Fundamentos Matemáticos

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1 ES Fudmtos tmáticos Prof. luiio Fusto Ribiro rújo pto. of Sistms d Computção Ctro d Iformátic - UFPE Itrodução

2 Cotúdo Númros Complos Siis Soidis Plotgm d Siis Epsão m Frçõs Prciis Vtors tris isclâ -

3 Númros Complos i Históri do Sistm Numérico Iicilmt cosidrv-s ps úmros turis itiros positivos pr umrr objtos orgismos o di di.g., criçs, pdrs. Iclusão d frçõs pr cssidd d mdir cotiumt qutidds vriávis dvids d gricultur.g., comprimto d um cmpo, pso d mrcdoris. Os gípcios os bbilôicos sbim utilir frçõs. Pitágors dscobriu os úmros irrciois qu só form icluídos o sistms d úmros mis trd com scrts. Os úmros gtivos form tdidos por hidus mdivis m mdos do século. Foi rcohcido istêci d dois vlors d ri qudrd pr um úmro positivo. is trd, m Florç V rsctists, o sistm bcário f uso d úmros gtivos pr rtirds miors qu dpósitos. N époc d scrts Nwto os úmros imgiários virm sr icluídos o sistm umérico. Em 777 o mtmático suiço Lohrd Eulr itroduiu otção i qu dpois virou j dvido à otção pdrão d corrt m Eg. Elétric. -

4 Númros Complos ii fiição d Númro Imgiário j ± j Por mplo, ± j Origs d Númros Complos citos por mtmáticos m psso itrmdiário o método pr solucior qução cúbic Grolmo Crdo, 55: b, cuj solução é : b b 7 b b 7 Pr, 5, b ; tm -s -

5 Númros Complos iii Utilidd d um Númro Complo Problms do mudo rl dvm iicir prtir d úmros ris trmir ls tmbém, cotudo, os cálculos pr obtr os rsultdos podm sguir tlhos qudo s utili úmros complos. Álgbr d Númros Complos Notção d úmros complos: prt rl bsciss : jb, od prt imgiári ordd : Em coordds polrs tm -s : b r cosθ rsθ; r jb ssim, r cosθ cosθ jsθ j rsθ R Im b -5

6 Númros Complos iv Álgbr d Númros Complos fórmul d Eulr dtrmi: jθ cosθ j sθ, Prov jθ -s trvés d séri d cluri pr pdir os 5 jθ jθ jθ jθ jθ jθ! θ jθ!! θ! 6 8 θ θ θ θ cosθ!! 6! 8! 5 7 θ θ θ sθ θ! 5! 7! θ j!! 5 θ j 5! 5! 6 θ 6! 6! 6 trmos -6 :

7 Númros Complos iv. Álgbr d Númros Complos Sérid cluri é psão Est séri rcbu stom f f f f! Emplos d séris d cluri 6 d séri d Tylor m toro d ro. dvido o mtmático f! < < < scocês f <! cluri -7

8 Númros Complos v Álgbr d Númros Complos fórmul d Eulr dtrmi: θ j cosθ j sθ, -8

9 Númros Complos vi Álgbr d Númros Complos Tm-s tão s quivlêcis: jθ cosθ j sθ, j b r jθ Númro complo pod sr prsso m form crtsi ou polr : r cosθ, b rsθ; b r b, θ t Em trmos d mgitud âgulo tm-s: j, od r, θ, Como cosqüêc i : r jθ r jθ j -9

10 Númros Complos vii Álgbr d Númros Complos fiição d cojugdo d um úmro complo imgm d com rspito o io horiotl: j b r * jθ * r j som d um úmro complo su cojugdo é um úmro rl: * jb jb R O produto d um úmro complo su cojugdo é tmbém um úmro rl: * j b j b j b j b b j j * b -

11 Númros Complos viii Álgbr d Númros Complos No plo complo, um úmro complo é rprstdo por um poto distdo r d origm, formdo um âgulo? com o io horiotl. Est mir é válid pr rprstr csos prticulrs tis como: ± jπ, é um itiro ímpr ± j π jπ / jπ /, j, j, d modo grl pod - s dir qu ± jπ / ± j, m j, Lmbrdo qu é um itiro pr pr r cosθ, b,5,9,,,7,,5, rsθ -

12 Númros Complos i Álgbr d Númros Complos Gráfico dos potos prticulrs: ; ; ± jπ ± jπ jπ / jπ / j; j -

13 Númros Complos Álgbr d Númros Complos Pod-s tmbém dtrmir o limit bio: α jω t, lim lim αt jωt. α < t t, α > pois b jωt Emplos r jπ / r j jθ, : Ecotr θ t r cosθ b b jrsθ t pr cos r outr rprstção pr.6555,, 56. π js π j j56.

