O rito d s é: Eplo : Clcul o rito 9 O rito d s 9 é: Eplo : Clcul 9 Fzdo 9 plicdo rito s os dois ldos d qução: Eplo : Clcul o sguit rito O rito d s é: Eplo : Clcul o sguit rito l O rito prio d é: l Propridds Oprtóris dos Logritos ( ) Pr >, >, >, p IR : p p

35 Propridds Oprtóris dos Logritos Eplo : Ddo,,77 clcul 6 O rito dcil d 6 é: 6 ( ),,77, 778 Eplo : Ddo,,77 clcul,77 Eplo : Ddo,,77 clcul 6 6 ( ),,77,6 Eplo : Ddo, p, clcul p p / ( ) p p p p Mudç d Bs Pr rsolvr oprçõs qu volv Logritos co ss difrts. Eplo : Ddo,,77, clcul,77 O rito d s é:, 8, Eplo : Clcul Siplificdo: 8 8 8

36 Fuçõs Logrítics U fução rític é dfiid coo f (), od >. A s do rito é * o doíio d fução rític é coposto plos IR. Eplos: f () f () / Gráfico d U Fução Logrític Eplo : f () > y f () Pr (, y) /8 - (/8, -) / - (/, -) / - (/, -) (, ) (, ) (, ) 8 (8, ) f () f (/ 8) (/ 8) f (/ ) (/ ) f (/ ) (/ ) f () f () f () f (8) 8 Fução rític crsct E y, o gráfico cort o io o poto (, ) Alisdo tdêci dos vlors d y co rlção à t-s qu: y y Eplo : f () / < < / y f () Pr (, y) /8 (/8, -) / (/, -) / (/, -) (, ) - (, ) - (, ) 8 - (8, ) f () / f (/ 8) (/ 8) / / f (/ ) (/ ) / / f (/ ) (/ ) / / f () / / f () / f () / / f (8) 8 / / Fução rític dcrsct E y, o gráfico cort o io o poto (, ) Alisdo tdêci dos vlors d y co rlção à t-s qu: y y 6

37 Gráfico d U Fução Logrític S > Fução rític crsct Pr f () S < < Fução rític dcrsct Pr f () Outros Eplos Eplo : Fç o gráfico d fução f () ( ) E y, o gráfico cort o io o poto (,) : y f () ( ) ( ) N fução dd, o ritdo é difrt d ( ). Pr vlir os vlors qu pod ssuir fução, utiliz-s codição d qu é positivo ( > ). Assi: > > Dst for, t-s qu pod ssuir vlors dtro do itrvlo: ], [ Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y ( ) y y Pr : y ( ) y ( ) y y y Pr : y [ ( )] ( ) y () y 7

38 Gráfico d U Fução Logrític Eplo : Fç o gráfico d fução f () Rrrjdo fução: f () f () () E y, o gráfico cort o io o poto ( /,) : y f () () () / Coo >, t-s: > >. Assi, o itrvlo d vlors qu pod ssuir é ], [. Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y () y y Pr : y () [ ( )] ( ) y y Pr : y ( ) () y () y y Eplo : Fç o gráfico d fução f () ( ) / E y, o gráfico cort o io o poto (,) y f () ( ) / ( ) / (/ ) Coo >, t-s: > >. O itrvlo d vlors qu pod ssuir é ], [. Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y / ( ) Pr : y ( ) / y ( ) / (/ ) Pr : y [( ( )] y () (/ ) / / y y y y y y y 8

39 Gráfico d U Fução Logrític Eplo : Fç o gráfico d fução f () Rrrjdo fução: f () f () f () (/ ) ( / ) Fzdo u udç d s: (/ ) ( ) ( / ) ( / ) f () ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( / ) ( / ) f () ( ) ( ) ( /) f () ( /) f () / ( /) E y, o gráfico cort o io o poto (,) y f () ( / ) / ( / ) / (/ ) / / Pr / > >. O itrvlo d vlors qu pod ssuir é ], [. Alisdo tdêci dos vlors d y rlção à t-s qu: y y y / ( / ) Pr : y ( / ) / y ( ) / (/ ) y y y Pr : y ( / ) / y () / (/ ) y y y y 9

