TRANSFORMADA DE LAPLACE 9.1 INTRODUÇÃO
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- Mauro Bernardo de Abreu Barata
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1 9 TANSFOMADA DE APAE 9. INTODUÇÃO A rformd d Fourir prmi rprr qulqur il fíico pl om, fii ou ifii, d u compo, gudo um rfrcil m qu vriávl ω d b é rl. Tl rprção d ii dmph um ppl impor o udo d im lir ivri, omdm rpo m frquêci do im, filrgm d ii, modulção d ii, c. Porém, m muio co, rvl- úil lidr com um frquêci complx ω. Dixmo d coidrr pgm d um il pr um domíio um vriávl co d rformd d Fourir pmo xprimir fução um domíio du vriávi rvé d frquêci complx, o qu coduz um grlizção d rformd d Fourir, cohcid por rformd d plc. E rformd ão ó forc ov frrm d áli d im, como pod r plicd im m qu ão pod uilizr rformd d Fourir. Um d co é plicção im iávi, prmiido áli do mmo. Um our plicção d rformd d plc é rolução d quçõ difrcii ordiári, qudo ão lir d cofici co.
2 Tori Vcoril do Sil 9. TANSFOMADA DIETA A rformd d plc prmi obr rprção d um il um rfrcil com frquêci complx. Equo qu rformd d Fourir um il rprdo um rfrcil um vriávl rl pv r rprdo ouro rfrcil, m mbém um vriávl rl, rformd d plc um il rprdo um rfrcil um vriávl rl p r rprdo um rfrcil du vriávi ri: vriávl vriávl ω. Poro, ovo rfrcil m mi um dimão qu o origil. A rformd d plc é dfiid por ω 9. u U 9. D modo guir bordgm qu m ido uilizd é qui, vmo como plicr o procdimo grl d dcompoição d fuçõ. A vrificção d orogolidd ou ão orogolidd do vcor d b o domíio d plc ulrp o âmbio livro. No o, podmo fcur rformção d plc gudo o proco grl d dcompoição, como rformd d Fourir, coidrrmo o rfrcil orogol ω. Pr io, irmo fzr dcompoição, ão d fução rformr u, m d fução pd por, como mor figur 9.. u -,ω ω ω Fig. 9. ompo d um il pdo por - dircção d cióid. O cofici d corrlção, obido pl procção d fução pd por dircção ω, é dfiido por ω u,, ω ω ω, u πδ u ω πδ ω 9.3
3 Trformd d plc 3 O cofici d corrlção dpdm, gor, d du vriávi. O umrdor xprão idific- com rformd d Fourir, com vriávl ω ubiuíd por ω, dod D form, dω, ω U ω 9.4 π [ ] u U ω 9.5 m qu ω ω u U 9.6 Fzdo mudç d vriávl ω, úlim xprão obém- dfiição d rformd d plc, prd m 9.. Uilizdo oção foril d xpocii, vrific- qu, pr rformd d Fourir, ω á mpr obr o círculo uiário, como mor ω figur 9., quo qu, pr rformd d plc, gu um pirl, como vê pl figur 9.b, pr >. b Im Im ω ω -ω -ω - Fig. 9. Digrm foril: Fourir; b plc. A volução d xpocil complx o mpo pod r rmid pl pr rl ou imgiári d, ω co ω ω 9.7 A figur 9.3 pr pr rl pr <. A volução d compo d o mpo corrpod um iução cocr muio comum o mudo fíico movimo ocilório morcido, omdm iução d circuio
4 4 Tori Vcoril do Sil ro, m lcricidd, à do movimo com um gru d librdd, m mcâic. coω coω Fig. 9.3 Evolução d pr rl d xpocil. A xprão d rformd d plc, qu cbou d prr, mbém é cohcid por rformd d plc bilrl, um vz qu coidr vriávl mpo voluir dd mo mi ifiio. oudo, xi um our dfiição m qu o igrl d rformd ó coém pr poiiv do ixo mporl, U u 9.8 cohcid por rformd d plc uilrl. E dfiição dv- o fco do ii im fíico, od rformd d plc rá muio ud, rm mpr cui. Nor qu pr ii cui, du dfiiçõ d rformd d plc dão o mmo ruldo. Um plicção úlim rá rolução d quçõ difrcii, d cofici co, com codiçõ iicii difr d zro. O limi ifrior - rv pr fizr qu o co d u cor impulo d Dirc origm, rão icluído rformção. S muliplicrmo qulqur il plo dgru d viid, h, qu ó om vlor difr d zro pr, é idifr uilizr bilrl ou uilrl. A rlção qu rformd d plc blc r u u imgm U rá rprd por u U U [ u ] 9.9 pr rformd bilrl, ou I u U U I [ u ] 9. pr rformd uilrl.
5 Trformd d plc TANSFOMADA INVESA Pr fcur mudç d rfrcil ivr, digd por rformd d plc ivr, b uilizr um do plo qu pm plo il, d modo rcuprr o il um rfrcil bidimiol, prido d rprção d il um pço ridimiol. A bordgm rior prmi obr xprão d rformd d plc ivr. D fco, como procou o il u dircçõ orogoi ω, il é rcuprdo omdo compo gudo od dircçõ, d form mlh o rlizdo rformd d Fourir. omo om coíu rform- um igrl, m- ficdo u ω, ω 9. ω u, ω dω U ω π U ω π ω ω dω 9. oidrdo mudç d vriávl ω, dωd/, rformd d plc ivr fic u U d 9.3 π Nor ovm qu rformd d Fourir ivr é um co priculr d d plc fzdo ω. D xprão 9.3, vrific- qu fução o mpo mbém é obid plo cofici d corrlção,,ω, dircçõ, d mm form como foi rlizdo rformd d Fourir com o cofici ω dircçõ ω. Aim, rformd d Fourir um compo o pcro r rprd como mor figur 9.4, ou, compo dircção ω é A. N rformd d plc, B é compo dircção, como vê pl figur 9.4b, com ω. N co, xim du vriávi pr dfiir o il frquêci complx.
6 6 Tori Vcoril do Sil ixo ω b A B plo ω ω ω ω Fig. 9.4 ompo do il rformd: Fourir; b plc. A rformd ivr pod r our xprão, do m co ori d áli d fuçõ complx d vriávl complx. Pr io, o plo d figur 9.5, od ão rprd igulridd d fução U poo igulr é um poo od fução om um vlor ifiio. oidrmo um prcuro fchdo qu iclui od igulridd. E prcuro, digdo por cooro quivl d Bromwich, é dfiido por um rc d bci co por um rco d mi-circufrêci, d rio ifiio, qu u xrmidd d rc. ω Γ c Fig. 9.5 ooro quivl d Bromwich. S igrrmo U /π o logo do prcuro fchdo prdo figur 9.5, obém- π U d U d U d π π Γ 9.4 Uilizdo o lm d Jord, d 9.4, rir- qu lim U d Γ Γ 9.5
7 Trformd d plc 7 u π π U U d d 9.6 A rlção pr rformd d plc ivr é dfiid por [ U ] u 9.7 pr rformd bilrl, ou u I [ U ] 9.8 pr rformd uilrl. 9.4 EGIÃO DE ONVEGÊNIA Pr qu rformd d plc xi é cário qu o igrl 9. h um vlor difr d ifiio. E igrl é fiio mpr qu bolum covrg, io é, mpr qu xi o igrl do u módulo, U < u u 9.9 Ao vlor d vriávl, pr o qui vrific codição d xiêci d rformd d plc, digm- por rgião d covrgêci d rformd d plc uulm digd por O: gio Of ovrgc. Exmplo 9.: Drmir rformd d plc do dgru d viid, h. Aplicdo 9., S > ou []>, ão h lim T T ωt 9.
