N Ao fim de 3 horas e 30 minutos existem, aproximadamente, 898 indivíduos.

Transcrição

1

2 TEMA INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II Fuçõs pociis lorítmics N O úmro iicil d idivíduos é N,, Ao im d ors miutos istm, proimdmt, idivíduos Pr qulqur istt t tm-s Nt N t t t b t t c q d c d b c d b c D obsrvção do ráico vm qu:,7,7 7 Por obsrvção do ráico costt-s qu o ráico rprstdo vrd é o úico qu pod rprstr um ução pocil d bs positiv irior Etão, st ráico corrspod à prssão O ráico csto é o úico qu pod rprstr ução simétric d um pocil d bs mior do qu Etão, prssão d ução qu pod sr rprstd por st ráico é DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

3 Potêcis com o msmo pot positivo são tto miors quto mior or bs Assim, bs d ução é, cssrimt, suprior à bs d ução j Etão, é prssão lític d, d j 7 D tbl sb-s qu: b b b Etão, como, vm b, b b b b b b b D tbl sb-s qu: b, Etão, como b b b b b b b b como, vm b,,, r H k k k Etão r r 7 Assim, H 7 H, A ár d um coro circulr cujo rio dir d um quilómtro é dd m ução d r por A r rr r r r r D cordo com o modlo, o úmro d bitts ss coro circulr é ddo, m ução d r por r r r r r r H r H r r Portto, dsidd populciol m cd coro circulr, d cordo com o modlo, é dd m ução d r por r Dr r r r 7 D r Est modlo ão prc sr dqudo O úmro d bitts por quilómtro qudrdo crscri d orm pocil qudo os stássmos do ctro d cidd O orml sri, dsidd populciol dimiuir qudo os stmos, d orm siiictiv do ctro d cidd DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

4 S ; b,,,, S ; c ; S d Impossívl m R S ; ; S, S ;, S Pr dtrmir os potos d itrsção dos dois ráicos z-s:, S ;, S b, c Cálculo uilir:,, S DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

5 d Fzdo, obtém-s, Cálculo uilir: Como o coicit do trmo d ru é positivo, tm-s, Assim, voltdo à vriávl vm,, S 7 7 7, S,, S Cálculo uilir: Qudro d siis d +,,,, S Sb-s qu: R, qu ssum todos os vlors do itrvlo, qudo vri m R Etão, ssum todos os vlors d, qudo vri m R Etão,, ' D Alomt, R,, loo, R, R, ssum todos os vlors ris supriors qudo vri m R Portto,, ' D ;, S b Fzdo, tm-s Etão,, porqu, R, Or,, S DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

6 c 7 7 S, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d m Sb-s qu: rt d qução é ssítot orizotl do ráico d m b b b Etão, b b b Os vlors d b são, rsptivmt A rt d qução srá ssítot do ráico d d k, um vz qu o ráico d é obtido do ráico d pl trslção ssocid o vtor d coordds,k b Pr qu t um zro, qução k tm d tr um solução, ou sj, qução k tm d tr um solução Como, pr todo rl, qução k só é possívl s k, ou sj, k c Como o ráico d é obtido do ráico d pl trslção ssocid o vtor d coordds,k k, Etão, k, o cotrdomíio d é d k k k Etão, o vlor d k é - O ráico d q é obtido por um rlão do d m rlção O, plo qu um possívl q prssão lític d q é O ráico d pod sr obtido do d por trslção ssocid o vtor d coordds,, portto, um possívl prssão lític pr é O ráico d pod sr obtido por rlão, d io O, do ráico d Etão, um possívl prssão lític é O ráico d p é obtido por trslção do ráico d ssocid o vtor,, plo qu um possívl prssão lític pr p é p, t, t 7 Sb-s qu Qt, Q, ou sj, Q, Q, Dtrmido, clculdor ráic, o poto d itrsção d curv diid pl qução, t com rt d qução,, obtém-s Portto, á, os, proimdmt, qutidd d crboo d mostr r iul à qutidd d crboo plt viv, ou sj, mostr tm, proimdmt,, mil os DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

7 R R A A A B B B A Itrstdo curv diid pl qução com rt d qução obtém-s Etão, o vlor proimdo d B é,7 b Qt,7 t, Q 7 A smivid d substâci é, proimdmt,,7 ors, ou sj, ors miutos Itrstdo o ráico d, diid m R por obtém-s:,, com rt d qução Obsrv-s, ssim, qu solução d qução, é, proimdmt,, ou sj, são cssários os pr qu, com um ilção d %, o prço dos produtos dupliqu S tulmt cust uros, dqui st os custrá 7,, uros Pr cotrr solução d qução P t, dtrmi-s ricmt itrsção do ráico d P com rt d qução A bciss do poto d itrsção é, proimdmt,, Obsrv-s, ssim, qu é durt o º di qu populção ti os idivíduos DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

8 , t Como P t t t Etão, populção td stbilizr os 7 idivíduos,, tm-s qu 7 As bcisss dos potos d itrsção d curv diid por d curv são, 77 vlor proimdo, Assim, do ráico obsrv-s qu solução d qução é S,;, b A bciss do poto d itrsção d curv diid por d curv é, 7 vlor proimdo Assim, solução d codição S,7 ; c A bciss do poto d itrsção d curv diid por d curv é, 7 vlor proimdo Assim, solução d codição S,7 ; DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

9 it otávl > b it otávl > c o ivrso d um iiitmt rd é um iiitésimo d it otávl; porqu ;, zdo tm-s Not-s qu dizr é o msmo qu dizr qu, um vz qu lo Etão, lo ; b lo, lo Etão, lo ; c lo Etão, lo ; d lo Etão, lo lo Etão, lo lo lo lo 7lo lo lo7 7 7 b lo c lo lo lo lo d lo lo lo lo lo lo R \ R \ S b lo R \ R \ c lo S d lo 7 S 7 S lo S b l l S, ; ; c lo S d lo m m m m m S DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

10 7 S lo ; ou S lo lo l b l l, S, ou S l ; l c, l S ; d lo ; S, lo Como ução é stritmt dcrsct, é, cssrimt, ijtiv, plo qu dmit ivrs Gricmt obsrv-s qu Por diição d ivrs sb-s qu o objto qu tm por imm é, ou sj, b Alomt, O ráico d rt d qução pod sr obtido por rlão do ráico d tdo como io d rlão O ráico d é o trsormdo do ráico d pl trslção, : Fiur B O ráico d é o trsormdo do ráico d pl trslção b, : Fiur D O ráico d i é o trsormdo do ráico d por rlão d io O: Fiur A O ráico d j é o trsormdo do ráico d por composição d rlão d io O com trslção, : Fiur C D, ; D, ; D, ;, i D D R:, ; D R ução poliomil D R : D D R : R,, l l :,, diid pl prssão lític l Etão, R DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

11 Do ráico sb-s qu, ou sj, lo S D,, tão, D, D R:, ; b R :, D ; D c R d R :, R : é um codição uivrsl m R D i D R: Cálculo uilir:,, D, D, com R \ Portto, d + l l Assim, é ução d domíio, diido pl prssão l b D R D lo lo é ução d domíio R diid pl prssão Etão, l b l l l l l l c l l lo lo7 lo lolo lo lo ; b lo lo lo lo ; lo lo lo c lo ; l DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

12 lo lo lo lo d lo 7 7 lo 7 lo 7 7 lo b l l l l l l l l l, c, lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo 7 lo lo lo b b lo lo lo b b, c lo lo, lo lo b b lo lo Dizr qu lo é o msmo qu dizr qu lo 7 Etão: lo lo 7 lo lo 7 b lo lo lo lo c lo lo 7 lo lo 7, ou sj, 7 lo b l l lz l lo m lo m l lz l z lo lo p lo lo p p c lo lo lo lo lo lo m lo p A Flso Por mplo B Vrddir, s m > Propridd lo lo D Vrddir, s Propridd lo lo lo lo C Flso Por mplo, lo lo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