40 REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES Cocito O cocito d ódulo pod sr ssocido à distâci d u poto rt dos ris rlção à orig: Apsr do loco A str posição - uidds o loco B, uidds, os stão à s distâci: uidds. Outros plos Sor - sutrir ( ) -ºC ºC io d zro Módulo ou Vlor Asoluto Dfiição: Módulo ou vlor soluto d u úro rl é o próprio úro s st for positivo ou ulo, su oposto, cso sj gtivo. Assi:,s,s < Lrr qu: Eplos: S, tão ou ( ) 6 ( 6 ) 6,s ( ),s < <,s ou ( ),s < < <

41 Fução Modulr Dfiição: É fução rl f () od f (),s,s < Eplos: f () f () f () f () Gráfico d U Fução Modulr Eplo : f () y f () Pr (, y) - (-, ) - (-, ) - (-, ) (, ) (, ) (, ) (, ) f () f ( ) f ( ) f ( ) f () f () f () f () Eplo : f () y f () Pr (, y) - (-, ) - (-, ) - (-, ) - (-, ) - (-, ) (, ) (, ) f () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () f ( ) Gráfico d U Fução Modulr S fução odulr for do tipo f() g() é possívl usr o sguit procdito: º - Idtificr g() fzr su gráfico º - Girr prt gtiv do gráfico d g() 8 grus toro do io

42 Eplo : f () f () g() Gráfico d U Fução Modulr do Tipo f() g() g() Gráfico d g() Gráfico d f () g() Eplo : f () 6 f () g() g() 6 Gráfico d g() 6 Gráfico d f () g() 6 Eplo : f () f () g() g() Gráfico d g() Gráfico d f () g()

43 Gráfico d U Fução Modulr Outros tipos d fuçõs odulrs sus rprstçõs gráfics: Eplo : f () f () Pr Pr < f () f () () ( ) Eplo : f () f () f () f () f () riz f () riz ssi: f (), pr, pr < <, pr

44 Equçõs Modulrs Dfiição: São quçõs qu volv fuçõs odulrs. Eplo : É cssário lisr s dus codiçõs. Tsts Rsolvdo: Pr Pr < A solução d qução S {,} Pr : Pr : ( ) Eplo : É cssário lisr s dus codiçõs scolhdo ps u ds fuçõs odulrs pr ivrtr o sil. Rsolvdo: Tsts Pr Pr < Pr : ( ) ( ) 6 6 Pr : A solução d qução S {,} 6 Eplo : É cssário grtir istêci do ódulo, pois, ssi: Rsolvdo: Pr : Tsts Pr Pr < / ( ) ão srv,pois Pr / : A solução d qução S ( / ) / / 7 / 7 / 7 / ão srv,pois

45 Equçõs Modulrs Eplo : É cssário grtir istêci do ódulo: Rsolvdo: Pr Pr < rízs rízs A solução d qução S {, } Tsts Pr : ( ) Pr : ( ) Pr : Pr : () () ( ) 6 ão srv,pois ( ) ão srv,pois srv, pois 6 srv, pois Eplo : Fzr sustituir qução odulr: qução do º gru co rízs Sustituido ovt: ão srv,pois, pois, pois A solução d qução S {,}

46 Equçõs Modulrs Eplo 6: f () f () f () f () riz riz ssi, pr solução pod sr: º Cso : º Cso : Não t solução º Cso : 6 A solução d qução S {,6} Tsts Pr : Pr 6 : Eplo 7: f () f () f () f () riz riz ssi, pr solução pod sr: º Cso : Não t solução º Cso : º Cso : Não t solução A solução d qução S {} Tst Pr : 6

