Singularidades de Funções de Variáveis Complexas

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1 Singularidades de Funções de Variáveis Complexas AULA 11 META: Introduzir o conceito de singularidades de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir singularidades de funções de variáveis complexas e analisar as singularidades de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula10 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.

2 Singularidades de Funções de Variáveis Complexas 11.1 Introdução Caros alunos o tema dessa nossa aula é Singularidades de Funções de Variáveis Complexas. O objetivo é usar séries de Laurent para estudar e classificar pontos de singularidades de funções complexas Pontos Singulares de Funções Complexas Começaremos por estudar pontos singulares de funções complexas. Definição Sejam D C um aberto conexo, f : D C C uma função complexa e z 0 D. Dizemos que z 0 é um ponto singular de f( ) se, somente se f (z 0 ) = 0 ou não existe. Definição Sejam D C um aberto conexo, f : D C C uma função complexa e z 0 D um ponto singular de f( ). Dizemos que z 0 é um ponto singular isolado se, somente se existe uma bola aberta B r (z 0 ) de centro em z 0 tal que z 0 é o único ponto singular de f( ) que pertence a B r (z 0 ). Caso contrario z 0 é dito um ponto singular não isolado. OBS Pontos singulares são extremamente importantes na análise complexas pois, dizem muito do comportamento local de funções complexas Classificação de Pontos Singulares Isolados Estaremos, aqui, interessado em estudar e classificar pontos singulares isolados. Para isso usaremos a representação em série de 164

3 Variáveis Complexas Laurent da função a ser estudada. AULA 11 Definição Sejam D C um aberto conexo, f : D C C uma função complexa representada em série de Laurent por: b m (z z 0 ) m + a n (z z 0 ) n m=1 e z 0 D um ponto singular isolado de f( ). Se: i) b m = 0, m = 1, 2,... dizemos que z 0 é uma singularidade removível. ii) b k 0 e b m = 0, m = k + 1, k + 2,... dizemos que z 0 é um polo de ordem k. iii) m N, k > m b k 0 dizemos que z 0 é uma singularidade essencial. OBS Se z 0 é uma singularidade removível f( ) é holomorfa sendo representada por uma série de Taylor em torno de z 0 i.e. a n (z z 0 ) n OBS Se z 0 é um polo de ordem k a representação de f( ) em série de Laurent fica reduzida a: k b m (z z m=1 0 ) m + a n (z z 0 ) n OBS Se z 0 é uma singularidade essencial os coeficiente b m da representação de f( ) são não nulos para uma infinidade de valores de m N. Vejamos alguns exemplos de funções complexas e suas singularidades. 165

4 Singularidades de Funções de Variáveis Complexas Exemplo Seja f : C {0} C dada por sin(z). z Como sin(z) = ( 1) n z2n+1 então: 1 ( 1) n z2n+1 z = ( 1) n 1 z 2n+1 z = ( 1) n z 2n = 1 z2 3! + z4 5! z6 7! + Portanto z = 0 é uma singularidade removível de f( ). Exemplo Seja f : C {0} C dada por sin(z) z 3. Como sin(z) = ( 1) n z2n+1 então: 1 z 3 = = z2n+1 ( 1) n ( 1) n 1 z 2n+1 z 3 ( 1) n z2n 2 = 1 z 2 + ( 1) k+1 z 2k (2k + 3)! = 1 z 2 1 3! + z2 5! z4 7! + Portanto z = 0 é um polo de ordem 2 de f( ). Exemplo Seja f : C {0} C dada por sin(1/z). 166

5 Como sin(z) = Variáveis Complexas ( 1) n z2n+1 então: AULA 11 = ( 1) n (1/z)2n+1 ( 1) n 1/z2n+1 = ( 1) n 1 1 = 1 + ( 1) n 1 n=1 z 2n 2 1 z 2n 2 = 1 7!z !z 5 1 3!z Portanto z = 0 é uma singularidade essencial de f( ). Teorema Sejam D C um aberto conexo, f : D C C uma função complexa e z 0 D. As seguintes proposições são equivalentes: i) z 0 é uma singularidade removível de f( ). ii) Existe lim f(z). iii) f(z) é limitado em alguma bola aberta B r (z 0 ). PROVA: Dividiremos a prova em três partes: Parte 1: de f(z) é da forma: i) implica ii). Supondo que i) vale a série de Laurent a n (z z 0 ) n Logo lim a 0 e portanto existe lim f(z) e ii) vale. Parte 2: ii) implica iii). Supondo que existe lim L, da definição de limite existe δ > 0 tal que se z B δ (z 0 ) {z 0 } 167

