Unidade 4 - Vibrações Forçadas sob Condições Gerais
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- Pietra Caminha Duarte
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1 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Ui 4 - Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 4. - Iroução Ui 3, foi su vibrção forç sisms um gru libr sob ção forçs hrmôics. s cpíulo, s suo srá sio pr forçs qulqur urz. Iicilm srá su ução forçs prióics qu são combiçõs forçs hrmôics ssocis rvés s Séris Fourir qu, m sisms lirs, pom sr cosirs como váris forçs hrmôics uo sobr o sism rspos po sr obi uilizo o Pricípio Suprposição os Efios. Pr rmição rspos forçs ão prióics, cohci como rspos rsi, srão uilizs frrms mmáics como Igrl Covolução (ou Igrl Duhml Trsform Lplc. O cocio spcro rspos mbém srá boro s Ui. Em oos os csos o sism srá um gru libr com morcimo viscoso Rspos Um Forç Prióic Um forç prióic po sr xprss m Séris Fourir form F ( + cos + b si (4. com b F F ( ( cos si,,, K,, K (4. o π é o príoo fução prióic. A qução o movimo o sism qu sofr ção um forç prióic é m& x + cx& + x b si (4.3 + cos + Uilizo-s o Pricípio Suprposição os Efios q. (4.3 po sr compos s quçõs mx && + cx& mx && 3 + cx& mx && + cx& 3 + x + x + x 3 cos b si su solução priculr x x + x + x p p p p 3, m qu (4.4 x x p p ( ( ( r + ( r cos ( φ (4.5 x 3 p ( b ( r + ( r si ( φ com r π φ, r (frquêci fuml r A rspos rgim prm o sism (ou solução priculr qução ifrcil é 77
2 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris x p ( + ( + cos φ ( r + ( r b ( r + ( r si ( φ Os omiors os sguo rciro rmos q. (4.6 s proximm zro quo o morcimo é pquo o qu implicrá m grs mplius vibrção. Iso scori possibili o fômo rssoâci cocr ão som quo frquêci fuml for igul à frquêci url o sism ms, mbém, quo os múliplos s frquêci fuml (chmos frquêcis hrmôics form mbém iguis à frquêci url o sism um gru libr. Exmplo 4. - o suo vibrção válvuls uss m sisms corol hiráulico, válvul su hs lásic são molos como um sism mss-mol como mosr Fig. 4.. Além s forçs mol morcimo, há um forç prssão flui válvul qu vri com brur msm. Ecorr rspos rgim prm válvul quo prssão câmr vri como iico Fig. 4.b. Assumir qu 5 /m, c.s/m m,5 g. O iâmro ubulção é 5 mm. (4.6 c x( m p( 5 p( (/m 3 4 (b (sg ( Figur 4. - Válvul sob prssão prióic. Solução: A forç xrci sobr válvul, rsul prssão flui é por Ap F m qu A é ár sção vz câmr, por π A 4 π,5 4 6,5 4 π m π π D Fig. 4.b, s π r/s A forç u válvul é obi pl rprsção fução m Séris Fourir, form F ( + cos + b si D Fig. 4.b, forç xr po sr como F 5A pr 5A( pr 78
3 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Os coficis são obios por A A A A cos π + 5A ( o s igris são rsolvis por prs rsulo m si π A 5 π pr pr impr pr A fução mosr Fig. 4.b é um fução pr (f( f(-, o qu crcriz como um fução qu é rprs por um séri xclusivm cossos. Ds form os coficis b são ulos. Um fução ímpr (f( -f(- é rprs por um séri sos possui os coficis ulos. A forç é, ão, por 5 A ( F 5A cos pr impr π A rspos rgim prm é x p ( 5 5A A π S frquêci url é ( r + ( r cos ( φ pr impr m 5 r/s,5 A frquêci fuml forç prióic é π r/sg, ão π r 34, O for morcimo é obio prir os prâmros o sism por c, m, 5 Os âgulos fs pom sr obios por φ r r, 34, 34 (,, 6, 987 rspos rgim prm o sism srá por x p ( cos( π φ (,987 (,58,96,59 + pr impr 79
4 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Rspos Um Forç Prióic Irrgulr F( F 4 F - F F F F 3 Figur 4. - Forç prióic form irrgulr. Quo forç u ão possuir um form l qu poss sr xprss por um xprssão líic (quo rsulo um mição, por xmplo, rmição os coficis Séri Fourir vrá sr rliz umricm. s cso Séri ssum form b i i i F i π F cos i pr,,..., π F s i pr,,..., Exmplo 4. - Ecorr rspos rgim prm válvul o xmplo 4., s s fluuçõs prssão câmr são prióics. Os vlors prssão são mis com irvlos, s (Tbl 4.. mpo (s,,,3,4,5,6,7,8,9,,, p (/m Tbl 4. - Prssão m um válvul hiráulic. Solução: Como s fluuçõs prssão s rpm c, s, o príoo é, s frquêci fuml séri Fourir é π/, 5,3599 r/s. Como o úmro vlors obsrvos m c príoo é, q. (4.7 obém-s os coficis p i pi 6867 /m i b i i π p cos i π p si i i i π p cos pr,,...,6 i, π p si pr,,...,6 i, Irouzio ss coficis xprssão (4., Séri Fourir é mo é 6ª hrmôic. Em viru s rr um fução iscriz, máxim frqüêci hrmôic prs v sr frqüêci ycquis, por f ycquis 5 Hz, (4.7 O qu, so frqüêci fuml f, 8,33 Hz, é igio pl sx hrmôic 8