47 REVISÃO: INEQUAÇÕES Fução d Priiro Gru Dfiição: U iqução s crctriz pl prsç dos sguits siis d dsiguldd: >, <, ou Eplos: Iquçõs do º Gru < ( ) < Iquçõs do º Gru > < Iquçõs Produto Quocit Produto Quocit ( )( ) < U iqução do tipo produto ou quocit é rsolvid trvés do studo dos siis ds fuçõs qu fz prt d iqução. Iicilt, são dtridos os siis d cd fução, sprdt, rt dos ris. Eftu-s o produto dsss siis ssi, dtri-s os vlors d qu stisfz iqução. 7

48 Iquçõs Produto Quocit Eplo : Rsolv iqução ( 6) ( 8) < Priirt, stud-s os siis d cd fução ( 6) ( 8) < f () f ( ) sprdt: Sil d f () Sil d f () f () 6 6 f () 8 8 N rt dos ris: Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu o produto ( 6) ( 8) sj or qu zro, são: S { IR / < ou > } Eplo : Rsolv iqução Muito cuiddo co iquçõs do tipo quocit! Nuc ccl o doidor s l prcr u icógit. S iqução prcr ou, lrr qu riz d fução o doidor ão fz prt d solução, pois ão ist divisão por zro! Estuddo os siis d f () } { f () t-s: Sil d f () Sil d f () f () f () N rt dos ris: Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu o quocit d sj ior ou igul à zro, são: S { IR / < }. O vlor foi cluído d solução, pois tor o doidor igul à zro: 8

49 Iquçõs Produto Quocit Eplo : Rsolv iqução < N iqução, o urdor é positivo. Pr qu o quocit sj gtivo é cssário qu o ( ) doidor sj gtivo ( ) <. Assi, dtri-s os vlors d qu tor o ( ) doido gtivo: Rsolvdo iqução < : < < Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu o quocit sj or qu zro, são: S { IR / < } Eplo : Rsolv iqução Sil d f () Sil d f () f () f () ( ) f () 678 { f () N rt dos ris: Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu o quocit d sj or ou igul à -, são: S { IR / < }. O vlor - foi cluído d solução, pois tor o doidor ulo. Eplo : Rsolv iqução ( ) Pr qulqur vlor rl d fução f () ( ) é positiv. Isso ocorr porqu idpdt do vlor d ( ), ss so t pot pr, fzdo co qu f () sj spr positiv ou igul zro. Assi: Os vlors d qu stisfz iqução ( ), fzdo co qu su rsultdo sj ior ou igul zro, são os ris: S {IR} 9

50 Iquçõs Produto Quocit Sists d Iquçõs Eplo 6: Rsolv iqução ( ) < Pr qu fução ( ) sj gtiv, é cssário qu vlor d ) f () ( sj gtivo, pois ss so t pot ípr. Bss gtivs d pot ípr rsult vlors gtivos. Assi: < < Os vlors d qu stisfz iqução ( ), fzdo co qu su rsultdo sj or qu zro, são: S { IR / < }. Eplo 7: Rsolv iqução < 7 Pr s rsolvr iquçõs do priiro gru do tipo siultâ (co dus dsiguldds) dv-s isolr dsiguldd: < 7 7 < 7 8 < < < Os vlors d qu stisfz iqução siultâ, fzdo co qu sustituição d 7 rsult u vlor prtct o itrvlo ], ], são: S { IR / < }. Eplo 8: Rsolv iqução < Isoldo dsiguldd: < < < Multiplicdo por ( ) : > ou < O stido d dsiguldd é ivrtido qudo iqução é ultiplicd por (-). Os vlors d qu stisfz iqução siultâ <, fzdo co qu su rsultdo prtç o itrvlo ], ], são: S { IR / < }. Eplo 9: Rsolv o sist > 7 Cd iqução é rsolvid sprdt: f () > 7 > 7 > f () 6 Os vlors d dv stisfzr s dus iquçõs do sist. Pr tl, é fit u itrscção ds soluçõs cotrds pr cd iqução. Os vlors d qu stisfz o sist d iquçõs, fzdo co qu > 7, são: S { IR / < 6}.

