Controle de Sistemas. O Método do Lugar das Raízes. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas

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1 Controle de Sistemas O Método do Lugar das Raízes Renato Dourado Maia Universidade Estadual de Montes Claros Engenharia de Sistemas

2 Introdução No projeto de um sistema de controle, é fundamental se determinar como a localização das raízes da equação característica no plano S umda com a variação de um parâmetro. Essa localização das raízes, ou Lugar das Raízes (LR), é normalmente feita por um método gráfico conhecido como Gráfico do Lugar das Raízes. 2/28

3 Conceito de Lugar das Raízes O Lugar das Raízes, uma apresentação gráfica dos polos a malha fechada em função da variação de um parâmetro de sistema, é um poderoso método de análise e projeto. Ele permite a- nálises qualitativa e quantitativa, e fornece mais informações do que os demais métodos que já estudamos. 3/28

4 Conceito de Lugar das Raízes Entrada Sinal atuante Função de Transferência do canal direto Saída Modificações no ganho alteram os polos da malha fechada! Função de Transferência da retroação (a) Sistema a Malha Fechada. (b) Função de Transferência Equivalente. 4/28

5 Representação Vetorial de Números Complexos Plano s Plano s (a) s = σ + jω (b) (c) ( s+ a) ( s+ a) Plano s Plano s (c) ( 7) s j s + (5+ 2) ( s a) + é um nº complexo, e pode ser representado por um vetor traçado a partir do zero da função até o ponto s. 5/28

6 Representação Vetorial de Números Complexos Fs () m ( s+ zi ) = i= n = ( s+ p ) j= i fatores complexos do numerador fatores complexos do denominador Cada fator do numerador e do denominador é um número complexo, que pode ser representado por um vetor. A função define a aritmética complexa a ser executada para calcular F(s) em qualquer ponto s. 6/28

7 Representação Vetorial de Números Complexos Plano s Fs () = ( s + ) ss ( + 2) 7/28

8 Representação Vetorial de Números Complexos Considerando a representação vetorial, tem-se, para a magnitude: M comprimentos dos zeros = = comprimentos dos pólos m i= n j= ( s+ z ) i ( s+ p ) i O comprimento de um zero é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de F(s) em zi até o ponto s, e o comprimento de um polo é a magnitude do vetor traçado a partir do polo de F(s) em pi até o ponto s. 8/28

9 Representação Vetorial de Números Complexos Considerando a representação vetorial, tem-se, para o ângulo: θ = ângulos dos zeros m θ = ( s+ z ) ( s+ p ) i i= j= O ângulo de um zero é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a partir do eixo real, de um vetor traçado do zero de F(s) em zi até o ponto s, e o ângulo de um pólo é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a partir do eixo real, de um vetor traçado do pólo de F(s) em pi até o ponto s. n ângulos dos pólos i 9/28

10 Conceito de Lugar das Raízes a) O sistema CameraMan Presenter Camera rastreia automaticamente um objeto que utiliza sensores de infravermelho frontal e traseiro (o sensor frontal é também um microfone); comandos de rastreamento e de áudio são passados ao Camera- Man por meio de um enlace de radiofrequência de uma unidade utilizada pelo objeto. Posição do objeto Sensores Amplificador Motor e câmara Posição da câmara (b) Diagrama de blocos. (c) Função de transferência a malha fechada. onde 0/28

11 Conceito de Lugar das Raízes Localização dos Polos em Função do Ganho do Sistema Polo Polo ,47 8,87 8,6 7, j2, j3,6 5 + j3, j4, j5 0 0,53,3,84 2, j2,24 5 j3,6 5 j3,87 5 j4,47 5 j5 /28

12 Conceito de Lugar das Raízes Plano s (a) Diagrama de Polos. (b) Lugar das Raízes. Plano s Que conclusões podemos tirar por meio da análise do lugar das raízes do CameraMan? 2/28

13 Conceito de Lugar das Raízes As conclusões para um sistema simples como o CameraMan podem parecer triviais. Todavia, é importante perceber que o Lugar das Raízes representa uma técnica importante para analisar sistemas de ordem maior do que dois... 3/28

14 Propriedades Lugar das Raízes Seja o seguinte sistema: Rs () + - Gs () Y() s Função de Transferência da Malha Fechada: Gs () T () s = + G () s Equação Característica: () s = + Gs () Gs () = = + j0 Gs () = Gs ( ) = 80 ± k360, k = 0,,2, Forma Polar 4/28