5 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris p ( 3483,3 6996, cos 5, ,8 si 5, ,67 cos4, ,44si4,7 5833,33cos57,8 333,33si57,8 583,333cos 9, ,6 si 9,44 7,3 cos 6,799 64,3si 6, ,667 cos 34,59 + si 34,59 So r/sg, ão r 5,3599/,53599,,, o xmplo 4.. A ár câmr prssão é mbém obi o xmplo 4., como A,65 π m. Os âgulos fs são os por φ r r φ,896 r φ -,3449 r φ 3 -,44565 r φ 4 -,453 r φ 5 -,777 r φ 6 -,476 r A rspos rgim prm é x p (,68,8cos( 5,4,8 +,864 si( 5,4,8 +,59 cos( 5 +,34 +,659 si( 5 +,34,87 cos( 57 +,45,5si( 57 +,45,3cos( 9 +,43 +,487 si( 9 +,43,87 cos( 6 +,77,847 si( 6 +,77 +,46 cos( 34 +,4 + si( 34 +,4m /m Rspos Um Forç ão Prióic Pr rmição rspos um sism um gru libr sob ção um forç ão prióic, os méoos uilizos são:. Igrl Covolução.. Trsform Lplc. 3. Trsform Fourir. 4. Igrção uméric Igrl Covolução A Fig. 4.3b mosr um forç qu m um rmi mgiu fii é plic m um irvlo mpo xrmm pquo. Es forç é chm forç impulsiv. O Pricípio o Impulso Qui Movimo sblc qu Impulso F mx& mx& Em um irvlo mpo o impulso é o por + $F F O impulso uiário é fiio por f$ lim F F + (4.8 (4.9 8
6 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris F( x( g( F c m F Ο F( Ο ( π (b (c Figur Rspos o impulso sisms um gru libr. Rspos o Impulso A qução qu scrv o movimo o sism mosro Fig. 4.3 é mx&& + cx& + x (4. cu solução é v + x x ( x cos + s (4. F $ x ( s F g( $ (4. m S, um is s o sism sofrr ção forç impulsiv, o msmo sivr m rpouso, po-s izr qu m x( x& (, o Pricípio o Impulso Qui Movimo prmi izr qu, sob plicção um impulso mgiu uiári $ & + f mx mx & (4.3 + como &x( v, ão $f mv v (4.4 m Como o movimo comçou o rpouso x rspos o sism s or x ( s g( (4.5 m qu é cohci como fução rspos o impulso uiário. Como o sism é lir, rspos um impulso mgiu ão uiári é obi pl muliplicção rspos o impulso uiário pl mgiu o impulso, rsulo S o impulso for plico m um mpo, rspos mbém ficrá fs o mpo, form F $ x ( Fg $ s ( (4.6 m 8
7 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris F( F F F Ο ( x( F g(- Ο (b Figur Rspos um impulso plico m. Rspos Um Forç Grl Um fução grl po sr cosir como um suprposição impulsos, como mosr Fig F( F( Ο + Figur Fução grl, ão prióic. A rspos um sism um forç plic s form srá som s rsposs os impulsos plicos o logo o mpo. S rspos o impulso uiário plico o mpo é igul g (, ão, plico o Pricípio Suprposição os fios rspos prouzi plo impulso F(, plico m, é 83
8 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris ( x F g (4.7 A rspos grl é obi pl som s rsposs prciis como ( x x F g (4.8 Lvo o limi pr chg-s x F( g ( (4.9 qu é cohci como Igrl Covolução ou Igrl Duhml. Pr um sism um gru libr com morcimo viscoso, o rspos o impulso uiário é q. (4.4, qução (4.9 or-s x ( F ( m s (4. Rspos à Excição Impulsiv Bs Em lgus csos (um crro psso por um burco ou um lomb, por xmplo, xcição bs o sism m crcrísics gris, s cso, qução o movimo rlivo (3.69 m su solução moific pr z ( ( y& ( s ( & (4. Exmplo Um máqui compcção, mol como um sism um gru libr, é mosr Fig A forç u mss m (qu iclui s msss o pisão, plform o mril qu sá so compco vio um plicção súbi prssão, po sr iliz como um forç gru como mosr Fig. 4.6b. Drmir rspos o sism. Solução: D coro com o mosro Fig. 4.6b, forç xr é igul F F Irouzio q. (4. m-s ( s ( x m qu é igr por prs, rsulo F F ( ( φ cos x o φ. O movimo prouzio por s xprssão sá mosro Fig. 4.6c s crcriz por sr um movimo hrmôico com posição quilíbrio sloc su posição origil m F. S o sism ão possuir morcimo, com rspos rsform-s m F ( [ cos ] x m qu o slocmo máximo ocorr quo cos so F x mx o qu po sr clrm viso Fig O movimo é hrmôico com mpliu F com posição quilíbrio sloc posição quilíbrio origil mbém F, form qu o slocmo máximo m rlção o rfrcil oo, qu é posição quilíbrio origil, é o obro s vlor. 84
