Cálculo Diferencial e Integral 1

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1 NOTAS DE AULA Cálculo Dirncil Intgrl Drivds Prossor: Luiz Frnndo Nuns, Dr. 8/Sm_

2 Cálculo ii Índic Drivds.... Dinição.... Função drivd.... Drivds ds unçõs composts.... Rgrs d drivção.... A Drivd como T d Vrição Intrprtção gométric d drivd Drivds sucssivs....8 Intrprtção cinmátic ds drivds....9 Drivds ds unçõs implícits Crscimnto dcrscimnto d unçõs Ts rlcionds Máimos mínimos.... Concvidd pontos d inlão.... Problms d otimizção nvolvndo máimos mínimos A Rgr d L Hospitl....6 Dirnciis....7 Ercícios propostos... Rrêncis Bibliográics... 6 Cálculo Dirncil Intgrl

3 Pro. Nuns Drivds. Dinição Sj um unção dinid m um intrvlo brto I um lmnto d I. d Cm-s drivd d no ponto, dnotd por, d Emplos: lim S scrvrmos lim, s st limit istir or inito., ntão, : Encontr drivd d unção 8 9 no ponto. 8 9] lim lim 8 lim lim 8 8 Rspost: 8 Encontr drivd d unção, no ponto d bsciss. ou D, o limit: 8 9] m lim lim lim lim lim lim lim Rspost:. Função drivd Dinição: Sj um unção drivávl no intrvlo brto I. Cmmos d unção drivd d unção, à unção qu ssoci cd vlor d I, drivd d no ponto. Emplo: Encontr unção drivd d unção. lim lim ] ] Cálculo Dirncil Intgrl

4 Pro. Nuns lim lim Rspost: lim Dinição: Sj um unção dinid m um intrvlo brto I um lmnto d I. Dizmos qu é um unção dirnciávl m, s istir o limit: lim. Em outrs plvrs, um unção é dirnciávl nos pontos ond ist. Gricmnt obsrv-s qu um unção é dirnciávl nos pontos m qu o gráico é suv. Emplo: Encontr os pontos m qu unção é dirnciávl. o Pr, pr suicintmnt pquno, portnto lim d ;, logo: lim. Assim, é dirnciávl pr vlors o Pr, pr suicintmnt pquno, portnto, logo: lim lim lim. Assim, é dirnciávl pr vlors d ; o Pr, tmos: lim lim. Cálculo Dirncil Intgrl

5 Pro. Nuns Ms lim lim lim lim. Logo, como sts limits ltris são dirnts, concluímos qu Assim, não é dirnciávl no ponto. lim não ist. Rspost: é dirnciávl m todos os pontos, cto, no ponto. D to, obsrvndo o gráico d ponto, no ponto. Torm: Sjm unção m., vmos qu o msmo não é suv orm um : A A. S é drivávl m, ntão é contínu Obsrvção: A rcíproc dst torm não é vrddir.. Drivds ds unçõs composts Considrmos dus unçõs drivávis g ond gu u, isto é, podmos considrr unção compost g o. d du Então s drivds istm drivd d unção compost du d d d du g o g tm drivd qu é dd por: ou g u. d du d Est prssão é concid por Rgr d Cdi.. Rgrs d drivção Aplicndo-s dinição d unção drivd, bm como rgr d cdi, podmos dduzir s sguints rgrs d drivção. k, k k u, k k u n n u n u u n u u, u n n n u u ln u u u u v v v u v u u u ln u v u v u v u v u v u v u u v u v v v log u u u ln Cálculo Dirncil Intgrl

6 ln u u u snu cosu u cosu sn u u tg u sc u u scu scu tg u u cosscu cosscu cotgu u cotgu cossc u u rc snu u u rc cosu u u rc tg u u u rc scu u u u rc cosscu u u u rc cotgu u u Pro. Nuns Emplos: Utilizndo s rgrs d drivção, ncontr unção drivd d cd um ds sguints unçõs: Rspost: b Rspost: c ] Rspost: d Cálculo Dirncil Intgrl