13 lo lo lo b lo lo lo lo lo c lo Z lo z lo lo z 7 lo lo lo lo lo lo z z z z d lo 7 lo7 lo lo7 lo7 7 lo7 b lo lo lo lo lo lo lo lo b lo c lob loc blo c lo b lo c lo loc b lob lob lob loc b lo c lob lo b lo b lo b d lob b lo lo lo lo lo lo lo lo Como D D R, iuldd é válid pr todo R cqd Como só diimos loritmos d úmros positivos tm-s, lo, como, S b 7 D,,, lo lo 7 7 S D, o cojuto solução d qução é c D,,, lo lo lo lo S,, d D R lo lo, zdo lo, vm: Assim, lo lo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

14 Ambs s soluçõs são úmros ris positivos Portto, S, 7 D R :, 7 lo lo S, lo lo lo D,,7, lo lo 7 lo lo lo 7 lo lo lo lo lo lo lo lo lo S lo lo lo lo lo lo lo C q d lo lo A bciss do poto d itrsção do ráico d com rt d qução é 7 7 lo lo lo lo, Etão, o vir tm ph, 7 Um solução é básic s o su ph or suprior 7 7 lo 7 lo 7 7 Um solução é básic s coctrção d iõs or irior mol / dm 7 lo lo Etão coctrção d iõs d áu do mr é mol / dm 7 ph lo lo lo lo ph lo Sb-s qu, ou sj, b lo b b b lo lo Prtd-s dtrmir t tl qu t b c q d, ou sj, lo t t t São cssáris ors pr qu ltur o rsrvtório sj iul mtros DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

15 O poto A tm coordds,, l l O poto B tm coordds, l, sdo tl qu l l l l l l l Tm-s tão, qu bs mor bs mior, do trpézio, têm mdid d comprimto, AC BD l ltur rltiv sts bss tm mdid d comprimto CD Etão ár do trpézio é: l D R : lo, lo lo lo l l l l l lo lo lo lo lo lo lo lo b D R :, lo lo lo lo, D S, S, D, c D R :, lo lo, lo, lo S,, D, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

16 d D R :,, lo,, lo dc,, D, S, : R D R \ lo lo,, D, lo S \ R : lo, D lo lo lo b D R :l,, l D R lo t lo t lo lo t lo t lo t t t t t t, Etão, S,,, os é, proimdmt, mss Assim, coclui-s qu cidd Al tm mos bitts do qu cidd Bt durt o primiro o mss, proimdmt, tão, D, b D R, tão, D, c T A tmprtur iicil é o C lo t DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

17 b T, Ao im d miutos, tmprtur r, proimdmt, o C c t t 7 7,, t lo, t,, A tmprtur é d o C, o im d miutos sudos, proimdmt t, t t t, A tmprtur mbit é d o C,, d, d,, d Etão, d, A distâci d Trr à Estrl Polr é, proimdmt, prscs, m, M, m lo d d m M lo d lo, m, M d, M, m lo, m lo d, M m lo d M d, M Rcorrdo à clculdor, obtém-s um rprstção ráic d C dtrmi-s um ds itrsçõs do ráico d C com rt d qução, Após ors miutos, coctrção é irior m/l, ou sj, dv tur dmiistrção suit às ors miutos DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

18 7, 7 7,, l p, 7 l p, 7 p p O pso do Zo é, proimdmt, k 7 Sjm p p os psos dos dois cãs Sb-s qu p, p, tão, Ap,, l p,, l p, l, p, l, l p l p, l,, A p, l p k Q lo k D R t Q t lo t t t t t t t O rcipit ic vzio o im d ors D R v t, t, t l, t l t Dmor sudos, proimdmt, t, t t, t A vlocidd trmil é d m/s A lo ; B lo A cidd A ti bitts cidd B, D R A t B t lo lo t lo t lo t lo t lo t lo t lo t lo t t t t A cidd A é mis populos prtir do º o DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

19 , p,,,, A populção sri d, milõs,,,, t, t,, 7,, t, t l t,,,,,, t, 7, Em 7, populção r d,7 milõs Utilizdo vlors com três css dcimis, obtém-s: 7, N t, 7, 7t 7,, 7t, 7t 7,,, 7t, 7, 7t l, 77 t, 77 Ao im d dis Mis rcícios Pá Escol múltipl b b b Rspost: B DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

20 Rspost: B t t P,, é populção d Ídi, m milrs d milõs, m ução d t úmro d décds pós o iício do século 7,,, P Rspost: C é stritmt crsct m, Etão, como, o cotrdomíio d é, Rspost: D 7 b b b b b Rspost: C b b b b b b b b b b b Como é crsct tm-s b, ou sj, b Rspost: B k m,,,, Rspost: D DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

21 7 lo lo Rspost: A 7 b lo b b b Rspost: D 7 p p lo lo lo lo lo lo p lo Rspost: D 7 CB C, lo A, Ár AB Rspost: A 7 lo Rspost: C 7 lo b b b lob b b b b b b b b Sb-s qu, tão, b como b coclui-s qu b Rspost: B DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

22 7 D lo S R : R lo lo, D, Rspost: A 77 l l l Rspost: B 7 lo lo b lo b Rspost: A b b b 7 lo lo lo lo lo lo Rspost: B D R lo lo S Rspost: D lo lo lo lo lo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

23 Rspost brt l l R D, : b lo \ R: R D,, Cosu diitr, proimdmt, plvrs por miuto, l l,,,, t t t t t t, l Dv prticr plo mos ors t, Aumtdo o úmro d ors d prátic, o úmro d plvrs por miuto qu um psso cosu diitr, d cordo com st modlo, proim-s ds plvrs por miuto DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

24 S b lo lo S c, : R D lo lo lo lo lo D S d S R R D 7 : lo lo lo lo lo lo lo, S, S DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

25 b R D l l l l l d l d - +, S c,, : R D,,,,,, lo S d,, : R D, lo lo lo lo lo lo lo,,,,, S R D lo lo lo lo lo,, S R D l l l l l,, S DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

26 P, l A l O poto d ordd máim tm coordds, 7;,, tão, bciss d P pr qul ár do rtâulo é máim é,7 7 O ívl máimo oi o ívl d ácido úrico oi suprior o prmitido durt mss mio, ou sj, o itrvlo, ;,, A,,, m/l b t A t B t t, 7t t t,, 7t t, t t t t t t, 7t t l t t, As coctrçõs voltm sr iuis o im d ors miutos t,, 7t DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

27 Atrvés d ális dos ráicos, coclui-s: A coctrção do mdicmto o su do Crlos ultrpss os 7, milirms por litro d su m, milirms, o máimo A A dv sr primir tomr ov dos do mdicmto, crc d ors ts do Crlos 7 7 lo 7 7 lo 7 lo 7 As coordds do poto d itrsção são lo 7 7, 77 l r r 77 7 A r r, 7 A t d crscimto oi d,%, proimdmt, b A A populção d cidd do Porto m srá d bitts, proimdmt lo k k k lo k lo Dtrmir é dtrmir o vlor d tl qu lo lo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

28 m =, km P,,, 7 A prssão tmoséric é, proimdmt, 7 quilopscl,,, P P, l,, Qudo ltitud umt crc d, quilómtros, prssão tmoséric dimiui pr mtd Autovlição Pá Grupo I C Rspost: A P B A Rspost: C P B A P A 7 7, Rspost: C lo b lo lo b lo b c Rspost: D A l l l l l l Rspost: B DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

29 Grupo II P B P A B P A P B P B A P A B P A P B P A P A P A P A P A P B P A B P A P B P A B Como P A B é um codição uivrsl, dsiuldd vriic-s º º Pr Ímpr Pr potos potos Ímpr potos potos P X P X P X i P X i % d qutidd iicil é, Q, t, t l, Q t, Q Q, Q, t, 7, O óssil trá proimdmt 7 os Q,, 7 A qutidd d crboo é, proimdmt,,7 l l D R DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

