A formulação representada pelas equações (4.1)-(4.3) no método de elementos finitos é denominada de formulação forte (strong formulation).

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Marcela Frade Azambuja
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1 4. Fomlção Mcl o Méoo Elmos Fos s cpílo sá ps fomlção mcl o méoo lmos fos pos plcção o méoo lv ssms lgécos q pom s ogzos fom mcl p poso solção po éccs mécs pops p c po qção fcl: lípc pólc o hpólc. O poo p sá fomlção fc lz o méoo Gl. 4. Fomlção Vcol Eqção Tspo Cos sg qção spo: ( ) ( ) S m (4.) s às coçõs cs cooo (4.) ( ) so h q so (4. ) fomlção ps pls qçõs (4.)-(4.) o méoo lmos fos é om fomlção fo (sog fomlo). sl Mlplco Eq. (4.) po m fção go o omío ( ) ( ) S () O go o sgo mo o pmo mmo qção po s oo p

2 7 () como (c) Sso (c) m () oém-s S () qção () c gl p sq po s sc lzo o Tom G fom v () Em cooos os qs vávl é spcfc v s l. Ds fom p () () oém-s qção: S (4.4) Eq. (4.4) é om fom fc pos s vs ms l om spcm o pocsso gção po ps. s vs fom sís s fçõs. úlm gl Eq. (4.4) é m gl o cooo sg lm qo s oém fom fc qção. Po sso sg qção (4.) é om coção cooo l m lmos fos. s

3 7 coçõs cooo sscs vm s mposs o pocsso solção como sá vso posom. Sso sg Eq. (4.) m (4.4) oém-s ) ( h q S (4.5) fom fc qção lém s qvl à fom fo fz com om co s fçõs s ms mém pm oção l s coçõs cooo sgo co pos. c gl o pmo mmo Eq. (4.5) sá l o méoo Gl. q gl só sá o hov flo mss. qção (4.) po s sc m fom ão cosvv como S (4.6) com fom fc qvl s cso: ) ( h q S (4.7) 4. Dsczção Eqção Vcol o méoo lmo fo o omío é svo m ELEM lmos m pocsso sczção o omío. Eq. (4.7) po s sc como ) ( h q S I (4.8)

4 7 Como o omío fo svo m ELEM somíos gl I po s vl com som gs os somíos fom: ) ( ELEM ELEM h q S I I (4.9) P scz qção vcol o m lmo polção é f fom: { Φ Φ } (4.) ql é o coo fçõs polção o lmo { } Φ é o vo vávs os o lmo. o méoo Gl fz-s. Sso ão polção (4.) m (4.9) p oos os s K slá m lmo: { } { } { } { } { } { } { } { } { } Φ Φ Φ Φ q S h I (4.) qção (4.) po s sc sg fom mcl: { } { } { } { } Φ Φ Φ Φ F H K C M I (4.) ql s mzs cofcs são fs como: { } M (4.)

5 (4.) [ C ] { } (4.c) [ K ] { } 74 h{ } H (4.) { } { } S { } F q (4.) Os lmos s mzs s qçõs (4.) ão fom: M (4.4) C (4.4) K (4.4c) H h (4.4) F q (4.4) S qção (4.) po s sc m fom ms compc: Φ [ M ] [ ]{ Φ } { F } I (4.5) m q [ ] [ C ] [ K ] [ H ] (4.6)

6 75 O mo s Eq. (4.5) po s sczo m fom géc como sg: Φ { Φ } { Φ } Φ θ ( θ ) Φ (4.7) ql θ. ssm Φ [ M ]{ Φ } [ M ]{ Φ } Φ M θ[ M ] ( θ )[ M ] Φ (4.8) Po (4.5) m-s [ M ] { F } [ ]{ Φ Φ } (4.9) poo sso (4.9) m (4.8) oém-s o [ M ]{ Φ } [ M ]{ Φ } θ ({ F } [ ]{ Φ }) ( θ ){ ( F } [ ]{ Φ }) [ M ] { } [ M ] { } { } { } θ Φ θ Φ θ F θ F (4.) O pâmo θ glm ssm m os vlos: méoo olm méoo olm θ / Gl O( ) / C - cholso O( ) plíco cocolm sávl mplíco cocolm sávl O( ) O( )

76 4. Pocsso Mogm (ssml) Mz Glol plo ss. Cos sczção m omío com lso Fg 4. o Fg 4. Mlh ão s âglos m omío msol s coos os ós cocv os lmos são pss sg: LIST LL PICKED ODES. DSYS ODE X Y Z THXY THYZ THZX.

7 76 4. Pocsso Mogm (ssml) Mz Glol plo ss. Cos sczção m omío com lso Fg 4. o Fg 4. Mlh ão s âglos m omío msol s coos os ós cocv os lmos são pss sg: LIST LL PICKED ODES. DSYS ODE X Y Z THXY THYZ THZX

8 77 LIST LL SELECTED ELEMETS. (LIST ODES) ELEM MT TYP REL ESY ODES ELEM MT TYP REL ESY ODES 6 7 O ssm glol sl pós coção oos lmos sá fom: [ G ]{ } { F} Φ (4.) ql mz glol [ G ] o vo glol { F } são cosíos fom: ELEM [ M ] G [ ] θ (4.) ELEM { } M F ( )[ ] { Φ } θ{ F } ( θ ){ F } θ (4.) Φ} { é o vo coo os s vávs os. Po-s cos m lgomo p mogm mz glol p m g l po ó fom:

9 78 o lm lm cll so p clcl mzs o lmo o os ow coc(lm) F(ow) F(ow) f() o os col G(ow col) o o o coc(lm ) G(ow col) m( )/ θ ( ) Cos o lmo como mplo. cocv ss lmo é: KCOEC ( ) ; KCOEC ( ) 5 ; KCOEC ( ) 6. Es lmo á coção os sgs lmos mz glol: G() G() G(5) G(5) G(6) G(6) G(5) G(5) G(55) G(55) G(56) G(56) G(6) G(6) G(65) G(65) G(66) G(66) () () () () () () () () () Ovm oos lmos q complhm os ós 5 6 ão coção s msms posçõs mz glol. Fg 4. go cos o cso m s h o sg polm gão mos D T f (4.4)

10 79 T ( ) T T ( L ) T ( ) T ( H ) (4.4) Fg 4. Mlh s âglos m omío msol MlhD - GMlD v.. (úmo lmos mlh; úmo ós mlh) 4 (úmo o ó; Coo- o ó; Coo- o ós) E E E E E E 4 E E 5 4E E 6 E E 7 E E 8 E E 9 E E 4E E E E

11 8 E E E E 4 E E 5 4E E 6 E E 7 E E 8 E E 9 E E 4E E (úmo o lmo; Tpo o Elmo; ós o lmo) TRG 7 6 TRG 7 TRG TRG 8 5 TRG TRG TRG TRG TRG 6 TRG 6 7 TRG 7 TRG 7 8 TRG TRG TRG TRG TRG TRG 7 9 TRG 8 7 TRG 8 TRG 9 8 TRG 4 9 TRG TRG 4 5 o ps cso qção sl sá smplfc p qção (4.) á fom: com { T } { F } K (4.5) K D (4.6) F f (4.7) s fçõs polção lmos gls com ês ós vécs são psss como

12 8 (4.8) qs os cofcs são fos como (4.9) ( [ )] (4.) ( [ )] (4.) com (4.) P cálclos ms é ms cov s ssms coos locs como lso Fg 4.. Eslco m lção po-s f fçõs polção s coos locs. lção s coos glos locs é fom:

13 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c (4.) Fg 4. Tâglo m coos glos locs. s fçõs polção s coos locs pom ão s psss como: ( ) ( ) ; (4.4) qs os cofcs são fos como ( ) (4.5) ql pmm cclcm: ; ;. com (4.6) Coso Fg 4. o cso m q c sl

14 8 ; ; (4.7) (4.8) (4.9) D K (4.4) { } 6 f f (4.4) o cso m q oém-s D K ; { } 6 f f (4.4) Ecíco 4.. Rsolv o polm govo pl qção Posso m omío gl s po l com s sgs coçõs cooo:

15 84 6 cos ) ( ) ( π mo fo lo so vsõs m vsõs m com lmos ) gls; ) qls. Comp o slo com solção : cosh 6 cos 6 cosh ) ( π π π. Ecíco 4.. Dsvolv fom fc fomlção mcl sg qção: f (4.4) fom vcol qção po s sc como f F F c fomlção fc é fom s wq wf w F w F w (4.44) m q

16 85 q F F (4.45)

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