9 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris F( F( F O (b Pisão x( Ciliro F F x( m / c / Mril so compco Plform O F F x( (c ( O ( Figur Forç gru m um máqui compcção. Exmplo Achr rspos máqui compcção mosr Fig. 4.6 quo msm sá submi à forç mosr Fig F( F Ο Figur Forç gru com mpo rso. Solução: A solução é álog à o xmplo 4.3, ps subsiuio por - q. 4., rsulo [ φ] F ( ( cos x, quo o sism for ão morcio ( { [ ]} F ( cos ( x 85
10 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Exmplo S máqui compcção mosr Fig. 4.6 sá submi um forç cos com mpo urção limio (Fig. 4.8, rmir rspos máqui. F( x( > / < / F Ο Ο ( Figur Forç pulso rgulr. (b Solução: Como o sism é lir forç po sr cosir como um suprposição um forç gru F plic m um our forç gru -F, plic m. A rspos m > srá suprposição s rsposs c um s forçs quo plics isolm. Ess rsposs form rmis os xmplos , rsulo m { cos[ φ] cos ( φ } F ( x com φ Pr sisms sm morcimo rspos é [ cos ] F ( cos x Exmplo Drmir rspos máqui compcção mosr Fig. 4.9 quo for plic um forç qu vri lirm (Fig. 4.9b, vio o movimo o cm. Solução: A qução forç plic, mosr Fig. 4.9b é F δf o δf é x crscimo forç ui mpo. A qução (4., s cso, or-s δf ( x ( s ( m cu igrl é rsolvi por prs, rsulo x F δ + cos s Pr sisms sm morcimo ( s x δf 86
11 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Movimo o cm Cm F( Sguior F( O (b δf x( m Mril so compco x( / c / Plform δf/ ( Trsform Lplc O π Figur Máqui compcção sob forç vrio lirm. (c 4π Dfiição O méoo Trsform Lplc é plico pr rsolvr quçõs ifrciis oriáris, lirs, com coficis coss. Aprs como vgs sr plicávl qulqur ipo fução xcição, s qu igrávis, rr fuçõs scoíus sm ificuls lvr m co uomicm s coiçõs iiciis, o qu é sigificivo quo s r rsolvr um problm o vlor iicil. A fiição Trsform Lplc é s x xs x (4. o s é chm vriávl subsiiári, complx s é o úclo rsformção. Trsformção Drivs A rsform riv é obi rvés um igrção por prs, form x( x s s s x( ( s x( x( + s x( s (4.3 o x( é o vlor iicil x(. A sgu riv é obi sguio o msmo cmiho. Chg-s x x s x& s x + s x( s (4.4 o &x é o vlor iicil riv x(. Trsformção Equçõs Difrciis Oriáris A qução ifrcil o movimo um sism um gru libr viscosm morcio é m x + c x + x F( (4.5 87
12 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Aplico Trsform Lplc m mbos os los qução (4.5 uilizo os rsulos (4.3 (4.4 m-s [ ] [ ] msx s sx x & + csx s x + x s F s (4.6 Como c m, m, qução (4.6 po sr rsolvi pr s clculr rsform Lplc rspos xs, form xs ms ( + s+ + x + x F s s + s + s+ s + s+ & (4.7 qu é chm qução subsiiári qução ifrcil. Pr obr rspos o sism x(, s v clculr rsform ivrs Lplc o rsulo qução (4.7. Trsformção Ivrs Lplc A rsformção ivrs volv um igrl lih o omíio complxo ifícil solução. Por s moivo s procur rsformr fução obi q. (4.7 m fuçõs qu hm su rsform ivrs cohci. Es é ssêci o méoo s frçõs prciis, scrio sguir. As fuçõs rsuls srão comprs com fuçõs qu possum rsforms cohcis, rlcios Tbl 4.. Cosirmos o cso m qu xspo sr scri form As xs (4.8 Bs ( o o A(s como B(s são poliômios m s. Grlm B(s é um poliômio mior orm qu A(s. Chmo s (,,..., s rízs B(s, o poliômio po sr scrio como ( ( ( ( ( ( B s s s L s L s s (4.9 o Π é o símbolo o prouo. As rízs s são cohcis como pólos simpls xs. A xpsão m frçõs prciis (4.8 m form ( xs c c c c c + + L+ + L + s s s s (4.3 s o os coficis c são os pl fórmul As c lim [( s x( s ] (4.3 s B s s o B ( s é riv B(s m rlção s. Como sgu-s qu s - s (4.3 (4.33 o (4.3 (4.33 cosium um pr Lplc. Cosiro s quçõs (4.3 (4.33 rsform ivrs xs, q. (4.3, s or x ( As ( B ( s As ( B ( s s s s (4.34 Frqüm, é mis simpls cosirr q. (4.3 scrvr A(s form 88