30 D R :, l l l l l l l S, Prtd-s cotrr os vlors d qu vriicm codição Bst, tão, dtrmir s bcisss dos potos d itrsção do ráico d d ução diid liticmt por: As coordds dos potos A B são, rsptivmt, ;,, 7 ;,, Tori dos its Os its rsultm dirtmt d obsrvção d rprstção ráic d : - b c d -, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

31 b c d Por mplo, b Por mplo, b c Por mplo, c d Por mplo, d Cosidrdo um sucssão u tl qu: \ R u u u u u Etão, b Cosidrdo um sucssão u tl qu: \ R u u u u u Etão, c Cosidrdo um sucssão u tl qu: R\ u u u u u u Etão, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

32 7 b c d b c d Como w tm-s qu: w Não, porqu diição d Hi plic-s tods s sucssõs, o domíio d, qu tdm pr ão ps um cso prticulr Como, tão, b Como, tão, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

33 c Como, tão, Por mplo, b c d Não ist, porqu: Cosidr-s um sucssão tl qu, N, tão,, ou sj, Cosidr-s um sucssão tl qu, N, tão,, ou sj, Assim, ão ist porqu DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

34 b Cosidrdo um sucssão u, tl qu: u u R \ u u u u Etão, b Cosidr-s um sucssão tl qu, N, tão,, ou sj, Cosidr-s um sucssão tl qu, N, tão,, ou sj, Assim, ão ist, porqu, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

35 Cosidrdo um sucssão u tl qu: u R k k k k u Etão, k k b Cosidrdo um sucssão u tl qu: u u u Etão, b c b 7 b c d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

36 b c d b c Não ist, porqu b c d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

37 b c s b s 7 7 b c d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

38 b l l l b b b b b b b b b b b b c d 7 b b, s b R \ b, s R b b b c, s b s b, tm-s b b b tmbém b DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

39 l l b l l l l c d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

40 b Cálculo uilir: c Cálculo uilir: d Pr qu o it sj um úmro rl, tm d sr um zro d k, ou sj, k k k b c Etão, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

41 d Cálculo uilir: - Como: ão ist b c b Não ist DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

42 c d l l l l p, s o ru d p or irior b S p ão é um úmro rl, isso siiic qu é ou, ou sj, o ru d p tm d sr suprior Por mplo, p b p Por mplo, p b c d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

43 7 7 Não ist 7 A ução é cotíu m 7 Não rt porqu, por mplo, ist ms ão é cotíu m b Não istm c d A ução ão é cotíu m à squrd m à dirit d b Não istm potos d dscotiuidd c A ução ão é cotíu m à squrd m à dirit d d A ução é cotíu à dirit d cotíu à squrd d Etão, é dscotíu m ms é cotíu à squrd ss poto, tão, é cotíu m b é dscotíu m cotíu à squrd ss poto DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

44 c é dscotíu m cotíu à dirit ss poto, tão, pr qu sj cotíu m tm-s Gráico B A ução rprstd ricmt m A ão é cotíu m A ução rprstd ricmt m C ão é cotíu à squrd m A ução rprstd ricmt m D ão é cotíu à dirit m Pr, ução é cotíu pois é poliomil Pr, ução é cotíu pois é rciol Pr, 7 7 Etão, é cotíu m, \ é cotíu à dirit m k Como, ução é dscotíu m sj qul or o vlor d k DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

45 A ução ão é cotíu porqu é dscotíu m pois, Por mplo, s j s p s s p p S é cotíu, tão, p p 7 7 Pr, é cotíu porqu é o quocit d uçõs cotíus Pr, é cotíu porqu é som d uçõs cotíus Pr, Etão, é cotíu m R \ cotíu à squrd m b R\, D Pr, é cotíu porqu é o quocit d uçõs cotíus Pr, é cotíu porqu é o quocit d uçõs cotíus Etão, é cotíu c Pr, é cotíu Pr, é cotíu porqu é costt Pr, é cotíu porqu é o quocit d uçõs cotíus DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

46 Pr, é cotíu m porqu Pr, é dscotíu m cotíu à squrd ss poto Etão, é cotíu m todos os potos do su domíio R \, cto o poto Sj i cotíu j, tão, j i Como i j são cotíus, tão, é b Sj i cotíu j l, tão, j i Como i j são cotíus tão é c Sj i é cotíu j lo, tão, j i Como i j são cotíus tão s s s s Pr, é cotíu, porqu é poliomil Pr, é cotíu, porqu é poliomil Pr, é cotíu, porqu, Etão, é cotíu DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

47 D R \ Não ist um prolomto d R cotíuo, porqu ão ist Por mplo, s s b Por mplo, s s 7 7 ; Não é possívl um prolomto cotíuo R b 7 Cálculo uilir: -7 7 Um prolomto pod sr, por mplo: i Um solução b Dus soluçõs c Um solução d Num, D Vrddir, porqu é cotíu DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

48 b Flso S, por mplo,, k ão ist c, : c k A ução é cotíu m R som d uçõs cotíus, m prticulr, é cotíu m,, 7, Plo Torm d Bolzo qução é possívl m, Aps irmção d é vrddir porqu stá s codiçõs do Torm d Bolzo Rltivmt às outrs irmçõs d s pod cocluir sobr vrcidd ds msms A ução é cotíu m R, tão, tmbém é cotíu m, Sb-s qu, tão, Plo Torm d Bolzo, qução é possívl o itrvlo, A ução é poliomil tão é cotíu m, m, Tm-s, Plo Corolário do Torm d Bolzo dmit plo mos um zro m cd um dos itrvlos ddos Mostrr qu os ráicos d d s itrstm um poto d bciss prtct o itrvlo, é provr qu qução, Sj ução diid por: é possívl o itrvlo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

49 A ução é cotíu m cotíu m, lo lo, R dirç d uçõs cotíus, m prticulr, é, tão, plo Corolário do Torm d Bolzo, tm plo mos um zro m,, ou sj, qução é possívl o itrvlo, 7 Sj ução diid por: A ução é cotíu m, b pois é dirç d uçõs cotíus b b b Etão, b Plo Corolário do Torm d Bolzo, tm plo mos um zro m, b, ou sj, qução, é possívl o itrvlo b é cotíu m,, ;, ;,,, ;,, ;,,,, ;,, ; 7,, ;,,,, ; 7,, ;,, 7,,, ;,, ;,, ; 7,, ; 7, O zro com rro ão suprior, é:, 7, Sj ução diid por A ução é cotíu m,, pois é dirç d uçõs cotíus m, Etão, como são simétricos ão ulos, tm-s, plo Corolário do Torm d Bolzo, qu tm plo mos um zro m,, como s prtdi dmostrr DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

50 A ução T é cotíu, porqu é som d dus uçõs cotíus ução costt o produto d um poliomil um pocil, plo qu, T é cotíu m qulqur itrvlo do su domíio, m prticulr é cotíu o itrvlo, Por outro ldo, plo qu,,, T,,, 7, T, T 7 T Etão, plo Torm d Bolzo, ist plo mos um c, tl qu T c 7, ou sj, istiu um istt, tr s ors s ors, m qu tmprtur oi iul 7 ºC A tmprtur ti os 7 rus às ors miutos vlor rrdoddo à uidd d miuto R\ D Em, \, ução é cotíu porqu é rciol Em,, ução é cotíu porqu é compost d dus uçõs cotíus um lorítmic um pocil Not-s qu l, l,, No poto tmos l l, l l Etão,, plo qu é cotíu o poto Portto, é cotíu m qulqur poto do su domíio, ou sj, é um ução cotíu Sim, bst zr, um vz qu: Como ução é cotíu m, cotíu o itrvlo, \,, \ Tm-s id qu Etão, plo torm d Bolzo, coclui-s qu qução solução o itrvlo, Cqd, pod-s cocluir qu é, plo qu, tm plo mos um DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