8 8 Tori Vcoril do Sil T ωt lim T 9. om ruldo, 9. fic, [ ] > 9. D form, O coi m vlor d m qu []>, como mor figur 9.6. ω Fig. 9.6 gião d covrgêci pr o dgru d viid. Exmplo 9.: Drmir rformd d plc do il: α u h, α > 9.3 A rformd d plc é U α α, α [ ] > α 9.4 A rpciv O á rprd figur 9.7.
9 Trformd d plc 9 ω -α Fig. 9.7 gião d covrgêci pr o il do xmplo 9.. Exmplo 9.3: Drmir rformd d plc do il: α u h, α > 9.5 A rformd d plc fic U, α α α α [ ] < α 9.6 A rpciv O á rprd figur 9.8. ω -α Fig. 9.8 gião d covrgêci pr o il do xmplo 9.3. Exmplo 9.4: Drmir rformd d plc do il:
10 Tori Vcoril do Sil u T Fig. 9.9 Impulo rcgulr dcrdo. A rformd d Fourir do il d figur 9.9 é U T T T 9.7 A O coi m odo o plo, o qu igific qu fução covrg m odo o domíio, com xcpção d origm. É d lir qu rgião d covrgêci é d xrm imporâci o cálculo d rformd d plc, ddo qu xim zo do domíio od rformd ão xi. Exim co m qu fução pr rformd d plc é mm difrç rid rgião d covrgêci, como pod comprovr plo xmplo D form, o cálculo d rformd d plc dv- mpr pcificr rgião d covrgêci. Do xrcício prdo rirm- lgum cocluõ rfr à rgião d covrgêci, qu podm r grlizd, i como: A O é um fix prll o ixo imgiário do plo. Só pr rl é rpoávl pl O. A O ão coém quiqur igulridd. E propridd pod r vi plo xmplo 9., , od igulridd -α ão prcm à O. 3 S o il u é limido à qurd, ou, x pr <, O ci um fix pr diri d dcoiuidd. O xmplo mor co. 4 S o il u é limido à diri, ou, x pr >, O ci um fix pr qurd d dcoiuidd. O xmplo 9.3 mor co. 5 S u m durção fii, rformd covrg plo mo um vlor d, ão O coi m odo o plo, com poívl xcpção d origm ou do ifiio.
11 Trformd d plc 9.5 POPIEDADES D guid, prr--ão propridd d rformd d plc. Em muio co, rvir-o-mo propridd, d lgum rformd báic, pr obr com fcilidd rformd dirc ivr d plc d um qulqur il, m vz d rlizr o cálculo do igri dfiidor d rformd. É impor cur qu rformd prcrm, m úlim áli, pr implificr cálculo, omdm o d igri d quçõ igrodifrcii o domíio do mpo. Não fzdo ido, poro, rcorrr à fórmul igri dfiidor d rformd d plc qu olidd do co práico. Pr rformd d Fourir form vidcid um couo d propridd coidrd fudmi, por, com l, podr blcr xiomicm dfiição d rformd, diiguido- d qulqur our. O mmo coc pr rformd d plc. omo irmo vr, mbor xim du dfiiçõ d rformd d plc, mior pr do co propridd d rformd uilrl ão mlh à d bilrl. Qudo ão for rfrid qul dfiição d rformd, propridd é válid pr du iridd S o il u m por rformd d plc U, com O, o il u m por rformd U, com O, ão bu U bu O coém O O u 9.8 Pr dmorr propridd, coidrmo dfiição d rformd d plc bilrl, u bu [ u bu ] u U bu b u 9.9 S fo uilizd dfiição d rformd d plc uilrl rímo o mmo ruldo. A rgião d covrgêci iclui, plo mo, ircpção d rgião d covrgêci d u com u. Io igific qu, ircpção for ul, om ão m rformd d plc. Exmplo 9.5: Drmir rformd d plc d A rformd d plc é b h u 9.3
12 Tori Vcoril do Sil U b, b b, b b b [ ] > [ ] > b [ ] > [ ] > b 9.3 A rgião d covrgêci dá []> <b []>b >b. Pl propridd d liridd obém- o mmo ruldo Mudç d Ecl S u m por rformd d plc U, com OO u, é um úmro rl, ão O u U O u 9.3 m qu é poiivo pr dfiição d rformd d plc uilrl pod r qulqur pr bilrl. Sdo mlh à rformd d Fourir, dmorção propridd gu o mmo procdimo. No o, vmo o qu coc pr rformd d plc uilrl. Fzdo mudç d vriávl, m- qu u u U u 9.33 omo pod vrificr, pr dfiição d rformd uilrl, fo givo, o limi do igrl rim d -, o qu ão pod r, ddo qu dixri d r dfiição d rformd. Aim, 9.3 é válid pr du dfiiçõ, do poiivo pr rformd uilrl. Quo à rgião d covrgêci, qulqur vlor d rá O o vlor / ivr O u. Exmplo 9.6: Drmir rformd d -πα h, α>. Do xmplo 9. m- qu πα h, [ ] > πα 9.34 πα
13 Trformd d plc 3 Aplicdo propridd d mudç d cl, πα Simplificdo ruldo, h [ ] πα h π, > α 9.35 π π α π πα h, [ ] > πα 9.36 πα É d lir form como foi dfiid rgião d covrgêci Trlção o Tmpo S u m por rformd d plc U, com OO u, ão u U O O u 9.37 A dmorção é mlh à d rformd d Fourir. Exmplo 9.7: Drmir rformd d plc do impulo d Dirc rdo d. A rformd d plc do impulo d Dirc é com O odo o domíio. Pr o impulo d Dirc rdo m- δ δ 9.38 δ 9.39 com mm O qu rformd do impulo d Dirc. Exmplo 9.8: Uilizdo propridd d rlção o mpo, rmir rformd do il prdo o xmplo 9.4. O il d figur 9.9 pod r dcompoo pl om d figur 9.. u u u T - T
14 4 Tori Vcoril do Sil Fig. 9. Dcompoição do impulo rcgulr m fuçõ mi impl. Tdo m co figur 9., fução u é dfiid por u h h T 9.4 Pl propridd d liridd d rlção o mpo, d rformd do dgru d viid, prd m 9., rformd d u é T U 9.4 A O coi m odo o domíio, com xcpção d origm, vio qu, pl propridd 5 d rgião d covrgêci, um fução limid m por rgião d covrgêci odo o domíio. Embor rformd d h h -T hm rgião d covrgêci []>, propridd d liridd diz qu rgião d covrgêci coém plo mo ircção d rgiõ d covrgêci d du fuçõ. Io igific qu pod r mior, como é o co xmplo. E propridd foi coidrd riorm como um d fudmi o udo d rformd. Além dio, é báic o procmo d il rpr um idl Eghri d Tlcomuicçõ, od prd qu um im propgu um il m iroduzir diorção, ou, prd- obr à íd do im um il igul o d rd mo d um ro d um fcor d cl Trlção Frquêci S u m por rformd d plc U, com OO u, ão [ ] u U O O 9.4 A rgião d covrgêci d fução U- é igul à rgião d covrgêci d U, dlocd pr diri d um vlor igul [ ]. Exmplo 9.9: Uilizdo propridd d rlção frquêci, rmir rformd do il do xmplo 9.. A fução xpocil dcrc pod r vi como um dgru d viid muliplicdo por -α. A rformd do dgru d viid dá /, com O crcrizd por []>. Pl propridd d rlção frquêci, rformd d -α h é /α, com O dfiid por [][α]>, ficdo []>-α, ruldo igul o obido o xmplo 9.. Exmplo 9.: Obr rformd d plc do gui ii: u α co β h 9.43
15 Trformd d plc 5 α β h 9.44 Uilizdo fórmul d Eulr propridd d rlção frquêci, obém- pr o il d 9.43, α co β h α β β α β h β h α h 9.45 om rlção frquêci, rpciv rformd dá β α β α α co β h α, [ ] > α 9.46 α β Pr 9.44 m- α β β h, [ ] > α 9.47 α β do ido obido d form mlh o il rior Drivção o Tmpo S u m por rformd d plc U, com OO u, ão, pr rformd d plc bilrl, d u, pr rformd d plc uilrl, U O coém O u 9.48 d u I U u u... u O coém O u 9.49 od u - - é drivd d ordm - d u m -. Ao corário d rior, propridd d drivção o mpo dá ruldo difr pr du dfiiçõ d rformd. Tl coc, porqu rformd uilrl o igrl vi d - mi ifiio. S o il for cul, du dfiiçõ dão o mmo ruldo. No o, pr um il com codiçõ iicii, qu pod r coidrdo como do vlor difr d zro pr
16 6 Tori Vcoril do Sil mpo givo, ão propridd d drivção ão covr p muliplicção por. omo rformd uilrl m um grd imporâci rolução d quçõ difrcii com codiçõ iicii difr d zro, é d odo o ir rmir rformd d plc uilrl pr fuçõ codiçõ. Pr dmorr o ruldo pr rformd bilrl, uilizdo dfiição d rformd d plc ivr, rir- qu du d π π π U d U U D form, rformd ivr d U coi drivd d fução u. d d d 9.5 A rgião d covrgêci d U iclui rgião d covrgêci d U pod r mior, U ivr um pólo m qu é ccldo pl muliplicção por. Quo à rformd uilrl, uilizdo igrção por pr, m- pr primir drivd d u: [ u ] du U u u 9.5 Procddo do mmo modo pr gud drivd d u, d u du u du [ U u ] U u u 9.5 Aplicdo ucivm procdimo dmor Exmplo 9.: Obr rformd d plc d drivd do impulo d Dirc. Sbdo qu rformd do impulo d Dirc é uidd, m-, gudo propridd d drivção, qu Equo qu um zro é um vlor d vriávl idpd qu or fução ul, um pólo é um vlor d vriávl idpd qu or ifii.