13 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris ( ( i + ( i + + ( i ( i A s c s c s L c s c s (4.35 i i i i Compro os coficis s - (,,...,, m mbos os los (4.35, obém-s um sism quçõs lgébrics qu pom sr rsolvis pr rmição os coficis c (,,...,. Igrl Covolução. Torm Borl. Cosir-s us fuçõs f ( f (, fiis pr >. Assum-s, mbém, qu f ( f ( possum f s f ( s, rspcivm, cosir-s igrl rsforms Lplc x( f ( f ( f ( f ( (4.36 A fução x(, é chm covolução s fuçõs f f o irvlo < <. O limi suprior s igris m (4.36 são ircmbiávis porqu f ( - pr >, qu é o msmo qu - <. Trsformo mbos os los q. (4.36, obém-s 89 s ( s xs f f f f( s f ( f ( o o limi ifrior sgu igrl muou porqu f ( - pr >. A sguir, s irouz rsformção - λ sgu igrl, obsrvo qu pr m-s λ, scrvo-s ão s s( + xs ( f( f( f( f( λ λ s sλ f ( f ( λ λ f ( s f ( s Ds quçõs (4.36 (4.38, sgu-s qu x( - xs - f ( s f ( s i i (4.37 (4.38 (4.39 x f f f f ( ( (4.4 A sgu igrl q. (4.4 é váli porqu ão impor qu mir ocorr o créscimo mpo. Torm Borl A rsformção ivrs Lplc o prouo us rsforms é igul à covolução s sus rsforms ivrss. s f s f TRASFORMADAS DE LAPLACE c f ( s + c g( s c f + c g s f ( f 3 f ( s g( s ( 4 5 s f s s s f f( f g f f ( s L f L 6 f ( s+ f
14 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 7 δ ( gru uiário plico m s 8 s 9 (,,... s s ( s+ ( s+ ss (,,... ( + s s ( + 5 s + 6 s 7 s s + 8 s s 9 ss s s ( + ( s + s ( s + s ( s + ss ( + 5 s+ s 6 s s+ 7 s+ b ss+ 8 ss ( + 9 s + s+ 3 s s + s+ 9 u( impulso uiário plico m 3 b ( (!! ( ( + s sh cos 3 cosh ( cos ( s ( s cos s cos + ( b cos s ( φ s
15 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 3 s + s + s s( + φ + s+ ss s + ( + s+ ss ( φ + s Tbl 4. - Trsforms Lplc. ( + φ s Exmplo Achr rspos máqui compcção o xmplo 4.5, ssumio <, uilizo rsform Lplc. Solução: A forç plic po sr scri form F F > A rsform Lplc F( é obi como s s s F s Fs F F F [ ] s s Uilizo (4.7, rsform rspos srá xs ms s s F ( ( + s + s s + + x s + s+ s + s+ & F + x A rsforms ivrss o sguo o rciro rmo qução são obis uilizo irm os rsulos 3 9 Tbl 4.. A rsform ivrs o primiro rmo é obi o rsulo 3 msm Tbl 4. cosiro qu muliplicção rsform um fução por -s implic o slocmo fução o omíio o mpo. Eão rsform ivrs or-s F x ( s m o φ cos ( F s m x s x x& + + ( + φ [ ( + φ] ( φ ( s, rspos máqui compcção po sr xprss form ( { ( + φ + [ ( + φ ] } F x ( s s m x ( s + + φ ( x x& s ( Igrl Fourir sção 4. viu-s qu um fução prióic po sr rprs por um séri Fourir, qu são séris ifiis fuçõs hrmôics frquêcis o π é frquêci fuml. Fzo o príoo s proximr o ifiio, form qu o primiro irvlo mpo s logu sm limis, fução s or ão prióic. Ds mir, o irvlo frquêci pr zro form qu s frquêcis hrmôics, origilm iscrs s orm coíus. s siução s séris Fourir s orm igris Fourir. 9
16 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Um fução prióic po sr rprs por séris Fourir su form complx f C i (4.4 o os coficis C são obios por i C f (, pr, ±, ±, L (4.4 Irouzio oção, ( + -, s quçõs (4.4 (4.4 s orm i ( ( i f C C (4.43 π i C f ( (4.44 Fzo o príoo r o ifiio, vriávl s rsform vriávl coíu, lvo o limi, s subsiui som pl igrl s obém i i f lim ( C F π π (4.45 ( i F lim C f A qução (4.45 implic qu um fução rbirári f( po sr scri por um igrl rprso coribuiçõs compos hrmôicos possuio um spcro frquêci coíuo r +. A qui F( po sr cosir como um coribuição s hrmôics qu são o irvlo r + à fução f(. A qução (4.46 é cohci como Trsform Fourir f(, form qu s igris i F f (4.47 i f ( F (4.48 π rprsm um pr rsforms Fourir, o f( é cohci como Trsform Ivrs F(. As quçõs (4.47 (4.48 coém iformção sobr composição m frquêci fução f(, qu ão é prióic. S q. (4.4 rprs um fução xcior, ão rspos rgim prm o sism po sr scri form x HC i o H é rspos m frquêci complx ssoci à frquêci. Sguio um procimo similr o uilizo pr f(, coclui-s qu rspos o sism um xcição rbirári mbém po sr scri form um pr rsforms Fourir, como sgu i X( x (4.5 i x ( X (4.5 π o rsform Fourir rspos é 9 (4.46 (4.49 X H F (4.5 qu é simplsm o prouo rspos m frquêci complx pl rsform Fourir fução xcior. ormlm rsform Fourir ão é muio uiliz pr clculr rspos o sism pl qução (4.5, pois frqüm su solução xig igrçõs o plo complxo o qu po s orr xrmm complico. A igrl covolução rsform Lplc são mis fácis s uilizr ss csos. Ero, quo s pr lisr o compormo o omíio frquêci igrl (4.5 é ormlm