51 Dizr qu os ráicos d s itrstm um poto d bciss prtct o itrvlo, é o msmo qu dizr qu qução tm plo mos um solução ss itrvlo, ou sj, ução tm í um zro A ução é cotíu porqu é dirç d dus uçõs cotíus, é um itrvlo do domíio d Por outro ldo, l, Etão, plo Torm d Bolzo, tm plo mos um zro o itrvlo,, o qu prmit irmr qu os ráicos d s itrstm um poto d bciss prtct ss itrvlo S é cotíu m, b, tão, é cotíu m qulqur itrvlo c, d, b Por outro ldo, s d c d c d c, ou, ou No primiro cso, tm-s qu médi ritmétic ds ims é provdo qu st é um vlor d ução c d c d c d S, tm-s, ou S c d c d c c, tm-s c c c d d d c, icdo c d ; S c d c d c c, tm-s c c d d d d ; Tm-s tão qu s c d, c d c d ou c d d c Pod-s, tão, cocluir, plo Torm d Bolzo, qu qução c d tm plo mos um solução o itrvlo c, d, b, ou sj, pr quisqur c d prtcts o itrvlo, b, médi ritmétic ds sus ims prtc o cotrdomíio d A ução é cotíu m, porqu é dirç d dus uçõs cotíus st itrvlo ução idtidd Pod-,, plo qu s, ssim, cocluir qu Etão, plo Corolário do Torm d Bolzo, tm plo mos um zro m, C q d, porqu é ímpr Como ução é cotíu m R, ão mud d sil m itrvlos m qu ão s ul Assim, como, porqu é um poto io, é ímpr, tm-s qu é positiv m, m, Assim, o cojuto-solução d codição é,, ul-s m -, S S são o míimo o máimo bsoluto, tão, ist um um b prtcts o domíio d tis qu d b pr qulqur do domíio d Ddo qu é cotíu m R, é cotíu m, b k, b, qulqur Etão, plo Torm d Bolzo, qução tm solução m k,, plo qu ução ssum todos os vlors dst itrvlo Portto, o cotrdomíio d é o itrvlo, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

52 7 b c d b c d D R \ Como é cotíu, por sr rciol, istir um ssítot srá rt d qução, ddo qu é o úico poto d cumulção do domíio d qu ão l prtc Etão, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d b R\ D Como é cotíu, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d c R \, D A ução é cotíu porqu é rciol, portto, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d d D, \ A ução é cotíu porqu é o quocit d dus uçõs cotíus, portto, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

53 Flso Por mplo s rt d qução p p, ão é ssítot do ráico d, portto b Flso Por mplo, é rciol ão poliomil ão dmit ssítots vrticis pois é cotíu m R c Vrddiro d Flso Por mplo, diid por d qução é cotíu tm um ssítot vrticl A rt Flso A ução diid por como ssítot A ução é cotíu m, s tm domíio R tm rt d qução s, porqu é dirç d dus uçõs cotíus um pocil o quocit d um costt riz d ução idtidd A ução é tmbém cotíu m,, porqu é dirç d dus uçõs cotíus um poliomil um lorítmic lo Etão, é dscotíu m A ução é cotíu m, \, dscotíu, ms cotíu m à squrd lo Etão, o ráico d tm dus ssítots vrticis, s rts d qução lo Portto, o ráico d dmit ps dus ssítots prlls os ios coorddos DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

54 D R\ Etão, rt d qução é ssítot orizotl biltrl do ráico d b R \, D Etão, rt d qução é ssítot orizotl biltrl do ráico d c D, Etão, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d, qudo d D i R i i Etão, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d, qudo D R :,, j l l l j l l Etão, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d, qudo qudo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

55 Como, tão, rt d qução é ssítot vrticl biltrl do ráico d Por outro ldo, é um ução cotíu, porqu é o quocit d dus uçõs cotíus úic ssítot vrticl do ráico d D R\ Portto, rt d qução é b R\ D é um ução cotíu, porqu é som d dus uçõs cotíus um rciol Por outro ldo,, porqu é cotíu Etão, rt d qução é úic ssítot vrticl biltrl do ráico d é úic ssítot orizotl do ráico d A rt d qução Etão, rt d qução é ssítot do ráico d, s Etão, rt d qução é ssítot do ráico d C q d ou A ução ão pod sr cotíu, porqu ão pod sr cotíu m, um vz qu: Vrddir b Vrddir c Fls Emplo: ução d domíio, d prssão lític l ssítot vrticl rt d qução l dmit um DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

56 d Fls Por mplo: Fls Por mplo, ução rl d vriávl rl diid por d qução é ssitot do su ráico é cotíu rt 7 A ução é um ução rciol o domíio d é R Etão, ução é cotíu m R plo qu o su ráico ão tm ssítots vrticis Como é o quocit d dus uçõs poliomiis do msmo ru, tm-s qu: orizotl biltrl do ráico d úic ssítot dst ráico Etão, rt d qução é ssítot b A ução é um ução cotíu porqu é rciol d domíio R \ do ráico d Assítots ão vrticis: m Etão, rt d qução é úic ssítot vrticl b Com cálculos áloos colocdo o lur d, coclui-s qu: m b Portto, rt d qução é ssítot do ráico d qur m, qur m c A ução é cotíu d domíio R produto d dus uçõs cotíus um im um pocil, plo qu o su ráico ão tm ssítots vrticis Assitots ão vrticis: Tm-s qu m b Etão, rt d qução é ssítot do ráico d m m vrticis m Etão, o ráico d ão tm ssítots ão DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

57 d A ução i é cotiu m,, porqu é um ução pocil cotíu o itrvlo, por sr o quocit d dus uçõs cotíus um lorítmic um poliomil i Etão, rt d qução Assítots ão vrticis: l i é úic ssítot vrticl do ráico d i i Tm-s qu m l l i Etão, úic ssítot ão vrticl do ráico d i é rt orizotl d qução: A ução é cotíu m R, porqu é som d dus uçõs cotíus um costt o produto d dus cotíus um qudrátic um pocil Etão, o su ráico ão tm ssítots vrticis Tm-s tmbém qu m O qu siiic qu o ráico d ão tm ssítot ão vrticl m Por outro ldo, Portto, úic ssítot do ráico d é rt d qução: D R : R \ Cálculo uilir: b l l l l S, Os zros d são Como l é cotíu m,, qu é o su domíio, o su ráico ão tm ssítots vrticis, l A rt d qução é ssítot orizotl do ráico d l m, o qu siiic qu qudo proudidd td pr lumiosidd td pr 7 A rspost corrt é D A A ão pod sr, porqu s rt d qução oss ssítot do ráico d, trs-i m A opção B ão stá corrt, porqu ução rprstd ão é cotíu m A C tmbém ão é opção corrt, porqu, sr st rspost, tr-s-i m R DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

58 7 7 A ução é cotíu m R, porqu é o produto d dus uçõs cotíus m R ução ução idtidd Etão, o ráico d ão tm ssitots vrticis Como rt d qução é ssítot do ráico d, qur qudo, qur qudo, tm-s ráico d dmit ssítots ão vrticis m m m Portto, o ráico d ão tm qulqur ssítot C q d, portto, o 7 Como, tm-s, porqu rt d qução é ssítot do ráico d qudo b 7 Como ução é cotíu m R, tmbém é cotíu m R Assim, o ráico d ão tm ssítots vrticis Assítots ão vrticis: m b Alomt, m b Portto, rt d qução é ssítot do ráico d, qur qudo qur qudo 7 Ddo qu ução tm um ssítot ão vrticl, o domíio d é R Tm-s Etão, ssítot ão vrticl do ráico d tm dcliv ulo, ou sj, é um rt orizotl b, tm-s qu é iiito Portto, o ráico d ão dmit ssítots orizotis Mis rcícios Pá Escol múltipl 7 Opção D Como o poliómio é positivo tr s sus rízs, tm-s 7 Opção D qu ão ist, portto,, plo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