17 Trformd d plc 7 gud drivd do impulo d Dirc, Grlizdo, δ 9.53 δ 9.54 δ 9.55 A drivd d ordm do impulo d Dirc corrpod à poêci d ordm d vriávl d plc. Exmplo 9.: Obr rformd d plc d drivd do il -α h, com α>. A figur 9. mor o il rpciv drivd. u u -α Tdo m co qu Fig. 9. Expocil dcrc o rpcivo il d drivd. α u δ α h 9.56 uilizdo o ruldo d rformd do impulo d Dirc, 9.38, d xpocil dcrc, 9.4, u α, [ ] > α 9.57 α α Uilizdo propridd d drivção o mpo m- u U, [ ] > α 9.58 α Nor qu m 9.57 uilizou- propridd d liridd, o qu dá rgião d covrgêci idicd.
18 8 Tori Vcoril do Sil Pod- uilizr xmplo pr vrificr qu propridd d liridd rgião d covrgêci iclui plo mo ircpção d rgiõ d covrgêci do doi ii pod r mior. Fzdo α, o il u - h m por rformd d plc /, com []>-. Por ouro ldo, rformd d drivd il, u δ- - h, dá /, mbém com []>-. S omrmo u com u obém- o impulo d Dirc, cu rformd é rgião d covrgêci coi m odo o domíio, mbor ircpção d rpciv rgiõ d covrgêci do doi ii []>-α Drivção Frquêci S u m por rformd d plc U, com OO u, ão d U O u 9.59 d u O oidrdo dfiição d rformd uilrl, du d d u u 9.6 Aplicdo ucivm procdimo, dmor- rlção prd m Pod- vrificr qu pr rformd bilrl chg- o mmo ruldo. Exmplo 9.3: Obr rformd d plc do il: α x h 9.6 D 9.4, pl propridd d drivção frquêci, rir- qu α h d, [ ] > α 9.6 d α Drivdo é ordm, obém- d d α! α 9.63 om ruldo, rformd d 9.6 é α h! α, [ ] > α 9.64
19 Trformd d plc 9 m qu! igific o fcoril d, ou, Igrção o Tmpo S u m por rformd d plc U, com OO u, ão U u τ dτ O coém O u { [ ] > } 9.65 U I u τ dτ O coém O u { [ ] > } 9.66 omo pod vrificr, du dfiiçõ dão ruldo mlh. A igrção iroduz um pólo origm qu lr rgião d covrgêci. Pr dmorr , coidrmo u τ dτ u τ dτ x x x 9.67 m qu x- pr rformd bilrl x - pr uilrl. Uilizdo igrção por pr, obém- u τ dτ u τ dτ u x x x x u x U [ ] > 9.68 Exmplo 9.4: Uilizr propridd d igrção pr obr rformd d plc d x h 9.69 Sbdo qu rformd do dgru d viid, h, é /, com []>, rformd d h é D um modo grl, h τ h d τ 9.7
20 Tori Vcoril do Sil ficdo qu h! h τ dτ! τ 9.7 h! [ ] > E ruldo pod r comprovdo com o obido m 9.64, fzdo α ovolução o Tmpo S o il u m por rformd d plc U, com O, o il u m por rformd U, com O, ão u 9.73 u U U O coém O O m qu pr rformd d plc uilrl u u ão ulo pr <. A covolução d doi ii o domíio do mpo rform- muliplicção d rformd do ii o ouro domíio. Quo à rgião d covrgêci, iclui plo mo ircpção d rgiõ d covrgêci do doi ii pod r mior, co h cclmo d pólo com zro. Vmo dmorr 9.73 pr rformd uilrl. omo foi rfrido, xprão é válid dd qu o ii m cui. N iução, covolução é dd por Aplicdo rformd uilrl, obém- u u u τ u τ dτ 9.74 [ u u ] u u τ dτ τ 9.75 Fzdo mudç d vriávl -τ,, xprão fic [ u u ] U U τ u τ u dτ τ u τ u U u τ τ dτ dτ 9.76
21 Trformd d plc Nor qu gud pgm do cálculo rior fz- roc d igrçõ. S o ii ão fom cui, o qu implicri um limi ifrior do igrl d covolução igul mo ifiio, o ruldo ão ri o obido. A dmorção d 9.73 pr rformd bilrl gu o mmo procdimo qu o prdo pr uilrl, m com o limi ifrior do igri igui mo ifiio. Exmplo 9.5: Obr rformd d plc do il: u T T Fig. 9. Sil pr o xmplo 9.5. O il u pod r vio como covolução d doi impulo rcgulr o irvlo T/ d mpliud T -/. Do ruldo obido m 9.7, do m co propridd d covolução, obém- U T T ovolução Frquêci T T 9.77 S o il u m por rformd d plc U, com O, o il u m por rformd U, com O, ão u π u U U O coém O O 9.78 do U U p U U p dp 9.79 Pr dmorr propridd, fzdo rformd ivr do gudo mmbro d 9.78,
22 Tori Vcoril do Sil dp d p U p U d dp p U p U d U p U π π π π π π 9.8 Fzdo mudç d vriávl '-p, d'd, xprão rior fic u u dp p U u dp u p U dp d U p U dp d U p U p p p p π π π π π π TEOEMAS DOS VAOES FINA E INIIA Pr ii cui, m impulo ou igulridd d mi l ordm origm, é poívl clculr o u vlor iicil fil, o mpo, prir d u rformd d plc. D form, pod- rmir o vlor iicil fil d um il dcohcido, cohcdo- p u rformd Torm do Vlor Iicil O vlor qu o il m, o domíio do mpo, qudo d pr origm é igul o vlor d rformd muliplicd por, qudo d pr ifiio, lim lim U u u 9.8 Ddo qu o il é cul, é poívl uilizr qulqur dfiição d rformd d plc pr dmorr orm. oidrdo dfiição uilrl, rformd d drivd do il dá du u du u du du du δ 9.83
23 Trformd d plc 3 Por ouro ldo, pl propridd d drivção, do m co qu u -, m- Iguldo o doi ruldo, rir- qu du U 9.84 U du u Fzdo o limi d dr pr ifiio, lim [ U ] du lim u u Torm do Vlor Fil O vlor qu o il m, o domíio do mpo, qudo d pr o ifiio é igul o vlor d rformd muliplicd por, qudo d pr zro, u lim u lim U S fizrmo dr pr zro m 9.85, o ruldo é lim [ U ] du lim u du u u u [ u ] u u u dmordo propridd. E orm prmi lir rpo m rgim prm d um im, ou, rpo pr qul d íd do im qudo o mpo d pr ifiio.
24 4 Tori Vcoril do Sil 9.7 ASOS PATIUAES DE INTEESSE 9.7. Ivrão d Trformd d plc Pr o cálculo d rformd ivr pod- uilizr xprõ 9.3 ou 9.6, m io implic o rcuro à ori d áli complx. O cálculo d rformd ivr coi rmição d um igrl o logo d um cooro fchdo o plo complxo. omo irmo rrigir o cálculo o co m qu rformd é um fução rciol, rformd ivr pod r rmid d um form impl. A qução lgébric, qu pr form d quoci d doi poliómio m, é dd por UN/D. omo mo irdo xprão mporl d rlção, hvrá qu procdr à u ivrão, u - [U]. Vmo procurr dcompor U m frcçõ impl, com ud d propridd bl d rformd cohcid, obr u prir d frcçõ Méodo do íduo oidrmo F um fução líic um rgião do plo complxo livr d igulridd, xcpo um úmro fiio d pólo, um cooro fchdo rgião. D ori d áli complx, o cálculo do igrl o logo d um prcuro fchdo é igul à om do igri à vol d cd igulridd idividul, com N F d π 9.89 F d π 9.9 m qu é o cooro fchdo qu iclui o pólo. A qução rior dfi o digdo orm do ríduo. Plo igri d uchy, o ríduo um pólo impl pólo odo difr,, é ddo por [ F ] lim 9.9 Qudo xim pólo múliplo pólo igui, o ríduo ão obido por lim! d d [ F ] 9.9
25 Trformd d plc 5 D guid rá lid our form d obr rformd d plc ivr qudo U é um fução rciol. Irmo vr m qu mdid xprõ ão rlciod com bordgm álculo d Trformd Ivr por Dcompoição m Frcçõ Simpl No co d rformd U r um frcção rciol, pod- dcompor m frcçõ impl plo méodo cohcido por dcompoição d viid. Aim, U b b... b b M M M M 9.93 N N N N... od, pr co fíico, o gru do domidor é mor do qu o do domidor M<N. S im ão for do U um frcção imprópri, b fzr divião d poliómio, ruldo N U Q 9.94 D rá própri compo N /D. Ecordo ríz do domidor fcorizdo-o, N U N o vlor,,...,,... N, ão o pólo d U, ou, ríz do domidor A Trformd Ivr d Frcção ciol d Pólo Simpl S frcção rciol m pólo impl, io é, ríz do domidor ão difr, or- priculrm fácil rápido rmir rformd ivr. A dcompoição fic ou, form mi compc, A A A A U N 9.96 N A U 9.97 Dd propridd d liridd rformd prd o xmplo 9., A N A... A... A h u 9.98 N N
26 6 Tori Vcoril do Sil Vmo como clculr o vlor do cofici A, A,..., A,... A N, chmdo ríduo do pólo,,...,,... N, rpcivm, m cidd d rcorrr o uul proco d igulizção do cofici, rblhoo moroo. S muliplicrmo U por -, rir- qu U A A N A A i i i i... A... AN N 9.99 S fizrmo, vê- qu o ldo dirio ó fic A, dod [ U ] A 9. por rm od prcl ul, xcpo do ríduo A. omprdo xprão com 9.9, pr rmição do ríduo, vrific- qu l ão mlh. Por cogui, digr--á procdimo d rmição do cofici por écic do ríduo. S ubiuímo xprão d U m qu ó o domidor é fcorizdo, obr--i, A N N 9. um vz qu o rmo -, o úico qu ul pr, é comum o umrdor o domidor. Aim, A... N N Pod- ucir gui rgr práic: Pr rmir o vlor d qulqur ríduo A b ubiuir por xprão d U, dpoi d limir o u domidor o fcor corrpod -. S xiirm pólo complxo, prcm mpr m pr cougdo, o il for rl, o rpcivo cofici A rão mbém complxo cougdo. Exmplo 9.6: Obr rformd d plc ivr d gui fução: 8 U 93 3 Fcorizdo dcompodo m frcçõ impl, U fic - ohcido por Méodo do ofici Irmido
27 Trformd d plc 7 8 U A A 9.4 O cofici ão rmido por A A Subiuido o cofici m 9.4, obém- 4 6 U 9.6 A rformd ivr rfr fução é [ 4 6 ] h u A Trformd Ivr d Frcção ciol d Pólo Múliplo S xiirm pólo múliplo, io é, N U 9.8 r D é cário pr cd um dl m fzr dcompoição: m N m m m r r r r m m A m A m A Pr rmição d A m pod- ur écic rior, A r [ U ] 9. m m Porém, pr o ouro cofici, o mmo proco lvri ifiio m mbo o mmbro, ficdo o cofici por rmir. S drivrmo U- m r m ordm, m d d r [ U ] A A... m m m m 9.
28 8 Tori Vcoril do Sil fzdo m, dá d r Am [ U m ] 9. d m pido o proco, xprão pr rmir cd cofici é A m d m! d r [ U ] m 9.3 com,,,..., r-. E ruldo é mlh à xprão 9.9 uilizd pr rmição do ríduo. Exmplo 9.7: lculr rformd d plc ivr d 4 U Fcorizdo dcompodo m frcçõ impl, 4 U A A A 9.5 O cofici ão: 4 A 4 4 A 8 d 4 A 4 d 9.6 Udo liridd o ruldo h h 9.7 vm qu [8 4 4 ] h u 9.8
29 Trformd d plc Diribuição d uchy Su Trformd Ivr Vi- dfiir diribuição d uchy, por logi com d Dirc, ddo- pr o plo complxo, por π γ 9.9 Tdo m co xprão 6.48, qu chmámo rformd d Dirc, podr--i dduzir xprão d rformd dirc d plc com b xprão rior propridd d liridd d rformd do impulo d Dirc rdo. D fco, [ u ] u τ [ δ τ ] u τ τ d τ dτ 9. é xprão d rformd dirc d plc vriávl τ, qu pod r ubiuíd por. Por logi com o cocio d diribuição d Dirc grlizdo-o pr o plo complxo, vmo mbém dfiir diribuição d uchy como diribuição γ qu vrific o igrl: U U γ d 9. qu iclui dfiição d impulo d Dirc, for rl o igrl d circulção ó ivr vlor difr d zro pr um prcuro obr um rc d úmro ri. D 9.9, m- qu U U d π 9. qu é o orm d uchy, válido dd qu U rgulr dro do cooro coidrdo. E fco lgiim grlizção fcud pr diribuição d uchy. Prido d xprão 9., rocdo vriávi, Tomdo qu γ- γ -, 9. fic U U γ d 9.3 U U d π 9.4
30 3 Tori Vcoril do Sil A rformd ivr d plc é obid coidrdo propridd d liridd bdo qu h /, []>[ ], u π [ U ] U d U π U d π qu é dfiição d rformd ivr d plc prd m 9.6. d 9.5 Viu-, im, qu liridd rformd dirc ivr do impulo d Dirc, um com dfiição d impulo d Dirc, podrim r coiuído xiom dfiidor d rformd d plc Séri d plc Aprd cióid d frquêci complx, iroduziu- grlizção d éri d Fourir, obdo- um il mporl prir d cióid complx, gudo xprão u 9.6 xprão qu chmrmo éri d plc. E coém como co priculr éri d Fourir. D rformd d plc pod- obr o cofici d éri d plc. Do orm d uchy, π d ubiuido ruldo xprão d éri d plc, u π π π d d d D dfiição d rformd ivr rir- rlção
31 Trformd d plc U Oprdor d pição S o il priódico cul prdo figur 9.3. u P T Fig. 9.3 Fução priódic cul. A fução priódic cul u P, com um príodo dfiido por u, pod r rprd por u P u T 9.3 Sdo U rformd d plc u, rformd d fução u P pod r clculd pl propridd d liridd d rlção o mpo, o qu dá olvdo o omório, obém- T T u P U U 9.3 u P U 9.3 T Exmplo 9.8: Obr rformd d plc do il: u P Fig. 9.4 Sil pr o xmplo 9.8. A rformd d um príodo do il pod r obid uilizdo o ruldo do xmplo 9.5. No o, vmo our form d obr rformd, qu é
32 3 Tori Vcoril do Sil úil qudo o il pod r dfiido por fuçõ mi impl, como mor figur 9.5. u m m m- Fig. 9.5 Dcompoição do il m fuçõ mi impl. D figur 9.5, vê- qu o il u pod r rprdo por u h h h 9.33 cu rformd é, d 9.7, A rformd d u P fic U 9.34 U P 9.35 um vz qu T Aáli d Sim Uilizdo Trformd d plc Um d pricipi uilizçõ d rformd d plc é áli d im lir ivri o mpo, do o méodo cláico uilizdo pr obr rpo do mmo. omo o im ormlm é dfiido por um qução difrcil, rformd d plc é priculrm úil pr rmir olução d quçõ difrcii lir, d cofici co. om irodução rformd, plc implificou rolução do problm m qu ão volvid quçõ difrcii,, com l, implificou rolução do problm d mcâic d ouro cpíulo d Fíic Fução d Trfrêci do Sim Um qução difrcil d ordm N é crcrizd por
33 Trformd d plc 33 N d y N d y... dy M d x... b N dx N N N y b M b N x 9.36 ou N d y M b d x 9.37 Um form d rprr o im, dfiido por um qução difrcil, bi- o digrm d bloco. omo práic é prfrívl implmr um igrdor m vz d um difrcidor, xprão 9.36 for igrd N vz, N y N y... b M N N M rolvdo m ordm y, obém- y x... b N y... N y x b y N y bm x... b x b x N M N N N N N N x A figur 9.6 mor o rpcivo digrm d bloco, upodo MN. y x b N / N y b N- - N- b - b - Fig. 9.6 Digrm d bloco d um im dfiido por um qução difrcil. Uilizdo écic mmáic d rolução d quçõ difrcii, o il y coi olução d qução homogé mi olução priculr d
34 34 Tori Vcoril do Sil qução. Pr um im lir, cul ivri o mpo, m- qu y pr. Aim, pr > rpo é rmid uilizdo qução difrcil com codiçõ iicii ul. Tdo m co propridd d drivção o mpo, m qu d y Y 9.4 rmição d olução d qução difrcil pod r muio mi fcilm fcud uilizdo rformd d plc. D modo, qulqur qução igro-difrcil o mpo pod r rformd um qução lgébric. Obid olução m, olução o mpo é clculd pl rformd ivr. Sbdo qu íd d um im IT pod r crcrizd pl covolução do il d rd do im, x, pl rpo impuliol do mmo, h, m qu y h x Y X 9.4 A fução é rformd d plc d rpo impuliol do im dig- por fução d rfrêci. D 9.37, rir- qu fução d rfrêci do im pod r dfiid por M b Y 9.4 N X O im, como foi crcrizdo plo digrm d bloco figur.33, pod r crcrizdo por, como mor figur 9.7. x y Fig. 9.7 prção do im pl u fução d rfrêci. Poro, pod- rmir rpo um rd, x, fzdo rformd ivr d plc do produo r rformd d plc d rd, X, fução d rfrêci,, [ X ] y 9.43 D form, rformd d plc prmi clculr covolução d ouro modo mi impl, o qu liá á ih cocido com rformd d Fourir.
35 Trformd d plc Ebilidd do Sim omo viu cção rior, um im pod r crcrizdo rformd d plc pl u fução d rfrêci,. A rgião d covrgêci d prmi forcr ddo impor obr o rpcivo im, como culidd bilidd. Pl rgr 3 d rgião d covrgêci, pr um im cul O ci um fix pr diri d dcoiuidd. S xiirm vári dcoiuidd, fix d O ci pr diri do pólo mi à diri o plo. Pr qu um im ávl, u rformd d Fourir dv xiir. omo rformd d Fourir é dfiid, o plo, plo ixo ω, ixo dv r dro d rgião d covrgêci. Aim, um im cul ávl dv r odo o pólo o mi-plo qurdo do plo figur 9.8. S lgum pólo ci o mi-plo dirio o im é iávl. ω Fig. 9.8 Sim cul ávl Exmplo Um plicção impor Eghri Elcroécic é áli d circuio com qulqur rd. D ori báic d circuio, viu- qu rformd d Simz r b úil pr áli d circuio com rd iuoidi. Pr qulqur il à rd, rformd d plc é um podro frrm d cálculo, poibilido obr rpo do circuio. D guid, rão prdo lgu xmplo qu morm como uilizr rformd d plc áli d circuio. Exmplo 9.9: Alir rpo do circuio d figur 9.9, qudo rd m um dgru d viid d mpliud V. i v i v o Fig. 9.9 ircuio.
36 36 Tori Vcoril do Sil A ão v o o rmii do coddor é dd por A rpciv rformd d plc é A qução d mlh do circuio é dfiid por cu rformd é v o i 9.44 I V o 9.45 v i i i 9.46 I V i I 9.47 Nor qu obém o mmo ruldo uilizdo rprção d figur 9., ou, impdâci d riêci é impdâci do coddor é /. Ao uilizr vlor d impdâci pod- fzr um áli do circuio, uilizdo o proco á cohcido d ori do circuio. V i V o Fig. 9. Dfiição, m plc, do circuio. Tdo m co figur 9., m- qu V o Vi Vi 9.48 omo rformd do il d rd é V/, xprão rior fic
37 Trformd d plc 37 cu rformd ivr é v V o V V V V o V h A figur 9. mor o ruldo. v o V Fig. 9. po do circuio d figur 9.9. O pólo d fução d rfrêci, /, ci o mi-plo qurdo do plo, do o circuio um im ávl. A xprão 9.5 é qução d crg d um coddor. O il d rd é crcrizdo por du zo, um dcoíu, od vrição do il é máxim, um co, cu vrição é míim. omo o coúdo pcrl d um il á ligdo à vrição do mmo, máxim vrição do il corrpod l frquêci, míim bix frquêci. D form, d figur 9. vê- qu o circuio d figur 9.9 pod r vio como um filro p-bixo proximdo, um vz qu cor l frquêci dix pr bix. Exmplo 9.: S o circuio d figur 9. rocrmo poição d riêci do coddor, obém- o circuio d figur 9.. Alir rpo d íd circuio.
38 38 Tori Vcoril do Sil v i v o Fig. 9. ircuio. A fução d rfrêci do circuio d figur 9. é V o V i 9.5 Pr um dgru d viid à rd m- íd v V h 9.5 o A figur 9.3 pr o ruldo. Dd poição do pólo o plo, cofirm- bilidd do im. Vrific- qu o circuio d figur 9.3 pod r vio como um filro p-lo proximdo, um vz qu dix pr l frquêci cor bix. v o V Fig. 9.3 po do circuio d figur 7.9. Exmplo 9.: S o circuio, prdo figur 9.4, limdo por um fo d ão coíu. Drmir form d corr qu circul o circuio pó ligr o irrupor. i V - Fig. 9.4 ircuio.
39 Trformd d plc 39 omo á foi rfrido, pod- rmir impdâci do circuio rformd d plc plicr rgr á cohcid d ori d circuio, como mor 9.5. I V i Fig. 9.5 ircuio m plc. Sdo o il v i um dgru d viid d mpliud V, qu rpr um fo d ão coíu ligd o circuio m, xprão d corr rformd é I Vi Vi V 9.53 Drmido ríz do domidor, obém- I 4 V Dpddo do vlor do prâmro do circuio, podrmo r rê iuçõ pr ríz: du ríz ri igui, du ríz ri difr du ríz complx cougd. Dd poição do pólo o plo, o im é mpr ávl. A primir iução é obid qudo /. N co, o pólo ão igui 9.54 fic
40 4 Tori Vcoril do Sil V I 9.55 A rformd ivr, obid do m co 9.64, dá h V i 9.56 A figur 9.6 pr form d corr o circuio m fução do mpo. Pod- vrificr qu xi um mpo riório m qu corr flui o circuio, m é ul m rgim prm, ou, quo d pr ifiio. Pr gud iução do pólo, > /, ão difr ri. Aplicdo o méodo do ríduo, V V I A rformd ivr rfr xprão é h V i 9.58 A figur 9.6b mor volução d corr o circuio o logo do mpo. Pr rcir iução do pólo, < /, ão complxo cougdo. N co, é mi fácil prir d 9.53 pr rformr fução um qu mlh 9.46 ou Aim,
41 Trformd d plc V V V I 7.59 omprdo com 9.47, xprão rior pod r po form, V I 9.6 A rformd ivr é 4 4 h V i 9.6 A figur 9.6c mor volução d corr o circuio o logo do mpo. E coi um fução ocilóri com morcimo.
42 4 Tori Vcoril do Sil i b i c i Fig. 9.6 orr um circuio : pr pólo do im ri igui; b pr pólo do im ri difr; c pr pólo do im complxo cougdo. omo pod vrificr plo vário xmplo, pó rprção d impdâci d um circuio lécrico rformd d plc, áli do mmo coi m plicr rgr á cohcid d áli d circuio olução d Equçõ Difrcii com odiçõ Iicii Exim iuçõ m qu o il d rd d um rmido im ão comç m rpouo, m m um compormo pdo qu pod r dcohcido. N co, pr áli d rpo d íd do im é cário ão ó o compormo do il pó o iício, m mbém o do iicil do mmo. Já foi rfrido qu um im pod r dcrio por um qução difrcil. No o, pr im com codiçõ iicii, iformção qução ão é ufici pr dcrvr odo o im. A iformção pd do im pod r rprd plo vlor d íd do mmo pl rpciv drivd o i iicil. A dfiição d rformd d plc uilrl, d u drivd, é ud pr obr olução d quçõ difrcii d cofici co qudo codiçõ iicii ão difr d zro. Vmo proco, upodo, por implicidd, plicção d rformd d plc um im d gud ordm, d y dy d x dx y b b b x 9.6
43 Trformd d plc 43 m qu codiçõ iicii ão y - y -. E codiçõ iici ão o ruldo do hioril pdo do im. Ddo o il d rd, x, prd- obr rpo d íd, y, pr >. Aplicdo propridd d drivção o mpo 9.6, [ ] [ ] [ ] [ ] X b x X b x x X b Y y Y y y Y 9.63 Aplicdo rformd d plc fic [ ] [ ] x b x b y y x b y X x b x b y y x b y X b b b Y 9.64 A rpo d íd coi m du pr. A primir corrpod o il d rd pr >, muliplicdo pl fução d rfrêci do im,. A gud pr dpd do vlor d íd rd m -. Pr ordm N d qução difrcil, plic- o mmo procdimo, m qu codiçõ iicii ão y -, y -,..., y N- -. Exmplo 9.: S o circuio, prdo figur gui. oidrdo qu o coddor á crrgdo com um ão V, rmir corr qu circul o circuio, pó fchr o irrupor. i i Fig. 9.7 ircuio pr dcrg do coddor. A corr qu p riêci é mm qu p o coddor. D form, coidrdo v ão o rmii d riêci, m- qu dv v 9.65 A qução difrcil qu rg o circuio é
44 44 Tori Vcoril do Sil dv v 9.66 Edo o coddor crrgdo, codição iicil d ão é v - V. Aim, rformd d plc é olvdo m ordm V, [ V v ] V 9.67 V v V 9.68 A rformd ivr dá v V h 9.69 corr v i V h Obv-, como r d prr, qução d dcrg do coddor po Idicil A rpo idicil corrpod à íd do im qudo à rd iroduz um dgru d viid. D modo, coidrdo à rd d um im, crcrizdo pl rpo impuliol h, um dgru d viid, figur 9.8 pr íd corrpod. h y Fig. 9.8 po idicil.
45 Trformd d plc 45 O orm do vlor iicil do vlor fil morm qu o limi d rpo idicil qudo d pr zro é igul o limi d rpo impuliol qudo d pr ifiio vic-vr. A dmorção é dixd como xrcício. 9.8 ESUMO DA TANSFOMADA DE APAE Sgu- um rumo d rlçõ, propridd ii mi udo rformd d plc Dfiição Trformd bilrl: U u π u U d U u [ u ] [ U ] Trformd uilrl: U u π ω u U I [ u ] u [ U ] U d I 9.8. Trformd d Algu Sii δ, [ ] > h β β β h, [ ] > β h, [ ] P co β T T T δ,,,... >
46 46 Tori Vcoril do Sil α α h, [ ] > α α α h, [ ] < α! h, [ ] >! α α h, [ ] > α β α β α β h, [ ] > α α co α β b b h, b b α β h, [ ] > α [ ] > [ ] > b α b b b φ h, φ rc b α α b, [ ] > Propridd u bu U bu O coém O O u O U O u u U O O u u U O O [ ] u du U O coém O u du I U u O coém O u
47 Trformd d plc 47 du d u O Ou U u τ dτ O coém O { [ ] > } U I u τ dτ O coém O { [ ] > } u u u u U U O coém O O π u u U U O coém O O u lim u lim U u lim u lim U
48 48 Tori Vcoril do Sil 9.9 EXEÍIOS 9.9. lcul, pl dfiição, rformd d plc do ii: α u A h, α > b u δ c u h d u co ω h 9.9. Drmi rformd d plc d fuçõ: u Ah b u h c u co h d u ω h u [ ω bco ω ] h f u A < T T 3T > 3T g u coh co h Idiqu rzão d gui fuçõ ão podrm r rformd d plc: u A b u h Dmor propridd prd: u u [ ] [ ] d d b [ u ] [ u ] oidr o il:
49 Trformd d plc 49 u A T lcul rform d plc uilizdo propridd d obrpoição. b lcul rform d plc uilizdo propridd d drivção. c Udo o ruldo d lí, clcul rformd d plc do impulo d Dirc, fzdo dr T pr zro A/T oidr o il rprdo figur: u - 3 Drmi rformd d plc d u, udo: A dcompoição d fução um omório d fuçõ dgru d viid. b A propridd d igrção lcul rformd d plc do ii u u : u u lcul rformd d plc ivr d fuçõ prd, por dcompoição m frcçõ impl: U 3 b U 3 4
50 5 Tori Vcoril do Sil c U d U U f U 3 3 g U h U Drmi o vlor iicil fil do ii: U b U Drmir rformd d plc do ii: u A T b u No bipolo d figur prd- corr rpo pr doi ipo d il d rd: um com form d um impulo d Dirc o ouro com form d um dgru d viid. S o il d rd for um corr, prd- um xprão d ão o rmii; o il d rd for
51 Trformd d plc 5 f..m. o rmii, prd- um xprão d corr qu r o bipolo. oidr Ω, F. c b d 9.9. Pr o qudripolo d figur cor rlção r ão d íd f..m. d rd, com form d dgru d viid. c v i v o v i v o b d v i v o v i v o Irpr o ruldo obido focdo iuçõ m qu o circuio rlizm um igrção proximd, um drivção proximd ou um fidlidd rmião O circuio lécrico prdo figur bixo m o gui vlor pr o compo: KΩ, 5 m µf: v i v o
52 5 Tori Vcoril do Sil lcul fução d rfrêci do im boc o pólo zro o plo complxo. b Drmi íd do circuio, à rd ivr o il. v i oidr gui qução difrcil rfr um im com íd y rd x: 3 d y dy dx 5 y 3 x 3 Drmi fução d rfrêci dig o im é ávl. b Obh íd do im pr um impulo d Dirc à rd Um im fíico m gui fução: d y dy 3 5y x Pr um dgru d viid à rd, rolv qução difrcil o im ivr codiçõ iicii: y; y.
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Princípios de Telecomunicações
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Análises de sistemas no domínio da frequência
prmno d Engnhri Químic d Prólo UFF iciplin: TEQ0- COTROLE E PROCESSOS náli d im no domínio d frquênci Prof inok Boorg Rpo d Frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr COCEITO: Coni d um méodo gráfico-nlíico
TRANSFORMADA DE LAPLACE- PARTE I
TRNSFORMD DE LLE- RTE I Eor. d Barro. INTRODUÇÃO odmo dfiir a Traformada d Laplac como uma opração mamáica qu covr uma fução d variávl ral m uma fução d variávl complxa: Od, F f d i f é uma fução ral da
Análise de Sistemas Contínuos por Série de Fourier
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Transporte Vestiário Higiene Pessoal Poupança
Álgbr Mricil PRTE LGUMS CONSDERÇÕES TEORCS MTRZES Noção d mriz Mrizs formm um impor cocio m mmáic, d spcil uso o sudo d rsformçõs lirs mriiz é um bl d lmos disposos m lih colus Mriz m é um bl d m úmros
Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais
TEQ CONTROE DE PROCESSOS Dmo d Eghi Químic d Pólo UFF Tfomd d lc Solução d Modlo ii Pof Niok Bojog A Tfomd d lc EDO: dy 5 y y d Equção Difcil Odiái Equção Algéic y -,8,5,5 Solução d Equção Difcil - Solução
Análise de Sistemas Lineares
Aáli d Sima iar Dvolvido plo Prof Dr Emilo Rocha d Olivira, EEEC-UFG, 6 Traformada d aplac A ididad d Eulr dfi uma rlação r o ial xpocial o iai oidai a forma ± j = co ( ) ± j ( ) N cao, é dfiido como a
TÓPICOS. Números complexos. Plano complexo. Forma polar. Fórmulas de Euler e de Moivre. Raízes de números complexos.
Not m: litur dsts potmtos ão disps d modo lgum litur tt d iliogrfi pricipl d cdir Chm-s tção pr importâci do trlho pssol rlir plo luo rsolvdo os prolms prstdos iliogrfi, sm cosult prévi ds soluçõs proposts,
Transformada de Laplace
No ul: MM6 rorm plc Crcríic pricipl: Algrizor EDO lir ou j rorm um EDO lir um qução lgéric Méoo: PVI ] : I ] p q Vg: Exim u rzõ pricipi pr uilizção rorm plc ; i O méoo riciol rolução um PVI volvo um EDO
Transformada de Laplace
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rorm plc Crcríic pricipl: Algrizor EDO lir, ou j, rorm um EDO lir um qução lgéric Méoo: ] PVI : I ] p q Vg: Exim u rzõ pricipi pr uilizção rorm plc ; i O méoo riciol rolução um PVI volvo um EDO ão homogê
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CAPÍTULO Exrcícios.. b) Sj séri. A fução f( x) é cotíu, dcrsct l x l x positiv o itrvlo [, [. D l x pr x, tmos dx dx. x l x x dx x covrgt Þ l x covrgt. l d) Sj séri 0 m [ 0, [. Tmos: x 4. A fução f( x)
Ánálise de Fourier tempo discreto
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Epço Eo Eqo or corolo covcol - rlção r í-r, o fção rfrêc, o corolo moro - crção qçõ o m m rmo qçõ frc ªorm q pom r com m qção frcl ª orm form mrcl. O o oção mrcl mplfc m mo rprção mmác m qçõ. O mo úmro
SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA
SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AUA Não é proo ir qu o oo momo ipirção mi óric pomo r o mi próimo poívl o plicçõ mi práic A N Whih (86-97) E obr é um compêio o ul, orgi ur () mr livo 7/, pr icipli Cálculo
Unidade 4 - Vibrações Forçadas sob Condições Gerais
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Ui 4 - Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 4. - Iroução Ui 3, foi su vibrção forç sisms um gru libr sob ção forçs hrmôics. s cpíulo, s suo srá sio pr forçs qulqur urz. Iicilm
1. A TRANSFORMADA DE LAPLACE
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8 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS
8 REPRESENÇÃO NO ESPÇO DE ESDOS 8. Cocio d sdo ( prsção srá fi o domíio do mpo coíuo; s difrçs com o cso discro são pqus srão prsds posriorm. rprsção rd/síd d um sism só é álid qudo, o mpo iicil, o sism
4.21 EXERCÍCIOS pg. 176
78 EXERCÍCIOS pg 7 Nos rcícios d clculr s drivds sucssivs t ordm idicd, 5 7 IV V 7 c d c, 5, 8 IV V VI 8 8 ( 7) ( 8), ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) ( ) 79 5, 5 8 IV, 8 7, IV 8 l, 9 s, 7 8 cos IV V VI VII 5 s
1 - SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS
Frqüêcis hrmôics - INI PEIÓDIO NÃO ENOIDI m dois siis soidis d rqüêcis rspcis. rqüêci é hrmôic d rqüêci qudo or sisi iguldd: od é qulqur úmro iiro posiio, iclusi zro. rqüêci é chmd, ormlm, d rqüêci udml.
CÁLCULO I 1º Semestre 2011/2012. Duração: 2 horas e 30 minutos
NOVA SCHOOL OF USINESS AND ECONOMICS CÁLCULO I º Smsr / EXAME ª ÉOCA Jiro Durção: hors miuos Não é prmiido o uso d luldors. Não pod dsgrfr s folhs do uido. O uido ds m é omposo por págis. Rspod d form
SÉRIES - TRANSFORMADAS
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A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original Albert Einstein
A m q r m ov idi jmi volrá o mho origil Alr Eii ASF Irodção ASF Irodção Prrção Erd d Rfrêci Erro A Coroldor (compdor) Ador (mplificdor) Rlimção (or, mdidor o rdor) Proco o Pl Síd ASF Modlo Mmáico Qdro
PROVA NACIONAL ESCRITA DE MATEMÁTICA
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Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Ecol Poliécic Uiveridde de São Pulo PSI323 Circuio Elérico II Bloco 3 Fuçõe de rede e Regime Permee Seoidl Prof Deie Cooi PSI323- Prof Deie Bloco 3 DESCRIÇÃO ENTRADA-SAÍDA DE UM CIRCUITO R, LINEAR E INVARIANTE
Análise de Sistemas Discretos por Transformada-z
ES Siis Sists Aális d Sists Discrtos por Trsford- Prof. Aliio Fsto Ribiro Arúo Dpto. of Sists d Coptção Ctro d Iforátic - UFPE Cpítlo Siis Sists Eg. d Coptção Itrodção A Trsford- Cotúdo A Trsford Ivrs
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Transformadas de Laplace
Trformd de plce O MÉTODO O méodo de rformd de plce é um méodo muio úil pr reolver equçõe diferecii ordiári EDO. Com rformd de plce, pode-e coverer mui fuçõe comu, i como, eoidi e morecid, em equçõe lgébric
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4. Análise de Sistemas de Controle por Espaço de Estados
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0, não há reação!), sendo. =, a concentração de A em um tempo t [A] t é:
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Métodos Computacionais em Engenharia DCA0304 Capítulo 4
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ESTE FORMULÁRIO É SOMENTE PARA CONSULTA. NÃO O UTILIZE COMO RASCUNHO.
Uvrdd Tcológc drl do Prá DAMAT Dprmo Acdêmco d Mmác Dcpl: álculo Drcl grl 4 Proor: Rudmr u Nó ORMUÁRO ETE ORMUÁRO É OMENTE PARA ONUTA. NÃO O UTZE OMO RAUNHO.. ér d ourr/oc d ourr b co d b d co d. A orm
Tópicos Especiais em Identificação Estrutural. Representação de sistemas mecânicos dinâmicos
Tópicos Espciais m Idiicação Esruural Rprsação d sismas mcâicos diâmicos O problma diro... rada Sisma rsposa rsposa y() rada x() Problma diro: rada x() Cohcimo + rsposa do sisma y() O problma ivrso...
Série de Fourier tempo contínuo
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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO. 1.1 Integrais por Substituição Mudança de Variáveis
UFP VIRTUL Liccitr m Mtmátic Distâci Discipli: álclo Difrcil Irl II Prof Jorg ost Drt Filho Ttor: Moisés Vi F d Olivir TÉNIS DE INTEGRÇÃO Técics d Irção Iris por Sbstitição Mdç d Vriávis Sjm f g fçõs tis
Sinais de Potência. ( t) Período: Frequência fundamental: f = T T
Siais d Poêcia P lim ( ) d < Siais Priódicos ( ) ( + ) com Ζ ( ) Príodo: P Frquêcia udamal: ( ) d Exmplos Sial cosa ( ) Sial siusoidal Fas ula Im si θ c Fórmulas d Eulr xp ± jθ cosθ ± j si ( ) θ jθ θ cosθ
Capítulo IV TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Cpíulo IV TRANSFORMADAS DE LAPLACE Cpíulo IV Trnormd d Lplc Cpíulo IV O méodo d rnormd d Lplc rolv quçõ dirncii corrpondn problm d vlor inicil problm d vlor ronir O proco d olução coni m rê po principi:
O sinal. Exemplos: impulso rectangular. Função exponencial. Aplica-se a sinais de energia finita. função sinc(λ) Transformada de Fourier 2/T 1/T T/2
rsrmd d Furir. d [ ]. d pli-s siis d ri ii [ ]. d < lmuiçõs EC Fuçã si λ si λ 3 si λ λ λ sd [ si ] r [ r ] si lmuiçõs EC 3 Exmpls: impuls rulr. r / / s / Fuçã six/x é mui mum. Csum usr-s pr iss uçã siλ
Análise de Circuitos Elétricos para Engenharia
S dicui,, d uhr rfil fr hi ublici : h://www.rrchg./ublici/6585 áli d ircui Eléric r Eghri E EDS 869 UHOS: Sérgi Hffr Uivridd Fdrl d i Grd d Sul 5 PUOS 68 OS uí lbr Prir Uivridd Fdrl d i Grd d Sul PUOS
Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.
![Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.](/thumbs/84/89187131.jpg "Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.")
Trsformd A TFTD de um sequêci é: Pr covergir série deve ser solutmete somável. Ifelimete muitos siis ão podem ser trtdos: A trsformd é um geerlição d TFTD que permite o trtmeto desses siis: Ζ Defiição:
Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Laplace
ES 4 Análi d Sim Conínuo por Trnformd d Lplc Prof. Aluizio Fuo Riiro Arújo Dpo. of Sim d Compução Cnro d Informáic - UFPE Cpíulo 4 Inrodução Conúdo A Trnformd d Lplc A Trnformd Invr Propridd d Trnformd
O E stado o d o o Solo
O Etdo do Solo Índic Fíico Elmnto Contituint d um olo O oloéummtril contituídoporum conjunto d prtícul ólid, dixndo ntr i vzio qu podrão tr prcil ou totlmnt prnchido pl águ. É poi no co mi grl, um itm
Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz real é uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, distribuídos como abaixo:
I MTRIZES Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé Defiição: Sem dois úmeros ieiros Um mriz rel é um bel de úmeros reis com m lihs e colus, disribuídos como bixo: ( ) i m m m m Cd elemeo d mriz
SISTEMAS DE CONTROLE I
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= n + 1. a n. n 1 =,,,,,, K,,K. K descreve uma sequência finita.
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Sistemas Lineares e Invariantes
-4-6 -8 - - -4-6 -8 - - Frequec Hz Hmmig iser Chebshev Fculdde de Egehri Sisems Lieres e Ivries Power Specrl Desi Ev B F CS CS B F CS Groud Revolue Bod Revolue Bod Power/frequec db/hz Sie Wve Joi Acuor
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ELECTROTECNIA TEÓRICA. Transparências das aulas teóricas. Maria Inês Barbosa de Carvalho
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Análise de Processos ENG 514
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Sistemas e Sinais (LEIC) Resposta em Frequência
Sismas Siais (LEIC Rsposa m Frquêcia Carlos Cardira Diaposiivos para acompahamo da bibliografia d bas (Srucur ad Irpraio of Sigals ad Sysms, Edward A. L ad Pravi Varaiya Sumário Dfiiçõs Sismas sm mmória
Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1 1
Univrsidd Fdrl do Rio d Jniro COPPE Progrm d Engnhri Químic COQ 79 ANÁLISE DE SISEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA : Rprsnção m Espço d Esdos 4/ Rprsnção m Espço d Esdos Esdo: O sdo d um sism no mpo é o
TÓPICOS. Sinais contínuos e sinais discretos. Função impulso unitário discreto.
Not bm: a litura dsts apotamtos ão dispsa d modo algum a litura atta da bibliografia pricipal da cadira hama-s a atção para a importâcia do trabalho pssoal a ralizar plo aluo rsolvdo os problmas aprstados
que representa uma sinusoide com a amplitude modulada por uma exponencial. Com s real, tem-se,
Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião n Conidr- a xprão, σ v V co qu rprna uma inuoid com a ampliud modulada por uma xponncial. Com ral, m-, n σ>0 a ampliud d v
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8 = 1 GRUPO II. = x. 1 ln x
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Dprmo d Mmá ALGUMAS PROPRIEDADES DAS CURVAS CONVEXAS DO PLANO Aluo: Pul Muro Nus Ordor: Hr Nols Aux Irodução Nos ds us mmá fz-s prs m odos os lugrs. Ao olor um mod pr lfor ou osgur ls guém pr pr psr m
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Toma d Cayly-Hamilo ja x sja d I α... α poliômio caacísico d. Eão: α α... α α I Toda maiz é um zo d su poliômio caacísico., mos qu qu:... I { I,,..., } u sja, pod s scio como uma combiação lia d. Também,
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6. Função Eponncil É todo função qu pod sr scrit n form: f: R R + = Em qu é um númro rl tl qu 0
O Uso da Álgebra Linear nas Equações Diferenciais
Uso d Álgr ir s Equçõs ifriis íi Gri ol úi Rsd rir Bofim Fuldd d mái FT Uivrsidd Fdrl d Urlâdi UFU 88 - Urlâdi ril d 8 Rsumo Álgr ir é um supor mmáio pr muis árs d iêi Vrmos omo lgus d sus rsuldos podm
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Solução Numérica para Equações Integrais com Núcleo Fracamente Singular.
Soução uméric r Equçõ Iri com úco Frcm Siur Lordo Guirmo Fi Cro d Ehri Ciêci E d Uivridd Edu do O do Prá Ru d Fcudd 645 Jd S MriTodoPR oui7@hoocombr Rumo: O obivo d rbho é dvovr dicuir covrêci do méodo
Capítulo 9. Chopper(conversor CC-CC)
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1 Capítulo 2 Cálc l u c lo l I ntegra r l l em m R
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8 Transformadas de Fourier
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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Rgim Diuro/Nocturo Discipli d COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ao lctivo d 7/8 - º Smstr Utilizdo itgris d lih
Laplace para Problemas Setorialmente Homogêneos
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