17 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris fácil sr obi (quo fução cumpr s coiçõs xisêci igrl forc um frrm ális muio úil. Exis um lgorimo pr clculr igrl (4.5 form rápi cohcio como Fs Fourir Trsform (FFT lrg uilizção ghri. Exmplo Clculr rspos um sism um gru libr ão morcio à xcição form um pulso rgulr mosro Fig. 4., uso o méoo rsform Fourir. Fzr o gráfico os spcros frquêci s fuçõs xcior rspos. F( F - T Ο T Figur 4.- Fução pulso rgulr. Solução: A fução xcior po sr scri mosr Fig. 4. po sr scri como f F pr T < < T pr < T, > T Como f( possui ps scoiuis fiis o irvlo, su igrl xis so possívl scrvr su rsform Fourir form T i i it it F f ( F F i ( T Pr sisms sm morcimo, rspos m frquêci complx, q. (3.49, s or H( (c Isrio s quçõs (b ( q. (4.5 m-s it it F X H F i Eão rspos po sr scri form rsform ivrs Fourir como F it it i i x ( X i π π As r clculr igrl cim, é covi cosirr o sgui svolvimo m frçõs prciis: (f ( ( + form qu q. ( s or 93 ( (b ( (
18 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris x F πi ( ( + i( + T i( T [ ] O cálculo s igris volvis q. (g xig xcução igris cooro o plo complxo. Como iso rqur cohcimo mmáico suprior (o ívl xigio pr um ghiro, qui são prsos ps os rsulos iλ λ pr < πi pr λ < iλ i λ pr < (h πi pr λ < iλ i λ < + pr πi pr λ < D q. (g, o-s qu λ ssum os vlors + T - T. Dv-s, poro, isiguir r os omíios mpos fiios por + T < - T <, + T > - T <, + T > - T >, qu são os msmo omíios fiios por < T, -T < < T, > T, rspcivm. Isrio s igris (h com os vlors proprios λ obém-s s or x ( pr < T F F i x ( i i i [ ( T ] + T i + T T T i π π π cos + pr π < < F i ( T i ( T i ( T i x ( + + i i i i i i i π π π π π π ( T π F [ cos T cos + T ] pr > T ( it it O spcro frquêci ssocio f( é o pl q. (b. Lmbro qu F (g (i i s T, q. (b F T s ( A Figur 4. mosr o gráfico F( vrsus. O spcro frquêci ssocio x( é o pl q. (. D form similr q. ( po sr ruzi X F st A Figur 4.b mosr o gráfico X( vrsus. O méoo igrl covolução é plicção mis simpls, pois rsformção ivrs Fourir xig igrção cooro o plo complxo ifícil solução. A ális, porém, o omíio frquêci é lrg plicção ghri, so pricipl frrm ális vibrçõs. ( 94
19 Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris FT F( FT X( FT FT π T π T π T π T 3π T π T π T π T π T 3π T ( Figur 4. - Espcros frquêci. (b 95
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Transformada de Laplace
No ul: MM6 rorm plc Crcríic pricipl: Algrizor EDO lir ou j rorm um EDO lir um qução lgéric Méoo: PVI ] : I ] p q Vg: Exim u rzõ pricipi pr uilizção rorm plc ; i O méoo riciol rolução um PVI volvo um EDO
MECANISMOS DE REAÇÕES
/4/7 MECSMS DE REÇÕES rof. Hrly. Mrins Filho Rçõs lmnrs Rçõs qu concm m pns um p são rçõs lmnrs. molculri rção lmnr é o númro moléculs qu rgm. Rção lmnr unimolculr: C molécul m um proili inrínsc s compor
Transporte Vestiário Higiene Pessoal Poupança
Álgbr Mricil PRTE LGUMS CONSDERÇÕES TEORCS MTRZES Noção d mriz Mrizs formm um impor cocio m mmáic, d spcil uso o sudo d rsformçõs lirs mriiz é um bl d lmos disposos m lih colus Mriz m é um bl d m úmros
SÉRIES - TRANSFORMADAS
UTFPR Uivri Tcológic Frl o Prá DAMAT Dprmo Acêmico Mmáic Cálculo Dircil Igrl (MA6A) SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AUA Ruimr ui Nó o mr/ Não é proo ir qu o oo momo ipirção mi óric pomo r o mi próimo
SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA
SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AUA Não é proo ir qu o oo momo ipirção mi óric pomo r o mi próimo poívl o plicçõ mi práic A N Whih (86-97) E obr é um compêio o ul, orgi ur () mr livo 7/, pr icipli Cálculo
8 = 1 GRUPO II. = x. 1 ln x
Tst Itrmédio Mtmátic A Rsolução (Vrsão ) Durção do Tst: 90 miutos 0.04.04.º Ao d Escolridd RESOLUÇÃO GRUPO I. Rspost (A) Tm-s: log^00h log00 + log + 04 06. Rspost (B) S c + m ou s +, tm-s lim. Como lim
1 - SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS
Frqüêcis hrmôics - INI PEIÓDIO NÃO ENOIDI m dois siis soidis d rqüêcis rspcis. rqüêci é hrmôic d rqüêci qudo or sisi iguldd: od é qulqur úmro iiro posiio, iclusi zro. rqüêci é chmd, ormlm, d rqüêci udml.