59 7 Opção B O ráico d é um ipérbol qu tm como ssítot rt d qução, pod Por outro ldo, ução é um ução im, plo qu, obsrvr-s qu como s obsrv o ráico, é um úmro rl positivo Etão, 7 Opção D A ução é cotíu m, porqu é lorítmic Or, pr qu sj cotíu o, porqu é costt st itrvlo, cotíu m, lk lk tm d istir cotíu, iuldd lk tm d sr vrddir Portto, 77 Opção D Como é cotíu o itrvlo, ist plo mos um c, tl qu c k, ou sj, D' Etão, pr qu sj, o torm d Bolzo rt qu 7 Opção D Como, N,, tm-s qu u 7 Opção C Como é cotíu m R, é cotíu m qulqur itrvlo d úmros ris,,7,,,,,7 ; O úico itrvlo od o Torm d Bolzo prmit rtir istêci d, plo mos, um zro é qul cujs ims, por, dos trmos têm siis cotrários, ou sj, o itrvlo,; Opção A Or, pr qu sj cotíu o tm qu istir Etão, Portto, ução é cotíu m, s Opção A l l ; s l l s é cotíu o poto Opção C u u l Etão, u l Etão, s Opção A Como, é úic ssítot vrticl do ráico S, tão, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d S, tão, rt d qução é ssítot obliqu do ráico d é cotíu m R \,, tão, rt d qução DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

60 Opção A S D R rt d qução Portto, é ssítot do ráico d, tão, Opção B Como o dcliv d rt r é m r é ssítot do ráico d, tm-s Etão, Opção A S bisstriz dos qudrts ímprs é ssítot do ráico d m, tão, Alomt, s bisstriz dos qudrts prs é ssítot do ráico d m, tão, Etão, s rts d quçõs são, rsptivmt, s quçõs ds ssitots orizotis do ráico d m Por outro ldo, sb-s qu é cotíu Etão, ou sj, rt d qução é ssítot do ráico d, Rspost brt 7 7 Cálculo uilir: 7 b c d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

61 l l l l l l l l l i A ução é cotíu m, Etão, sdo cotíu m t, porqu é pocil sts itrvlos m, t, tm-s qu t t t t,t t t t, t A t t t t A Prtd-s cotrr s soluçõs d qução A A t com t o pudim tr o rioríico os sudos,t, t, t,t lo t t t, Etão, pr qu o pudim iqu iul rus Clsius, é cssário qu st stj miutos o rioríico O ist s Portto, o vlor d pr o qul ist é Um prolomto d cotíuo m R pod sr diido por: s s A ução é cotíu m,, m, m,, porqu é rciol m qulqur dsts itrvlos Etão, pr sr cotíu, é cssário qu sj cotíu os potos Assim, pr qu sj cotíu o poto t t t t t t t At B B t DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

62 Etão, é cotíu o poto s B E pr qu sj cotíu o poto : t t t t t At B A t t t t t t t t t t A A A t Portto, é cotíu s: A B t t t A ução C é cotíu m,, porqu é pocil, portto, é tmbém cotíu m,,,,; C,,,, C,, Etão, plo Torm d Bolzo ist plo mos um istt tr s ors miutos s ors m qu coctrção do mdicmto oi iul, m/ml C t t t t,t,,,,t, t,, t,t,, 7, A coctrção d mdicmto o su ti o vlor d, m/ml, proimdmt,, ors pós su dmiistrção, proimdmt, 7, ors dpois, ou sj, 7 ors miutos, volt tomr vlors iriors, m/ml Portto, o mdicmto oi icz Assítots vrticis: R A ução é cotíu por sr rciol tm domíio \ Portto, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d Assítots orizotis: tmbém Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d m m b Assítots vrticis: A ução é cotíu por sr rciol tm domíio R Etão, o ráico d ão tm ssitots vrticis Assítots ão vrticis: m DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

63 b Alomt, m b Portto, rt d qução é ssítot oblíqu do ráico d, qur m qur m c Assítots vrticis: A ução é cotíu porqu é o quocit d dus uçõs cotíus um poliomil,, riz qudrd d um poliomil tm domíio Etão, rt d qução Assítots orizotis: é úic ssítot vrticl do ráico d Portto, s rts d quçõs são ssítots orizotis do ráico d m m, rsptivmt DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

64 d Assítots vrticis: A ução j é cotíu, porqu é dirç d dus uçõs cotíus um poliomil um lorítmic tm domíio, l l l j Etão, o ráico d j ão tm ssítots vrticis Assítots ão vrticis: j l l l m b j l l Portto, o ráico d j ão tm ssítots Assítots vrticis: R A ução é cotíu, porqu é rciol tm domíio \, ; ; Etão, s rts d qução são s úics ssítots vrticis do ráico d Assítots orizotis: Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d, qur m qur m b Assítots vrticis: A ução é cotíu, porqu é rciol tm domíio R \ ; Etão, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d Assítots orizotis: Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d, qur m qur m c Assítots vrticis: A ução é cotíu, porqu é o quocit d dus uçõs cotíus tm domíio ; Etão, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d R \ DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

65 Assítots orizotis: Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d m d Assítots vrticis: Cálculo uilir: A ução é cotíu, porqu é o quocit d dus uçõs cotíus tm domíio ; R \ Etão, rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d Assítots orizotis: i i Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d, tto m como m A ução é cotíu o itrvlo,, porqu é o quocit d dus uçõs cotíus; é cotíu o itrvlo,,, porqu é, porqu é poliomil; é cotíu o itrvlo rciol Por outro ldo, tm-s: 7 Etão, é dscotíu m, ms cotíu m à dirit ; Etão, é cotíu m Portto, é cotíu m \ Assítots vrticis: R cotíu à dirit m Como ução é cotíu m R \ ssítot orizotl do ráico d Assítots orizotis:, rt d qução é úic Etão, é ssítot orizotl do ráico d m O ráico d ão tm ssítots orizotis m Assítots oblíqus: m Portto, o ráico d ão tm ssítots oblíqus DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

66 , por Tm-s 7 ução é cotíu m, Sj ução diid o itrvlo,, porqu é dirç d dus uçõs cotíus st itrvlo Etão, plo Torm d Bolzo, ist plo mos um zro d o itrvlo,, ou sj, qução tm plo mos um solução ss itrvlo Obtêm-s clculdor s curvs qu rprstm prt dos ráicos d rstrição d ução o itrvlo, d ução diid por Dtrmi-s o poto d itrsção ds dus curvs, sdo bciss dst poto solução d codição Assim, o vlor d solução d qução, rrdoddo às décims, é, S é qução d ssítot oblíqu d o domíio d é Assim, tm-s: m b Portto, rt d qução é ssítot oblíqu do ráico d R, tão, Sj um ução d domíio, diid por Como,, tão, A ução é cotíu porqu é cotíu Portto, plo Corolário do Torm d Bolzo ist plo mos um, c, ou sj, ist plo mos um c, qu vriic iuldd c c 7 7 A ução t é cotíu m, m, itrvlos t 7 7 c tl qu C q d, porqu é rciol m qulqur dsts t, tão, t é cotíu m, D, é Assim, pod cocluir-s qu t é um ução cotíu, portto, porqu t cotíu m, 7 Como t é cotíu o su domíio é o itrvlo,, o su ráico ão tm ssítots vrticis 7 Como, t, rt é ssítot orizotl 7 do ráico d t, o qu siiic qu, à mdid qu o úmro d dis d trio vi umtdo, o tmpo d prov td pr miutos DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

67 S N M, tão N M, portto, 7 NM, t 7 P t, O qu siiic qu, sdo t d tlidd irior à t d mortlidd, populção td tiuir-s Do iício d 7 o iício d, dcorrrm os Etão, irmção ucid trduzs por: 7 7, M 7 7, M P P,, 7, M l 7, M l M 7, l 7 A t d mortlidd é, proimdmt, 7, Autovlição Pá Grupo I Opção D O cotcimto «As qutro cápsuls ão trm tods msm cor» é cotrário o cotcimto «Tods s qutro cápsuls trm msm cor» O úmro d csos possívis «As qutro cápsuls trm msm cor» é C C zr cojutos d qutro cápsuls rtirds ds dourds ou zr cojutos d qutro cápsuls rtirds ds vrds O úmro d csos possívis é iul o úmro d cojutos d qutro cápsuls rtirds ds trit istts, ou sj, C Etão, probbilidd d s qutro ão trm tods msm cor é iul C C C C C C C Opção C Simtri d curv orml m rlção à rt, sdo qu, st cso, Opção D A ução é cotíu m R Etão, é cotíu m Tm-s id,,,, 7, Portto, plo Torm d Bolzo qução itrvlo,;, ;, m ;,m ;, m,;,,,,, tm plo mos um solução o Opção C Como rt d qução é ssítot do ráico d m, tm-s qu, tão, Opção A A sucssão u é um iiitésimo tivo Etão, u DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