51 Iquçõs do Sgudo Gru Dfiição: Qulqur iqução do tipo c >, c <, c ou c, od, c são costts co, é chd d iqução do sgudo gru. Eplos: < > U iqução do º Gru é rsolvid trvés do studo do sil d fução. Eplo : Rsolv iqução < Gráfico:, c c So Produto > Práol co cocvidd pr ci A solução d f () dv sr or qu zro: Os vlors d qu stisfz iqução <, fzdo co qu su rsultdo sj or qu zro, são: S { IR / < < } Eplo : Rsolv iqução A solução d f () dv sr or ou igul à zro: Gráfico:, c c So Produto < Práol co cocvidd pr io Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu su rsultdo sj or ou igul à zro, são: S { IR / } Eplo : Rsolv iqução 6 A solução d f () 6 dv sr ior ou igul à zro: Gráfico:, So > c 6 c Produto 6 Práol co cocvidd pr ci Os vlors d qu stisfz iqução 6, fzdo co qu su rsultdo sj ior ou igul à zro, são: S { IR / ou }

52 Iquçõs do Sgudo Gru Eplo : Rsolv iqução Gráfico:, c c So Produto > Práol co cocvidd pr ci A solução d f () dv sr or ou igul à zro: Os vlor d qu stisfz iqução, fzdo co qu su rsultdo sj or ou igul à zro, é: S {} Eplo : Rsolv iqução Gráfico: Δ <, c ± c 6 ± 6. ± i ± 6 i Δ ± i i Práol co cocvidd pr io A solução d f () dv sr ior ou igul à zro: Lrr qu: i Não ist vlors d qu stisfz iqução. Isso ocorr porqu práol t cocvidd voltd pr io fução f (). Prllo isso, fução t rízs igiáris, portto, su gráfico ão cort o io rl. Sdo ssi, solução é: S { } ou S. Eplo 6: Rsolv iqução, c ± Δ Δ c 8 Gráfico: ( ) ± 8 ± 8 ± i. 6 6 ± i i i 6 > Práol co cocvidd pr ci A solução d f () dv sr ior ou igul à zro: Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu su rsultdo sj ior ou igul zro, são os ris: S {IR}

53 Iquçõs do Sgudo Gru Eplo 7: Rsolv iqução < Priirt, rsolv-s o sist: > > f () f () Solução d f () : f () Gráfico:, c c So Produto > Práol co cocvidd pr ci A solução d f () dv sr ior qu zro: Solução d f () : f () Gráfico:, c So Produto > Práol co cocvidd pr ci 7 A solução d f () dv sr ior qu zro: N rt dos ris fzdo itrscção: Os vlors d qu stisfz iqução <, fzdo co qu o rsultdo d fução f () prtç o itrvlo ], ], são: S { IR / < ou < 7} Eplo 8: Rsolv iqução ( 7)( 7 6) Estud-s os siis d cd fução ( 7) ( 7 6) Solução d f () : f () 7 Gráfico: f () f (), c 7 ± Δ Δ c ± ±. ± 6 i ± 6 i ± 6 i 6 i 6 i > Práol co cocvidd pr ci sprdt: A solução d f () 7 dv sr or ou igul à zro:

54 Iquçõs do Sgudo Gru Solução d f () : f () 7 6 Gráfico:, 7 c 6 c So 7 Produto 6 > Práol co cocvidd pr ci 6 A solução d f () 7 6 dv sr or ou igul à zro: N rt dos ris fzdo itrscção: Os vlors d qu stisfz iqução do sgudo gru, fzdo co qu o produto ( 7)( 7 6) sj or ou igul à zro, são: S { IR / 6} Eplo 9: Rsolv iqução f () 678 Estuddo os siis d cd fução Solução d f () : f () f () sprdt: A solução d f () sr ior ou igul à zro: dv Gráfico:, c c So Produto < Práol co cocvidd pr io Solução d f () : f () A solução d f () dv sr ior ou igul à zro: Gráfico:, So > c c Produto Práol co cocvidd pr ci N rt dos ris fzdo itrscção: Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu o quocit sj ior ou igul à zro, são: S { IR / < ou < }. Os vlors - for cluídos d solução, pois tor o doidor ulo.