7 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl ] Rspost: ] Rspost: ] Rspost: g 6 8 ] ] 6 ] ] ] ] Rspost: ] ] Rspost: i b ] ] b b b b b b b b b b Rspost: b

8 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl 6 j 6 6 6] 6 ] Rspost: k ] Rspost: l ] ] Rspost: 99 m 9 ] ] ]

9 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl 7 Rspost: 8 n ] ] ] ] Rspost: o sn cos ] sn sn sn sn Rspost: cos sn p sc tg sc ] tg sc ] sc sc sc sc sc Rspost: tg sc sc q tg sc tg ] tg sc tg ] sc tg sc tg sc sc tg tg sc tg sc tg tg sc tg sc sc tg tg sc tg tg sc tg tg tg tg sc Rspost: tg tg sc r cos

10 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl 8 ] cos cos cos ] sn cos sn cos sn cos Rspost: s ln ] ] ] ln Rspost: t sn ] sn sn sn cos sn ] cos sn cos sn Rspost: cos sn u sn ] cos sn ] cos ] cos cos cos

11 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl 9 Rspost: cos v cos ] cos ] cos cos cos cos sn sn cos cos Rspost: sn cos ] Rspost: ] Rspost: z ln ] ln ] ln ln Rspost: ln. A Drivd como T d Vrição S um quntidd é um unção d um quntidd, podmos prssr t d vrição d por unidd d vrição m. S rlção uncionl é dd por s vri do vlor pr, ntão vri d pr. Assim, vrição m qu pod sr dnotd por srá, qundo vrição m or. Então, t médi d vrição d por unidd d vrição m, qundo vri d pr, srá. S o limit dst quocint istir qundo, st limit srá o qu intuitivmnt considrmos t d vrição instntân d por unidd d vrição d m, isto é: lim

12 Pro. Nuns Emplo: S um rmind substânci or qucid, tmprtur m grus Célcius, pós t minutos, t, srá dd por T t t 6 t 8. Dtrmin t médi d vrição d T no intrvlo d tmpo t, ; b Dtrmin t d vrição instntân d T, qundo t. T, T,9,6 C / min,, b T t t 6 t 8 T t t 6 t T t T, t Rsposts:,6 C / min b, C / min 8 T t C / min 6 t t.6 Intrprtção gométric d drivd. Sj um unção contínu m um intrvlo brto I. Vmos dmitir ind, qu ist drivd d no ponto I. Então, o coicint ngulr m d rt tngnt o gráico d no ponto d bsciss é. Isto é: m lim. Qundo tmos qu s t Cálculo Dirncil Intgrl

13 Pro. Nuns Vl pn lmbrr, qu qução d rt qu pss plo ponto, qu tm coicint ngulr m é dd por: m. Emplo: Encontr qução d rt tngnt o gráico d unção 8 9, no ponto d bsciss Logo m 8. O ponto d bsciss tm imgm: 9 6. Assim, o rcício pd qução d rt tngnt o gráico d rrid unção no ponto, 6. Finlmnt, qução d rt qu pss plo ponto, qu tm coicint ngulr m é dd por: m. Assim, tmos 6 Rspost:. Cálculo Dirncil Intgrl

14 Encontr qução d rt tngnt o gráico d unção. Pro. Nuns, no ponto d bsciss ] ] m O ponto d bsciss tm imgm:. Assim, o rcício pd qução d rt tngnt o gráico d rrid unção no ponto,. Finlmnt, qução d rt qu pss plo ponto, qu tm coicint ngulr m é dd por: m. Assim, tmos Rspost:. Encontr s quçõs d rt tngnt d rt norml à curv, no ponto,. m Finlmnt, qução d rt qu pss plo ponto, é dd por: m. Assim, tmos qu tm coicint ngulr m Cálculo Dirncil Intgrl