14 - Númros Complos i Álgbr d Númros Complos Oprçõs ritmétics: , rprstçõs ultiplicção divisão são comptívis com mbs 7 5 tão,, 5 dição subtrção dvm utilir coordds crtsis θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ j j j j j j j j j j r r r r r r r r r r j j j j j j

15 Númros Complos ii Álgbr d Númros Complos Potcição Rdicição: Potcição rdicição são oprçõs comptívis com mbs rprstçõs, mbor fiqu mis simpls com rprstção polr Pr r jθ r jθ r jθ r r. jθ. jθ : Formlmt há vlors pr rdicição cim [ jθ ] [ j θ π ] j θ π / r r r. -5

16 Númros Complos iii Álgbr d Númros Complos Emplos: Pr ultiplicção form. j j. j 6 j8 j9 6 j7 ultiplicção form. j5. j56. j5. j ivisão form j. j j. j ivisão form j5. 5 j56. 5 j5. crtsi : polr : 5 crtsi : polr: 8 j j. 8 5 j56. 8 j j. j j 5 j. -6 j9.

17 Númros Complos iv Álgbr d Númros Complos Logritmos: log log log S l / c Etão cl l jθ j θ ± π r r. l O vlor d l log j θ ± π r. l r ± j θ ± π log pr, log,,,,, é chmdo o vlor pricipl d l.,,,, -7

18 Itrodução prstção: Siis Soidis i Sj t O cosso cosϕ f prssão cos, d um âgulo rpt -s cd π, isto é : ϕ π st modo, o vlor d t s rpt pr cd T C cosπ f f T bio : t θ é frqüêci, ±, ±, m hrt é o príodo m sgudos f d sioidl; d sioidl. sgudos, ssim, -8

19 Siis Soidis ii Itrodução R - scrvdo prssão trior : t od tm -s qu T ω t C cos ω f π T C cos ω ω π π, dqui m dit ω é mplitud d sioidl; é fs m rdios d sioidl; π f é frqüêci m rdios d sioidl., ou id, pod sr chmdo d frqüêci. ois csos spciis qu mrcm dstqu : t C cos ω t, θ ; t θ C θ ω T ω t π C sπ f t, θ π -9

20 Siis Soidis iii t Itrodução t C t C Emplo: cos ω C sω cos ω t 6 t t -

21 Siis Soidis iv dição d Soidis ois siis soidis com msm frqüêci fss difrts podm sr diciodos pr formr um outr soidl com msm frqüêci. s C cos ω C cos ω od, cosω od, C rlçôs Portto, t θ t θ pod -s t bs ω trigoomé trics, C cosθ cosω C cosθ, b cosω t ; scrvr t bs ω b C sθ C cos ω θ : t tm -s qu : t C sθ s ω t θ b t t -

22 Siis Soidis v dição d Soidis Pod-s usr fors pr rprstr soidis. Rprst - s osil soidl C cos ω t θ por um d tmho C âgulo θ. Logo tm -s qu cosω b s ω pois s ω fsor t é rprstdo por um fsor horiotl d módulo?. t é rprstdo por um fsor vrticl d módulo? π t cos ω t π., -

23 Siis Soidis vi Eprssos por Epociis Utili-s Fórmul d Eulr. cosϕ s ϕ jϕ jϕ j jϕ jϕ jϕ jϕ No stido ivrso cosϕ cosϕ js ϕ js ϕ tm -s : -

24 Plotgm d Siis i Epociis ootôics Fmilirir com o trçdo dsts siis comus pr sistms: ois siis qu vrim mootoicmt : Emplo : Costt t ;, t >. Pr t d tmpo d pocil t costt d tmpo é,5. c c pr.7 trçr gráfico Figur : cd itrvlo igul costt d tmpo, o vlos d t ci pr 7% do vlor o iício dst itrvlo. Os prs formdos plos múltiplos ds costts d tmpo os vlors d t podm sr usdos pr sboçr o gráfico. t, t ; >. -