55 Iquçõs do Sgudo Gru Eplo : Rsolv iqução > Coo o urdor é gtivo o quocit dv sr positivo, é cssário qu o doidor té ( ) sj gtivo ( ) >. Assi: ( ) Rsolvdo iqução < A solução d f () dv sr or qu zro: Gráfico:, So > c c Produto Práol co cocvidd pr ci 9 Os vlors d qu stisfz iqução, fzdo co qu o quocit > sj ior qu zro, são: S { IR / < 9}. Eplo : Rsolv o sist < < Cd iqução dv sr rsolvid sprdt: A solução d f () dv sr or qu zro: f () Gráfico:, So > c c Produto Práol co cocvidd pr ci Coo, outr for d s dtrir s rízs é: ± f () A solução d f () dv sr or qu zro: Gráfico:, So > c c Produto Práol co cocvidd pr ci Coo c, outr for d s dtrir s rízs é: ( ) Pr dtrir os vlors d qu stisfz s dus iquçõs é fit u itrscção. Os vlors d qu stisfz o sist d iquçõs, fzdo co qu < <, são: S { IR / < < }.

56 Iquçõs Epociis Dfiição: Qulqur iqução qu prst fuçõs pociis. Eplos: < > S Iqução Epocil for: Crsct Mtr o sil d dsiguldd Dcrsct Ivrtr o sil d dsiguldd < Eplo : 8 Iicilt é cssário dir s s os dois ldos d iqução idtificr fução pocil. { f () < < Coo fução f () é u fução crsct, o sil d dsiguldd srá tido. < { < g() A iqução rsultt é u iqução do priiro gru crsct. O cojuto solução dv prstr os vlors d qu sustituídos g () rsult u vlor gtivo, ssi: g() Fução doº gru co riz { Solução: { IR / < } Tsts U vlor pr < pod sr, sustituido iqução: < 8 < 8 < 8 < 8 Vrddiro, idicdo qu prtc à solução U vlor pr > pod sr 6, sustituido iqução: 6 < 8 < 8 < 8 6 < 8 Flso, idicdo qu 6 ão prtc à solução 6

57 Iquçõs Epociis Eplo :, <, 8 Iicilt é cssário dir s s os dois ldos d iqução idtificr fução pocil., <,8 < 8 < < f () < Coo fução f () é u fução dcrsct, o sil d dsiguldd srá ivrtido. > > g() A iqução rsultt é u iqução do priiro gru crsct. O cojuto solução dv prstr os vlors d qu sustituídos g () rsult u vlor positivo, ssi: g() Fução doº gru co riz { Solução: { IR / > } Tsts U vlor pr > pod sr, sustituido iqução:, <,8,8 <,8 7 7 <,8 <,8 Vrddiro, idicdo qu prtc à solução U vlor pr < pod sr, sustituido iqução:, <,8 <,8 <,8 <,8 Flso, idicdo qu ão prtc à solução 7

58 Iquçõs Epociis Outros plos: Eplo : 9 [ ] () 9 Fução do º gru co rízs g() Solução: } ou IR / { Eplo : 6 > > > > > > fução do º gru co rízs 6 g() Solução: } IR / { < < Eplo : 9 ) ( { Fução doº gru co riz g() Solução: } IR / { Eplo 6: 7 8 > > > > > > > > > { Fução doº gru co riz g() Solução: } IR / { > 8

59 Iquçõs Logrítics Dfiição: Qulqur iqução qu prst fuçõs rítics. Eplos: < ( ) ( ) ( ) ( ) > / / / / S Iqução Logrític for: Crsct Mtr o sil d dsiguldd ( > ) Dcrsct Ivrtr o sil d dsiguldd ( < < ) Eplo : < Coo fução () é u fução crsct, o sil d dsiguldd srá tido. f > Fução crsct tr osil d dsiguld d Assi, pr stisfzr iqução o vlor d dv sr or qu ( < ). Por outro ldo, o ritdo dv sr positivo ( ) pr qu fução f () ist (codição d istêci) < < > < Fuçãodoº gru crsct co riz Fuçãodoº gru crsct co riz { { Coo s dus codiçõs dv sr stisfits o so tpo ( < > ), u sist d iquçõs dv sr rsolvido. O cojuto solução dv prstr os vlors d qu sustituídos f () rsult u vlor or qu. Assi: { < g() { > h( ) Solução: { IR / < < } 9