15 Propriedades Lugar das Raízes Assim, para que um ponto s pertença ao Lugar das Raízes, é necessário que: Gs () = Gs ( ) = 80 ± k360, k = 0,,2, 5/28

16 Propriedades Lugar das Raízes Exemplo: Gs () = ss ( + 2) Equação Característica: () s = + Gs () = + = 0 s( s + 2) 2 () 2 0 s = s + s+ = Lugar das raízes: Gs () = = ss ( + 2) G( s) =± 80, ± 540, 6/28

17 Propriedades Lugar das Raízes Vamos calcular as raízes da equação característica para variando de zero até infinito... = = 0 = = () s s 2s 0 Equação Característica: = + + = { 2,0} {.707, } {, } { j} ± = 5 = 0 = 0 = { j2} { j9.9499} ± ± { 3 ± j0 } { 7 ± j3.6 0 } Para = 0, têm-se os polos da malha aberta. Para muito grande, os polos vão para infinito... Agora é só fazer o desenho... 7/28

18 Propriedades Lugar das Raízes 8/28

19 Propriedades Lugar das Raízes Root Locus () s = + = 0 s( s + 2) Imaginary Axis Matlab: >>rlocus([],[ 2 0]) Real Axis 9/28

20 Propriedades Lugar das Raízes Para que um ponto pertença ao Lugar das Raízes, qual condição deve ser satisfeita? A condição de ângulo, sendo que a condição de módulo fornece o valor do ganho que aloca a raiz naquele ponto! Pode-se observar que, para que a condição de ângulo seja obedecida, o LR corresponde a uma linha vertical, para ζ < (subamortecimento), e uma linha horizontal, para ζ > (sobreamortecimento). Vamos analisar essas conclusões nos dois próximos slides... 20/28

21 Propriedades Lugar das Raízes Para um ponto qualquer, sc, sobre a reta vertical, obtém-se a contribuição dos dois polos, s e s2, da seguinte maneira: = sc ( sc + 2) = [(80 θ) + θ] = 80 s( s + 2) s= s c 2/28

22 Propriedades Lugar das Raízes E como determinar o ganho no ponto sc? = = = sc sc + 2 ss ( + 2) s s+ 2 s= s c c c 22/28

23 Propriedades Lugar das Raízes Consideremos a EC escrita na forma: () s= + Fs () F() s = m i= n l= ( s+ z ) i ( s+ p ) Sabemos que: Fs () = + j0 l Logo: m ( s+ zi ) m n i= = e ( s+ zi) ( s+ pl) = 80 ± k360 n i= l= ( s+ p ) l= l 23/28

24 Propriedades Lugar das Raízes Exemplo: (a) Sistema de exemplo. (b) Diagrama de polos e zeros de G(s). O ponto (-2 + j3) pertence ao lugar das raízes? E o ponto (-2 + j( 2/2))? 24/28

25 Propriedades Lugar das Raízes Exemplo: Plano s Plano s Representação Vetorial de G(s) 25/28

26 Propriedades Lugar das Raízes Exemplo: Plano s θ = ângulos dos zeros - m θ = ( s+ z ) ( s+ p ) i i= j= θ = θ + θ θ θ n ângulos dos pólos = = i Representação Vetorial de G(s) O ponto (-2 + j3) não pertence ao lugar das raízes, isto é, não representa um polo a malha fechada para nenhum valor de ganho. 26/28

27 Propriedades Lugar das Raízes Exemplo: Plano s Para o ponto (-2 + j( 2/2)), o ângulo vale 80, e ele pertence ao lugar das raízes, isto é, representa um pólo a malha fechada para algum valor de ganho... ( s+ zi ) comprimentos dos zeros i= M = = = n comprimentos dos pólos ( s+ p ) j= comprimentos dos pólos = = M comprimentos dos zeros m i Representação Vetorial de G(s) LL LL 3 4 = = = 2 2 (,22) 2 0,33 (2,2)(, 22) 27/28

28 Cenas do Próximo Capítulo... O LR mostra como os polos em malha fechada variam em função de um ou mais parâmetros ajustáveis. Traçar o LR direto pelo conceito não é algo prático. Será apresentado um procedimento prático geral que permite o esboço do Gráfico do Lugar das Raízes em função da variação de um dado parâmetro. 28/28