25 Plotgm d Siis ii Epociis ootôics gráfico dos mplos triors: -5

26 Plotgm d Siis iii Soidl Vrido Epocilmt Sil t Emplo spcífico : t típico : t t cos ω cos6t t θ. π. -6

27 -7 Epsão m Frçõs Prciis i Pricipl Objtivo Epdir um fução própri, ocorrdo m sistms lirs ivrits o tmpo, m frçõs prciis: Fuçõs, chmds d fuçõs rciois, são rõs tr dois poliômios, prsss como: fução F é imprópri s própri s. Um fução imprópri pod sr smpr r-scrit como som d um poliômio um fução própri, por mplo: b b b b Q P F m m m m m m < 9 F

28 -8 Epsão m Frçõs Prciis ii étodo d Limpr Frçõs Clrig Frctios Fução rciol r-scrit como um som d frçõs prciis com coficits dscohcidos srm dtrmidos iguldo-s coficits d potêcis idêtics dos dois ldos. [ ] [ ] [ ] [ ] : ldos plo domidor d os -s mbos multiplic 6 rciol: Emplo :Epdir fução F F

29 -9 Epsão m Frçõs Prciis iii étodo d Limpr Frçõs Clrig Frctios m : rsultdo,,,, tm - s : cim, d quçõs Rsolvdo - s o sistm potêci : d msm coficits Igul - s os F

30 - Epsão m Frçõs Prciis iv étodo Ecobrir d Hvisid Covr-up ou Rsíduos Epsão pr qudo ão há rptição dos ftors d Q fução é própri m<. i i i i i i i i i i m m m m F F P F b b b b Q P F i i i : pr chr ldos por os - s mbos multiplic própri : rciol fução Sj

31 Epsão m Frçõs Prciis v étodo Ecobrir d Hvisid Covr-up ou Rsíduos Emplo: Epdir F m frçõs prciis: 9 F Emcobr -s F logm t cotr -s F ; o domidors d 9 ssim tm -s : F 8 6 : 9 os dmis coficits F -

32 Epsão m Frçõs Prciis vi étodo Ecobrir d Hvisid Covr-up ou Rsíduos Ftors complos d Q: Sgu-s o msmo procdimto. Emplo :Sj fução rciol própri: F multiplic 8 j -s mbos F j F j F os ssim ldos por j j 8, j i pr chr 5 j6., i : 5 j j j 8 j j j j j 8 j j j j j j j

33 Epsão m Frçõs Prciis vii étodo Ecobrir d Hvisid Covr-up ou Rsíduos Ftors qudráticos d Q: Combi-s dois trmos vidos d ftors complos cojugdos m um ftor qudrático. Emplo :Sj fução rciol própri: F o coficit 8 os coficit c 8 8 é cotrdo plo método d Hvisid, c c c c ; são cotrdos c 8 c 8 c c c c c por método d limpr frçõs : c 6 c Portto : -

34 - Epsão m Frçõs Prciis viii Ftors Rptidos d Q étodo Ecobrir d Hvisid Covr-up dptdo. [ ] α α α α α r j j j j i r r r r F d d j F P F! drivds, pr fução iguldd coficits Pr cotrr os plo método d Hvisid. são dtrmidos os coficits própri : rciol fução Sj

35 -5 Epsão m Frçõs Prciis i Ftors Rptidos d Q [ ] [ ] 6! : pr chr ldos por os - s mbos multiplic 6 própri: rciol fução Emplo :Sj i i d d F d d d d F d d F F F

36 Epsão m Frçõs Prciis Ftors Rptidos d Q Emplo cotiução : Lmbrdo qu : d u v du d u dv d v v ssim tm -s qu : d d d

37 -7 Epsão m Frçõs Prciis i Ftors Rptidos d Q 8 ] [ ! 6! qu : tm -s Emplo cotiução :logmt, d d d d

38 -8 Rgr d Crmr i Utilição típic: Solucior sistm d quçõs lirs. y y y y y y : mtricil form podm sr prsss quçõs Ests : icógits lirs simultâ s com quçõs Sj

39 Rgr d Crmr ii scrição do Procdimto: Oprçõs pr solução do sistm d quçõs lirs. Cosidr ssim, o vtor tm um od, é mtri com su dtrmit úic,,, solução dd pl fórmul -ésim colu substituíd por y. d Crmr : -9

40 - Rgr d Crmr iii Emplo: é clculdo como : O dtrmit d, 7 tm -s : mtricil Em form 7 d quçõ lirs simultâ s : o sistm Rsolv Y