Análises de sistemas no domínio da frequência
prmno d Engnhri Químic d Prólo UFF iciplin: TEQ0- COTROLE E PROCESSOS náli d im no domínio d frquênci Prof inok Boorg Rpo d Frquênci Cliqu pr dir o ilo do xo mr COCEITO: Coni d um méodo gráfico-nlíico
Sistemas Lineares Entrada/Saída 30
Sim Lir Erd/Síd 3 3- Sim Lir Erd/Síd 3.- Fuçõ Sigulr (Sii Elmr Hyi) Muio ii d xcição uilizdo o udo d im diâmico ão uçõ impl o domíio do mpo, xpro mmicm por um couo d uçõ domid uçõ igulr, qu coium um couo
1 Capítulo 2 Cálc l u c lo l I ntegra r l l em m R
píulo álculo Ingrl m R píulo - álculo Ingrl SUMÁRIO rimiivs imdis ou qus-imdis rimiivção por prs por subsiuição rimiivção d unçõs rcionis Ingris órmul d Brrow ropridds do ingrl dinido Ingris prméricos
Matrizes - Teoria ...
Mrzs - Tor Mrz Rgulr Mrz Rgulr d ord por é u qudro fordo por los dsposos lhs olus ou s Rprsros u rz d lhs olus por Os los d rz srão dfdos por u lr o dos íds o prro íd d lh o sgudo íd olu à qu pr o lo Iguldd
SISTEMAS DE CONTROLE I
UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE ENG. DE COMPUTÇÃO E UTOMÇÃO SISTEMS DE CONTROLE I Proor: Fáio Mghi Ugulio rújo Nl-RN, mrço ÍNDICE INTRODUÇÃO...4. DEFINIÇÕES...4.
Associação de Resistores e Resistência Equivalente
Associção d sistors sistêci Equivlt. Itrodução A ális projto d circuitos rqurm m muitos csos dtrmição d rsistêci quivlt prtir d dois trmiis quisqur do circuito. Além disso, pod-s um séri d csos práticos
Sistemas e Sinais (LEIC) Resposta em Frequência
Sismas Siais (LEIC Rsposa m Frquêcia Carlos Cardira Diaposiivos para acompahamo da bibliografia d bas (Srucur ad Irpraio of Sigals ad Sysms, Edward A. L ad Pravi Varaiya Sumário Dfiiçõs Sismas sm mmória
TÓPICOS. Números complexos. Plano complexo. Forma polar. Fórmulas de Euler e de Moivre. Raízes de números complexos.
Not m: litur dsts potmtos ão disps d modo lgum litur tt d iliogrfi pricipl d cdir Chm-s tção pr importâci do trlho pssol rlir plo luo rsolvdo os prolms prstdos iliogrfi, sm cosult prévi ds soluçõs proposts,
+ = x + 3y = x 1. x + 2y z = Sistemas de equações Lineares
Sisms d quçõs Linrs Equção Linr Tod qução do ipo:.. n n Ond:,,., n são os ofiins;,,, n são s inógnis; é o rmo indpndn. E.: d - Equção Linr homogên qundo o rmo indpndn é nulo ( ) - Um qução linr não prsn
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR MEIO DE DETERMINANTES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR EIO DE DETERINANTES Dtrmt um mtrz su orm Sj mtrz: O trmt st mtrz é: Emlo: Vmos suor o sstm us quçõs om us óts y: y y Est sstm quçõs o sr srto orm mtrl: y Est qução r três mtrzs:.
CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru PÍTUO TRIZES DETERINNTES E SISTES INERES s mris os sisms lirs êm lr plição m prolms práios spilm ár Ehri Por mplo oção frquêi url o io rsiro
= 1, independente do valor de x, logo seria uma função afim e não exponencial.