15 A rt norml, tm coicint ngulr igul. m Pro. Nuns Assim, qução d rt qu pss plo ponto, qu tm coicint ngulr dd por: m é m. Rsposts: Rt tngnt no ponto, : Rt norml no ponto, : Encontr os pontos sobr curv 6, ond s rts tngnts são orizontis. 6 Procurndo s imgns dsts pontos n unção, obtmos:,,,, Cálculo Dirncil Intgrl

16 Pro. Nuns Rsposts:,,,, Encontr o ponto sobr curv, ond rt tngnt é prll à rt. Supondo, b o ponto d tngênci: ln ln ln ln ln ln ln ln t S ln lmbrr qu s t Logo o rrido ponto é: ln, Rspost: ln,.7 Drivds sucssivs Sj um unção contínu m um intrvlo I sj I o conjunto dos pontos d I, m qu é drivávl. Em I dinimos unção, cmd d unção drivd primir d. Sj I o conjunto dos pontos d I m qu é drivávl. Em Cálculo Dirncil Intgrl I, dinimos unção

17 Cálculo Dirncil Intgrl Pro. Nuns, cmd d unção drivd sgund d. Rptindo o procsso, podmos dinir s drivds trcir, qurt, tc. d. A drivd d ordm n d é dnotd por Outrs notçõs pr s drivds sucssivs: Drivd primir d d d d d d d d d d Drivd sgund d d d d Drivd trcir d d Emplos: Clculr s drivds sucssivs d 7 Clculr s drivds sucssivs d ] ] ] n n ] ] ].8 Intrprtção cinmátic ds drivds ntão: n. S distânci prcorrid por um móvl prtir d um posição é dd por t, vlocidd médi ntr dois instnts t t é: b vlocidd instntân no instnt t é: v v m t c clrção médi ntr dois instnts t t é: d clrção instntân no instnt t é: Emplos: t t t d t t t t t t t v t v t m t t d t lim v t t t t t lim t t t t v t Sgundo li do movimnto uniormmnt clrdo, t v t t. S v, clcul vlocidd instntân d um móvl qu obdc st li, no instnt t sgundos, sndo m mtros.

18 Pro. Nuns t v t t t t t t t t t v t t t v Rspost: v 6 Um prtícul s mov sgundo unção t 8 t t vlocidd srá nul m mtros t m sgundos? t 8 t t v t t t 8 t t v t t t 8 t t t t impossívl Rspost: t sgundos. Assim, tmos: d? d d d d d d d d d d d d d d d Cálculo Dirncil Intgrl. Em qu instnt su Um prtícul s mov sgundo unção t t t t. Ac vlocidd clrção no instnt t sgundos m mtros. d v t t t 9 t t dv d t v t t s t t 8 t Logo, v 9 7 m / s 8 Rspost: m / s v 7 m / s m / s.9 Drivds ds unçõs implícits Emplos d unçõs n orm implícit: b cos c Pr obtrmos drivd d um unção dd n orm implícit, primiro drivmos tod prssão m rlção, tomndo como um unção d. N squênci, isolmos d ou. d

19 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl 7 d d d d d d d d Rspost: d d b? cos d d cos cos cos d d d d d d sn cos d d d d sn cos d d d d d d sn cos d d d d d d d d sn sn cos sn cos sn d d d d sn cos sn d d sn sn cos d d Rspost: sn sn cos d d c? d d d d d d Rspost: d d

20 . Crscimnto dcrscimnto d unçõs Torm: Sj um unção contínu m, b] drivávl m ], b. Então: i ii iii m ], b é crscnt m, b] ; m ], b é dcrscnt m, b] ; m ], b é constnt m, b]. Emplos: Pro. Nuns Encontr os intrvlos d crscimnto d dcrscimnto d unção. 8 Rspost: Como s, tmos qu é crscnt s ; Como s, tmos qu é dcrscnt s ; Encontr os intrvlos d crscimnto d dcrscimnto d unção 6. Cálculo Dirncil Intgrl