41 - Rgr d Crmr iv Emplo cotiução: é : úic tão solução o dtrmit é difrt d ro, Como

42 Vtor: Vtors tris i Etidd spcificd por vriávis m um dd ordm tupl ordd é um vtor -dimsiol. ssim, Um vtor d dimsão pod sr rprstdo por : [ ] Rprst vtor lih; vtor colu -s mtri rry d vriávis ordds d dimsão m m m m : -

43 - Vtors tris ii Trsformção Lir: Um sistm d quçõs lirs simultâs pod sr visto como trsformção d um vtor m outro trsformção lir d vtors. colu. lih o lmto d é dfiido como. pod -s scrvr compct Em form : icógits lirs simultâ s com quçõs Sj ij j-ésim i-ésim y y y y y y m m m m m m m m m y

44 tri simétric tri ro : Vtors tris iii fiiçõs Propridds: Sj tri, m : m m tri digol :,, i,j,. tri idtidd ou uitári I : tris idêtics tri trspost B ij : ij ij ii ji, ii i,j, m. B : T ij :b ji b ij ij, i,j,. m, ij ii m,, i,j, m. m, dfi - s i,j,. -

45 Vtors tris iv Álgbr d tris: Cosidr dus mtris B d dimsão, m m m dição d mtris B : ultiplicção d mtris, C B : c m p istributividd : ij BC. b b b B b b pr i ; m m m C BC; Elmto utro : I j ij ij ij, b B m, i,j. ij C B I m : ultiplicção d mtri por sclr c c : c b b b p, i,j b b b m ij m ão ist., i,j. C CB. -5

46 -6 Vtors tris v Álgbr d tris: qu s Coclui : rgr d Crmr Pl tm - s, pl ivrs trmos os Pré-multiplicdo mbos, : mtricil m form Cosidr o sistm y I y y y y ij ij y y y y y y

47 Vtors tris vi Álgbr d tris: Emplo, ij i j ij, od dltdo - s lih colu do compot ij., é o dtrmit d submtri ij d obtid 8 5-7

48 Vtors tris vii rivd Itgrl d um tri: Cosidr s rivd Itgrl d um Idtidds d um válids : mtris mtri : mtri : B d dt d dt d dt d dt d dt [ t ] B c d dimsão t T B I [ t dt] ij d dt d dt d c dt d T B dt m : ij t m db dt m db dt, i,j. T &, B & i,j. T B& T -8

49 -9 Vtors tris viii Equção Crctrístic: Torm d Cyly-Hmilto: Tod mtri stisf su qução crctrístic, isto é, qução crctrístic pod s substituir? por. isto é,, s só s qução crctrístic ist quçõs solução dsts su utovlor corrspodt. é um utovtor od, stisfdo :, qulqur, Cosidrdo od o poliômio crctrístico é, isto é,? Q? I I I Q

50 -5 Vtors tris i Equção Crctrístic: Torm d Cyly-Hmilto: Fuçõs d um mtri qudrd usdo o torm. pod sr r- scrit logo séri ifiit, rciocío Estddo ssim tm -s por su vlor cim, qução pod s substtuir Nst tm -s : ldos, mbos,, ssim : o poliômio crctrístico, tão l stisf, é utovlor d d potêcis : séri ifiit um form Fução i i i f????? f? β β β β β β β β

51 -5 Vtors tris Equção Crctrístic: Torm d Cyly-Hmilto: Fuçõs d um mtri qudrd usdo o torm. logmt tm -s : o poliômio crctrístico, tmbém stif Como tm -s :,,, utovlors distitos com Pr sistm f f f f I β β β β β β β

52 -5 Vtors tris i Cálculo d Epocil Potêci: Usds pr solucior sistms lirs, ivrits o tmpo. : Potêci, qu : tm -s, d qução d ssim,!! d : dfiid, Epocil, i i i t t t f t t! t t I I β β β β

53 Cotúdo isclâ Rlção d prssõs mtmátic, pr cosult, qu volvm: L Hopitl; Séris d Tylor cluri; Séris d potêcis; Somtórios; Númros Complos; Idtidds Trigoométrics; Itgris idfiids; Fórmuls comus d drivds; Costts usuis; Soluçõs d quçõs qudrátics cúbics. -5

54 Ercícios Rcomddos Propostos pr o TLB ou SCILB Todos Problms B., B., B., B.5, B.7, B.8, B.9, B., B.7, B.8, B., B., B., B.6, B.7, B. té B.7. -5