68 Grupo I Cosidr-s os cotcimtos I: «Sr lut m Ilês» E:«Tr plo mos os d priêci» É ddo qu: P I, P E I, E I, P Prtd-s clculr P I E P E I PE I PI,,, 7 P P P I PI,, E I PE I PI,,, E I PI PE I,,, E PE I PE I,, 7, P Etão, probbilidd pdid é I E I PE P E, 7 7 P,, Assim, o vlor prctul, rrdoddo às uidds, d probbilidd pdid é % N A 7 N A,7, 7 O umto oi d, proimdmt, úrs,t, t N At Nb t,t,t 7,t,t,t impossívl l,t l t, Form cssários dis, proimdmt Como t t N N B A 7 t t 7,t t t,t,, Como, prctm d úrs do lo A sri, proimdmt 7 7, % do lo B,, %, ão ist Portto, é dscotíu m qulqur qu sj o vlor d k Como Pr qu sj cotíu à squrd m k k k l, é cssário qu, ou sj, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

69 Como é cotíu m pocil, mbs cotíus m cojuto Por outro ldo R \, porqu é o quocit tr um ução costt um R \, o ráico d ão tm ssítots vrticis st plo qu o ráico ão tm ssítots vrticis Assítots orizotis: Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d tto m como m Cálculo dircil t mv, b t mv, c t mv,,,, t mv, Por mplo,, b Por mplo,, c Por mplo,, d Por mplo,, s s v m b s s A vlocidd o istt t é m/s DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

70 ' Cálculo uilir: b ' c ' As coordds do poto A são:,, s do poto V são: b b,,, Etão, o dcliv d rt AV é m qução d rt é O poto V d coordds, o poto d coordds, Os potos comus à sct o ráico d são,,,, Assim, o dcliv d rt sct é m su qução é ' A qução d rt tt o ráico d o poto d coordds, é ' A tt o ráico d é orizotl os potos do su domíio od drivd s ul ' Etão, o poto do ráico d od tt é orizotl é:,, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

71 7 7 A rt t tm dcliv Etão, ' m t é tt o ráico d o poto d bciss 7 O dcliv d rt orml o poto d bciss é m Etão, qução rduzid d orml é b, com b, ou sj, 7 b A ução pod sr diid por: Etão, é cotíu qur m, ' ' s s qur m, itrvlos Por outro ldo, Portto, é cotíu m R, qu é o su domíio A ução ão é drivávl m: D cto: ' ' A ução é cotíu o itrvlo m,,, porqu é poliomil m qulqur dsts, porqu é um ução rciol, tmbém cotíu, porqu é o quocit d dus uçõs cotíus riz d ução idtidd ução idtidd Por outro ldo, Portto, ão é cotíu m Assítots vrticis: Porqu ução é cotíu m qulqur poto do su domíio cto m, tm um úic ssítot vrticl cuj qução é Assítots ão vrticis: Como, o ráico d tm um ssítot orizotl m pod sr diid pl qução DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

72 m ; b Etão, rt d qução é ssítot do ráico d m ão ist, porqu é dscotíu m: A qução d rt tt o ráico d o poto d bciss é: A ução tm drivd m, plo qu é cotíu ss poto Sb-s qu o dcliv d tt o ráico d o poto, é: m Etão, qução d rt tt é d orm b b b Como, qução rduzid d rt tt é, um vz qu é cotíu m b Rspost C A A drivd m sri suprior ; B A ução ão tri drivd m: ; D A ução ão sri cotíu m: A ução drivd d tm domíio R é diid por: DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

73 b A ução drivd d tm domíio \ R é diid por: c Pr, tm-s: Pr, tm-s: Pr : A ução ão é drivávl m: A ução drivd d tm domíio \ R é diid por: s s b b C q d Pr, utilizdo s rrs d drivção, vm: pr Etão, ão é drivávl m: Portto, ução drivd d tm domíio \ R s s b s s Etão, s s Rpr-s qu: Portto, ução drivd d tm domíio \ R DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

74 A rprstção ráic d sur qu o su ráico é diido por dus smirrts obliqus d dclivs m, s, m, s um smto d rt orizotl o itrvlo, Portto, ução drivd é diid por: s s s S k k S mbs s uçõs são drivávis, tm-s: k k C q d 7 b c A ução drivd d é diid por: Etão, s bcisss dos potos do ráico d od rt tt é prll à rt d qução srão quls cuj drivd é iul, ou sj, Etão, o poto d têci é, Tm-s, tão, qu qução d rt tt é b m qu b é tl qu: b b Portto, qução d rt tt é: A ução é cotíu m, porqu ist O dcliv d rt pdid é m Etão, qução d rt tt o ráico d o poto d bciss é b, od b b, ou sj,, b c b 7 DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

75 c 7 d i Pr qu m sj drivávl m, é cssário qu sj cotíu ss poto Etão, como m m, é cssário qu: b b m m Por outro ldo, é cssário tmbém qu: ' ' m m m m m m m m Portto, tm-s b Etão, o poto od tt o ráico d é orizotl tm coordds, b c d i j DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

76 l S o ráico d dmit tt o poto d bciss, tão, é drivávl m, cosqutmt, cotíu ss poto A ução é cotíu porqu é rciol prtc o domíio d, tão, é cotíu m Portto, ução + é cotíu m, porqu som d dus uçõs cotius um poto é cotíu ss poto O dcliv d rt t é m, plo qu, Etão, \ ' R D Portto, os vlors d pr os quis rt d qução é tt o ráico d são S é um ução qudrátic, é diid por um poliómio d sudo ru d orm c b, com b Como é um ução im, tm cotrdomíio R é ijtiv, tão, qução tm um úic solução m R b b Portto, ist um um só poto do ráico d od rt tt é prll à bisstriz dos qudrts ímprs 7 Equção d rt tt: A qução d rt t é, tão, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

77 Equçõs ds ssítots vrticis: 7 7 ; vrticis do ráico d 7 7 ; vrticl do ráico d Equçõs ds ssítots orizotis: é qução d ssítot orizotl do ráico d é qução d um ds ssítots é qução d outr ssítot Coordds do poto A: Itrsção d rt t com ssítot orizotl ; A, Coordds do poto B: Itrsção d ssítot orizotl com ssítot vrticl d qução, B Coordds do poto C: ; C, Cálculo d ár: A ABC D R : R R R D R : D D R : b D R : D, lo Por mplo: b c d Sjm s uçõs r v r diids por Etão, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 77

78 b Sjm s uçõs r v r diids por Etão, A drivd d pod sr diid por: Etão, Por outro ldo, como tt o ráico d ução o poto d bciss é diid pl qução, tm-s qu, porqu ordd do poto d têci é, b b 7, mv t b 7 7, 7 mv t c, mv t 7, mv t b c d i DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

79 l j l l l A drivd d pod sr diid por: l l O dcliv d rt pdid é l l l o poto d têci tm coordds, Etão, qução rduzid d rt tt o ráico d m é l l Cálculo d ordd orim: l l b b C q d Etão, qução rduzid d rt tt o ráico d o poto d coordds, é: 7 A ução drivd d tm domíio ' R\ D Cálculo uilir: b s s, plo qu ão tm drivd m Etão, drivd d pod sr crctrizd por: s s b l l Fzdo l, vm l, dizr qu é o msmo qu dizr qu: Etão, l l l l l c l l l d l l l DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

80 Fzdo k dizr qu é o msmo qu dizr qu Etão, k k it otávl C q d b c l l l l l l d l l l l l l l l l l l DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

81 Assítots vrticis: A ução é cotíu m,, porqu é o quocit d dus uçõs cotíus ução idtidd um pocil É tmbém cotíu m,, porqu á dirç d dus uçõs cotíus dus pociis O ráico d ução ão tm ssítots vrticis Assítots orizotis: A rt d qução é ssítot orizotl o ráico d m st é úic ssítot do ráico d prll os ios coorddos b c DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

82 l l l l b l l l l l l l l l l l ' b c l d l i l l l l j l l l l l Etão, qução rduzid d rt tt o ráico d o poto d bciss é DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

83 7 l l l l O poto Q tm coordds, ráico d m Q é b b b Etão, o poto P tm coordds:, Portto, ár do trpézio é S u Assim, l u, tão, u, D l u u u, o poto R tm coordds, l u u u l u u u u l u u l u u C q d rt tt o u u b Como m m, tão, ão tm um trmo rltivo b Como m, tão, tm um míimo rltivo m c Como m, tão, ão tm um trmo rltivo DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

84 A ução é dcrsct m é míimo rltivo b c - - d - + -,, m, m, é máimo rltivo crsct m,, R Etão, ução é stritmt crsct m R s s Portto, é dcrsct m, qu é tmbém o míimo bsoluto, crsct m, tm um míimo rltivo, d A ução é dcrsct m,, crsct m, tm míimo bsoluto: Mi D, Etão, porqu, D, é moóto crsct DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

85 A ução N é cotíu porqu é um rstrição d um ução pocil é cotíu o itrvlo, N N Etão, plo torm d Bolzo ist plo mos um t, pr o qul N t 77 sj, tr sud trcir sms, o úmro d dots tiiu os 77 R, tão,, ou N t t Como t, tm-s: N t t t t t t t t t N' + - N Mi Má t Etão, o úmro máimo d pssos tds oi N, vlor proimdo, por rrdodmto, às uidds l s s - - d - d + - Má A ução é dcrsct m,, m, Tm um máimo rltivo, m, crsct m, l O poto d têci é, o dcliv d rt tt m Etão, qução d rt tt o ráico d o poto d bciss é l l l DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

86 ' + - Má A ução é dcrsct m,, crsct m, tm máimo bsoluto m: Como,,, rltivo m: um míimo rltivo m: AD DC, tm um máimo Etão, ár d [ABCD] é AD DC 7 7 As coordds do poto P são, s do poto Q,, um vz qu o triâulo [OPQ] é isóscls Etão, o triâulo [OPQ] tm bs iul ltur iul Portto, ár do triâulo é dd, m ução d, por A C q d 7 A A A' + - A O máimo vlor qu ár pod ssumir é: A prssão t t t drivd, t t A Má prmit obtr vlocidd m cd istt t su Etão, clrção o istt, clrção ss msmo istt t é: Os dois móvis têm msm vlocidd o istt t t t t t t t t t t t t t t t t DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

87 b c d i lo lo l l b c d São vrddirs s irmçõs: porqu, d, porqu s crsct, porqu, sdo ' crsct tm-s qu:,, crsct, tão, é, plo qu é Assocido o sil d sud drivd com s cocvidds do ráico d ução coclui-s qu: ução com III, ução com I ução com IV ução j com II A sud drivd d pod sr diid por: PI PI O ráico d tm cocvidd voltd pr cim m, m,, tm cocvidd voltd pr bio m, E tm dois potos d ilão,, b A sud drivd d pod sr diid por PI PI DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

88 O ráico d tm cocvidd voltd pr bio m, m,, tm cocvidd voltd pr cim m, tm dois potos d ilão,, c A sud drivd d pod sr diid por: s, s,, s, s, Etão, o ráico d tm cocvidd voltd pr cim m, m,, cocvidd voltd pr bio m, ão tm potos d ilão d A sud drivd d i pod sr diid por: i i PI PI O ráico d tm cocvidd voltd pr cim m, m,, tm cocvidd voltd pr bio m, E tm dois potos d ilão,, A sud drivd d j pod sr diid por j j j j PI PI O ráico d j tm cocvidd voltd pr bio m, m,, tm cocvidd voltd pr cim m, tm dois potos d ilão,l,l Tm-s qu Etão, qução rduzid d rt tt o ráico d o poto d coordds, é DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

89 - - + PI Etão, o ráico d tm cocvidd voltd pr bio m,, voltd pr cim m, um poto d ilão cuj bciss é - A sud drivd d pod sr diid por b b Sb-s qu, porqu é dus vzs drivávl m R, ilão do ráico d Etão, b b b b b b Portto, os vlors d b são, rsptivmt 7 Prtd-s dtrmir os vlors d pr os quis, ou sj, l Dtrmido itrsção do ráico d com rt d qução, obtém-s o vlor proimdo d bciss d B, qu, proimdo às ctésims, é,7 é poto d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

90 7 7 A ução é crsct m,, dcrsct m, tm um míimo rltivo m um máimo rltivo m l, tão rt d qução é ssítot vrticl do ráico d Como é cotíu, st é úic ssítot vrticl do ráico d 7 l A drivd d pod sr diid por:, l l ' + - Etão, tm um máimo rltivo qu é: 7 N clculdor obtém-s prt do ráico d prt d rt d qução, dtrmim-s s coordds dos potos d itrsção ds dus curvs As bcisss dsts potos são s soluçõs d qução Portto, os vlors proimdos às décims ds soluçõs dst qução são,, l Má 7 D R \, Etão, é o úico zro d Itrsção com os ios:, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

91 , R \, Etão, é um ução ímpr Assítots vrticis cotiuidd: A ução é cotíu Etão, s úics ssítots vrticis d são diids pls quçõs: Assítots orizotis: porqu é ímpr Etão, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d m m Mootoi trmos: Como, R \,, ução é dcrsct m,, m, m, A ução ão tm trmos rltivos Cocvidds do ráico d potos d ilão: - d + - d + d PI d O ráico d tm cocvidd voltd pr bio os itrvlos,,, cocvidd voltd pr cim os itrvlos,, tm um poto d ilão d coordds, D R DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

92 b D R Zros: Potos d itrsção com os ios:, ;, ;, Pridd: Etão, é ímpr Cotiuidd ssítots vrticis: A ução é cotíu m R Etão, o su ráico ão tm ssítots vrticis Assítots ão vrticis: Como é um ução poliomil d ru, o su ráico ão tm ssítots ão vrticis Mootoi trmos: 7 7 A ução é crsct m Má Mi, m,, dcrsct m, máimo rltivo um míimo rltivo 7, tm um PI PI PI O ráico d tm cocvidd voltd pr bio m, m cocvidd voltd pr cim m 7,,,, 7,,,, três potos d ilão, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

93 D R c D R l l l Impossívl A ução ão tm zros Assítots vrticis cotiuidd: A ução é cotíu l A rt d qução é úic ssitot vrticl do ráico d Assítots ão vrticis: l l m b l l O ráico d ão tm ssitots ão vrticis l Mootoi trmos: ' - + A ução é dcrsct o itrvlo,, qu é tmbém míimo bsoluto Cocvidds do ráico potos d ilão:, R mi, crsct m, Etão, o ráico d tm cocvidd voltd pr cim tm míimo bsoluto DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

94 , D d R\ D i Zros: i A ução i ão tm zros o ráico d i ão itrst um dos ios coorddos i A ução i ão é pr m ímpr Cotiuidd ssítots vrticis: A ução i é cotíu porqu é o produto d um im d compost d dus uçõs cotíus um rciol um rciol i i A rt d qução é, tão, úic ssítot vrticl do ráico d i Assítots ão vrticis: i m i b i m i b DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