6 Singularidades de Funções de Variáveis Complexas então f(z) B 1 (L). De outra forma. Se z B δ (z 0 ) {z 0 } então f(z) L < 1 ou seja: z B δ (z 0 ) {z 0 }, f(z) < L + 1 isto é vale iii). Parte 3: iii) implica i). Suponhamos que vale iii) então existe K > 0 e uma bola B r (z 0 ) tal que z B r (z 0 ), f(z) < K. por outro lado, os coeficientes b m da série de Laurent são dados por: b m = 1 f(z)(z z 0 ) m 1 dz, m = 1, 2,... 2πı Γ onde Γ(t) = z 0 + εe ıt, t [0, 2π) e ε < r. Daí, temos: b m 1 f(z)(z z 0 ) m 1 dz 2πı Γ 1 f(z). z z 0 m 1 dz 2π Γ 1 2π Kεm 1 2πε Kε m Fazendo ε 0 temos: b m 0 e portanto b m = 0, m = 1, 2,.... Logo z 0 é uma singularidade removível de f( ) e i) vale. Teorema Sejam D C um aberto conexo, f : D C C uma função complexa e z 0 D, então z 0 é um polo de ordem k de f( ) se, somente se existe L 0 tal que L = lim (z z 0 ) k f(z). PROVA: Dividimos a prova em duas partes: Parte 1 (Necessidade) Suponhamos que z 0 é um polo de ordem k de f( ) então a representação por série de Laurent de f(z) é da forma: k m=1 b m (z z 0 ) m + Logo, fazendo o produto por (z z 0 ) k temos: a n (z z 0 ) n (z z 0 ) k b k + + b 1 (z z 0 ) k 1 + a n (z z 0 ) n+k 168

7 Passando o limite z z 0 temos: Variáveis Complexas lim (z z 0 ) k b k 0 e temos nosso candidato L = b k. z z 0 Parte 2 (Suficiência) Suponhamos que existe o limite lim (z z 0 ) k L 0. Definindo a função g(z) = (z z 0 ) k f(z), temos: lim g(z) = L 0. Logo da parte ii) do teorema 12.1 g(z) tem z z 0 uma singularidade removível em z 0 e pode ser dada por uma série de Taylor centrada em z 0 em alguma bola aberta B r (z 0 ). AULA 11 g(z) = a n (z z 0 ) n Daí, como g(z) = (z z 0 ) k f(z) podemos escrever para f(z). L (z z 0 ) k + + a k 1 + a n+k (z z 0 ) n z z 0 E portanto z 0 é um polo de ordem k de f( ). Vamos agora enunciar um último teorema sem demonstra-lo. Teorema Sejam D C um aberto conexo, f : D C C uma função complexa e suponhamos que z 0 D é uma singularidade essencial de f( ) e que f(z) é holomorfa em B ϱ (z 0 ) {z 0 } D então dados 0 < r ϱ, ε > 0 e α C, existe um número complexo β tal que β B r (z 0 ) {z 0 } e f(β) α < ε Conclusão Na aula de hoje, vimos que algumas funções de variáveis complexas são não-holomorfas pois apresentam pontos singulares (pontos onde a derivada da função é zero ou não existe). Também vimos que as singularidades isoladas são classificadas como removíveis, pólos ou singularidades essenciais. 169

8 Singularidades de Funções de Variáveis Complexas RESUMO No nosso resumo da Aula 11 constam os seguintes tópicos: Pontos Singulares de Funções Complexas Definição complexa e z 0 D. Dizemos que z 0 é um ponto singular de f( ) se, somente se f (z 0 ) = 0 ou não existe. Definição complexa e z 0 D um ponto singular de f( ). Dizemos que z 0 é um ponto singular isolado se, somente se existe uma bola aberta B r (z 0 ) de centro em z 0 tal que z 0 é o único ponto singular de f( ) que pertence a B r (z 0 ). Caso contrario z 0 é dito um ponto singular não isolado. Classificação de Pontos Singulares Isolados Definição complexa representada em série de Laurent por: b m (z z 0 ) m + a n (z z 0 ) n m=1 e z 0 D um ponto singular isolado de f( ). Se: i) b m = 0, m = 1, 2,... dizemos que z 0 é uma singularidade removível. ii) b k 0 e b m = 0, m = k + 1, k + 2,... dizemos que z 0 é um polo de ordem k. 170

9 Variáveis Complexas iii) m N, k > m b k 0 dizemos que z 0 é uma singularidade essencial. AULA 11 Teorema 1 complexa e z 0 D. As seguintes proposições são equivalentes: i) z 0 é uma singularidade removível de f( ). ii) Existe lim f(z). iii) f(z) é limitado em alguma bola aberta B r (z 0 ). Teorema 2 complexa e z 0 D, então z 0 é um polo de ordem k de f( ) se, somente se existe L 0 tal que L = lim (z z 0 ) k f(z). Teorema 3 complexa e suponhamos que z 0 D é uma singularidade essencial de f( ) e que f(z) é holomorfa em B ϱ (z 0 ) {z 0 } D então dados 0 < r ϱ, ε > 0 e α C, existe um número complexo β tal que β B r (z 0 ) {z 0 } e f(β) α < ε. PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos o cálculo de resíduos que nos permitirá um teorema semelhante a integral d Cauchy para funções não-holomorfas com singularidades isoladas tipo polo. 171

10 Singularidades de Funções de Variáveis Complexas ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV Seja f : D C C dada por tan(zı). Determine todas as singularidades de f( ) e estabeleça o seu domínio. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos, eles lhe servirão de guia. ATIV Seja f : C {0} C dada por 1 cos(z) z 3. Classifique as singularidades de f( ). Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos, eles lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM,