Grafos. Luís Antunes. Grafos dirigidos. Grafos não dirigidos. Definição: Um grafo em que os ramos não são direccionados.

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1 Luís Antuns Grfos Grfo: G=(V,E): onjunto vértis/nós V um onjunto rmos/ros E VxV. Rprsntção visul: Grfos não irigios Dfinição: Um grfo m qu os rmos não são irionos. Grfos irigios Dfinição: Um grfo m qu os rmos são irionos. um grfo irigio: um grfo não irigio: V={ xríio } E={ xríio } V={ xríio } E={ xríio }

2 Grfos: lgum notção Do um grfo G=(V,E), E VxV Os vértis u v são jnts m G ss <u,v> ou <v,u> são rmos G. : & são jnts & não são jnts f Grfos não irigios: grus g(v)=# rmos inints (jnts) no vérti v m G. Ex: g()= g(f)= f Grfos irigios: gru g-(v)=# rmos inints m v g-s(v)=# rmos qu prtm v Ex: g-()= g-s()= g-(f)= g-s(f)= Torm: Sj G = (V, E) um grfo não irigio om vértis. Então gru( v) = v V Corolário: Too o grfo não irigio possuiu um númro pr vértis om gru impr. f Exríio: quntos rmos xistm num grfo om vértis um os quis gru

3 Um grfo K n iz-s omplto s ontém toos os rmos, i.., E={<u,v> VxV:u v} : Quntos rmos xistm m K n Cilos Pr too o n, um ilo om n vértis, C n, é um grfo m qu V={v,v,,v n } E={<v,v >,,<v n,v n >,<v n,v >}. Quntos rmos xistm m C n Ros Pr too o n, um ro W n+, é um grfo otio prtir um ilo C n iionno um vérti xtr v ntro n rmos xtr {<v ntro,v >, <v ntro,v >,,<v ntro,v n >}. Quntos rmos xistm m W n G =(V,E ) é um su-grfo G=(V,E) s só s V V E E. :

4 Tl jênis A união G G ois grfos G =(V, E ) G =(V,E ) é plo grfo (V V, E E ). : G G G G Um tl om um linh por vérti, listno toososvértisjnts. Vértis Vérti Ajnts,,,, f,, f f, Exríio: snh o grfo. Tl jênis: grfos irigios Um tl om um linh por vérti, listno os vértis trminis os nós om origm nss vérti. Mtriz jênis Mtriz A = [ ij ], on ij é s <v i, v j > é um rmo G, so ontrário. Exríio: trmin tl jênis. Exríio: trmin mtriz jênis

5 Isomorfismo ntr grfos Os grfos G =(V, E ) G =(V, E ) são isomorfos ss xist um ijção f:v V tl qu pr too o, V, são jnts m G ss f() f() são jnts m G. Isomorfismo ntr grfos Coniçõs nssáris ms não sufiints pr qu grfos G =(V, E ) G =(V, E ) sjm isomorfos: V = V, E = E. O númro vértis om gru n sj o msmo m mos os grfos. Pr too o sugrfo g um grfo, xist um sugrfo o outro grfo qu é isomorfo g. Isomorfismo ntr grfos: xmplo Isomorfismo ntr grfos: xmplo Dig s os sguints grfos são isomorfos Dig s os sguints grfos são isomorfos f

6 Complmnto um grfo Sj G um grfo om n vértis. O omplmnto G, G, é o sugrfo o grfo omplto (K n ) qu onsist nos n vértis G toos os rmos K n qu não prtnm G. Algum trminologi Num grfo não irigio, um minho tmnho n, u pr v, é um squêni n rmos jnts om iníio no vérti u (=x ) fim no vérti v (=x n ). Um minho é um iruito s u=v n >. Um minho pss plos vértis x, x,, x n-, ou trvss os rmos,,, n. Um minho ou ilo iz-s simpls s não ontém o msmo rmo mis o qu um vz. Um minho pr Um minho pr f Est minho pss plos vértis f nss orm f Est minho pss plos vértis f,,, nss orm. O minho tm tmnho. Éum iruito porqu omç no W W msmo vérti. Chm-s simpls porqu não ontém o msmo vérti mis o qu um vz.

7 Grfos onxos Um grfo não irigio é onxo ss xist um minho ntr qulqur pr vértis istintos o grfo. G é onxo, visto qu pr too o pr vértis, xist um minho ntr ls. G não é onxo, não xist um minho ntr. G G Grfos onxos Torm: Exist um minho simpls ntr too o pr vértis istintos um grfo não irigio onxo. Componnt onx: Um grfo não onxo é união ois ou mis sugrfos onxos, os quis qulqur pr não tm vértis m omum. Ests sugrfos onxos isjuntos são hmos omponnts onxs o grfo iniil. Componnts onxs O grfo H é união três sugrfos onxos isjuntos H, H, H. Ests três sugrfos são s omponnts onxs H. Vértis rmos ort Um vérti/rmo ort spr um omponnt onx m us s o rmovrmos. Os vértis ort G são,,, o rmovrmos um ls ( os sus rmos jnts) torn o grfo não onxo. Os rmos ort são <, > <, >.

8 Cminhos/Cilos Eulrinos Um iruito Eulrino num grfo G é um iruito simpls ontno toos os rmos G. Um minho Eulrino num grfo G é um minho simpls ontno toos os rmos G. Um grfo onxo tm um iruito Eulrino ss toos os sus vértis tm gru pr. Est fto simpls po sr uso pr trminr s po snhr o grfo sm lvntr o lápis. Um grfo onxo tm um minho Eulrino s possui xtmnt ois vértis gru impr. Cminhos/Cilos Hmiltoninos Um iruito Hmiltonino éum iruito qu pss toos os vértis G um só vz. Um minho Hmiltonino éum minho qu trvss toos os vértis G um só vz. Inflizmnt não xist nnhum onição nssári sufint pr xistêni um iruito Hmiltonino. Psos E s triuíssmos psos os rmos : Molr um ompnhi ér, s, tmpos voo, ustos Molr um r omputors, s, tmpo rspost Ests grfos são onhios omo grfos psos, stmos intrssos no usto (tmnho) o minho m qu som os psos sj minimiz. Prolm o mnor minho Um grfo om psos é um grfo m qu rmo s ssoi um pso (númro). Psos pom rprsntr, por xmplo, s, ustos ou tmpos prurso ntr ois vértis. O tmnho um minho num grfo om psos é som os psos os rmos o minho.

9 Mp o mtro Tokyo Dtrmin o tmnho o mnor minho ntr z no sguint grfo om psos. Stup: Ii o Algoritmo G = grfo om psos Nst isiplin, os psos srão POSITIVOS. G é um grfo onxo. Um poimnto lling srá ftuo itrção Um vérti w srá mro om o tmnho o mnor minho pr w qu ontém somnt vértis já trtos. Mrr om toos os outros vértis om. L () = L (v) = Mrs são os minhos mis urtos ntr os vértis S k = onjunto vértis trtos pois k itrçõs. S =. O onjunto S k éformo iionno o vérti u NÂO m S k- om mnor mr. Dpois iionr u S k tulizmos s mrs toos os vértis qu não stão ms k Pr tulizr s mrs: L k (, v) = min{l k- (, v), L k- (, u) + w(u, v)}

10 s s

11 - - - Exmpl - - Pross Pross istn istn Exmpl - Pross Pross istn istn -

12

13

14 Algoritmo Dijkstr s Cminho pr :,,,, () (, ) (, (,, ) ) (,,,,,, ) ) - () (,, ), )

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