60 Iquçõs Logrítics Tsts U vlor pr < < pod sr, sustituido iqução: < <, < Vrddiro, idicdo qu prtc à solução < <, U vlor pr > pod sr 6, sustituido iqução: < <, 6 < Flso, idicdo qu 6 ão prtc à solução < <, Eplo : ( ) / / Coo fução f () ( ) é u fução dcrsct, o sil d dsiguldd srá ivrtido. / < < Fução dcrsct ivrtr osil d dsiguld d Assi, pr stisfzr iqução o vlor d ( ) dv sr or ou igul ( < ) o ritdo dv sr positivo pr qu fução f () ist. Assi: ( ) / / > Fuçãodoº gru crsct co riz Fuçãodoº gru crsct co riz { - { U sist d iquçõs dv sr rsolvido, pois dus codiçõs dv sr stisfits siultt. O cojuto solução dv prstr os vlors d qu sustituídos f () rsult u vlor ior ou igul /. { g() { > h( ) Solução: { IR / < } 6

61 Iquçõs Logrítics Tsts U vlor pr < pod sr, sustituido iqução: / ( ),8 / / ( ) / Vrddiro, idicdo qu prtc à solução / (/ ),8 / U vlor pr > pod sr, sustituido iqução: / / ( ) (/ ),8,8 / / ( ) ( ) (/ ),8 / / Flso, idicdo qu ão prtc à solução / (/ ) /,8 Outros plos: Eplo : ( ) > ( ) / / / < < ivrtr osil d dsiguld d Pr stisfzr iqução o vlor d ( ) dv sr or qu o vlor d ( ). Poré, pr qu s fuçõs rítics ist, é cssário qu o ritdo d s sj positivo. S ( < ), fzdo ( > ) grt u vlor positivo pr os ldos d dsiguldd. ( ) > ( ) / / < > < Fuçãodoº gru crsct co riz Fuçãodoº gru crsct co riz { { Rsolvdo o sist: < g() { > h () Solução: { IR / < < } 6

62 Iquçõs Logrítics Eplo : > tr osil d dsiguld d Rrrjdo ( ) O sist d iquçõs rsultt é: 9 9 / 9 / 9 Fuçãodoº gru crsct co riz > Fuçãodoº gru crsct co riz { { /9 Rsolvdo o sist: / 9 g() { > h ( ) Solução: { IR / < / 9} Eplo : ( ) ( ) > / / / < < ivrtr osil d dsiguld d Rrrjdo / / ( ) / ( )( ) > ( ) > / (/ ) / / ( )( ) > ( ) (/ ) / ( )( ) > / O sist d iquçõs rsultt é: / ( )( ) > / ( )( ) < < Fuçãodo º gru co rízs > Fuçãodoº gru crsct co riz { > Fuçãodoº gru crsct co riz { 6

63 Iquçõs Logrítics Rsolvdo o sist: < g() { > h() { > i() Solução: { IR / < < } Iquçõs Modulrs Dfiição: São iquçõs qu volv fuçõs odulrs. Eplos: < > Eplo : Os vlors d qu stisfz iqução são: ou Solução: { IR / } Eplo : > Os vlors d qu stisfz iqução são: > > ou > < Solução: { IR / < ou > } 6

64 Iquçõs Modulrs Pr > Outros plos: Eplo : Não t solução rl Fução do º gru co rízs Solução: } ou IR / { Eplo : 7 Solução: } 7 IR / { S Iqução Modulr for: f() < - < f() < f() > f() < - ou f() > Lrr qu: Só é possívl ultiplicr cruz s o doido ão houvr vriávl. 6