21 Pro. Nuns 9 Rspost: Como s, tmos qu é crscnt qundo ; Como s, tmos qu é dcrscnt qundo ; Encontr os intrvlos d crscimnto d unção ln. ln Pr qu sj crscnt, dvmos tr:. Anlisndo os sinis do qudro, concluímos qu s, ntão: ou. Rspost: ou. Ts rlcionds Eistm lguns problms rlciondos com t d vrição d dus ou mis vriávis m rlção o tmpo. N squênci são prsntdos lguns mplos. Cálculo Dirncil Intgrl

22 Pro. Nuns Emplos: Um scd com mtros d comprimnto stá poid m um prd vrticl. S bs d scd dsliz, stndo-s d prd um t d m/s. Com qu vlocidd o topo d scd stá scorrgndo pr bio n prd, qundo bs d scd stá m d prd? d d m/s? qundo m d d d d Pr, logo m / s O sinl ngtivo indic qu o topo d scd stá dscndo, isto é, stá diminuindo com o tmpo. Rspost: d m / s Um tnqu d águ tm orm d um con circulr invrtido com o vértic pr bio, com bs d m d rio ltur m. S águ stá sndo bombd pr dntro do tnqu um t d m / min, ncontr t pl qul o nívl d águ strá s lvndo, qundo águ tivr m d proundidd. d dv m /min Cálculo Dirncil Intgrl

23 d? qundo m Pro. Nuns V r Ms, V r r r V V Drivndo st últim prssão, m rlção o tmpo: V dv d d Substituindo d dv m m / min, obtmos: d, Rspost: d, 8 m / min 8 m / min Um crro A sgu m dirção o ost com vlocidd d 9 km/ um crro B sgu rumo o nort km/. Ambos stão s dirigindo pr intrscção d dus strds. A qu t os crros s proimm um do outro, qundo o crro A stá 6 m o crro B 8 m d intrscção? dv Pr z 6 m,6 km 8 m,8 km, tmos z, km Drivndo tudo m rlção t: z dz z d z dz d dz d,6, d dz z d d 9,8 ] km / d d Obs.: As vlocidds stão ngtivs, pois stão diminuindo com o tmpo. Cálculo Dirncil Intgrl

24 Rspost: dz km / Pro. Nuns. Máimos mínimos Dinição: Um unção tm um máimo rltivo ou máimo locl m c, s istir um intrvlo brto I, contndo c, tl qu c, I D. Dinição: Um unção tm um mínimo rltivo ou mínimo locl m c, s istir um intrvlo brto I, contndo c, tl qu c, I D. Dinição: Dizmos qu c é um máimo bsoluto ou máimo globl d unção, s c D c, D. Dinição: Dizmos qu c é um mínimo bsoluto ou mínimo globl d unção, s c D c, D. Emplo: N igur qu sgu, os pontos qu têm bscisss,, são cmdos d pontos trmos d unção. Os pontos, são mplos d pontos d máimo rltivos ou pontos d máimo locis d. Os pontos, são mplos d pontos d mínimos rltivos ou pontos d mínimo locis d. Os vlors d,, são tmbém cmdos d vlors trmos d. Dinição: Um númro c D, tl qu c ou qu c não ist, é cmdo d ponto crítico d. Emplo: Encontr os pontos críticos d unção cuj rgr é. ] ] Cálculo Dirncil Intgrl

