Definição: Seja a equação diferencial linear de ordem n e coeficientes variáveis:. x = +

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1 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov Resolução de Equções Difeeciis Liees po Séies Poto Odiáio (PO) e Poto Sigul (PS) Defiição: Sej equção difeecil lie de odem e coeficietes viáveis: ( ) ( ) b ( ) é dito poto odiáio Se ( ) é dito poto sigul Eemplos: ) ) ( ) ) ( ) Defiição: Um fução de é dit lític em se dmite séie de Tlo em too de, isto é, se f f ( ) ( )! Teoem: Sej equção difeecil lie de odem e coeficietes viáveis Se é um poto odiáio etão solução dest equção é lític em Isto sigific que se pode esceve Eecícios: Detemie solução ds equções em too do poto idicdo: ) Solução: é PO Supohmos Dí, solução ( ) [( ) ] ( ) elção de ecoêci

2 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov! Dí,!! e é solução gel, ode é costte bitái ) Solução: é PO Supohmos solução Dí, e [ ]

3 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov Dí, ) Solução: é PO Supohmos solução Dí, e

4 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov [ ] [ ] 9 Dí, 9 9 p

5 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov ) Solução: é PO Supohmos solução Dí, e [ ]

6 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov Dí, ) ) ) 8) 9) )

7 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov 8 ) Poto Sigul Regul (PSR) e Poto Sigul Iegul (PSI) Defiição: Um poto, sigul, é dito egul se, o escevemos equção ( ) ( ) b ( ) c c ( ) ( ) c c b ( ) ( ) s fuções c, c,, c iegul fom: foem lítics em Eemplos: é PSR ) ) é PSI ) é PSR Cso cotáio, é dito, Solução em too de um Poto Sigul Regul Método de Fobeius Se é um PSR d equção difeecil ( ) ( ) b, etão podemos, ode e são supo solução costtes seem detemids e Eecícios: Detemie solução ds equções em too do poto idicdo: ) ( ) Solução: é PS ( ) ( )

8 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov 9 lítics em c c Logo, é PSR Supohmos solução Dí, e [ ] [ ]

9 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov ou ) b) 9 9 8

10 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov c c 8 ) Poto Sigul Regul todos os csos Muits equções difeeciis de ª odem possuem coeficietes que ão são líticos em, ms são tis que o teoem seguite pode se plicdo: q p Teoem: Qulque equção difeecil d fom ode s fuções p e q são lítics em, possui o meos um solução que pode se epesetd sob fom: ( ) ( ), ode o epoete pode se qulque úmeo el ou compleo escolhido Obsevção: Neste teoem, viável pode se substituíd po c, ode c R P esolve equção () é coveiete pesetá-l sob fom q p Iicilmete, desevolveemos p e p p p q q, q em séies de potêcis, ou sej: e p q q Em seguid, deivmos equção () temo temo: ( ),

11 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov ( ) ( ) e ( )( ) Levdo ests séies equção (), vem: [ ( ) ] ( p p ) [ ] ( q q ) [ ] Iguldo zeo som dos coeficietes de cd potêci de, obtemos um sistem de equções que evolvem os coeficietes A meo potêci é e equção coespodete é [ ( ) p q ] Como, po hipótese,, temos que ( p ) q Est equção é deomid equção idicil d equção difeecil () O método de Fobeius foece um sistem fudmetl de soluções Um ds soluções seá sempe d fom (), ms fom d out está sujeit difeetes possibiliddes, que coespodem os seguites csos: CASO I: As ízes d equção idicil são distits e ão difeem de um iteio CASO II: As ízes são iguis CASO III: As ízes difeem de um iteio CASO I: Sejm e s ízes d equção () Se substituimos o sistem de equções meciodo e detemimos os coeficietes,,, sucessivmete, obtemos, etão, um solução: ( ) A equção difeecil possuiá um out solução LI,, que pode se obtid substituido-se o sistem de equções e detemido os coeficietes * *,,,: * * ( ) Como ão é iteio, ão é costte e, potto, e são soluções LI Deste modo, ests soluções costituem um sistem fudmetl de () (ou de ()) sobe o itevlo de covegêci de mbs s séies Eemplo: Já esolvido teiomete *

12 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov CASO II: A equção idicil () possui um iz dupl se, e somete se, p ( p ) q e, etão, ( ) Podemos detemi um pimei solução ( ), como teiomete P detemimos out solução podemos plic o Método de Vição dos Pâmetos, isto é, substituímos costte c equção c po um fução u se detemid, de modo que u () Substituido (8) e sus deivds e ( 8) sej um solução de equção difeecil (), temos: ( u u u ) p ( u u ) q u Como p q u ( p ) u é um solução de (), e, ssim, Dividido tod equção po e substituido p po p p p, temos: p p p u u ( ) [ ] ( ) [ ( ) ] De (), Desse modo, [ ( ) ] ( ) [ ] Omitido s potêcis de mioes ou iguis zeo, equção (9) se tsfom em: p p u u ou u u p p p p Como, temos que u Levdo equção (), l( u ) l u Como o que pece est últim equção pti de l é um séie de potêcis de mioes ou iguis, podemos esceve: l u l l e u e v v Sedo e v, teemos que e! Deste modo, u u l l K K Levdo este último esultdo equção (8), vem: Dí, ( 9)

13 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov [ ] K K K l K K l K K l A l Eemplo: Solução: é PSR (veifique) Supohmos solução Dí, e [ ] l u u l u l u u u u u

14 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov l l c c [ c c l ] que CASO III: Supohmos que e sejm s ízes d equção idicil tis e m, ode m é um iteio positivo ( ), ode > P detemi um segud solução coespodete à meo iz, podemos pocede como o cso II Os pimeios pssos são litelmete os mesmos que foecem equção (), e est equção detemimos p Podemos obsev p que, o cso d iz dupl, ou p ( ) No cso III, e m ( m) p m Deste modo, e p ( m ) m Levdo equção (), teemos: m u m u u u Os outos pssos são como o cso II Itegdo, vem: l ( u ) ( m ) l As eticêcis est últim equção idicm, como teiomete, um séie de potêcis de mioes ou iguis Assim, podemos esceve: l u m l l e ( m ) u e u m m m m m m u m m l m m m ( m ) u, temos: Como m m m ( m ) ( ) m m l m l ( ) m m m m Como m, temos: m

15 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov m A A l A l m Eemplo: Solução: é PSR (veifique) Supohmos solução Dí, e [ ] [ ] um iteio difeem po e

16 Vléi Zum Medeios & Mihil Lemotov ( MAIOR RAIZ) B l B ( ) B l A B ( )( ) A A Substituido e simplificdo: A A e A ( ) A A ( ) A A l A sej, po eemplo, A e A l c c c c l K K l

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