6. Função Eponncil É todo função qu pod sr scrit n form: f: R R + = Em qu é um númro rl tl qu 0
4. Análise de Sistemas de Controle por Espaço de Estados
Sisma para vrificação Lógica do Corolo Dzmro 3 4. ális d Sismas d Corol por Espaço d Esados No capiulo arior, vimos qu a formulação d um Prolma Básico d Corolo Ópimo Liar, ra cosidrado um sisma diâmico
7 Solução de um sistema linear
Toria d Conrol (sinops 7 Solução d um sisma linar J. A. M. Flipp d Souza Solução d um sisma linar Dfinição 1 G(,τ mariz cujos lmnos g ij (,τ são as rsposas na i ésima saída ao impulso aplicado na j ésima
MOVIMENTOS SOB A AÇÃO DE UMA FORÇA RESULTANTE DE INTENSIDADE CONSTANTE
MOVIMENTOS SOB A AÇÃO DE UMA ORÇA RESULTANTE DE INTENSIDADE CONSTANTE Trjóris Tmos os sguins csos: 1º) S forç rsuln ivr dirção d vlocidd só vrirá o módulo ds rjóri srá rilín. v R Ou R v º) S forç rsuln
Uniforme Exponencial Normal Gama Weibull Lognormal. t (Student) χ 2 (Qui-quadrado) F (Snedekor)
Prof. Lorí Vili, Dr. vili@pucrs.br vili@m.ufrgs.br hp://www.pucrs.br/fm/vili/ hp://www.m.ufrgs.br/~vili/ Uniform Exponncil Norml Gm Wibull Lognorml (Sudn) χ (Qui-qudrdo) F (Sndkor) Um VAC X é uniform no
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Uivrsidd Fdrl d S Cri UFSC. Cro d Ciêcis Físics Mmáics CFM. Dprmo d Mmáic. rlho d Coclsão II CC II. Um Irodção pr Corolilidd m Eqçõs Difrciis Ordiáris E.D.O. s. Floriópolis, jlho d 8. Um Irodção pr Corolilidd
Integrais. A integral indefinida de uma função f(t) é representada como. Por outro lado, a integral definida, representada como
J. A. M. Flipp d Soz Igris (rsmo l) Igris A igrl idfiid d m fção f() é rprsd como f ( τ) Por oro ldo, igrl dfiid, rprsd como f ( τ), f ( τ) τ o f ( τ) dτ 3 d fz Som d Rim q clcl ár so crv m m irvlo m dfiido
Sinais de Potência. ( t) Período: Frequência fundamental: f = T T
Siais d Poêcia P lim ( ) d < Siais Priódicos ( ) ( + ) com Ζ ( ) Príodo: P Frquêcia udamal: ( ) d Exmplos Sial cosa ( ) Sial siusoidal Fas ula Im si θ c Fórmulas d Eulr xp ± jθ cosθ ± j si ( ) θ jθ θ cosθ
O Uso da Álgebra Linear nas Equações Diferenciais
Uso d Álgr ir s Equçõs ifriis íi Gri ol úi Rsd rir Bofim Fuldd d mái FT Uivrsidd Fdrl d Urlâdi UFU 88 - Urlâdi ril d 8 Rsumo Álgr ir é um supor mmáio pr muis árs d iêi Vrmos omo lgus d sus rsuldos podm
Soluções E-Procurement
Soluçõs -Procurm Móulos Vgs Aprsção Dspss Tomé A. Gl Jro/2003 Sumáro: Soluçõs - Procurm 2 Soluçõs - Procurm m xrp 3 Prcps Vgs 4 Solução 5 Móulo vgs 7 Móulo Rlóros Aprsção spss 8 Cls 9 Cocos Ús 10 www.scrgl.com
A DERIVADA DE UM INTEGRAL
A DERIVADA DE UM INTEGRAL HÉLIO BERNARDO LOPES Rsumo. O cálculo o valor a rivaa um ingral ocorr com cra frquência na via profissional físicos, químicos, ngnhiros, conomisas ou biólogos. É frqun, conuo,
CONVERSORES CC-CA. CA Aplicações: Inversor monofásico em meia ponte. Inversor monofásico em ponte. Conversores CC-CA de frequência variável
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que indica que, através do operador H, pode-se determinar y(t) para qualquer u(t).
8. REPRESENÇÃO NO ESPÇO DE ESDOS 8. Coco so ( prsção srá f o omío o mpo coío; s frçs com o cso scro são pqs srão prss posrorm). rprsção r/sí m ssm lr só é ál qo, o mpo cl, o ssm sá o so scoáro. ssm é ál
Capítulo 4: Derivada A Reta Tangente. y = uma curva definida no intervalo ( a, ) e sejam ( x, y ) e Q( x y ) P dois pontos
Isio d Ciêcis Es - Dprmo d Mmáic Cálclo I Proª Mri Jli Vr Crlo d Arjo Cpílo : Drid - A R T Sj b disios d cr Sj s r sc q pss plos poos P Q Cosidrdo o riâlo râlo PMQ, ir o ldo, mos q iclição d r s, o coici
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CISI Ctro Itrção Srvços Iformtc rão Excução Atv Itr o CISI Cóo Emto por: Grêc o Stor 1. Objtvo cmpo plcção Est ocumto tm como fl fr o prão brtur chmos suport o CISI. A brtur chmos é rlz o sstm hlpsk, qu
O LEGADO DE EULER NA SÉRIE DE FOURIER
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LEONARDO ALVES DA SILVA O LEGADO DE EULER NA SÉRIE DE FOURIER FLORIANÓPOLIS 9 Trblho d Coclusão
A formulação representada pelas equações (4.1)-(4.3) no método de elementos finitos é denominada de formulação forte (strong formulation).