25 Pro. Nuns 8 Fzndo 8 8 não ist pr. Logo, os pontos críticos d são: Rsposts:. Torm: S tivr um máimo ou mínimo locl m c, ntão c é um númro crítico d... Critérios pr rminr os trmos d um unção Torm Critério d drivd primir: Sj um unção contínu m um intrvlo cdo, b ], qu possui drivd m todo ponto do intrvlo brto ], b, cto possivlmnt num ponto c. i S pr todo c s pr todo c, ntão tm um máimo rltivo m c; ii S pr todo c s pr todo c, ntão tm um mínimo rltivo m c. Emplo: Encontr os pontos d máimo mínimo locis d unção cuj rgr é Obsrvndo o gráico d 7, ou construindo um qudro d sinis, obsrvmos qu: Cálculo Dirncil Intgrl

26 Pro. Nuns pr vlors d 7 pr vlors d 7 ponto qu tm bsciss é um ponto d máimo locl d ; 7 7, logo, o pr vlors d 7 7 pr vlors d 7 ponto qu tm bsciss é um ponto d mínimo locl d ; 7, logo, o Rsposts: locl d ; 7 é um ponto d máimo locl d 7 é um ponto d mínimo Torm Critério d drivd sgund: Sj um unção drivávl m um intrvlo brto ], b c um ponto crítico d nst intrvlo, isto é c, com c b. S dmit m ], b, tmos: i S, ntão tm um máimo rltivo m c; ii S, ntão tm um mínimo rltivo m c. Emplo: Encontr os pontos d máimo mínimo locis d unção cuj rgr é Cálculo Dirncil Intgrl

27 6 6 logo tm um máimo locl m. 6 6 logo tm um mínimo locl m. Pro. Nuns. Concvidd pontos d inlão Dinição: Um unção é dit côncv pr cim no intrvlo ], b, s é crscnt nst intrvlo; Obs. S é crscnt m um intrvlo, ntão nst intrvlo. Dinição: Um unção é dit côncv pr bio no intrvlo ], b, s é dcrscnt nst intrvlo; Obs. S é dcrscnt m um intrvlo, ntão nst intrvlo. Dinição: Um ponto P c, c do gráico d um unção contínu é cmdo d ponto d inlão, s ist um intrvlo ], b, contndo c, tl qu um ds sguints situçõs ocorr: i é côncv pr cim m ], c côncv pr bio m ] c, b ; ii é côncv pr bio m ], c côncv pr cim m ] c, b ; Em outrs plvrs, pontos d inlão são pontos ond curv d mud o sntido d concvidd, isto é, pss d crscnt pr dcrscnt ou vic-vrs. Isto signiic tmbém, qu são os pontos ond pss d positiv pr ngtiv, ou vic-vrs Logo são os pontos qu nulm. Emplos: Encontr os pontos d máimo, pontos d mínimo pontos d inlão d unção cuj rgr é. o Procurndo os pontos d máimo d mínimo: Cálculo Dirncil Intgrl

28 Pro. Nuns Cálculo Dirncil Intgrl logo tm um mínimo locl m. 8 6 logo tm um máimo locl m. o Procurndo os pontos d inlão: 6. Como o sinl d mud m, tmos um ponto d inlão m. Rsposts: tm um mínimo locl m. tm um máimo locl m. tm um ponto d inlão m. Encontr os pontos d máimo, pontos d mínimo pontos d inlão d unção cuj rgr é.

29 Pro. Nuns 7 o Procurndo os pontos d máimo d mínimo: 6 tm um mínimo locl m. o tst d drivd sgund é inconclusivo. Nst cso, plicmos o tst d drivd primir pr. Como o sinl d drivd primir é ngtivo pr tmbém pr vr qudro d sinis, concluímos qu não ist máimo nm mínimo locis m. o Procurndo os pontos d inlão: Como mud d sinl m, os pontos,, 6 são pontos d inlão d. Cálculo Dirncil Intgrl

30 Pro. Nuns 8 Rsposts: tm um mínimo locl m. não tm um máimos locis. Os pontos,, 6 são pontos d inlão d.. Problms d otimizção nvolvndo máimos mínimos Emplos: Tom-s um ol qudrd d pplão, d ldo igul, pr construir um ci d bs qudrd sm tmp. D cd um dos cntos cort-s um qudrdo d ldo igul, conorm igur qu sgu. Clculr o vlor d pr qu o volum d ci sj máimo. A supríci do undo d ci é S, logo o volum d msm srá: V 8 V 96 V 96 6 V 96 V 96 8 V é máimo! Ms pr 6 não vrá ci! Cálculo Dirncil Intgrl

31 Rspost:. Pro. Nuns Um lt cilíndric é it pr rcbr litro d ólo. Encontr s dimnsõs qu minimizm o custo d mtril pr produzir lt. 9 A r r V litro cm Logo, A r r A r r r r r r A r r r r r A r r r Fzndo A r r. r Substituindo r m r, obtmos r O tst d drivd primir ou d drivd sgund mostrm qu s trt d um mínimo globl d vriiqu!. Rspost: r. Encontr s dimnsõs do cilindro circulr rto d mior volum qu pod sr inscrito m um con circulr rto com rio d cm ltur d cm. r Cálculo Dirncil Intgrl

32 Pro. Nuns 6 r r V r V r r V r r 6 r r r r V r r r Fzndo Fzndo V r r r V r 6r r r V 6 6 r Substituindo r m, obtmos r cm 9 Rspost: r. r r. A Rgr d L Hospitl Sjm g unçõs drivávis num intrvlo brto I, cto, possivlmnt, m um ponto I. Suponmos qu g pr todo m I. i S lim lim g lim L, ntão lim lim L g g g ; i S lim lim g lim L, ntão lim lim L g g g ; Emplos: Aplicndo rgr d L Hospitl, rminr lim? ] lim lim lim ] Rspost: Aplicndo rgr d L Hospitl, rminr lim 6 lim Cálculo Dirncil Intgrl

33 Pro. Nuns 6 lim? lim 6 6] lim lim ] Rspost: Aplicndo rgr d L Hospitl, rminr lim? ] lim lim lim? ] 6 Aplicndo-s novmnt rgr d L Hospitl: ] lim lim lim ] lim 6 lim 6 Rspost: ] lim 6].6 Dirnciis Sj um unção. Podmos considrr smpr um vrição d vriávl indpndnt, qu dnotrmos por. A vrição d origin um corrspondnt vrição m, qu dnotrmos. Então tmos: i A dirncil d vriávl indpndnt srá dnotd por d ; ii A dirncil d vriávl dpndnt srá dnotd por d. Tmos qu pr vlors d isto é: d. muito pqunos, d srá um bo proimção pr, Emplos: Ac um vlor proimdo pr 8. Cálculo Dirncil Intgrl

34 Pro. Nuns Fzndo 7 m, obtmos d nst cso, 7, d. Ms d d Logo 8, 7 7. Rspost: 8, 7 d d 7 7 Ac um vlor proimdo pr tg Fzndo o 8 o tg. o rd m tg, obtmos tg. rd tg tg o o o tg tg tg d 8 d. nst cso,, 8 tg sc Ms d tg Logo o tg tg d sc o o d d cos d o tg d Rspost: tg o 9 Utilizndo dirnciis, ncontr o volum proimdo d um conc séric cujo rio intrior é d cm cuj spssur é 6 cm. Cálculo Dirncil Intgrl

35 Pro. Nuns V r dv r dr dv r dr 6 Portnto, Rspost: V cm cm.7 Ercícios propostos Utilizndo s rgrs d drivção, obtn s unçõs drivds ds sguints unçõs: 6 Rspost: b Rspost: c Rspost: Cálculo Dirncil Intgrl 6 d Rspost: Rspost: Rspost: 9 g ln 6 Rspost: Rspost:. i ln Rspost: j sn Rspost:.cos k 6 cos6 Rspost: 6 sn6 6

36 Pro. Nuns Encontr qução d rt tngnt à curv, no ponto,. Rspost: Rt tngnt no ponto, d qução rt orizontl Encontr drivd d sguint unção dinid implicitmnt:. Dtrmin ind, o coicint ngulr d rt tngnt o gráico dst unção, no ponto P,. Rsposts: d d 7 m. 9 Encontr drivd d sguint unção dinid implicitmnt: sn. Rspost: d sn d cos Um corpo s dsloc sobr um plno inclindo d cordo com qução t t m mtros t m sgundos. Clculr vlocidd clrção dst corpo pós sgundos d prtid. Rspost: v 8 m / s m / s 6 Dtrminr os intrvlos d crscimnto dcrscimnto d unção 9. Rsposts: Crscnt pr: / ou, dcrscnt pr: / 7 Um grnd blão sérico d borrc stá sndo cio d gás um t constnt d 8 m / min. Clcul com qu vlocidd o rio r do blão crsc qundo o rio r = mtros. Rspost: dr m / min 8 Um scd d m stá poid m um prd. A bs d scd stá sndo mpurrd no sntido contrário o d prd, um t constnt d 6 m / min. Qul é vlocidd com qul o topo d scd s mov pr bio, ncostdo n prd, qundo bs d scd stá m d prd? d Rspost: m / min 9 Considrndo unção :, cuj rgr é O intrvlo d crscimnto d Rspost: 8 Cálculo Dirncil Intgrl, ncontr:

37 b O intrvlo d dcrscimnto d Rspost: ou c Os pontos d máimo locis d Rspost: = Pro. Nuns d Os pontos d mínimo locis d Rspost: = Os pontos d inlão d Rspost: Um rcipint cilíndrico, brto m cim, dv tr cpcidd d 7 cm. O custo do mtril usdo pr bs do rcipint é d cntvos por cm o custo do mtril usdo pr prt curv ltrl do cilindro é d cntvos por cm. S não á prd d mtril, rmin s dimnsõs qu minimizm o custo do mtril. Rspost: r = cm = cm Um io d comprimnto L é cortdo m dois pdços, um dos quis ormrá um círculo o outro, um qudrdo. Como dv sr cortdo o io pr qu som ds árs do círculo do qudrdo sj máim? L Rspost: l l L Um zndiro prcis construir dois curris ldo ldo, com um crc comum, conorm igur. S cd currl dv tr msm ár A, qul é o comprimnto mínimo qu crc dv tr? Rspost: A Aplicndo rgr d L Hospitl, rminr: lim Rspost: b lim ln b c c lim Utilizndo dirnciis, obtn um vlor proimdo pr o volum d um in coro cilíndric d ltur m, rio intrior 7 m spssur, m. Qul é o rro dcorrnt s rsolvrmos usndo dirnciis? Rspost: V dv 8, m, 99 V 8, m, V dv, m. Utilizndo dirnciis, clcul um vlor proimdo pr 6,. Rspost: 6,, Cálculo Dirncil Intgrl

38 Pro. Nuns 6 Rrêncis Bibliográics. Flmming, D. M. Gonçlvs, M. B. Cálculo A Funçõs, limit, drivção intgrção. 6. Edição. São Pulo: Prson Prntic Hll, 6.. Izzi, G. Murkmi, C. Fundmntos d Mtmátic Elmntr. Volum. 6. Edição. São Pulo: Atul Editor, 98.. Izzi, G. t. l. Fundmntos d Mtmátic Elmntr. Volum Edição. São Pulo: Atul Editor, 98.. Lim, E. L. t. l. A Mtmátic do Ensino Médio. Volum. 6. Edição. Rio d Jniro: Colção do Prossor d Mtmátic Socidd Brsilir d Mtmátic,.. Stwrt, J. Cálculo. 6. Edição. São Pulo: Cngg Lrning,. Cálculo Dirncil Intgrl