95 é qução d ssítot oblíqu o ráico d i qur m qur m i i i + - d + A ução i é crsct m rltivo m i Má d, m,, dcrsct m, tm um máimo i i - d + i d O ráico d i tm cocvidd voltd pr bio m,, cocvidd voltd pr cim m, ão tm potos d ilão D i,, 7 D obsrvção do ráico d ução prcb-s qu st é dcrsct m, m c, é crsct o itrvlo, c Etão, ução drivd d ão pod sr positiv m, c, m tiv o itrvlo, c A úic ução qu stá s codiçõs m rrids é rprstd o ráico II Como o ráico d tm cocvidd voltd pr cim m,b voltd pr bio m b,, sud drivd d ão pod sr tiv o primiro itrvlo m positiv o sudo O ráico qu s cotr sts codiçõs é o ráico I DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

96 7 7 Pr qulqur úmro rl, tm-s Etão, é um ução pr 7 A ução é cotíu m R, plo qu o su ráico ão dmit ssítots vrticis Como é pr, Portto, rt d qução é ssítot orizotl do ráico d qur m qur m 7 A ução drivd d pod sr diid por: - + M é o máimo bsoluto d C q d Etão, 7 A ução drivd d, pr cd vlor d, pod sr diid, m R \, por: Como, R\, tm-s qu:, portto, ução drivd d ul-s m mud d tiv positiv st poto, plo qu tm um míimo rltivo ss poto Zros d : Assítots vrticis: F é cotíu,, s ou, s, s ou, s A rt d qução é úic ssítot vrticl do ráico d Assítots ão vrticis: m m O ráico d ão tm ssítots orizotis Stido d cocvidd potos d ilão: DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

97 7 7 A ução é cotíu, tm domíio \, R \, R é pr ddo qu, pr qulqur Por outro ldo, Etão, s rts d quçõs são s úics ssítots vrticis do ráico d Assítots orizotis: S ução é pr, tão, Assim, rt d qução é ssítot do ráico d qur m qur m 7 C q d 7 Como, R \,,, \, \, m,, crsct m, m, tm um Etão, é dcrsct m míimo rltivo qu é 7 ',, D 77 l l l l l l l l b D R, R, tão, é crsct DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

98 c l l m b b b A qução rduzid d rt tt é: 7 7 R : l R D \ 7 l l l l Etão, rt d qução é ssítot vrticl do ráico d 7 l l l l l l l, R, tão, é crsct m, m, \ ão tm trmos 7 7 R : R D \ Pr, é cotíu porqu é o produto d uçõs cotíus Pr, é cotíu porqu é rciol Pr : Etão, é dscotíu m, ms cotíu à dirit ss poto DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

99 7 N lí trior cocluímos qu rt d qução ão é ssítot vrticl do ráico d A rt d qução é úic ssítot vrticl A rt d qução é ssítot orizotl do ráico d Atrvés do studo do sil d obtmos os itrvlos d mootoi d qu coicidm com o sboço do ráico prstdo m M Atrvés do studo d mootoi d obtmos o sil d, cosqutmt, o stido ds cocvidds d qu tmbém coicid com o ráico prstdo D R : R\ l l l Como é cotíu, rt d qução l é úic ssítot vrticl do su ráico DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

100 As rts d qução, R são s ssítots orizotis do ráico d Etão, o ráico d tm cocvidd voltd pr bio l, l,,, Prtd-s cotrr os potos cujs bcisss vriiqum suit qução: As coordds dos potos do ráico d cujs ordds são iuis às bcisss são:, ;,, ;, AP O custo, m milrs d uros, m ução d é ddo por: DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

101 C Pr dtrmir o custo míimo: C C Vriicção: C - + C m Pr obtr o custo míimo, o poto P dv str proimdmt mtros d C km do poto C, ou sj, l, P,,, O ívl d poluição r d,m/l S, qudo o puriicdor oi dslido, o ívl d poluição comçou umtr imditmt, bst dtrmir o ívl d poluição míimo ss di P t t P t l t l t lt t t t t t t - l t t P t P m DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

102 7,, 7 O puriicdor oi dslido á or miutos l d - + d m é o úico míimo d A ltur do º post é: A ltur do º post é: A dirç d ltur tr os dois posts é, Etão, dirç é d, mtros Pr dscobrir o poto mis próimo do solo, tm d dtrmir-s o míimo d ução,,,,,,,,,,,, m A distâci o º post do io mis próimo do solo é mtros Pr sbr ltur qu bol pss pl rd, bst dtrmir, :,,, l,,, DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

103 Etão, bol pss por cim d rd sm l tocr Pr vriur s bol ci o cmpo do dvrsário, bst cosidrr ução j, prolomto d o itrvlo,,,,+,=, it do cmpo dvrsário,, j, l,, Como j é cotíu m, ;, j, j,, plo Corolário do Torm d Bolzo j tm um zro m, ;,, ou sj, bol bt o cão dtro do cmpo dvrsário Ercícios lobis Pá 7 7 Escol múltipl 7 D t C C, t C, t, t t mss são os mss Rspost: C R :, D, lo S,,, Rspost: C lo lo lo lo Rspost: D Rspost: D DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

104 k k k k k Etão, k k k k Rspost: B é cotíu m, 7 7 Rspost: B Rspost: D S é ssítot pr, tão, Rspost: D R D, tão, dmit um ssítot vrticl, tão, dmit dus ssítots orizotis Rspost: D DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

105 S é ssítot pr, tão,, tão, ssítot orizotl tm qução: Rspost: D 7 Rts prlls têm o msmo dcliv, como o dcliv d rt tt é iul à drivd d ução o poto d têci, tm-s: l Rspost: A mt Rspost: C, m s, tão, s: m r, tão, r : Etão, o poto d itrsção tm coordds, Rspost: B m t tº, tão, Rspost: A S, tão, ou é dcrsct o su ráico tm cocvidd voltd pr cim, ou é crsct o su ráico tm cocvidd voltd pr bio Rspost: B DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

106 Sb-s qu qu: Rspost: D Sb-s qu, tão, s, vriicm-s s dus codiçõs Rspost: A Pl ális do ráico d, sb-s qu ão ist drivd um poto d bciss positiv k Pr potos d bciss irior k, drivd é costt positiv, pr potos d bciss suprior k, drivd é costt tiv Rspost: B Plo studo d vrição d ução, coclui-s qu:, tão, Rspost: D Estuddo o sil d mootoi d tm-s: Rspost: C 7 Estuddo o sil d mootoi d tm-s: m M Etão, é um míimo rltivo d Rspost: C DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

107 Rspost brt t t l Q t,, t lo,, l, Srão cssários, os, proimdmt t t l Q, Q, t lo,, l, Srão cssários crc d, os, prtd-s dtrmir d modo qu: Sj A t d juro tri d sr,7 %,, B,, D, A, BC AB C A ABC lo Sb-s qu: b b 7 DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci 7

108 , R,, ou sj, b R b R c b Etão, R b c P lo P lo P clot lo P lo P lot lo P lo P P lo P P lo P lo P clo t clo t lo P lo P c c lo t lot P P t c t c P,, 7 Obtr-s-á, proimdmt,,7 l c lo 7, l 7 Sb-s qu: T T 7 T b 7 b b k k k b b k l l t l t T t 7, 7, Ao im d miutos, l t l, t l, l, t l, t À mdid qu o tmpo dcorr, tmprtur do corpo td iulr tmprtur mbit DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

109 A ução é cotíu m, Etão, Plo Corolário do Torm d Bolzo, ução tm plo mos um zro m m m m m m m m m m m m m m Como m m m é pr, tm-s cssrimt qu: m m m m m m M Embor, ão s coç vrição d m,, prov-s qu, s m or pr, tm um míimo m b Alomt, s é pr, tm-s, cssrimt: m m m m m M m Embor ão s coç vrição d m,, prov-s qu, s or pr, tm um míimo m DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci

110 Como são positivs, tm-s qu R,, ou sj, o ráico d tm cocvidd voltd pr cim Assítots vrticis: A rt d qução é ssítot Como ução é cotíu m \ R, ão istm mis ssítots vrticis Assítots ão vrticis: b m Alomt, A rt d qução é ssítot d + + M d, é máimo rltivo é o úico trmo d DESAFIOS Mtmátic A º o Still Costâci