4. Fomlção Mcl o Méoo Elmos Fos s cpílo sá ps fomlção mcl o méoo lmos fos pos plcção o méoo lv ssms lgécos q pom s ogzos fom mcl p poso solção po éccs mécs pops p c po qção fcl: lípc pólc o hpólc. O poo
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09. Se. 10. Se. 12. Efetue: 13. Calcule C. a é:, determine a matriz X
LIST DE EER MTRIZES E DETERMINNTES PROF ROGERINHO º ENSINO MÉDIO NOME Nº TURM Rrsn n for d l rz, co s, s, Dd rz, co, scrv rz (M O rço d u rz qudrd é so dos lnos d su dgonl rncl O rço d rz ) (, l qu é:
u seja, pode ser escrito como uma combinação linear de.
Toma d Cayly-Hamilo ja x sja d I α... α poliômio caacísico d. Eão: α α... α α I Toda maiz é um zo d su poliômio caacísico., mos qu qu:... I { I,,..., } u sja, pod s scio como uma combiação lia d. Também,
Questão. Sinais periódicos e não periódicos. Situação limite. Transformada de Fourier de Sinais Contínuos
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Torção. Tensões de Cisalhamento
orção O esuo ese cpíulo será iviio em us pres: 1) orção e brrs circulres ) orção e brrs não circulres. OÇÃO E BS CICULES Sej um brr circulr com iâmero e comprimeno., solici por um momeno e orção, como
Quando o polinômio divisor é da forma x + a, devemos substituir no polinômio P(x), x por a, visto que: x + a = x ( a).
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-POPGÇÃO Propagação d spaço lir amos parir d uma aa isorópica, siuada m um poo. Ela irradia um sial com poêcia P m um mio ambém isorópico como, por xmplo, o ácuo. Esamos irssados m drmiar a isidad do sial
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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ERRATA (capítulos 1 a 6 CAP 1 INTRODUÇÃO. DADOS ESTATÍSTICOS Bnto Murtira Carlos Silva Ribiro João Andrad Silva Carlos Pimnta Pág. 10 O xmplo 1.10 trmina a sguir ao quadro 1.7,
Soluções exatas para a equação de difusão fracionária: formalismo de função de Green
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TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I
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MATRIZES. Neste caso, temos uma matriz de ordem 3x4 (lê-se três por quatro ), ou seja, 3 linhas e 4
A eori ds mrizes em cd vez mis plicções em áres como Economi, Engenhris, Memáic, Físic, enre ours. Vejmos um exemplo de mriz: A bel seguir represen s nos de rês lunos do primeiro semesre de um curso: Físic
Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II
Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof Jorge Cvlcti jorgecvlcti@uivsfedubr MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - wwwdscufcgedubr/~cum/ Sistems
EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.
EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =
Limites Questões de Vestibulares ( )( ) Solução: Primeiro Modo (Fatorando a fração usando BriotxRuffini): lim. Segundo Modo: lim
Limis Qusõs d Vsibulars 7. (AMAN-RJ) Calculado o i, coramos: 9 7 a) b) c) d) ) 9 7 Solução: Primiro Modo (Faorado a ração usado BrioRuii): 9 7., qu é uma idrmiação. Faorado a ução, umrador 9. 7 domiador
2 x. ydydx. dydx 1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO. , sendo R a região que. Exemplo 5. Calcule integral dupla. xda, no retângulo
Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio )INTEGAIS DUPLAS: ESUMO Emplo Emplo Calcul 6 Calcul 6 dd dd O fato das intgrais rsolvidas nos mplos srm iguais Não é
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA FICHA DE EQUILÍBRIO DE ÁCIDO-BASE - CÁLCULOS DE ph
Rsolução d fich d Trblho Cálculos d ph PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA FICHA DE EQUILÍBRIO DE ÁCIDO-BASE - CÁLCULOS DE ph 1. 1.1. Signific qu ist 97 g d H SO 4 m 0 g d solução. 1.. H O(l)? m m % m Ac sol. 1,84
Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas. Prof. Mauricio Carias
posil d Mrizs, Drminns Sisms Prof. Muricio Cris Cpíulo - Mrizs. Dfinição s mrizs são ls d númros ris uilizds m qus odos os rmos d ciênci d ngnhri. Váris oprçõs rlizds por compudors são rvés d mrizs. Vjmos
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1. A TRANSFORMADA DE LAPLACE
Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac A TRANSFORMADA DE LAPLACE Dfiição: Sja f() uma fução ral dfiida para > Eão a raformada d Laplac d f(), doada por L [ ( ) ] f é dfiida por: L [ f ( ) ] F( ) f( )d,
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje
CAPÍTULO 9 COORDENADAS POLARES
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